Resumos de AMIII. 10 de Dezembro de 2005

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1 Resumos de M 10 de Dezembro de Revisões e Complementos de Cálculo Diferencial 1. Se U R n é aberto, f : U R m uma função (portanto f = (f 1,..., f m )), x 0 U e v R n, então a derivada direccional de f segundo v no ponto x 0 é (caso o limite exista). f(x 0 + tv) f(x 0 ) v f(x 0 ) = lim = d t 0 t dt f(x 0 + tv) t=0 2. i-ésima derivada parcial de f é a derivada direccional segundo o i-ésimo vector da base canónica e escreve-se f 1 f x i i f 1 x i if... def... = ei f. i f n f m x i 3. f diz-se diferenciável em x 0 se existe uma transformação linear Df(x 0 ) : R n R m (representada por uma matriz m n) tal que 4. Se f é diferenciável em x 0 então f(x 0 + h) f(x 0 ) Df(x 0 ) h lim = 0. h 0 h v f(x 0 ) = D f (x 0 ) v. Em particular, Df é representada na base canónica pela matriz Jacobiana f 1 f... 1 x 1 x n 1 f 1... n f 1 Df = = (1) f m f... m x 1 x n 1 f m... n f m 5. Uma norma num espaço vectorial V é uma função : V R + 0 axiomas: (i) x = 0 sse x = 0, (ii) λx = λ x para todo o λ R e x V, satisfazendo os seguintes 1

2 (iii) x + y x + y (Desigualdade triangular). 6. Se f : V W é uma função entre espaços vectoriais normados, dizemos que se lim f(x) = b x a ɛ>0 δ>0 x a V < δ f(x) b W < ɛ. Com esta noção de limite definimos as derivadas direccionais e derivadas de funções entre espaços vectoriais normados como acima. 7. Duas normas 1 e 2 num espaço vectorial V dizem-se equivalentes se existem constantes, B > 0 tais que para todo o x V x 2 x 1 B x 2. Equivalentemente, duas normas são equivalentes se convergência para 0 significa o mesmo em ambas as normas, ou ainda se cada norma é contínua como função V R + 0 com respeito à noção de limite determinada pela outra norma. 8. Num espaço vectorial de dimensão finita quaisquer duas normas são equivalentes. Em particular, a noção de diferenciabilidade para uma função entre espaços vectoriais de dimensão finita é independente da escolha das normas nos espaços em questão. 9. Se V é um espaço vectorial de dimensão finita com base {v 1,..., v m } e f : R n V é uma função diferenciável, escrevendo m f(x) = f i (x)v i, i=1 a derivada f (a) (quando existe) é representada pela matriz (1) nas bases canónica de R n e {v i } m i=1 de V. 10. Escreve-se L(V, W ) para o espaço vectorial das transformações lineares entre os espaços vectoriais V e W. 11. função derivada de f : U R n R m é a função f : U L(R n ; R m ) que associa a a a transformação linear f (a). Uma vez que L(R n, R m ) é um espaço vectorial de dimensão finita, podemos falar da derivada de f e mais geralmente definir a derivada de ordem k de f como uma função f (k) : U L(R n ; L(R n ; (... ; L(R n, R m )...))). 12. Se V 1,..., V k, W são espaços vectoriais, uma transformação multilinear é uma função que satisfaz a equação f : V 1... V k W f(v 1,..., αv i + βv i,..., v k ) = αf(v 1,..., v i,..., v k ) + βf(v 1,..., v i,..., v k ), ou seja, que é linear em cada variável separadamente. s transformações multilineares formam um espaço vectorial com a soma e o produto escalar definidos por (αf + βg)(v 1,..., v k ) = αf(v 1,..., v k ) + βg(v 1,..., v k ). Este espaço vectorial é denotado por L(V 1,..., V k ; W ). 2

3 13. Há um isomorfismo canónico L(V 1 ; L(V 2 ; W )) L(V 1, V 2 ; W ) definido por e com inverso g ((v 1, v 2 ) (g(v 1 ))(v 2 )) f (v 1 (v 2 f(v 1, v 2 ))). Mediante estes isomorfismos, a derivada de ordem k de uma função f : V W identifica-se com uma transformação multilinear f (k) : V... V W. 14. O espaço vectorial V = L(V ; R) diz-se o dual do espaço vectorial V. O espaço vectorial T k (V ) = L(V,..., V ; R) diz-se o espaço dos tensores-k covariantes sobre V (portanto V = T 1 (V )). 15. Se {e 1,..., e k } é uma base para V, a base dual para V é a base {e 1,..., e k } definida por n e i α j e j = α i. j=1 16. Dados φ 1,..., φ k V, escrevemos φ 1... φ k T k (V ) para o tensor definido pela fórmula 17. Se {e 1,..., e n } é uma base para V, (φ 1... φ k )(v 1,..., v k ) = φ 1 (v 1 )φ 2 (v 2 )... φ k (v k ). {e i 1... e i k } n i 1,...,i k =1 é uma base para T k (V ). 18. Mais geralmente, se {e i,j } i=1,...,nj são bases para V j e {f k } m k=1 aplicações multilineares é uma base para W, as definidas pela fórmula e i e i k k f l : V 1... V k W (e i e i k k f l )(v 1,..., v k ) = e i 1 1 (v 1 )... e i k k (v k )f l formam uma base para L(V 1,..., V k ; W ). 19. s derivadas parciais de ordem 2 definem-se pela fórmula i j f = 2 f x i x j = x i e analogamente para as derivadas de ordem superior. ( f x j 20. Nas bases canónicas {e 1,... e n } de R n e {e 1,..., e n } de R n, a segunda derivada de uma função f : U R n R é representada pela matriz Hessiana de f 2 f... 2 f x 1 x 1 x 1 x n f x 1 x n... 2 f x n x n ) 3

4 21. Se f : U R n R m é uma função k vezes diferenciável em x U, todas as derivadas parciais de ordem k existem em x e f (k) (x) T k (R n ) é dada pela expressão f (k) (x) = m n j=1 i 1,...,i k =1 f j x i k... x i 1 (x)e i 1... e i k e j. 22. Se V é um espaço vectorial de dimensão finita, f : U R n V diz-se de classe C k se as derivadas parciais de ordem menor ou igual a k das componentes f i de f numa base qualquer de V são funções contínuas. 23. Uma função de classe C k é k vezes diferenciável. 24. Lema de Schwarz: Se f é de classe C 2, então i j f = j i f. 25. Um tensor T T k (V ) diz-se simétrico se T (v 1,..., v i,..., v j,..., v k ) = T (v 1,..., v j,..., v i,..., v k ). 26. Se f : U R n R é de classe C k, f (k) é um tensor simétrico. 27. Se f : U R n R m é diferenciável em x 0 U, e g : V R m R p é diferenciável em f(x 0 ) V, então g f : U R n R p é diferenciável em x 0 e D(g f)(x 0 ) = Dg(f(x 0 ))Df(x 0 ). Em coordenadas (x 1,..., x n ) em R n e (y 1,..., y m ) em R m, tem-se (regra da cadeia). g i m x j = g i f k y k x j k=1 28. Fórmula de Taylor: Se f : U R n R é de classe C k e a + th U para t [0, 1], existe θ ]0, 1[ tal que f(a+h) = f(a)+f 1 (a)(h)+...+ (k 1)! f (k 1) (a)(h,..., h)+ 1 k! f (k) (a+θh)(h,..., h). 29. Se f : U R n R tem um extremo em a e f é diferenciável em a, então f (a) = Se f é diferenciável em a e f (a) = 0, a diz-se um ponto de estacionariedade ou um ponto crítico de f. Um ponto crítico que não é um ponto de extremo diz-se um ponto de sela. 31. Seja f de classe C 2 e a um ponto crítico de f. (i) Se f (a)(h, h) > 0 para todo o h 0 então a é um ponto de mínimo relativo estrito de f. (ii) Se f (a)(h, h) < 0 para todo o h 0 então a é um ponto de máximo relativo estrito de f. (iii) Se a é um ponto de mínimo, então f (a)(h, h) 0 para todo o h. (iv) Se a é um ponto de máximo, então f (a)(h, h) 0 para todo o h. 32. Uma vez que f (a)(h, h) = h t H(f)h onde H(f) denota a matriz Hessiana de f, as condições do ponto anterior são verificadas sse os valores próprios (da matriz simétrica) H(f) são 4

5 (i) todos positivos, (ii) todos negativos, (iii) todos 0, (iv) todos Teoremas da função inversa e ímplicita 1. O jacobiano de uma função diferenciável f : D R n R n é a função Jf(x) = det Df(x). 2. Teorema da função inversa Seja f : D R n R n uma função de classe C 1 com D aberto. Se Jf(a) 0, então existe um aberto W D com a W tal que (i) f(w ) é um aberto, (ii) f W é injectiva, (iii) f 1 : f(w ) W é de classe C 1 e Df 1 (f(a)) = Df(a) Seja (V, ) um espaço normado. Uma sucessão x n em V diz-se uma sucessão de Cauchy se ɛ>0 N n, m > N x n x m < ɛ. O espaço V diz-se completo ou um espaço de Banach se toda a sucessão de Cauchy converge. 4. Seja D V. Uma aplicação f : D D diz-se uma contracção se existe λ < 1 tal que f(x 1 ) f(x 2 ) λ x 1 x x diz-se um ponto fixo de uma aplicação f se f(x) = x. 6. Teorema do ponto fixo. Se (V, ) é um espaço completo, D V é fechado e f : D D é uma contracção, então f tem um ponto fixo único. 7. Uma função f : R n R m é contínua se e só se para todo o aberto V R m, existe um aberto W R n tal que f 1 (V ) = W. Recorde-se que f 1 (V ) = {x : f(x) V }. Uma intersecção de um aberto de R n com diz-se um aberto em pelo que este resultado diz que uma função é contínua sse transforma inversamente abertos em abertos. 8. Teorema da função impĺıcita Seja F: U R n R m uma função de classe C 1 com n > m. Escrevemos (x, y) R n com x R n m e y R m. Dado (x 0, y 0 ) U com F(x 0, y 0 ) = 0, se det F y (x 0, y 0 ) 0 existem abertos V R n m e W R m com (x 0, y 0 ) V W U e uma função g : V W de classe C 1 tal que F(x, y) = 0 e (x, y) V W y = g(x). 5

6 9. s derivadas da função impĺıcita g no ponto x 0 obtêm-se derivando a equação F(x, g(x)) = 0. Obtemos a seguinte equação matricial para a derivada de g: F x (x 0, y 0 ) + F y (x 0, y 0 ) g x (x 0) = Se a função f no enunciado do Teorema da Função nversa é de classe C k (com 1 k ), o mesmo sucede com f 1 e analogamente, se a função F no enunciado do Teorema da Função mpĺıcita é de classe C k o mesmo sucede com a função g. 3. Variedades 1. O gráfico de uma função f : D R m R n m é o conjunto Graf(f) = {(x, y) R n : x D e y = f(x)}. 2. Um conjunto M R n é uma variedade diferenciável de dimensão m {1,..., n 1} e classe C k (k 1) se para qualquer ponto x 0 M existe uma vizinhança U x 0 e uma função de classe C k f : D R m R n m (D aberto) tais que M U = Graf(f) U para alguma ordenação das funções coordenadas de R n. 3. Uma variedade de dimensão 0 é um conjunto do pontos isolados; uma variedade de dimensão n em R n é um conjunto aberto. 4. Variedades como conjuntos de nível. M R n é uma variedade diferenciável de dimensão m e classe C k sse para qualquer ponto x 0 M existe um aberto U x 0 e uma função de classe C k F : U R n m tais que (i) M U = {x U : F(x) = 0}; (ii) característica de DF(x 0 ) é n m (ou seja, é máxima). 5. Seja M R n uma variedade de dimensão m, x M e U x uma vizinhança aberta; g : V R m M U diz-se uma parametrização de classe C q de M U se (i) g é uma bijecção de classe C q, (ii) característica de Dg(t) é m para todo o t V, (iii) g 1 : M U V contínua. 1 aplicação g 1 : M U V diz-se uma carta local para M e o conjunto M U diz-se uma vizinhança de coordenadas. 6. Variedades como conjuntos parametrizáveis. Um subconjunto M R n é uma variedadem de classe C k sse para cada x M existe um aberto U R n contendo x e uma parametrização g : V M U de classe C k com V um aberto de R m. 7. Um caminho é uma aplicação contínua g : R n com um intervalo de R. Um vector v R n diz-se tangente a um conjunto X R n em x X se existe um caminho diferenciável g : ( ɛ, ɛ) X com g(0) = x e g (0) = v. 1 sto é, para cada V aberto, existe W R n aberto com g() = W M. 6

7 8. Se M R n é uma variedade-m e x 0 M, o conjunto T x0 M de todos os vectores tangentes a M em x 0 é um espaço vectorial de dimensão m chamado o espaço tangente a x 0 em M. 9. Se g : V M U é uma parametrização com g(t 0 ) = x 0, as colunas de Dg(t 0 ) formam uma base de T x0 M. 10. Se M U = {x U : F(x = 0} com F de classe C 1 e DF(x) sobrejectiva, T x0 M é o núcleo de DF(x 0 ). 11. Se M é uma variedade e x 0 M, o espaço normal a M em x 0 é o complemento ortogonal de T x0 M, e denota-se por T x 0 M. 12. Se M é localmente definida pela equação F(x) = 0 com F satisfazendo as condições habituais, as linhas de DF(x 0 ) formam uma base para T x 0 M. 13. Método dos multiplicadores de Lagrange. Seja M uma variedade, f : U R uma função diferenciável e x 0 M U. Para que a restrição de f a M tenha um extremo em x 0 é necessário que f(x 0 ) T x 0 M. Dito de outra forma, se U é um aberto contendo x 0 e F: U R n m é uma função de classe C 1 com derivada sobrejectiva e tal que M U = {x U : F(x) = 0}, existem λ 1,..., λ n m R chamados multiplicadores de Lagrange tais que 4. ntegral de Riemann f(x 0 ) + λ 1 F 1 (x 0 ) λ n m F n m (x 0 ) = R n é um intervalo se = 1... n, onde cada k é um intervalo de R. é limitado/aberto/fechado sse cada k é limitado/aberto/fechado. Se é um intervalo limitado com k = a k, b k (em que designa aberto ou fechado), o seu volume n-dimensional é V n () = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )... (b n a n ). Uma partição do intervalo limitado R é um conjunto finito P = P 1... P n, onde cada P k é uma partição do intervalo k = a k, b k (i.e., P k é um subconjunto finito de k contendo a k, b k ). Uma partição de subdivide num número finito de subintervalos J α. Uma função s : R diz-se uma função em escada se existe uma partição P de tal que s é constante (igual a s α ) no interior de cada subintervalo J α, sendo o seu integral o número real s = s α V n (J α ). (2) α 2. Uma partição P diz-se um refinamento de P se P P. 3. O integral de uma função em escada definido em (2) é independente da partição escolhida. 4. Seja R n um intervalo limitado e f : R uma função limitada. O integral superior de f em é o número real { } f = inf t : t é em escada e t(x) f(x) x. O integral inferior de f em é o número real { } f = sup s : s é em escada e s(x) f(x) x. 7

8 função f diz-se integrável à Riemann em se os seus integrais superior e inferior coincidem, e nesse caso define-se o seu integral como sendo f = f = f. s seguintes notações são também utilizadas para o integral de f: f = fdv n = f(x)dv n (x) = f ( x 1,..., x n) dx 1... dx n. 5. Uma função em escada é integrável à Riemann e o integral de Riemann é o número definido pela fórmula (2). 6. Se é um intervalo limitado, P uma partição de e {J α } são os subintervalos da partição escrevemos m α = inf{f(x): x int J α } e soma superior determinada pela partição é M α = sup{f(x): x int J α }. U(f, P ) = α M α V n (J α ) e a soma inferior é L(f, P ) = α m α V n (J α ). 7. Seja um intervalo limitado. Uma função limitada f : R é integrável à Riemann sse para todo o ɛ > 0 existe uma partição P de tal que U(f, P ) L(f, P ) < ɛ. 8. Propriedades do integral. Sejam f, g : R funções integráveis à Riemann. (i) Se f(x) g(x) para todo o x então f g. (ii) Se α, β R, αf + βg é integrável em e (αf + βg) = α f + β g. Ou seja, o conjunto das funções integráveis à Riemann é um espaço vectorial e o integral é uma transformação linear. (iii) f é integrável em e f f. 9. Uma família {U α } de subconjuntos de R n diz-se uma cobertura de R n se α U α. cobertura diz-se aberta se cada um dos conjuntos U α R n é aberto. Uma subcobertura de {U α } é uma subfamília de {U α } que é ainda uma cobertura de. 10. Diz-se que um conjunto R n tem conteúdo nulo se para todo o ɛ > 0 existe uma cobertura de por uma família finita { 1,..., k } de intervalos limitados tal que k V n ( j ) < ɛ. j=1 8

9 11. Diz-se que um conjunto R n tem medida nula se para todo o ɛ > 0 existe uma cobertura de por uma família contável { 1,..., k,...} de intervalos limitados tal que V n ( j ) < ɛ. 12. Propriedades dos conjuntos de conteúdo nulo e medida nula. j=1 (i) Se tem conteúdo nulo então tem medida nula. (ii) Um conjunto com conteúdo nulo é limitado. (iii) Se B e B tem conteúdo (medida) nulo, então também tem. (iv) Uma união finita de conjuntos com conteúdo nulo tem conteúdo nulo. (v) Uma união contável de conjuntos com medida nula tem medida nula. (vi) O gráfico de uma função contínua f : R com R n um intervalo compacto tem conteúdo nulo em R n+1. (vii) O gráfico de uma função contínua f : R n R com um intervalo qualquer, tem medida nula em R n+1. (viii) Um intervalo de R n com interior não vazio não tem conteúdo nulo. 13. Teorema de Heine-Borel: Um subconjunto R n é compacto sse toda a cobertura aberta de tem uma subcobertura finita. 14. Se R n é compacto, então tem medida nula sse tem conteúdo nulo. 15. Se R n tem interior não vazio, então não tem medida nula. 16. Seja f : U R n R uma função limitada. oscilação de f em D U é o número real não negativo o(f, D) = sup f(x) inf f(x). x D x D oscilação de f no ponto x U é o(f, x) = lim δ 0 + o(f, B δ(x) U). 17. Uma função f é contínua em x sse o(f, x) = Seja R n e P (x) uma proposição dependente do ponto x. Diz-se que P é válida quase em toda a parte em (abreviado q.t.p. em ) se tem medida nula em R n. {x : P (x) não é válida.} 19. Critério de integrabilidade de Lebesgue. Seja R n um intervalo compacto. Uma função limitada f : R é integrável à Riemann sse f é contínua quase em toda a parte em. 20. função característica de um conjunto R n é a função { 1 se x χ (x) = 0 caso contrário. 9

10 21. Um conjunto limitado R n diz-se mensurável à Jordan se a função χ é integrável nalgum intervalo limitado (esta definição é independente da escolha de ). O conteúdo ou volume n-dimensional de é V n () = χ. 22. Seja R n um intervalo limitado, f : R uma função limitada e. Define-se o integral de f em por f = fχ. Esta definição depende apenas de e não do intervalo. 23. Se f, g são integráveis em, fg é integrável. Em particular, se f é integrável em e é mensurável à Jordan, f é integrável em. 24. Um conjunto R n é mensurável à Jordan sse é limitado e front() tem medida nula. 25. Seja J a família dos subconjuntos mensuráveis à Jordan em R n. Dados, B J tem-se (i) B J, (ii) \ B J, (iii) B J, (iv) Se B =, então V n ( B) = V n () + V n (B). 26. Teorema de Fubini. Sejam R n e J R m são intervalos limitados e f : J R é uma função integrável, então ( ) ( ) f = f x = f x. J J J onde para x, a função f x : J R é definida por f x (y) = f(x, y). nalogamente tem-se ( ) ( ) f = f y = f y. J J J 27. s seguintes notações são usadas para o integral de f : R: f = f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f(x)dv n (x). 28. plicações do integral. (i) O volume n-dimensional de é V n () = 1, (ii) média de uma função f : R é f = 1 V n () f, 10

11 (iii) Se ρ: R + é a densidade de massa, então a massa de é M = ρ (iv) coordenada k do centro de massa de é x k CM = 1 M (v) coordenada k do centróide é x k ρ, x k = 1 x k, V n () (vi) O momento de inércia de em relação ao eixo l é l = onde d l é a função distância ao eixo l. ρd 2 l 29. Seja R n um intervalo compacto, f : ]a, b[ R uma função contínua. Então a função ϕ: ]a, b[ R definida pela expressão ϕ(t) = f(x, t)dv n (x) é contínua. 30. Regra de Leibniz. Seja R n um intervalo compacto, e f : ]a, b[ R uma função contínua e tal que n+1 f existe e é contínua em ]a, b[. Então a função ϕ: ]a, b[ R definida por ϕ(t) = f(x, t)dv n (x) é de classe C 1 e ϕ (t) = 31. O suporte de uma função f : U R n R é n+1 f(x, t)dv n (x). supp(f) = f 1 (R \ {0}) R n. 32. Teorema da partição da unidade. Seja R n e U uma cobertura aberta de. Então existe uma família Φ de funções ϕ: R n R de classe C e suporte compacto com as seguintes propriedades: (i) 0 ϕ(x) 1 para todo o x R n, (ii) Para cada x R n existe um aberto U x tal que apenas um número finito de ϕ Φ não se anula identicamente em U x. (iii) Para cada x tem-se φ(x) = 1 ϕ Φ (Note-se que esta soma é finita por (ii)). 11

12 (iv) Para cada ϕ Φ existe um aberto U U tal que supp(ϕ) U. Φ diz-se uma partição da unidade subordinada a U. 33. (i) Se R n é compacto, qualquer partição da unidade Φ para contém apenas um número finito de funções que não se anulam identicamente num aberto contendo. (ii) Em qualquer partição da unidade Φ há no máximo um conjunto contável de ϕ Φ que não se anulam identicamente. 34. Uma cobertura aberta U de um aberto R n diz-se admissível se = U U U. 35. Uma função f : R diz-se localmente integrável se para todo o x existe um intervalo aberto limitado x contendo x tal que f x é integrável (ou seja, limitada e contínua q.t.p.). 36. Seja R n um aberto, f : R uma função localmente integrável, U uma cobertura admissível de e Φ uma partição da unidade para subordinada a Φ. Então f diz-se integrável em se a série de termos positivos ϕ f ϕ Φ converge e nesse caso define-se o integral de f por ϕf. ϕ Φ 37. Seja um aberto e f : R uma função localmente integrável. (i) Se f é integrável no sentido do item anterior e Ψ é outra partição da unidade para subordinada à cobertura admissível U, então ψf < e ψ Ψ ϕ Φ ϕf = ψ Ψ (ii) Se é limitado e f : R é limitada, então f é integrável. (iii) Se é mensurável à Jordan e f : R é limitada, as duas definições de integral de f estão de acordo. 38. Uma transformação de coordenadas é uma aplicação de classe C 1, g : R n R n com aberto tal que g é injectiva e Jg(t) Teorema de mudança de variável. Seja g : R n R n uma transformação de coordenadas. Então f = f g Jg g 1 () onde a igualdade significa que f é integrável em sse f g Jg é integrável em g 1 () e nesse caso os integrais coincidem. ψf. 12

13 5. Formas diferenciais 1. Se T T k (V ) e S T l (V ), o produto tensorial de T e S é o tensor T S T k+l (V ) definido por 2. Propriedades do produto tensorial: (T S)(v 1,..., v k+l ) = T (v 1,..., v k )S(v k+1,..., v k+l ). (i) (S + T ) U = S U + T U, (ii) S (T + U) = S T + S U, (iii) (cs) T = c(s T ) = S (ct ), (iv) S (T U) = (S T ) U, (v) S T T S em geral. 3. Se f : V W é uma aplicação linear, o pullback de T T k (W ) por f é o tensor f (T ) T k (V ) definido por f (T )(v 1,..., v k ) = T (f(v 1 ),..., f(v k )). Tem-se f (T S) = f (T ) f (S) 4. Um tensor ω T k (V ) diz-se alternante, ou anti-simétrico, ou um covector-k se ω(v 1,..., v i,..., v j,..., v k ) = ω(v 1,..., v j,..., v i,..., v k ). Os tensores alternantes formam um subespaço vectorial de T k (V ) designado por Λ k (V ). 5. O conjunto das permutações do conjunto {1,..., k} é designado por Σ k. Este conjunto é dotado de um produto (composição de permutações) que é associativo e dispôes de inversos (ou seja Σ k com o produto de composição é um grupo). Uma transposição é uma permutação diferente da identidade que afecta apenas dois elementos i, j {1,..., k}. Qualquer permutação se pode escrever como uma composição de transposições σ = τ 1... τ N (não de forma única). O sinal da permutação σ é sgn σ = ( 1) N. paridade do número de transposições na factorização de uma permutação é independente da factorização pelo que o sinal da permutação está bem definido. Note-se que sgn(σ) sgn(η) = sgn(ση). 6. Um tensor T T k (V ) é alternante sse para todo o σ Σ k se tem 7. Define-se a aplicação pela fórmula T (v 1,..., v k ) = sgn(σ)t (v σ(1),..., v σ(k) ). lt: T k (V ) T k (V ) lt(t )(v 1,..., v k ) = 1 sgn(σ)t (v k! σ(1),..., v σ(k) ). σ Σ k 13

14 8. Propriedades de lt: (i) Se T T k (V ), então lt(t ) Λ k (V ), (ii) lt é linear, (iii) Se T Λ k (V ) então lt(t ) = T. Ou seja, lt é uma projecção de T k (V ) no subespaço Λ k (V ). 9. O produto exterior de ω Λ k (V ) e η Λ l (V ) é o covector-k + l ω η = 10. Propriedades do produto exterior: (k + l)! k! l! lt(ω η) Λ k+l (V ). (i) ω (α + β) = ω α + ω β, (ii) ω (cα) = c(ω α), (iii) Se ω Λ k (V ) e η Λ l (V ), então ω η = ( 1) kl η ω. (iv) ω (η θ) = (ω η) θ, (v) Se f : V W é uma aplicação linear, então f (ω η) = f (ω) f (η). 11. Se {ϕ 1,..., ϕ n } é uma base para V = Λ 1 (V ), então é uma base para Λ k (V ). Em particular e Λ k (V ) = {0} para k > n. 12. Dados ϕ i Λ 1 (V ) tem-se {ϕ i 1... ϕ i k : 1 i 1 <... < i k n} ϕ 1... ϕ k = dim Λ k (V ) = ( ) n k σ Σ k sgn(σ)ϕ σ(1)... ϕ σ(k). 13. O tensor alternante (v 1,..., v n ) det[v 1... v n ] que designamos simplesmente por det é uma base de Λ n (R n ). 14. Seja V um espaço de dimensão n e ω Λ n (V ). Se {v 1,..., v n }, {w 1,..., w n } V e então w i = n a j i v j j=1 ω(w 1,..., w n ) = det(a i j)ω(v 1,..., v n ). 15. Diz-se que duas bases {v i } e {w i } de V têm a mesma orientação se, quando escrevemos w i = n j=1 aj i v j, obtemos det(a i j ) > 0. Caso contrário diz-se que as bases têm a orientação oposta. 16. Uma orientação de um espaço vectorial é um conjunto de bases [v 1,..., v n ] = { {w 1,..., w n }: {w i } n i=1 tem a mesma orientação que {v i } n i=1 }. Um espaço vectorial tem precisamente duas orientações. 14

15 17. Um elemento ω Λ n (V ) \ 0 determina uma orientação de V {{w 1,..., w n }: ω(w 1,..., w n ) > 0}. Consequentemente uma orientação de V corresponde precisamente a um elemento não nulo de Λ n (V ) a menos de multiplicação por um escalar positivo. 18. Se V é um espaço vectorial de dimensão n com um produto interno e uma orientação, o elemento volume de V é o único elemento ω Λ n (V ) tal que ω(v 1,..., v n ) = 1 para toda a base ortonormada {v 1,..., v n } com a orientação dada de V. 19. O elemento volume de R n com o produto interno usual e a orientação canónica [e 1,..., e n ] é o determinante. 20. Temos a seguinte fórmula para os elementos da base canónica de Λ k (R n ): (e i 1... e i k )(v 1,..., v k ) = det(v i j l ) sto é, se (v m l ) é a matriz n k que tem por colunas as componentes dos v i, e i 1... ei k calcula o determinante da matriz k k desta matriz determinada pelas linhas (i 1,..., i k ) de (v m l ). Em particular det = e 1... e n. 21. Há uma identificação natural entre um espaço vectorial V de dimensão finita e o dual do seu dual (V ) dada por v (ϕ ϕ(v)). Se {v 1,..., v m } é uma base de V e {ϕ 1,..., ϕ n } é a base dual de V, então a aplicação anterior envia v i no i-ésimo elemento da base de (V ) dual a {ϕ 1,..., ϕ n }. 22. Um multivector-k é um elemento de Λ k (V ). dentificamos os multivectores-1 com os vectores pelo isomorfismo do ponto anterior, logo se {v 1,..., v n } é uma base para V, uma base para Λ k (V ) é dada por {v i1... v ik : 1 i 1 <... < i k n}. 23. Se U R n é um aberto, o espaço tangente a U é o conjunto T U = p U T p (U) = U R n onde denota a união disjunta. Escrevemos v p para o elemento (p, v) em T p U T U. 24. Da mesma maneira definimos Λ k (T U) = p U Λ k (T p (U)) = U Λ k (R n ) e escrevemos α p para um elemento (p, α) Λ k (T U). 15

16 25. Um campo vectorial em U é uma aplicação F : U T U da forma F (p) = (F 1 (p),..., F n (p)) p Uma forma diferencial de grau k ou simplesmente uma forma-k é uma aplicação ω : U Λ k (T U) que associa a p U um covector ω p Λ k (T p U). Qualquer forma diferencial se pode escrever de maneira única na forma ω(x) = ω i1...i k (x)e i1 x... e i k x i 1 <...<i k com ω i1...i k : U R. forma diz-se de classe C m se as suas componentes ω i1...i k são funções de classe C m. O espaço vectorial das formas-k de classe C em U é denotado por Ω k (U). 26. Por convenção, uma forma-0 é uma função. ssim Ω 0 (U) = C (U). Também por convenção, o produto exterior de uma forma-0 g por uma forma-k ω é simplesmente o produto g ω = gω. 27. Se f : U R é uma função diferenciável, a sua derivada exterior é a forma-1 determinada pela expressão v p f v (p). Em termos da base canónica de Λ 1 (T p E) = (T p E) a derivada exterior escreve-se df = n i=1 Note-se que se f é a i-ésima função coordenada f x i ei. (x 1,..., x n ) x i então df é a forma diferencial que associa a cada p U o covector e i p. Esta forma diferencial é denotada por dx i e por essa razão qualquer forma-k se escreve ω(x) = ω i1...i k (x)dx i1... dx ik. i 1 <...<i k 28. Sejam U R n, V R m são abertos, f : U V é C e ω Ω k (V ). derivada de f determina para cada x uma aplicação dada pela expressão T x U T f(x) V v x (Df(x)v) f(x). Para k 1 definimos o pull-back de ω por f é a forma-k f ω Ω k (U) definida por f ω(x)(v 1,..., v k ) = ω(f(x))(df(x)v 1,..., Df(x)v k ) para v 1,..., v k T x U. Se k = 0, o pullback de uma forma-0 g é a função f (g) = g f. 16

17 29. Propriedades do pull-back: (i) f (ω + η) = f ω + f η; (ii) f (ω η) = f ω f η; (iii) f g ω = (g f) (ω). 30. Se U R n e f : U R n é uma função de classe C, tem-se 31. Se U R n é aberto e ω Ω k (U), f (h(x)dx 1... dx n ) = det Df(x)h(x)dx 1... dx n. ω(x) = 1 i 1 <...<i k n a sua derivada exterior dω Ω k+1 (U) é dada por ω i1...i k (x)dx i 1... dx i k, dω = 1 i 1 <...<i k n n i ω i1...i k dx i dx i 1... dx i k. i=1 32. Propriedades da derivada exterior: (i) d(ω + η) = dω + dη; (ii) d(ω η) = dω η + ( 1) k ω dη, onde ω Ω k (R n ); (iii) d(dω) = 0 (abreviadamente, d 2 = 0); (iv) d(f ω) = f (dω). 33. Seja U R n. Uma forma ω Ω k (U) diz-se fechada se dω = 0. Diz-se exacta se existe η Ω k 1 (U) tal que dη = ω. Nesse caso diz-se que η é um potencial para ω. 34. Uma forma exacta é fechada. 35. Um conjunto R n diz-se um conjunto em estrela se existe a tal que para todo o x se tem {ta + (1 t)x: t [0, 1]}. 36. Lema de Poincaré: Se U R n é um conjunto em estrela, então toda a forma fechada em U é exacta. 37. Se U R 3, as formas-3 podem ser identificadas com funções as formas-1 com campos vectoriais f(x, y, z)dx dy dz f(x, y, z) ω F = F 1 (x, y, z)dx + F 2 (x, y, z)dy + F 3 (x, y, z)dz F = (F 1, F 2, F 3 ) e as formas-2 também com campos vectoriais Ω F = F 1 (x, y, z)dy dz + F 2 (x, y, z)dz dx + F 3 (x, y, z)dx dy F = (F 1, F 2, F 3 ). Usando estas identificações, a derivada exterior define os seguintes operadores: 17

18 i. O gradiente de uma função f é o campo vectorial grad f = f definido por ou seja f = ω f = df ( f x, f y, f ). z ii. O rotacional de um campo vectorial F é o campo vectorial rot F = F definido por Ω F = dω F ou seja e F 1 e 2 e 3 = = x y z F 1 F 2 F 3 ( F 3 y F 2 3 z, F x + F 1 z, F 2 x F 1 ) y iii. divergência de um campo vectorial F é a função div F = F definida por ou seja dω F = (div F )dx dy dz div F = F = F 1 x + F 2 y + F 3 z. iv. Tem-se rot grad f = 0, div rot F = 0. Se rot F = 0 diz-se que F é um campo fechado, e se existe f tal que F = grad f diz-se que F é um campo gradiente ou conservativo e que f é um potencial escalar para F. Um campo F tal que div F = 0 diz-se solenoidal. Se existe tal que F = rot, chama-se um potencial vector para F. 6. ntegração em variedades 1. Seja M uma variedade de classe C k e g i : U i M com i = 1, 2 parametrizações de classe C k com g 1 (U 1 ) g 2 (U 2 ). Então g 1 2 g 1 : g 1 1 (g 1(U 1 ) g 2 (U 2 )) g 1 2 (g 1(U 1 ) g 2 (U 2 )) é uma função de classe C k e J(g 1 2 g 1 )(t) Uma orientação µ de uma variedade M consiste numa escolha de orientação µ p para cada espaço tangente T p M satisfazendo a seguinte condição Para qualquer parametrização g : U M com U R m conexo e t, s U µ g(t) = [ 1 g(t),..., m g(t)] sse µ g(s) = [ 1 g(s),..., m g(s)] onde [v 1,..., v m ] designa a orientação determinada pela base {v 1,..., v m }. Se existir uma orientação para M, M diz-se orientável. 18

19 3. Se g : U M é uma parametrização, µ g(t) = [ 1 g(t),..., m g(t)] determina uma orientação da vizinhança de coordenadas g(u), dita a orientação induzida por g. 4. Se µ é uma orientação para M e a orientação induzida por uma parametrização g coincide com µ em g(u) diz-se que g é compatível com a orientação µ. 5. Seja M R n uma variedade-m. s seguintes afirmações são equivalentes: (i) M é orientável, (ii) Existe ω Ω m (R n ) tal que ω TpM 0 para todo o p M, (iii) Existe ω Ω m (R n ) tal que g ω(t) 0 para toda a parametrização g e parâmetro t. (iv) Para quaisquer duas parametrizações g i : U i M com i = 1, 2, J(g2 1 g 1 )(t) tem sinal constante. (v) Existe uma cobertura de M por vizinhanças de coordenadas g i (U i ) tais que J(gi 1 g j )(t) > 0 sempre que esta função esteja definida. 6. Uma forma ω Ω m (R n ) tal que ω TpM 0 para todo o p determina a orientação µ p formada pelas bases {v 1,..., v m } de T p M para as quais ω p (v 1,..., v m ) > Uma variedade orientável conexa tem exactamente duas orientações. 8. Uma variedade-1 é orientável sse admite um campo vectorial tangente contínuo e que nunca se anula Uma variedade-(n 1) em R n é orientável sse admite um campo vectorial normal n: M R n com n(p) T p (M) contínuo e que nunca se anula. orientação µ p determinada pelo vector normal n(p) é a determinada pela forma Ω n Ω n 1 (M). Equivalentemente, µ p é formada pelas bases {v 1,..., v n 1 } de T p M tais que n(p) (v 1... v n 1 ) > orientação positiva de R n é a orientação determinada pela base canónica, ou equivalentemente, a orientação determinada pela forma dx 1... dx n. Se U R n é um aberto, U + designa o aberto U com a orientação positiva. Se ω = f(x)dx 1... dx n é uma forma-m define-se ω = f. U + U 11. Seja M uma variedade-m com orientação µ, g : U M uma parametrização compatível com a orientação, g(u), e ω Ω m (). Define-se o integral da forma-m ω sobre a variedade M com orientação µ pela fórmula ω = g (ω). M µ U + 2 Pode mostrar-se que toda a variedade-1 é orientável. 19

20 O integral é independente da escolha de parametrização compatível com a orientação. lém disso, designando por µ a orientação oposta a µ tem-se ω = ω. M µ M µ 12. Seja M uma variedade-m com orientação µ, U = {g i (U i )} uma cobertura numerável de M por vizinhanças de coordenadas e Φ uma partição da unidade subordinada à cobertura U. Se M e ω Ω m (), diz-se que ω é integrável em se a série φ i Φ converge e nesse caso define-se o integral U i g 1 i () µ ω = φ i Φ g i (φ i ω) g i (U i ) µ φ i ω. Esta definição é independente das escolhas da cobertura e da partição da unidade. 13. É possível demonstrar que se M é uma variedade-m existe uma vizinhança de coordenadas U tal que M \ U tem medida m-dimensional nula (isto é a imagem deste conjunto por qualquer carta tem medida m-dimensional nula), logo para calcular um integral de uma forma nunca é necessário recorrer a uma partição da unidade. 14. Seja M uma variedade-m em R n com uma orientação µ. O elemento de volume de M dv m é a forma-m sobre M que associa a cada p M o elemento volume de T p M determinado pela orientação µ p e pelo produto interno em R n restrito a T p M. 15. Se g : U M é uma parametrização compatível com a orientação de M e dv m é o elemento volume de M, tem-se g (dv m ) = det(g ij )dt 1... dt m onde (g ij ) = ( i g j g) = Dg t Dg. 16. Se M é uma variedade-1 o elemento volume também se escreve ds e a fórmula anterior é g (ds) = g (t) dt. 17. Se M é uma variedade-(n 1) em R n, tem-se g (dv n 1 ) = 1 g... n 1 g dt 1... dt n 1. Se n = 3 o elemento de volume também se escreve ds. 18. Se M é uma variedade-m em R n com orientação µ e M define-se o integral de uma função (ou campo escalar) f : R por f = fdv m µ caso este integral exista. Este integral é independente da escolha de orientação para M. 20

21 19. Uma vez que existe sempre uma vizinhança de coordenadas U de M cujo complementar tem medida m-dimensional nula, pode definir-se o integral de um campo escalar sobre uma variedade não orientável por meio do integral de f sobre U. 20. plicações do integral de um campo escalar: (i) O volume m dimensional de M é V m (M) = M 1, (ii) s coordenadas do centróide de M são dadas por 1 x i = x i. V m (M) (iii) Se σ : M R + é uma função densidade de massa, a massa de M é dada pelo integral M = σ. (iv) s coordenadas do centro de massa são dadas por x i CM = 1 x i σ. M (v) O momento de inèrcia de M em relação ao eixo l é l = onde d l é a função distância ao eixo. M M M σd 2 l M 21. ntegral de linha de um campo vectorial. Seja M uma variedade-1 em R n com orientação µ e F : M R n. Define-se o integral de linha de F ao longo de M percorrida no sentido determinado por µ pela fórmula F d r = M M µ ω F onde ω F = F 1 dx F n dx n. Se t : M R n é um campo vectorial tangente unitário tal que t(p) µ p para cada p M, tem-se F d r = ( F t) ds. M Se g : ]a, b[ M é uma parametrização compatível com a orientação µ tem-se g(]a,b[) F d r = b a M F (g(t)) g (t)dt. 22. nterpretação física do integral de linha. Se F é um campo de forças e M a trajectória de uma partícula, M F d r representa o trabalho realizado pela força F sobre a partícula ao longo da trajectória. 21

22 23. Fluxo de um campo vectorial através de uma hiper-superfície. Seja M uma variedade-(n 1) em R n e n : M R n um campo vectorial normal unitário. O fluxo de F através de M no sentido dado por n é F ndv n 1 = M M µ Ω F onde Ω F = F 1 dx 2... dx n ( 1) n 1 F n dx 1... dx n 1 e µ denota a orientação de M determinada por n. Como a notação indica, o fluxo coincide com o integral do campo escalar F n sobre M. 24. nterpretação física do fluxo. Se F = ρ v é a densidade de fluxo de um fluido (onde ρ denota a densidade e v a velocidade) então o fluxo de F através de uma superfície M é a quantidade de matéria que atravessa a superfície por unidade de tempo. 25. Se M R n é uma variedade-(n 1) e g : U M é uma parametrização compatível com a orientação induzida pela normal unitária n, tem-se F ndv n 1 = F (g(t)) ( 1 g... n 1 g). g(u) U 26. Um subconjunto M R n é uma variedade-m de classe C k sse para todo o p M existe um aberto U R n contendo p, um aberto V R n contendo 0 e um difeomorfismo de classe C k (isto é, uma função de classe C k com inversa de classe C k ) ϕ: V U tal que ϕ(0) = p e ϕ({x V : x m+1 =... = x n = 0}) = M U. 27. Um subconjunto M R n diz-se uma variedade-m com bordo de classe C k se para cada p M existe um aberto U R n contendo p, um aberto V R m contendo 0 e um difeomorfismo ϕ: V U satisfazendo uma das seguintes condições: (i) ϕ({x V : x m+1 =... = x n = 0}) = M U, (ii) ϕ({x V : x 1 0, x m+1 =... = x n = 0}) = M U. Note-se que pelo teorema da função inversa, as duas condições são mutuamente exclusivas. Os pontos que satisfazem a segunda condição dizem-se os pontos do bordo de M e formam o conjunto M. Os restantes formam o interior de M que se nota Ṁ. 28. Se M é uma variedade-m com bordo, Ṁ é uma variedade-m e M é uma variedade-(m 1). 29. Uma variedade-m com bordo M diz-se orientável se Ṁ o for e nesse caso uma orientação de M é, por definição, uma orientação para Ṁ. O integral de uma forma-m sobre M com orientação µ é definido por ω = ω. M µ Ṁ µ 30. Seja m > 1. Se µ é uma orientação para M, e ϕ : V U é um difeomorfismo como em (ii) na definição de variedade com bordo tal que a parametrização (t 1,..., t m ) ϕ(t 1,..., t m, 0,..., 0) é compatível com a orientação µ (para t 1 < 0), a orientação induzida por µ no bordo M é a orientação determinada pelas parametrizações do bordo (t 2,..., t m ) ϕ(0, t 2,..., t m, 0,..., 0). 22

23 Estas orientações em vizinhanças de coordenadas para M definem de facto uma orientação em M que é ainda denotada por µ. Uma orientação de uma variedade-0 (que é um conjunto de pontos isolados) é uma atribuição a cada ponto de um sinal ±. orientação determinada no bordo de uma variedade-1 C é a atribuição do sinal + a um ponto do bordo para o qual exista um difeomorfismo como em (ii) tal que t 1 ϕ(t 1, 0,..., 0) seja compatível com a orientação dada a C e a atribuição do sinal aos restantes. 31. Se M é uma variedade-n com bordo, (portanto Ṁ é um aberto de Rn ) a orientação induzida pela orientação positiva de M em M é a correspondente à normal a M que aponta para o exterior de M. 32. Se M é uma variedade-2 com bordo em R 3, com orientação dada por uma normal unitária n, a orientação induzida no bordo é dada pela regra da mão direita. 33. Teorema de Stokes: Seja M R n uma variedade-m com bordo compacta e com orientação µ e ω Ω m 1 uma forma de classe C 1 em M. Então dω = ω. M µ M µ 34. Se M é uma variedade-m compacta então M dω = 0. (O símbolo usa-se para recordar que M é fechada, isto é, que não tem bordo.) 35. O Teorema de Stokes diz-nos em particular que Se ω é uma forma-m fechada de classe C 1, podemos deformar a variedade-m M 1 em que estamos a integrar noutra variedade M 2 com o mesmo bordo desde que exista uma variedade-(m + 1) W contida no domínio de ω tal que W = M 1 M 2. Se ω é uma forma exacta de classe C 1 o integral de ω só depende do bordo da variedade de integração e portanto podemos substituir a variedade M 1 em que estamos a integrar por qualquer outra variedade M 2 com o mesmo bordo. 36. O Teorema de Stokes dá-nos imediatamente os seguintes Teoremas fundamentais do cálculo para os integrais de campos vectoriais: (i) Teorema Fundamental do Cálculo para ntegrais de Linha: Se F : U R n R n é um campo gradiente (isto é F = ϕ com ϕ de classe C 1 ) e C U é uma variedade-1 com bordo F d r = ϕ(b) ϕ(a) C onde C = b a. Em particular, o integral de linha de um campo gradiente depende apenas dos pontos inicial e final do caminho de integração. (ii) Teorema da Divergência: Seja V R n uma variedade-n com bordo, e F : V R n um campo vectorial de classe C 1. Então div F = F ndv n 1 V V 23

24 onde n designa a normal exterior a V, e div F = F 1 x F n x n. Para n = 3 o Teorema da divergência chama-se também Teorema de Gauss (ou Teorema de Gauss-Ostrogradsky). (iii) Teorema de Green: Seja R 2 uma variedade-2 com bordo e F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) um campo vectorial de classe C 1. Então Q x P ( ) y dxdy = F d r = P (x, y)dx + Q(x, y)dy onde é percorrido de forma a que esteja sempre à esquerda. (iv) Teorema de Stokes: Seja S R 3 uma variedade-2 com normal unitária n e bordo C, e F: S R 3 um campo vectorial de classe C 1. Então rot F nds = F d r S onde C é percorrido no sentido dado pela regra da mão direita. 37. Lema da localização. Seja U R n um aberto e f : U R uma função contínua. Então 1 f(a) = lim f ɛ 0 V n (B ɛ (a)) 38. nterpretação geométrica da divergência. Se F: U R n é um campo vectorial de classe C 1 div F(a) 1 = lim F ndv n 1 ɛ 0 V n (B ɛ (a)) onde n designa a normal exterior à bola. C B ɛ(a) 39. nterpretação geométrica do rotacional. Se F: U R 3 é um campo vectorial de classe C 1. Se n é um vector unitário, rot F(a) 1 n = lim F d r ɛ 0 πɛ 2 C ɛ B ɛ(a) onde C ɛ é a uma circunferência de raio ɛ centrada em a, no plano perpendicular a n e percorrida no sentido dado pela regra da mão direita. Em particular, rot F(a) aponta na direcção perpendicular ao plano em que a circulação de F é máxima. 40. Seja U R n um aberto e ω Ω 1 (U) uma forma-1 contínua. Então ω é exacta sse uma das seguintes condições equivalentes se verifica. (i) O integral de linha de ω depende apenas dos extremos de integração. (ii) C ω = 0 para cada variedade-1 fechada contida em U. Equivalentemente, um campo vectorial F: U R n é um campo gradiente (ou conservativo) sse o integral de linha depende apenas dos extremos do caminho de integração, sse o integral de F ao longo de qualquer curva fechada se anula. 24

25 41. Seja U R n um aberto. Dois caminhos γ 0, γ 1 : [a, b] U com γ 0 (a) = γ 1 (a) e γ 0 (b) = γ 1 (b) dizem-se homotópicos se existe uma aplicação contínua (dita uma homotopia entre γ 0 e γ 1 ) H : [a, b] [0, 1] U satisfazendo H(t, 0) = γ 0 (t), H(t, 1) = γ 1 (t), H(a, s) = γ 0 (a) = γ 1 (a), H(b, s) = γ 0 (b) = γ 1 (b). 42. Se ω Ω 1 (U) é uma forma-1 fechada, e γ 0,γ 1 são parametrizações de variedades-1 que são homotópicas por uma homotopia de classe C 1, então ω = ω. γ 0 (]a,b[) γ 1 (]a,b[) 43. Um conjunto aberto U R n diz-se simplesmente conexo se é conexo e uma das seguintes condições equivalentes se verifica: (i) Todo o caminho fechado em U é homotópico a um caminho constante. (ii) Dois caminhos em U com o mesmo ponto inicial e final são homotópicos. 44. Se U é simplesmente conexo, uma forma-1 ω Ω 1 (U) é fechada sse é exacta. 45. Teorema (de Rham): Se U R n é um aberto. Uma forma ω Ω m (U) é exacta sse ω = 0 para toda a variedade-m compacta sem bordo M U. M 46. Se U R n é tal que toda a variedade-m compacta sem bordo M U é o bordo de uma variedade-(m + 1) W U, então uma forma ω Ω m (U) é fechada sse é exacta. 7. ntegral de Lebesgue 1. Uma família U de subconjuntos de X diz-se uma álgebra de conjuntos se (i), X U, (ii), B U B U, (iii), B U \ B U, U diz-se uma σ-álgebra se além disso, (iv) n U n=1 n U. 2. Seja U uma álgebra de conjuntos. Uma função φ: U [0, + ] diz-se aditiva se é não constante e para, B U com B = se tem φ( B) = φ() + φ(b). φ diz-se σ-aditiva se para n U com i j = e i=1 i U se tem necessariamente φ( i=1 i ) = φ( i ). i=1 3. Propriedades das funções aditivas. (i) φ( ) = 0, (ii) φ(b) φ() se B, 25

26 (iii) φ( \ B) = φ() φ(b), (iv) φ( B) = φ() + φ(b) φ( B), (v) φ( 1... n ) = φ( 1 ) φ( n ) se i j =. 4. Se U é uma σ-álgebra, n U, com n n+1, e φ: U [0, + ] é uma função aditiva então φ( i i ) = lim φ( i ). 5. medida exterior de Lebesgue de R n é µ () = inf{ V n ( k ): k intervalo aberto, k=1 k}. k=1 6. Propriedades da medida exterior. (i) µ ( ) = 0 (ii) µ (B) µ () se B, (iii) µ () = V n () se é um intervalo, (iv) µ (x + ) = µ () para todo o x R n, (v) µ ( j=1 j) j=1 µ ( j ). 7. diferença simétrica entre dois conjuntos, B é B = \ B B \. 8. Um conjunto R n diz-se mensurável à Lebesgue se para todo o ɛ > 0 existe uma família contável { k } de intervalos abertos tal que µ ( k=1 k) < ɛ. 9. família M dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue formam uma σ-álgebra e a restrição da medida exterior de Lebesgue a M é uma função σ-aditiva chamada a medida de Lebesgue e denotada µ. 10. Seja R n um conjunto Lebesgue mensurável. Uma função f : R diz-se mensurável se para todo o c R, se tem f 1 (], c[) M. 11. s seguintes afirmações são equivalentes (i) Para todo o c R, f 1 (], c[) M, (ii) Para todo o c R, f 1 (], c]) M, (iii) Para todo o c R, f 1 (]c, + [) M, (iv) Para todo o c R, f 1 ([c, + [) M. 12. Propriedades das funções mensuráveis. (i) Uma função contínua é mensurável, (ii) Se f é mensurável e c R, cf é mensurável, (iii) Se f é mensurável, f é mensurável, (iv) Se f n são mensuráveis, então inf f n, sup f n, lim inf f n e lim sup f n são mensuráveis. 26

27 (v) Se f, g são mensuráveis, max{f, g}, min{f, g} e em particular f + e f são mensuráveis. (vi) Se F : R 2 R é contínua e f, g são mensuráveis, então F (f, g) é mensurável. Em particular f + g, f g e fg são mensuráveis. 13. Uma função simples s : R n R é uma função que toma apenas um número finito de valores {c 1,..., c n }. Escrevendo i = s 1 (c i ) temos s = n i=1 c iχ i. Uma função simples é mensurável sse cada i é mensurável. 14. Se s é uma função simples mensurável e R n é mensurável, define-se s = n c i µ( i ) desde que esta soma não contenha infinitos de sinais contrários. i=1 15. Dada f : R, existe uma sucessão s k de funções simples tais que s k (x) f(x) para todo o x. Se f é mensurável podemos escolher s k mensuráveis e se f 0 podemos escolher s k tais que s k (x) seja uma sucessão crescente para todo o x. 16. Se f : R é uma função mensurável não negativa define-se o integral de Lebesgue de f por f = sup{ s: s(x) f(x), s simples e mensurável} [0, + ] Se f : R é mensurável define-se o integral de Lebesgue pela expressão f = f + f [, + ] desde que um dos termos do lado direito seja finito. Se o integral é finito, f diz-se integrável. O conjunto das funções integráveis em designa-se por L(). 17. Critério da comparação. Se f : R é mensurável, f g e g L(), então f L(). 18. Propriedades do integral: (i) f(x) g(x) f g, (ii) f L() sse f () e nesse caso, f f, (iii) Se f é mensurável e limitada e µ() < então f é integrável, (iv) Se µ() = 0 então f = 0 para toda a função f, (v) Se B são mensuráveis e f L() então f L(B) (vi) σ-aditividade do integral: Se f 0 é mensurável e = i=1 i com i mensuráveis e disjuntos dois a dois, temos f = (vii) Se B são mensuráveis e \ B tem medida nula então f = B f para qualquer f L(). i=1 i f. 27

28 19. Teorema da Convergência Monótona: Seja um conjunto mensurável, e f n : R + 0 uma sucessão de funções mensuráveis tais que e seja Então f n (x) f n+1 (x) n, x, f(x) = lim n f n(x). f = lim f n. n 20. Teorema da Convergência Dominada: Seja um conjunto mensurável, e f n : R uma sucessão de funções mensuráveis. Suponhamos que (i) Existe g L() tal que (ii) O limite existe para quase todo o x. Então f L(), e f n (x) g(x) n, x, f(x) = lim n f n(x) f = lim f n. n x L([1, + [) α > 1 e 1 α x L(]0, 1]) α < 1. α 22. Regra de Leibniz: Seja R n mensurável, U R n aberto e f : U R mensurável tal que f(x, y) é integrável para cada y U. Se existe g L() tal que f (x, y) y g(x) para x e y numa vizinhança de y 0, então a função F : U R definida por F (y) = f(x, y) é diferenciável em y 0 e F (y 0 ) = f y (x, y 0). 23. Se f é integrável à Riemann (no sentido generalizado) então f é integrável à Lebesgue e os integrais coincidem. 28