Felipe Expósito Ferreira

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1 APLICAÇÃO DA LÓGICA DO PROBLEMA INVERSO EM TOMADAS DE DECISÃO COM A LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA: UMA INVERSÃO DO MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO (MPD) Felipe Expósito Ferreira Projeto de Graduação Submetido ao Corpo Docente do Curso de Engenharia de Produção da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte integrante dos requisitos necessários para a obtenção do título de Engenheiro de Produção. Orientador: Prof. Renato Flórido Cameira, D.Sc. Rio de Janeiro, RJ Brasil Dezembro, 2017

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3 Expósito, Felipe Ferreira Aplicação da Lógica do Problema Inverso em Tomadas de Decisão com a Lógica Paraconsistente Anotada: Uma Inversão do Método Paraconsistente de Decisão (MPD)/ Felipe Expósito Ferreira Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, XVIII, 54 p.: il.; 29,7cm. Orientador: Renato Flórido Cameira Projeto de Graduação UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia de Produção, Referências Bibliográficas: p Inversão do Método Paraconsistente de Decisão. 2.Método Paraconsistente de Decisão. 3.Problema Inverso. 4.Lógica Paraconsistente Anotada. I. Flórido Cameira, Renato & Alberto Cosenza, Carlos. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia de Produção. III. Aplicação da Lógica do Problema Inverso em Tomadas de Decisão com a Lógica Paraconsistente Anotada: Uma Inversão do Método Paraconsistente de Decisão (MPD). iii

4 Dedicatória Dedico este trabalho a minha Mãe por me ensinar e educar ao longo de toda minha vida, conseguindo fazer em 25 anos o que uns levam toda vida. Dedico ao meu Irmão (André) por me ensinar através do exemplo o que é Paciencia. Por fim, dedico ao falecido Prof. Meirelles que com suas palavras de apoio se tornou um turning point em minha vida. iv

5 Agradecimentos Agradeço a minha família e aos meus professores pelo apoio dado para que esta etapa da minha vida fosse concluída. v

6 As a lightning clears the air of unpalatable vapors, so an incisive paradox frees the human intelligence from the lethargic influence of talento and unsuspected assumptions. Paradox is the slayer of Prejudice. J. J. Sylvester. I predict a time when there will be mathematical investigations of calculi containing contradictions, and people will actually be proud of having emancipated themselves from contradictions. L. Wittgenstein. vi

7 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro de Produção. APLICAÇÃO DA LÓGICA DO PROBLEMA INVERSO EM TOMADAS DE DECISÃO COM A LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA: UMA INVERSÃO DO MÉTODO PARACONSISTENTE DE DECISÃO (MPD) Felipe Expósito Ferreira Dezembro/ 2017 Orientador: Prof. Renato Flórido Cameira, D.Sc. Curso: Engenharia de Produção O estudo tem como objetivo elaborar uma nova ferramenta, através da combinação de alguns algoritmos já estabelecidos. Inicialmnte será apresentado a lógica paraconsistente, uma vez tendo sido apresentada será, então, explicada a sua ferramenta de tomada de decisão advinda da lógica paraconsistente anotada (MPD Método Paraconsistente de Decisão). Também será introduzido o conceito de Problema Inverso e suas aplicações, como não foi encontrado aplicações diretas na Engenharia de Produção serão apontadas possíveis aplicações para tal. Ao combinar MPD com Problema Inverso se tem uma nova forma de se tomar decisão, e do ponto de vista matemático esse novo algoritmo é resolvido através de conceitos básicos de Pesquisa Operacional. Tendo essa nova ferramenta será explicado os seus resultados. Palavras-chave: Lógica Paraconsistente, Problema Inverso, Lógica Paraconsistente Anotada, Quadrado Unitário do Plano Cartesiano. vii

8 Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/ UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Industrial Engineer. APPLICATION OF INVERSE PROBLEM LOGIC ON DECISION MAKING BASED UPON ANNOTED PARACONSISTENT LOGIC: AN INVERSION OF THE PARACONSISTENT DECISION METHOD Felipe Expósito Ferreira December/ 2017 Advisor: Renato Flórido Cameira, D.Sc. Course: Industrial Engineering The objective of this study is to elaborate a new decision making tool, through the combination of two well estabilished algorithms. Firstly it will be presented paraconsistent logic, once this is done, it will be explained a decision making tool based on annoted paraconsistent logic (MPD - Paraconsistent Decision Making Method). Additionally, it will be introduced the concept of Inverse Problem and how its commonly used. Since it was not found a direct application on Industrial Engineering, suggestions were appointed. With the combination of Paraconsistent Decision Making Method and Inverse Problem a new tool of decision making is created and by a mathematical perspective this new algorithm is solved by concepts learned from Operational Research. Keywords: Paraconsistent Logic, Inverse Problem, Annoted Paraconsistent Logic, Square Unit of the Cartesian Plane. viii

9 Sumário Sumário... ix Lista de Figuras... xi Lista de Quadros... xii Lista de Siglas... xiii Capítulo Introdução Descrição dos Capítulos Motivação e Objetivos Motivação para estudar a Lógica Paraconsistente Motivação para estudar o Problema Inverso O porquê de se estudar a Lógica Paraconsistente na Engenharia de Produção O porquê de se estudar o Problema Inverso na Engenharia de Produção 7 Capítulo Fundamentos da Lógica Conceitos Lógicas Ortodoxas Lógicas Heterodoxas Lógicas Paraconsistentes Capítulo Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial Eτ Lógica Paraconsistente Anotada (LPA) Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial Eτ Quadrado Unitário do Plano Cartesiano (QUPC) Nível de Exigência Operadores da Lógica Eτ (Mín e Máx) Operadores da Lógica Eτ (NOT, OR e AND) Capítulo Método Paraconsistente de Decisão Aspectos Gerais Etapas do MPD Fixação do nível de exigência Escolha dos fatores Determinação das seções ix

10 Construção a base de dados Pesquisa de campo Cálculo das anotações resultantes Determinação do Baricentro e a Tomada de decisão Capítulo Problema Inverso Aspectos Gerais Formalização Classificação dos Problemas Inversos Problema Bem Posto Classificação do Problema Inverso obtido pelo MPD Capítulo Aplicando o Problema Inverso no MPD Restrições Modelando o problema para aplicação do Simplex Solução do Simplex Capítulo Conclusão Observações Estudos Futuros Referências Bibliográficas Apêndice I Cadeia de Suprimento aplicado ao Fluxo de conhecimento x

11 Lista de Figuras Figura 1 - Conceito de supply chain aplicado ao conhecimento Figura 2 Reticulado com as possíveis classificações das proposições Figura 3 Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC) Figura 4 QUPC com as classificações das proposições Figura 5 Linha perfeitamente definida (LPD) Figura 6 Representação gráfica do grau de incerteza (G) Figura 7 Linha perfeitamente indefinida (LPI) Figura 8 Representação gráfica do grau de certeza (H) Figura 9 Retas paralelas traçadas com NE = H = G, uma vez NE sendo definido Figura 10 Regiões das classificações das proposições com a defnição do NE Figura 11 Representação gráfica dos operadores Máx e Mín Figura 12 - Representação gráfica do operador Not Figura 13 - Representação gráfica do operador OR Figura 14 - Representação gráfica do operador AND Figura 15 Fluxo da primeira metade do processo do MPD Figura 16 - Fluxo da segunda metade do processo do MPD Figura 17 - Exemplo de aplicação dos operadores no MPD Figura 18 - Representação gráfica do baricentro Figura 19 - Representação do problema direto Figura 20 - Exemplo de fluxo de materias no estudo da logística de cadeia de suprimentos Figura 21 - Fluxo de conhecimento aplicado nas áreas de interesse da Engenharia de Produção xi

12 Lista de Quadros Quadro 1 Disciplinas cursadas e suas respectivas notas Quadro 2 - Tabela dos pesos associados aos seus respectivos fatores Quadro 3 - Seções associadas aos respectivos fatores com seus pesos Quadro 4 - Anotações m associada às Seções S e dadas por cada especialista E Quadro 5 - Situação real tendo definido as Seções Quadro 6 - Anotações que serão dados de entrada para aplicação dos operadores.. 35 Quadro 7 - Resultado final tendo aplicado os operadores Quadro 8 - Classificações do problema inverso Quadro 9 - Dados de entrada do MPD Quadro 10 - Definição dos graus de liberdade Quadro 11 - Definição dos graus de liberdade para um caso geral xii

13 Lista de Siglas FMEA: Failure Mode Effects Analysis MPD: Método Paraconsistente de Decisão LPA: Lógica Paraconsistente Anotada LPD: Linha Perfeitamente Definida LPI: Linha Perfeitamente Indefinida SLP: Systematic Layout Planning VSMFD: Versão Simplificada do Método Fuzzy de Decisão xiii

14 Capítulo Introdução Ao longo da formação de Engenharia de Produção a maioria dos algoritmos e ferramentas de gestão seguem uma lógica direta (dados de entrada geram dados de saída). Por conta disso, sofrem com as limitações de tal abordagem que é usar o passado para inferir sobre o futuro. Tal abordagem é limitada quando há uma necessidade de alterar o cenário onde se está aplicando a ferramenta de gestão. O que acarreta no questionamento se tal limitação pode ser remediada com a utilização de alguma outra ferramenta ou combinação com alguma outra. Esse é o escopo geral desse trabalho, tentar resolver tal problema. Para tal foi pesquisado sobre o Problema Inverso e suas aplicações. Para que nesse trabalho seja feita uma inversão do Método Paraconsistente de Decisão. O Método Paraconsistente de Decisão é uma ferramenta oriunda da Lógica Paraconsistente Anotada. Ao aplicar o Problema Inverso neste método será analisado o resultado, e o que se pode concluir. Este estudo é feito tendo três hipóteses como embasamento para elaboração de tal estudo: i. É possível inverter o Método Paraconsistente de Decisão. ii. iii. A lógica do Problema Inverso pode trazer uma abordagem nova e benéfica para ferramentas de gestão, já estabelecidas. Essa nova abordagem permitirá que se faça planejamento de forma disruptiva do passado. Na elaboração deste estudo foi realizado uma pesquisa bibliográfica já que os conceitos utilizados neste estudo não fazem parte da formação de um Engenheiro de Produção e tendo como principais assuntos: Lógica Paraconsistente e Problema Inverso. É apresentada uma pesquisa experimental em que consiste manipular matematicamente o Método Paraconsistente de Decisão para invertê-la utilizando o material estudado na pesquisa bibliográfica acerca do Problema Inverso como base. Caso as hipóteses sejam comprovadas o estudo do Problema Inverso permitirá que as lógicas por trás das ferramentas de gestão sejam revistas. Além disso, o fato do 1

15 estudo ser sobre a Lógica Paraconsistente permitirá que novos problemas sejam modelados sob essa ótica. Por fim, devido a natureza da lógica paraconsistente garantir a consistência mesmo tendo contradição, sua aplicação em análises já existentes permitirá ferramentas de gestão mais sensíveis. É preciso salientar que por ser um trabalho de conclusão de curso algumas restrições foram necessárias para que seja viável tanto em tempo quanto em escopo. E tal limitação foi feita no Método Paraconsistente de Decisão, tal método é uma ferramenta Qualitativo Quantitativo. A primeira etapa é qualitativa e consiste na (enumeração, quantificação, classificação, restrição). Uma vez passado por esta etapa é feita uma analisa quantitativa dos seus dados, onde é calculado o baricentro. Este estudo aplicará o Problema Inverso sob o ponto de vista matemático, ou seja, assumindo que a etapa qualitativa já foi obtida. Em seguida serão analisados os benefícios que tal abordagem pode trazer. Novamente, será salientado que por conta de ser um trabalho de conclusão de curso haverá uma redução de escopo onde esse algoritmo invertido não será aplicado em situações reais Descrição dos Capítulos Este trabalho foi estruturado com o intuito de estabelecer uma sequência evolutiva lógica e concisa: Capítulo 2 Fundamentos da Lógica: contém os fundamentos básicos referentes à Lógica. Com o objetivo de prepara o leitor para entender com foi originada a lógica paraconsistente. Capítulo 3 Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial: conceitos referentes à um desdobramento da lógica paraconsistente que culminará na explicação do Método Paraconsistente de Decisão. Capítulo 4 Método Paraconsistente de Decisão (MPD): explica o processo de aplicação do MPD. Capítulo 5 Problema Inverso: Apresentação dos conceitos referentes ao Problema Inverso com o objetivo de preparar para sua aplicação no objeto de estudo. Capítulo 6 Aplicação do Problema Inverso no Método Paraconsistente de Decisão. Com sua modelagem e resolução. Capítulo 7 Apresentação das conclusões deste estudo e recomendações para estudo futuros, tanto no sentido de expandir o que foi feito neste 2

16 estudo quanto para disseminar os assuntos aqui abordados (Lógica Paraconsistente e Problema Inverso) Apêndice I Contém explicação de como foi criada a figura, que foi elaborada pelo autor, utilizada no tópico motivação e objetivos 1.3. Motivação e Objetivos Nesta seção serão estudados as razões que explicam a necessidade de se estudar tais temas, ao invés de outros Motivação para estudar a Lógica Paraconsistente O que se quer nesse estudo é estudar um assunto que esteja no estado da arte para tanto foi necessário encontrar um assunto de interesse na área de Gerência da Produção. Para encontrar o assunto, foi utilizado um conceito de supply chain para facilitar na procura do mesmo. Assim como no supply chain há um delay entre o início da cadeia e a ponta da mesma. O mesmo se espera no que tange ao fluxo de informação entre as áreas do conhecimento. Como fica evidenciado na Figura 1 que é explicada no apêndice I. Figura 1 - Conceito de supply chain aplicado ao conhecimento. Em posse dessa informação foi elaborada no Aris Express um sequenciamento lógico do conhecimento de áreas relevantes para a Engenharia de Produção. Tal 3

17 elaboração foi feita usando como base o fluxograma de matérias do curso de graduação da Engenharia de Produção e foram excluídas as áreas referentes a Economia e de desinteresse do autor. Tendo esse fluxo sido elaborado, ele foi dividido em 5 instâncias determinada pela interação com outras áreas e foi traçada uma reta (função tempo). Essa reta serve para poder relacionar os estados da arte de cada área. Dado um tempo t0 em que todas as áreas estarão estudando a fronteira dos seus conhecimentos, mas não necessariamente uma área estará utilizando o estado da arte de outra área para produzir seu conhecimento. Com isso, tal qual o supply chain quanto mais afastado da origem mais tempo se levará para o conhecimento do estado da arte da primeira instancia começar a ser estudada por outra. Tendo feito isso, foi constatado que a Lógica é a área mais afastada da Engenharia de Produção, logo as discussões mais recentes dela são mais prováveis de não terem sido estudadas na Engenharia de Produção. Analisando a Figura 1 percebe-se que tanto a Lógica Paraconsistente quanto o Problema Inverso são temas de áreas anteriores a Engenharia. Isso poderia explicar não serem tão abordadas na Engenharia de Produção. No Instituto de Matemática não há um especialista em lógica e no Departamento de Engenharia Industrial há o Labfuzzy que faz estudos e aplicações da lógica fuzzy. Evidenciando a aplicabilidade de lógicas não-clássicas na Engenharia de Produção. Com isso foi pesquisado sobre lógicas não clássicas e em especial a Lógica Paraconsistente que foi elaborada pelo matemático e filósofo Newton da Costa. Uma vez tendo sido definido o escopo geral, (EXPOSITO, CAMEIRA, 2014) realizaram uma revisão bibliográfica. Nesse estudo foi pesquisado no periódico CAPES o termo paraconsistente logic e percorrido os 801 resultados. Um ano depois a mesma pesquisa foi feita e novos artigos levantados para serem analisados. Com essas pesquisas feitas alguns pólos de estudo da lógica paraconsistente foram descobertas na UFRGS, USP e UNICAMP. Por conta disso foram pesquisadas em seu banco de dados aplicações da lógica paraconsistente na Engenharia de Produção em especial as dissertações de mestrado e teses de doutorado. 4

18 Motivação para estudar o Problema Inverso Uma vez que foi decidido estudar o tema tomada de decisão utilizando a lógica paraconsistente, foi necessário tentar descobrir como levar essa discussão para um outro caminho. É sabido que a maioria dos algoritmos de decisão e ferramentas estudadas no curso de graduação são da ordem direta. Além disso, muitos usam variáveis aleatórias para sua aplicação utilizando conceitos da Estatística para suas inferências. Ao utilizar os conceitos da Estatística, o que se faz é utilizar o passado para conseguir inferir sobre o futuro. Isso é fácil de se ver quando se estuda sobre gestão da manutenção ou quando se estuda gestão de risco operacional. Entretanto, isso traz problema quando se estuda Planejamento Estratégico, ao se utilizar o passado o futuro é projetado e por conta disso haverá limitações quanto a alterações em relação ao passado. Sua principal aplicação é na Engenharia Mecanica, Física e Medicina como apontado nos estudos (BAUMEISTER, LEITÃO,2005, CAMPOS VELHO, 2001, NETO, NETO, 2005). Pouco se estuda na Engenharia de Produção esse tipo de abordagem do problema, mesmo parecendo possuir uma aplicação ampla. Sua aplicação permite que o futuro seja prospectado ao invés de projetado. Possuindo uma maior gama de cenários. O Problema Inverso permite que a estratégia corporativa esteja alinhada com a ação estratégica evitando a dissonância estratégica. Ao mesmo tempo permite que seja estudado de forma mais coerente o ponto de inflexão estratégico (Burgelman, Christensen, Wheelwright, 2009). Isso ocorre porque o estudo do problema inverso tenta responder: O que preciso fazer/ alterar para se ter tal resultado? Analisando a Figura 1, é visto que enquanto a Lógica Paraconsistente vem da área lógica que está mais afastado da Engenharia de Produção, o Problema Inverso advém da Matemática e isso explicaria não ser tão estudada na Engenharia de Produção. 5

19 O porquê de se estudar a Lógica Paraconsistente na Engenharia de Produção A primeira vista uma boa resposta seria compará-la com a lógica fuzzy que é amplamente estudada na UFRJ. Entretanto, essa não seria uma forma digna de abordar nem a lógica paraconsistente e nem a lógica fuzzy. Ao invés disso, será avaliado de maneira geral como as ferramentas de tomadas de decisão são ensinadas no curso de graduação. Todas as ferramentas passam por um estágio de avaliação das variáveis, depois disso elas são classificadas. Tendo feito isso é possível determinar as ferramentas matemáticas que podem ser aplicadas a cada situação. Determinando se a variável é determinística ou probabilística, a análise será qualitativa ou quantitativa ou se será quantitativa, porém subjetiva. Entretanto, isso não é suficiente uma vez que é importante analisar o contexto em que se encontram. Pois isso pode afetar na lógica que deva ser utilizada. E é nesse ponto que as peculiaridades começam a aparecer ao longo de todo curso de graduação da UFRJ a lógica estudada é a clássica. Logo será apontado de maneira genérica a diferença da fuzzy para a paraconsistente no que tange as suas variáveis: Lógica Clássica: cada variável é classificada de forma booleana, classificada como ou 1 (true) ou 0 (false). Lógica Fuzzy: cada variável possui um grau de pertencimento a uma da característica que compreende de [0,1]. Lógica Paraconsistente: cada variável será associado a dois valores: a sendo o grau de evidencias favoráveis e b sendo o grau de evidencias contrárias. Tendo noção disto se faz necessário saber em qual situação que tipo de lógica deva ser empregada. Quebrando com isso a idéia de que uma é melhor que a outra como se fosse tão direto e fácil compará-las. Como é dito por (Carvalho, Abe, 2011) ao comparar os dois métodos MPD (Método Paraconsistente de Decisão) e VSMFD (Solução pela Versão Simplificada do Método Fuzzy) ambas análises estão cercadas de subjetividades na hora de determinar os valores para cada característica. 6

20 É preciso salientar que há uma região de fronteira entre as lógicas e com isso situações onde mais de uma lógica possa ser aplicada. Por isso, que é importante que o engenheiro em questão domine mais de uma lógica para que não tente enquadrar a realidade no modelo teórico que ele domina, e sim, que ele aplique o melhor modelo a realidade que ele estuda. A principal característica da lógica é justamente possuir dois tipos de grau para cada variável. E isso faz com que se aproxime da realidade do dia-a-dia na gestão. Uma vez que não há uma forma determinística para se chegar a uma proposta. E toda a etapa é carregada de evidências que são contrárias ou favoráveis. E isso torna a ferramenta de decisão mais sensível quando comparada por exemplo com a lógica clássica. Isto foi apresentado por (ALBUQUERQUE, KLIEWER, CAMPOS, et al, 2009) onde a ferramenta FMEA (Failure Mode Effects Analysis) _lógica clássica_ foi adaptada para a lógica paraconsistente. A conclusão do artigo foi que para uma mesma situação a FMEA paraconsistente não aceitou o que a FMEA clássica aceitou justamente por ser mais sensível. Além disso no instante que a lógica paraconsistente suporta evidências favoráveis e contrárias, ela permite que o objeto de estudo seja mais próximo do real. A lógica paraconsistente foi aplicada por (BISPO, CAZIRINI, 2006, CARVALHO, 2006, CARVALHO, BRUNSTEIN, ABE, 2003, DA SILVA FILHO, ABE, TORRES, 2006, KRAUSE, 2004) seja na robótica, computação ou como ferramenta de gestão. Enquanto nos estudos (CARVALHO, D OTTAVIANO, 2011, COSTA, BUENO, KRAUSE, 2004) O porquê de se estudar o Problema Inverso na Engenharia de Produção A importância do Problema Inverso aparece pois permite novos tipos de análise. E a melhor forma é apresentar alguns exemplos. Suponha que um aluno precise ter média aritmética das médias das 8 disciplinas que ele estuda no ensino médio para manter a bolsa. Além disso, as médias em cada disciplina não podem ser menor que 1,0. Imagina que esse aluno de tecnológica quer fazer o menor esforço possível para manter essa bolsa. As disciplinas são: Geografia, História, Portugues, Biologia, Educação Física, Matemática, Física e Química. O cálculo das médias com mínimo de esforço seria o equivalente a ter média global 7,0. Acima disso não altera a bolsa. 7

21 8 ( 1 n i ) : 8 = n i = 56 O aluno sabe que se comparecer a todas as aulas de física ele tem média 10, com a idéia de que tem que fazer o mínimo de esforço possível suas médias ficam da seguinte forma: Quadro 1 Disciplinas cursadas e suas respectivas notas. Matérias Nota Geografia 6,0 História 6,0 Biologia 6,0 Portugues 6,0 Matemática x 1 Física x 2 Química x 3 Ed. Física 10 Analisando a Quadro 1 para que o aluno mantenha a bolsa com o mínimo de esforço possível, nas matérias que não gosta, ele deverá ter a seguinte média: 3 ( 1 x i ) + ( ) = x i = 22 A partir desta última equação ele consegue perceber que basta ter média 7,5 nas tecnológicas e não faltar as aulas de Educação Física que ele cumprirá os requisitos. Ao longo das disciplinas da graduação em Engenharia de Produção o aluno se depara com uma série de ferramentas de gestão que são divididas em etapas sequenciais para dar um sequenciamento lógico. Entretanto ao estudar a aplicação de tais ferramentas, é percebido que há superposição entre as etapas e não apenas isso mas ao longo de ambas as etapas é necessário um fluxo constante de informação tanto no sentido direto quanto indireto. Tal fato é percebido no estudo de Planejamento das Instalações ao estudar o Sistema SLP (Systematic Layout Planning): No capítulo 1 há a seguinte passagem: 8

22 Em muitos casos, o trabalho da Fase I envolverá um estudo de localização ou análise de um novo local. Nesses casos o responsável pelo planejamento das fases II e III poderá ou não estar envolvido diretamente na Fase I (MUTHER, 1978, p. 4). Já no capítulo 7 há a seguinte passagem: Obviamente este procedimento não é rígido, já que, mesmo na fase I localização precisaremos ter a área total necessária. [ ] Na prática, durante a Fase I, será necessário entrar constantemente nos domínios da Fase II: muitas vezes teremos que nos aprofundar em considerações detalhadas sobre máquinas, equipamentos, serviços etc. a fim de determinar os requisitos gerais de espaços necessários para a resolução do arranjo físico geral. (MUTHER, 1978, p. 53). Esses dois trechos evidenciam que é comum na Engenharia de Produção a resolução de problemas na forma direta e inversa mesmo que o último não seja devidamente abordado. Caso o Problema Inverso fosse estudado/ avaliado no sistema SLP essas regiões de sobreposições poderiam ser melhor explicitadas e organizadas de forma a tornar mais fácil lidar com quais características devem ser antecipadas. Apesar de ser feito nesse estudo um estudo do problema inverso voltado para a Gerencia da Produção é preciso salientar que foram encontrados aplicações para aplicações em finanças. 9

23 Capítulo 2 Fundamentos da Lógica 2.1. Conceitos A principal fonte bibliográfica no estudo da lógica foi o matemático Newton da Costa que é o principal nome da literatura no que tange a Paraconsistência. Devido a complexidade e a sensibilidade nas definições dos conceitos da lógica, tais conceitos serão apresentados através de citações. Através da revisão bibliográfica foram levantadas algumas definições sobre a lógica. De tal forma que será utilizado os conceitos da lógica segundo (COSTA, 1994). Existem duas formas distintas de se abordar a lógica: a posição dogmática que é uma posição mais rígida e bem definida, em contraponto com a posição dialética que é mais maleável estruturalmente. A definição da posição dogmática segundo da Costa é: 1. O lógico e o racional, em certo sentido, coincidem. Os princípios formais basilares da razão (ou do contexto racional) constituem, na realidade, as leis da lógica (matemática) tradicional. Não se pode derrogar os princípios fundamentais da lógica sem se destruir o discurso ou, pelo menos, sem o complicar desnecessariamente; 2. As leis da lógica (e da matemática) praticamente independem da experiência. Esta pode auxiliar na descoberta ou estruturação das leis lógicas, mas não contribui para as legitimar; 3. Embora os argumentos que são evocados pelos dogmáticos variem, indo desde posições metafísicas (certas formas de platonismo) até posições positivistas (Carnap) ou pragmáticas (Quine, cuja concepção se denomina logicismo pragmático), o certo é que há uma determinada univocidade nas suas interpretações da lógica: existe essencialmente uma única lógica, que pode variar em suas sistematizações possíveis apenas em questões de detalhe. (COSTA, 1994, p.17). A definição da posição dialética segundo da Costa é: 10

24 A concepção dialética, por sua vez, contrasta com a dogmática especialmente porque: 1. Para ela, o lógico e o racional nunca se identificam. O exercício da razão pode se dar através de sistemas lógico-matemáticos distintos, sistemas esses suscetíveis de diferir entre si pela incorporação ou não de alguns princípios centrais da cltamada lógica tradicional; 2. A razão não é auto-suficiente: o sistema lógico que espelha seu exercício depende da experiência, variando de conformidade com os tipos de objetos aos quais se aplica. Mais precisamente, parte da lógica é alicerçada nas interconexões entre a razão e a experiência. Isto significa, noutras palavras, que a experiência contribui para legitimar as normas racionais; 3. Não há uma única lógica. Em princípio, existem várias, todas lícitas do ponto de vista racional. A escolha dentre elas, no contexto da ciência ou de um corpo de doutrina patticular, faz-se mais ou menos como o físico escolhe a geometria que melhor se adapta às suas pesquisas, dentre as diversas geometrias matematicamente possíveis. (COSTA, 1994, p.17-18). A principal diferença entre as duas posturas é que enquanto a dogmática trata a lógica como se possuísse regras imutáveis, onde o experimento não é imprescindível para a prova, como se existisse uma única lógica e tudo que advém da lógica devesse cumprir certos requisitos. Já a posição dialética permite que diferentes sistemas sejam formulados contendo todas as regras ou excluindo algumas, além disso, a razão não é suficiente para legitimar, a experiência é igualmente importante. A partir da revisão bibliográfica se chegou a seguinte conclusão: A lógica é definida como a ciência que estuda as interferências válidas ao mesmo tempo em que a separa da matemática uma vez que há métodos aplicadas nesta que não se aplica àquela. Dando como exemplo a geometria e a lógica onde apesar daquela se valer desta possuem finalidades distintas (COSTA, 1994) (EXPOSITO, CAMEIRA, 2014). Já se definiu as formas de se abordar a lógica e uma definição da lógica em contraponto da Matemática. Onde o objetivo é separar uma da outra, e constatar que a matemática como se conhece hoje foi originada da lógica. O processo em que a Matemática se aproximou na sua forma de se expressar da lógica foi o processo de axiomatização: O método fundamental de codificação e de sistematização das disciplinas dedutivas (isto é, lógico-matemáticas) é o método axiomático. (COSTA, 1994, p. 21). 11

25 E existe duas formas de axiomatização a primária e a secundária, a primeira ocorre quando não se pressupõe nenhuma outra disciplina no processo, enquanto a secundária se faz necessário pressupor outra disciplina. Definindo da seguinte forma: Existem dois níveis de axiomatização: o primário e o secundário. A sistematização de uma disciplina A faz-se, em nível secundário, que é o mais comum, assim: escolhem-se determinadas noções de A, aceitas sem definição, as noções (ou símbolos) primitivos, e certas proposições que relacionam essas noções primitivas de A (e, em alguns casos, também noções de outras ciências imprescindíveis para a fundamentação axiomática de A), aceitas sem demonstração. A reduz-se, então, ao conjunto das conseqüências que, através das leis da lógica, podem ser derivadas das proposições primitivas aceitas (permite-se a introdução de novos símbolos em A, por definição, com a finalidade principal de dar ênfase a idéias importantes ou par. 1 simplificar a exposição). Evidentemente, se a axiomatização de A depender de outras disciplinas, por exemplo de A1, A2,..., An nada impede que se sistematize simultaneamente A1, A2,..., An, de modo que o essencial, na axiomatização secundária, reside na circunstância de se pressupor uma única ciência de base: a lógica subjacente (COSTA, 1994, p.18). Uma vez que a lógica não pressupõe outra disciplina conclui-se que ela é primária enquanto a matemática é secundária. Após a axiomatização de uma disciplina se faz necessário a sua sitematização, que é definida da seguinte forma: [...]escolhem-se símbolos convenientes, e as regras de formação, que explicitam as combinações simbólicas de S dotadas de sentido, bem como as regras de inferência, que nos permitem obter novos arranjos simbólicos a partir de outrosdados, são enunciadas de modo preciso. Então S converte-se numa espécie de jogo grafomecânico, realizado com símbolos fixos e mediante regras bem definidas (COSTA, 1994, p.18). Com a axiomatização e a sistematização da disciplina, ela se torna mais coesa e concisa e com isso facilita o seu estudo tanto na sua fronteira quanto na sua revisão. No instante em que passa a ser estudada a disciplina não só progredirá, mas como também ela será revista/ alterada. E o mesmo ocorre com a lógica, por consequência a ciência 12

26 também, uma vez que ela não é a mesma em relação ao tempo. Tal característica da lógica é apresentada por da Costa: A razão vai evoluindo à medida que a ciência progride. Em grande parte, isto decorre de sua própria autocrítica e das dificuldades com que se defrontam as teorias cientificas para descrever e explocar a realidade. (COSTA, 1994, p.18). Se a razão vai evoluindo à medida que a ciência progride pode-se dizer que a razão se altera ao longo do tempo. E isso possibilita e estimula que conceitos balizados sejam revistos ou confrontados. Outro fator crucial para a alteração da razão ao longo do tempo é sua correlação com o contexto de exposição científica definida por da Costa como: conjunto das produções científicas de diferentes disciplinas na forma que elas se comunicam. Tais contextos estão em conformidade com os conhecimentos da mesma época. Isso garante uma relação de uma com outra de tal forma que com o passar do tempo a ciência progride o conhecimento avança, alterando os contextos de exposição científica e, por fim, altera as leis razão. (COSTA, 1994). Da Costa evidencia a relação da lógica com o tempo da seguinte forma: O sistema total das ciências, em determinado momento histórico t, C t, não é sempre o mesmo, dependendo de t. [ ] Já assinalamos um dos traços marcantes de C t, que é o de C t ser função do tempo. (COSTA, 1994). Tendo demonstrado a relação da ciência com o tempo e evidenciando fatores que a alteram. Surge então a possibilidade de regras ou conceitos balizados serem revistos e alterados. Isso é uma aplicação do conceito que foi apresentado anteriormente que foi a postura dialética em relação à lógica. Esse processo que a ciência passa de forma natural ao longo do tempo é a dialetização sendo definida de modo formal por da Costa da seguinte forma: [...] dialetizar determinada concepção significa apenas questioná-la, reformulá-la, negá-ia mesmo, demonstrando que os pressupostos a ele subjacentes são por demais ingênuos, devendo ser, ou já tendo sido substituídos por outros novos, mais finos e melhor adaptados aos fatos[...] (COSTA, 1994, p.18). Com isso neste estudo os conceitos necessários para começar a discutir a lógica como aplicação para a Engenharia foi apresentado. Sendo necessário definir uma das 13

27 consequências do processo de dialetização na lógica, que foi a criação de lógicas nãoclássicas ou ortodoxa, à qual a lógica paraconsistente pertence Lógicas Ortodoxas A lógicas clássica possui 6 conceitos importantes segundo (Carvalho, Abe, 2011): Regra de Modus Ponens Demonstração ou Prova Teorema Dedução Consequência Sintática Tautologia Teorema da Dedução Para explicar os conceitos citados acima se faz necessário apresentar os símbolos da lógica: : Negação : Conjunção : Disjunção : Implicação : Bi-Implicação Os 6 conceitos importantes da lógica serão apresentados utilizando como base (CARVALHO, ABE, 2011): A,A B Regra de Modus Ponens: se refere a inferência,, que quer dizer: B se A for verdadeiro e A implicar B, então B também será verdadeira Demonstração: sequencia finita de fórmulas tal que ou é um axioma ou foi obtido pela regra modus ponens Teorema: A será chamada de teorema se A = A n. Onde a sequencia de fórmulas (A 1, A 2,, A n ) chama-se demonstração 14

28 Dedução: seja T um conjunto de fórmulas _T = (A 1, A 2,, A n )_. Uma dedução a partir de T é qualquer sequencia finita de fórmulas sendo: ou um axioma, ou pertencente a T, ou foi obtido pela regra de modus ponens Consequencia Sintática: ocorre quando existir uma dedução a partir de um conjunto de fórmulas T. Tal que essa dedução seja igual a uma fórmula. Tautologia: é quando numa fórmula para quaisquer valores da sua tabela verdade esta fórmula será sempre verdade. Sendo sempre falsa se denomina contradição Teorema da Dedução: sendo T um conjunto de fórmulas, A e B duas fórmulas. Se de T e A se deduz B, então de T se deduz A implica B 2.3. Lógicas Heterodoxas As lógicas heterodoxas são uma consequência da postura dialética, e sua criação passa pelo processo de dialetização. De uma forma geral uma lógica não-clássica (ou heterodoxa) surge quando se dialetiza alguma regra da lógica clássica (ortodoxa). Historicamente falando o que inspirou o surgimento de lógica não-clássicas foi o surgimento de geometrias não-euclidianas. Existia a geometria euclidiana, mas com a necessidade dos artistas em fazer obras cada vez mais realistas (proporcionais com a realidade) foi desenvolvido geometrias não-euclidianas. Exemplo prático disso é encontrado quando se estuda paralelismo na geometria euclidiana em que se afirma: duas retas paralelas nunca se cruzam. Entretanto, ao estudar geometria não-euclidiana (um exemplo é quando se estuda proporcionalidade de uma figura em perspectiva) se constata que duas retas paralelas se cruzam no infinito e tal ponto é chamado de ponto de fuga. E com a dialetização do paralelismo foi permitido a abordagem e desenvolvimento das fronteiras do conhecimento. Tal fato serviu como base para a dialetização de regras clássicas e suas aplicações variadas. Segundo (Carvalho, Fábio; Abe, Jair; 2011) há dois grupos de lógicas heterodoxas: Complementa a Revista Clássica Rivaliza a Lógica Clássica Exemplos de Lógicas Heterodoxas que complementam a clássica: 15

29 Lógicas Imperativas: são lógicas que tratam de sentenças definidas em modo imperativo, afetando, com isso, nas regras de inferência. Lógicas Infinitárias: são lógicas que tratam de argumentos infinitamente longas, tal fato, força uma abrangência nas classificações da lógica como, compacto e completo. Lógica Temporais: são lógicas que tratam de sentenças expressas em função do tempo. Exemplos de Lógicas Heterodoxas que rivalizam com a clássica: Lógicas Não-Reflexivas: lógicas que dialetizam o princípio da identidade, restringindo-a. Tal princípio afirma que se A = B e B = C logo A = C. Lógicas Paracompletas: lógicas que dialetizam o princípio do terceiro excluído. Tal princípio afirma que da uma sentença B ou B é verdadeira ou B (não B) é verdadeira. Lógica Fuzzy: lógica que rejeita a o princípio do terceiro excluído citado acima. Isso ocorre no instante em que a lógica fuzzy lida com suas verdades não como se fosse uma característica mas sim pertencimento. Dessa forma ao invés de dizer A = B se diz que A = C, onde C denota um valor entre [0,1] e representa o grau de pertencimento a característica C Lógicas Paraconsistentes A lógica paraconsistente é uma lógica que dialetiza o princípio da nãocontradição que afirma que ambas afirmações C e sua negação C não podem ser verdadeiras simultaneamente, ou seja, ou C ou C será verdadeira. Antes de continuar será analisado esse princípio e seu papel na definição do conceito de trivial (será definido mais adiante). Uma consequência lógica do princípio da não-contradição é que se C e C fossem verdadeiros qualquer afirmação (B) será verdadeira. Isso será apresentado da seguinte forma: I. C e C são verdadeiros II. III. C ou B é verdadeiro Como C é verdadeiro para que II seja,verdadeiro, B tem que ser verdadeiro. 16

30 Uma teoria T é inconsistente se tanto o teorema A quanto A forem teoremas de T. Caso contrário ela é chamada de consistente. Sendo T um subconjunto de F se todas as fórmulas de F são teoremas de T, T é trivial se, e somente se, T = F. Caso contrário, T é não-trivial (Carvalho, Fábio; Abe, Jair; 2011). Para que uma teoria seja paraconsistente é necessário que seja inconsistente e não trivial. Isso se opõe a lógica clássica justamente por sua consequência no princípio da contradição uma vez que dada duas afirmações C e C, nem toda afirmação B será verdadeira. Antes de começar a adentrar no principal tema desse estudo (Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial). Uma lógica C chama-se paracompleta quando ela contradiz o princípio do terceiro excluído no instante em que tanto A e A são falsas. Por fim, uma lógica C não alética tem que ser paraconsistente e paracompleta (Carvalho, Abe, Jair; 2011). 17

31 Capítulo 3 Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial E τ 3.1. Lógica Paraconsistente Anotada (LPA) Os principais nomes que estudam a lógica paraconsistente anotada são Da Casto, Vago, Subrahmanian, Abe e Akama (Carvalho, Abe, 2011). No estudo da lógica paraconsistente anotada foi expandido por sua aplicação em linguagem de programação (Paralog), circuitos elétricos e robótica, com o robô Emmy (DA SILVA FILHO, ABE, TORRES, 2006). No estudo da LPA foi criado um reticulado que é uma forma de classificar cada proposição feita: Figura 2 Reticulado com as possíveis classificações das proposições. A lógica paraconsistente tem como objetivo definir bem suas proposições. A partir da Figura 2 são definidas as seguintes classificações : V: é verdade F: é falsidade T: é inconsistência : é paracompleteza 18

32 Toda afirmação na LPA é do tipo p μ, onde p é a afirmação e μ é uma constante de anotação (Carvalho, Abe, 2011) Lógica Paraconsistente Anotada Evidencial E τ Na LPA Evidencial E τ toda proposição estará associada a uma constante de anotação só que ao invés de ser da forma apresentada anteriormente (p μ ) será da forma (p (a,b) ). A primeira diferença é que a constante de anotação deixou de ser μ e passou a ser (a,b). Tanto o valor de (a) quanto o valor de (b) podem assumit valores entre [0,1]. Seus valores associados a uma proposição p formam a constante de anotação. O significado é: a = grau de evidencia favorável b = grau de evidencia contrária Com isso se tem a representação geométrica para o que foi apresentado: Figura 3 Quadrado unitário do plano cartesiano (QUPC). Adaptado de CARVALHO (2006). A partir da Figura 3 é possível constatar o paralelo com o plano cartesiano on o grau de evidencia contrária (b) assumirá os valores do eixo das ordenadas (y), enquanto o grau de evidencia favorável (a) assumirá os valores do eixo das absissas (x). Como a e b pertencem ao intervalo fechado [0,1], se conclui que o par (a,b) serão pontos contidos no quadrado ABCD. 19

33 A partir da análise geométrica é de se esperar que os vértices possuam propriedades diferentes dos outros ou que representem algo mais características, uma vez que são formados apenas por valores de fronteira. Segue a definição para os pares (a,b): (1,0): representa a verdade (0,1): representa a falsidade (1,1): representa a inconsistência (0,0): representa a paracompleteza Com isso se tem a seguinte representação: Figura 4 QUPC com as classificações das proposições. Adaptado de CARVALHO (2006). A partir da Figura 4 é possível concluir que p (a,b) significa que uma proposição p possui um grau de evidencia favorável a e um grau de evidencia contrária b. Por fim, vale definir que o par (0,5) define para uma proposição, a indefinição. 3.3 Quadrado Unitário do Plano Cartesiano (QUPC) Uma vez tendo delimitado as fronteiras dos possíveis valores de a e b, se analisará as regiões internas desse quadrado unitário quanto a propriedades e determinação de alguns parâmetros de avaliação. Primeiro será observado a linha originida do pontos C e D observada na Figura 5. 20

34 Figura 5 Linha perfeitamente definida (LPD). Adaptado de CARVALHO (2006). O segmento CD é chamado de linha perfeitamente definida (LPD). Isso porque são pontos que estão equidistantes do ponto de inconsistência (B) e de ponto de paracompleteza (A). Imagine agora que fossem traçadas retas paralelas à linha CD. Seria visualizado que quanto mais próximo ou de A ou de B estas retas forem, as incertezas estarão aumentando. Com isso foi definido o seguinte parâmetro Grau de incerteza da constante de anotação (a;b) como: G = a + b - 1 Perceba que LPD, algebricamente falando, é definida quando G = 0. Por saber de antemão que a e b variam entre [0,1], conclue-se que o valor máximo de G é 1 (a = 1; b = 1) e o valor mínimo de G é -1 (a = 0; b = 0). Já foi feito o paralelo entre a e b no quadrado unitário com o x e y no plano cartesiano. Dito isso a equação de G será reescrita para facilitar o entendimento tanto conceitual quanto matemático. G = a + b 1 0 = a + b (1 + G) b = -(a) + (1 + G) Sabe-se que a equação b = -(a) + (1 + G), possui a mesma forma que a equação: y = -(x) + (1 + G) (1 + G) é definido como coeficiente linear da reta, e que alterar apenas o valor do coeficiente linear geometricamente falando o que ocorre é simplesmente na determinação de retas pararelas a reta original. Assumindo que o valor de referencia é G = 0 (LPD). Alterar o valor de G entre [-1,1] significa, portanto, em traçar retas paralelas a reta CD na região interna do quadrado unitário. 21

35 E quanto maior for o valor G mais próximo esta reta estará de B e quanto menor for o valor de G mais próximo de A esta reta será. Tal afirmativa é observada graficamente na Figura 6. Figura 6 Representação gráfica do grau de incerteza (G). Adaptado de CARVALHO (2006). Analogamente, será observado a linha entre os pontos A e B na figura Figura 7. Figura 7 Linha perfeitamente indefinida (LPI). Adaptado de CARVALHO (2006). O segmento AB é chamado de linha perfeitamente indefinida (LPI). Isso porque são pontos que estão equidistantes do ponto de falsidade (D) e de ponto de verdade 22

36 (C). Novamente, imagine que fossem traçados retas paralelas a linha AB seria visualizado, então, retas que quanto mais próximo ou de D ou de C estas retas forem, as incertezas estarão diminuindo. Com isso foi definido o seguinte parâmetro Grau de certeza da constante de anotação (a;b) como: H = a - b Novamente, perceba que LPI, algebricamente falando, é definida quando H = 0. Por saber de antemão que a e b variam entre [0,1], conclue-se que o valor máximo de H é 1 (a = 1; b = 0) e o valor mínimo de H é -1 (a = 0; b = 1). A equação de H será reescrita para facilitar o entendimento tanto conceitual quanto matemático. H = a - b 0 = a - b - H b = a - H Sabe-se que a equação b = a - H, possui a mesma forma que a equação: y = x - H (- H) é definido como coeficiente linear da reta, e que alterar apenas o valor do coeficiente linear, geometricamente falando, gerará retas pararelas a reta original. Assumindo que o valor de referencia é H = 0 (LPI), ao alterar o valor de H entre [-1,1] significa, portanto, em traçar retas paralelas a reta AB na região interna do quadrado unitário. E quanto maior for o valor H mais próximo esta reta estará de C e quanto menor for o valor de H mais próximo de D esta reta estará. A interpretação gráfica de H é observada na Figura 8. 23

37 Figura 8 Representação gráfica do grau de certeza (H). Adaptado de CARVALHO (2006). 3.4 Nível de Exigência Nível de exigência é o parâmetro da regra de decisão da ferramenta lógica paraconsistente anotada, será estudada mais a frente quando for analisado o método paraconsistente de decisão (MPD). O que será definido são as regiões formadas quando se define o nível de exigência. Os parâmetros usados são H e G, portanto sabe-se a priori que as regiões formadas serão limitadas por retas paralelas a LPI e LPD e que quanto maior o valor do módulo de seus valores mais próximas, do vértice, as retas estarão. Ou seja, quanto maior o nível de exigência for fixada, maior é a necessidade de precisão do resultado. O quadrado unitário passa a ter a configuração da Figura 9 quando se traça as retas paralelas. 24

38 Figura 9 Retas paralelas traçadas com NE = H = G, uma vez NE sendo definido. Adaptado de CARVALHO (2006). É observado que o nível de exigência (NE) é definido da seguinte forma: NE = H = G Sendo necessário, agora, a definição das regiões triangulares formadas pelas retas paralelas e os vértices do quadrado, destacadas na figura Figura 10. Figura 10 Regiões das classificações das proposições com a defnição do NE. Adaptado de CARVALHO (2006). A partir da figura as regiões são definidas como: 25

39 DTU = Região de Falsidade CPQ = Região de Verdade AMN = Região de Paracompleteza BRS = Região de Inconsistencia MNTUSRQP = Região de Baixa Definição Além disso as retas (PQ, RS, TU, MN) que separam as regiões bem definidas das regiões de baixa definição, também recebem uma classificação: PQ = linha limite de verdade RS = linha limite de inconsistência TU = linha limite de falsidade MN = linha limite de paracompleteza 3.5 Operadores da Lógica E τ (Mín e Máx) Na lógica E τ cada proposição p é associada a uma constante de anotação (a,b). Na aplicação do método paraconsistente de decisão uma mesma categoria possuirá diversas n anotações p (a,b). Como o cálculo para tomada de decisão é através do baricentro e que é preciso escolher para uma mesma categoria e das n anotações qual será a anotação p (a,b) utilizada no cálculo do baricentro. Para resolver esse problema foram elaborados dois operadores: Máximo e o Mínimo. A forma como se aplica e o porquê de serem empregados no Método Paraconsistente de Decisão serão explicados no próximo capítulo. O operador MÁX tem como objetivo maximizar o grau de certeza, escolhendo o melhor valor para o grau de evidência favorável (a) e o menor valor para o grau de evidência contrária (b). Ou seja, dada uma proposição p e associada a ela se tenha várias anotações formando um conjunto: A = {(a 1 ; b 1 ); (a 2 ; b 2 ); (a 3 ; b 3 )} Ao aplicar o operador MÁX em A, tem como resultado: MÁX (A) = (a máx ; b mín ) 26

40 Já o operador MÍN tem como objetivo minimizar o grau de certeza, escolhendo o menor valor para o grau de evidência favorável (a) e o menor valor para o grau de evidência contrária (b). Ou seja, dada uma proposição p e associada a ela se tenha várias anotações formando um conjunto: B = {(a 1, b 1 ); (a 2, b 2 ); (a 3, b 3 )} Ao aplicar o operador MÍN em B, tem como resultado: MÍN (B) = (a mín, b máx ) Dado duas anotações μ 1 e μ 1 ao aplicar os operadores MÍN e MÁX se tem a representação gráfica da Figura 11. Figura 11 Representação gráfica dos operadores Máx e Mín. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). 3.5 Operadores da Lógica E τ (NOT, OR e AND) O operador NOT, aplicado na constante de anotação, é definido na lógica E τ da seguinte forma: NOT (a;b) = (b;a) Tendo como interpretação geométrica representada na Figura 12: 27

41 Figura 12 - Representação gráfica do operador Not. Adaptado de CARVALHO (2006). O operador OR aplicado a um conjunto de anotações de uma proposição é definido da seguinte forma: Dado um conjunto de anotações C = {(a 1 ; b 1 ); (a 2 ; b 2 ); (a 3 ; b 3 )} Ao aplicar o operador OR em C, tem como resultado: OR (A) = (a máx ; b máx ) O operador OR é também chamado de regra de maximização. Tendo como interpretação geométrica representada na Figura 13: Figura 13 - Representação gráfica do operador OR. Adaptado de CARVALHO (2006). 28

42 O operador AND aplicado a um conjunto de anotações de uma proposição é definido da seguinte forma: Dado um conjunto de anotações D = {(a 1 ; b 1 ); (a 2 ; b 2 ); (a 3 ; b 3 )} Ao aplicar o operador AND em D, tem como resultado: AND (D) = (a mín ; b mín ) O operador AND é também chamado de regra de minimização. Tendo como interpretação geométrica representada na Figura 14: Figura 14 - Representação gráfica do operador AND. Adaptado de CARVALHO (2006). É preciso entender que no MPD diferentes especialistas serão consultados, onde cada um deles dará uma anotação. No instante que se for fazer os cálculos será necessário tratar tais anotações. Os operadores são que uma forma lógica de se tratar as anotações, com o objetivo de se ter como resultado uma única anotação. 29

43 Capítulo 4 Método Paraconsistente de Decisão 4.1. Aspectos Gerais Uma vez apresentado o ferramentário da lógica paraconsistente anotada evidencial, cumpre-se o requisito necessário para se entender o processo de decisão baseada na lógica paraconsistente. Basicamente, o processo é composto de 8 etapas (Carvalho, Fábio; Abe, Jair; 2011) sendo elas representadas na Figura 15 e Figura 16. Figura 15 Fluxo da primeira metade do processo do MPD. Figura 16 - Fluxo da segunda metade do processo do MPD. 4.2 Etapas do MPD Nesta seção cada etapa será abordada com o intuito de permitir que o leitor entenda o MPD como um todo Fixação do nível de exigência O método começa com a fixação do nível de exigência (NE), no instante que isso feita as regiões do quadrado unitário são definidos da seguinte forma: 30

44 NE = 0,6 Com isso se define as regras de decisão do método: i. H 0,6: decisão favorável ii. - 0,6 < H < 0,6: análise não conclusiva iii. H - 0,6 E ao definir a decisão favorável através do nível de exigência, fica definido a região de verdade a partir de (i). Com isso, as linhas limites das regiões bem definidas do quadrado unitário são determinadas da seguinte forma: H = G = 0,6 Concluindo essa etapa com a elaboração do quadrado unitário com suas regiões determinadas Escolha dos fatores A escolha dos fatores nada mais são que a determinação das proposições que serão classificadas por uma constante de anotação em outras palavras, sendo p (a,b) : p : fator (a, b) : classificação do fator Como a regra de decisão é feita através da análise do baricentro dos pontos, é preciso se atentar para o fato de que os n-fatores não terão a mesma influência. Com isso, é bastante razoável que se tenha pesos associados a cada um dos fatores. Tais pesos são determinados com auxílio de especialistas, alguns exemplos: Não há uma relevância relativa entre os fatores, logo P = 1 Há diferença de importância entre os fatores, para cada fator os especialistas atribuirão um valor para o peso. O peso adotado será a média aritmética dos valores atribuídos a um mesmo peso. Há diferença de importância tanto entre fatores quanto na opinião dos especialistas. Nesse caso a priori são definidos pesos para a opinião de cada especialista. Depois os especialistas atribuem os valores dos pesos para cada um dos fatores. E o peso de cada fator será determinado através da média ponderada através dos valores atribuídos pelos especialistas e o peso de suas opiniões. 31

45 Com isso os dados são organizados, conforme a Quadro 2: Quadro 2 - Quadro dos pesos associados aos seus respectivos fatores. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos F 1 P 1 F 2 P 2 F 3 P 3 F 4 P Determinação das seções Uma vez tendo definido os fatores e seus respectivos pesos se faz necessário dividir cada fator em subespaços para que fique mais fácil a análise por parte dos especialistas na hora de determinar as constantes associadas para cada fator. As seções são geralmente subdivididas em 3 regiões, mas as vezes são feitas divisões em 5 regiões, será dado um exemplo de subdivisão em 3 regiões: Sendo F i dividido em 3 regiões S i,j, (S i,1 ; S i,2 ; S i,3 ), onde i significa o fator a qual a qual aquela seção se refere, e sendo L k os valores assumidos pelos fatores e que servem como limitantes às regiões (S i,1 ; S i,2 ; S i,3 ). Onde L 1 separa as regiões S i,1 e S i,2, e L 2 que separa as regiões S i,2 e S i,3. As regiões são determinadas matematicamente da seguinte forma para os F i fatores: S i,1 : para valores F i < L 1 S i,2 : para valores L 1 < F i < L 3 S i,3 : para valores F i > L 3 Tais divisões de cada fator devem ser realizadas com auxílio de um grupo de especialistas. Não é necessário que todos os fatores tenham um mesmo número de seções uma vez que isso não alterará a matriz final que expressará a realidade e com isso não afetará no cálculo do baricentro. Além disso, as seções devem ser divididas com o pensamento de classifica-las, exemplo para três seções: Uma seção será classificada como favorável Uma seção será classificada como indiferente 32

46 Uma seção será classificada como desfavorável No caso de 5 seções seriam adicionadas mais 2 seções e suas classificações seriam muito favorável e muito desfavorável. Com isso os dados são organizados como apresentado na Quadro 3: Quadro 3 - Seções associadas aos respectivos fatores com seus pesos. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções S 1,1 F 1 P 1 S 1,2 S 1,3 S 2,1 F 2 P 2 S 2,2 S 2,3 S 3,1 F 3 P 3 S 3,2 S 3,3 S 4,1 F 4 P 4 S 4,2 S 4, Construção a base de dados Tendo definido o (peso) para o cálculo do baricentro e (fatores, seções) para a definição do p de p (a,b), resta agora definir (a, b) que é a constante de anotação. Para tal, a fim de facilitar na interpretação e finalização da tabela de dado será feita a seguinte igualdade: Cada constante de anotação (a, b) associado a uma seção de um fator, será representada na tabela da seguinte forma m i,j,e. Representando o par (a, b) do fator i, da seção j, classificada pelo especialista e. Tal classifição das seções de cada fator será dada por cada especialista, através de entrevista. Tendo feito isso a Quadro 3 será completada e assumirá a forma da Quadro 4. 33

47 Quadro 4 - Anotações m associada às Seções S e dadas por cada especialista E. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções E 1 E 2 E 3 E 4 S 1,1 m 1,1,1 m 1,1,2 m 1,1,3 m 1,1,4 F 1 P 1 S 1,2 m 1,2,1 m 1,2,2 m 1,2,3 m 1,2,4 S 1,3 m 1,3,1 m 1,3,2 m 1,3,3 m 1,3,4 S 2,1 m 2,1,1 m 2,1,2 m 2,1,3 m 2,1,4 F 2 P 2 S 2,2 m 2,2,1 m 2,2,2 m 2,2,3 m 2,2,4 S 2,3 m 2,3,1 m 2,3,2 m 2,3,3 m 2,3,4 S 3,1 m 3,1,1 m 3,1,2 m 3,1,3 m 3,1,4 F 3 P 3 S 3,2 m 3,2,1 m 3,2,2 m 3,2,3 m 3,2,4 S 3,3 m 3,3,1 m 3,3,2 m 3,3,3 m 3,3,4 S 4,1 m 4,1,1 m 4,1,2 m 4,1,3 m 4,1,4 F 4 P 4 S 4,2 m 4,2,1 m 4,2,2 m 4,2,3 m 4,2,4 S 4,3 m 4,3,1 m 4,3,2 m 4,3,3 m 4,3, Pesquisa de campo Uma vez tendo determinado todos valores dos fatores e seções com suas respectivas constantes de anotação. Deve ser feita uma análise real do que se está estudando, seguindo os passos: i. Para cada fator será determinado em que seção se encontra ii. Utilizando a tabela anterior como base são anotados os valores m i,j,e associada a seção na qual o fator se encontra Com isso a tabela situação real terá a forma da Quadro 5: Quadro 5 - Situação real tendo definido as Seções. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções E 1 E 2 E 3 E 4 F 1 P 1 S 1,j m 1,j,1 m 1,j,2 m 1,j,3 m 1,j,4 F 2 P 2 S 2,j m 2,j,1 m 2,j,2 m 2,j,3 m 2,j,4 F 3 P 3 S 3,j m 3,j,1 m 3,j,2 m 3,j,3 m 3,j,4 F 4 P 4 S 4,j m 4,j,1 m 4,j,2 m 4,j,3 m 4,j,4 34

48 Cálculo das anotações resultantes Uma vez tendo definido as situações reais do contexto de estudo, deve ser determinado qual será o valor final associado aos (Fatores e Seções). Uma vez que será utilizado para o cálculo do baricentro apenas 1 valor associado aos (Fatores e Seções). 6. Com isso será necessário trabalhar em cima dos valores destacados da Quadro Quadro 6 - Anotações que serão dados de entrada para aplicação dos operadores. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções E 1 E 2 E 3 E 4 F 1 P 1 S 1,j m 1,j,1 m 1,j,2 m 1,j,3 m 1,j,4 F 2 P 2 S 2,j m 2,j,1 m 2,j,2 m 2,j,3 m 2,j,4 F 3 P 3 S 3,j m 3,j,1 m 3,j,2 m 3,j,3 m 3,j,4 F 4 P 4 S 4,j m 4,j,1 m 4,j,2 m 4,j,3 m 4,j,4 Para se determinar os valores é necessário fazer algumas observações. As opiniões dos especialistas não são igualmente relevantes, uns terão uma relevância maior que outros e igual a uns outros especialistas. Com isso pode vir a ser necessário dividir os especialistas quanto a relevância de sua opinião. Para trabalhar os valores serão utilizados os operadores lógicos (NOT, MÍN, MÁX, OR, AND) só que neste capítulo será apontado em que situações utilizar cada um dos operadores para resolver o presente problema. No final desta seção serão apresentados alguns exemplos de fluxograma na aplicação dos operadores. Apesar de serem diferentes os aplicadores (MÍN, AND) são aplicados quando dois ou mais itens são todos determinantes sendo indispensável que todos apresentem condições favoráveis para que se possa considerar o resultado da análise satisfatório. Enquanto os aplicadores (MÁX, OR) são aplicados quando dois ou mais itens não são todos determinantes todos determinantes bastando apenas que apenas um deles tenha condição favorável para se considerar satisfatório. Na Figura 17 se tem um exemplo de como as opiniões dos especialistas são organizadas. Para que sejam definidos quais operadores aplicar, ao fim do roteiro o resultado será uma única anotação para cada fator. Permitindo que seja calculado o baricentro e tomado a decisão. 35

49 Figura 17 - Exemplo de aplicação dos operadores no MPD. Adaptado de CARVALHO (2006) Determinação do Baricentro e a Tomada de decisão Uma vez determinado todos os parâmetros necessários para o cálculo do baricentro, será obtido a Quadro 7, onde (a i,r ; b i,r ) significa o resultado da aplicação dos operadores em relação ao fator i: Quadro 7 - Resultado final tendo aplicado os operadores. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções Anotação F 1 P 1 S 1,j (a 1,R ; b 1,R ) F 2 P 2 S 2,j (a 2,R ; b 2,R ) F 3 P 3 S 3,j (a 3,R ; b 3,R ) F 4 P 4 S 4,j (a 4,R ; b 4,R ) Utilizando a coluna dos Pesos e das Anotações é possível calcular o Baricentro (a w ; b w ) da seguinte forma: a w = 4 (P i) 1.(a i,r ) 4 P i 1 b w = 4 (P i) 1.(b i,r ) 4 P i 1 36

50 Tal resultado é observado na Figura 18, onde o baricentro está sendo representado com seu valor H = a b, o seguinte resultado: Figura 18 - Representação gráfica do baricentro. Adaptado de CARVALHO (2006). Uma vez tendo os valores de (a w ; b w ), resta apenas calcular: H w = a w - b w Onde H w é o grau de certeza do baricentro calculado. Restando, agora, apenas a comparação com o nível de exigência (NE) seguindo as regras já citadas: i. H w NE: decisão favorável ii. iii. - NE < H w < NE: análise não conclusiva H - NE 37

51 Capítulo 5 Problema Inverso 5.1. Aspectos Gerais Para falar sobre problema inverso será feita uma analogia: a média do rendimento de um aluno é calculado a partir da média aritmética, ou seja, (A + B) / 2 = M. A partir daqui, há duas formas de abordar essa modelagem: Direta: tendo A e B como informações de entrada e o M como saída. Qual a minha média? Inversa: tendo M como informações de entrada e A e B como saída. Quais tem que ser minhas notas para ser ter a média M? É preciso salientar que essa separação entre direto e inverso não é algo trivial e nem essencial. [...] não há razão matemática que justifique a distinção entre problemas inversos e diretos. De fato, como observou J. Keller [24], o conceito adequado é dizer que dois problemas são inversos entre si se a formulação de cada um deles envolve parte ou toda a solução do outro. Normalmente, o que surgiu primeiro é chamado de problema direto, enquanto o outro é chamado de problema inverso. (Neto, Neto, 2005). O que pode gerar uma dúvida em relação a relevância neste tipo de abordagem, e uma ótima forma de exemplificar a aplicação dessa abordagem foi na descoberta do planeta Netuno como explicado por Neil Degrasse Tyson no podcast Joe Rogan Experience: [ ] na Caltech, eles encontraram esses objetos no Kuiper Belt de corpos geladosem que Plutão era um membro, foi feita um controle do movimento e você diz: Ok, se eu adicionar toda a gravidade que afeta eles, deveria fazer com que eles se movessem dessa forma. Mas eles não fazem isso, eles se movem em outra direção, de outra forma. Então ou as Leis Newton aplicadas à gravidade estão falando nos confins do 38

52 Sistema Solar ou existe um objeto que sua gravidade de estar de acordo com o movimento destes objetos. Então eles dizem: Vamos assumir que Newton está certo, que objeto deve ser colocado lá?, a que distância? E qual tamanho? para influenciar no movimento desses objetos no Kuiper Belt para a forma que observamos. [ ] Então, agora nós temos programas avançados com modelagem de alta precisão, e eles dizem que deve haver um planeta em algum lugar neste arco do céu, vamos procurar por isto. Porque nós achamos que está afetando a órbita desses outros objetos. E essa é uma forma completamente nobre de se descobrir um planeta, foi assim que Netuno foi descoberto [ ] (ROGAN, 2017, 33:44). Nesse trecho se percebe a aplicação da lógica do problema inverso onde o objetivo foi encontrar qual o dado de entrada (distância e tamanho) para que se tenha o resultado esperado. Mas qual o benefício de se estudar/ aplicar a lógica do problema reverso na Engenharia de Produção? As principais ferramentas matemáticas ensinadas são fruto da Otimização ou Estatística. E essas ferramentas são ótimas para se utilizar do passado para decidir o futuro. Inclusive, o fato de usar dados estatísticos como base para tomada de decisão acaba se tornando um entrave quando se estuda em Planejamento Estratégico ponto de inflexão. Isso permite que ao utilizar as ferramentas de gestão a pergunta: O que precisa ser feito para que o resultado seja melhorado?. Posso ser feito, e não apenas isso, uma vez algoritmizado permite que essa resposta possa ser otimizada. Oferecendo aos Engenheiros de Produção, não apenas ferramentas relacionadas ao passado mas, também, ferramentas que permitem planejamento e mudanças relacionadas ao futuro Formalização Problema inverso será abordado de uma forma mais formal, matematicamente falando. Uma representação gráfica é vista na Figura 19: 39

53 Figura 19 - Representação do problema direto. Adaptado de BAUMEISTER, LEITÃO (2005). Há os dados de entrada, os parâmetros da transformação que os dados de entrada passarão, resultando nos dados de saída. Com isso se tem a primeira formalização (artigo do impa simpósio): A(p).x = y Sendo, X = espaço dos dados de entrada Y = espaço dos dados de saída P = espaço do sistema de parâmetros Classificação dos Problemas Inversos A partir disso é possível formular 3 tipos de problemas: i. Tendo (x X) e (p P), calcule y. Através da equação A(p).x = y ii. iii. Tendo (y Y) e (p P), calcule x X, para que exista a relação A(p).x = y Tendo (y Y) e (x X), calcule p P, para que exista a relação A(p).x = y O problema (i) é chamado de problema direto em que dado os dados de entrada e o sistema de parâmetros os dados de saída são calculados. Já os problemas (ii) e (iii) são chamados de Problema Inverso. O problema Inverso se classifica em dois tipos: Problemas de reconstrução: dado o sistema de parâmetros e os dados de saída, são encontrados os dados de entrada que produziriam os dados de saída 40

54 Problemas de identificação: dado os dados entradas e os dados de saída, deve ser encontrado o sistema de parâmetro que relaciona um com o outro Além disso há outras formas de se classificar um problema inverso quanto: Natureza matemática do método: Explícito, Implícito Natureza estatística do método: Determinista, Estocástico Natureza da propriedade estimada: condição inicial, condição de contorno, termo de fonte, propriedades do sistema Natureza da Solução: estimação de parâmetros, estimação de função Há também a classificação dada por (Neto, Neto, 2005) onde um problema inverso pode ser classificado em três tipos: I. Estimação de um número finito de parâmetros em um modelo de dimensão finita II. III. Estimação de um número finito de parâmetros em um modelo de dimensão infinita Estimação de um número infinito de parâmetros ou de uma função em um modelo de dimensão infinita Tais classificações podem ser resumidas na forma da Quadro 8. Quadro 8 - Classificações do problema inverso. Adaptado de NETO, NETO, (2005). Dimensão do Modelo Estimação de Quantidade Finita Infinita Finita Tipo I Não se aplica Infinita Tipo II Tipo III Problema Bem Posto O conceito de problema bem-posto foi definido por Jacques Hadamard onde para que seja bem posto, deve cumprir três condições: I. Existência: o problema possui solução II. III. Unicidade: o problema possui uma única solução Estabilidade: a solução depende suavemente dos dados 41

55 É preciso reparar que Hadamard fez essa definição não para a resolução de problemas inversos, mas sim para o estudo de equações diferenciais. Entretanto, devido a sua utilidade foi expandido para outros tipos de problemas. Em sua maioria os problemas inversos são mal postos: Se há problemas diretos que não possuem solução é de se esperar que existam problemas inversos que não tenham solução (não cumpre I). Para discutir os problemas que não cumprem o quesito da unicidade (não cumpre II), será utilizado um exemplo: Dado o problema direto 2x + 4 = 0, x = 2, é possível obter o seguinte problema inverso: ax + b = 0, sendo x = 2. Conclui-se que há infinitas soluções, uma vez que há uma equação (a.2 + b = 0) para duas variáveis. Por fim, quanto a estabilidade um ótimo exemplo de um problema que não cumpra é a equação do segundo grau: ax 2 2x + 1 = 0 Onde para a = 1, x 1 = x 2 = 1. Adicionando um valor de 1% em a, se conclue que as raízes serão complexas. O que faz com que não cumpra o quesito de estabilidade Classificação do Problema Inverso obtido pelo MPD A partir do que foi apresentado se constata que, matematicamente falando, o MPD é aplicado utilizando como dados de entrada a Quadro 9. Quadro 9 - Dados de entrada do MPD. Fatores Pesos Seções Anotação F 1 P 1 S 1,j (a 1,R ; b 1,R ) F 2 P 2 S 2,j (a 2,R ; b 2,R ) F 3 P 3 S 3,j (a 3,R ; b 3,R ) F 4 P 4 S 4,j (a 4,R ; b 4,R ) Dado um conjunto de dados é calculado o baricentro utilizando as colunas (Pesos) e (Anotação). Tentar inverter o MPD é procurar Anotações que gerem o baricentro desejado. Com isso, se constata que o problema inverso [A(p).x = y] é do tipo de reconstrução, porque: 42

56 y é o baricentro; A(p) é o sistema de parâmetros (coluna pesos e parte determinada da coluna anotação). O que se quer determinar são algumas anotações da coluna anotação. O problema inverso é explícito, uma vez que as fórmulas para o cálculo do baricentro são invertíveis (utilizando matemática elementar tal fato será provado no próximo capítulo). E não há restrição em relação ao domínio uma vez que não é possível ter somatório dos pesos serem iguais a zero, já que se P i = 0 o fator F i será desconsiderado. Além disso, o problema é determinístico uma vez que tanto x e y são restritos as são anotações do tipo (a;b) onde a e b pertencem ao intervalo [0,1]. E esse problema inverso possue condições de contorno uma vez que não se quer determinar toda a coluna anotação que gera o baricentro conhecido. Mas, sim, determinar parte da coluna anotação, a outra parte se comportorá como condição de contorno. 43

57 Capítulo 6 Aplicando o Problema Inverso no MPD 6.1. Restrições É preciso notar que o Problema Inverso aplicado ao MPD será acompanhado de algumas restrições. Primeiro, que o Problema Inverso será aplicado ao MPD no instante em que já foi obtido a tabela com os dados necessários para se calcular o baricentro. Ou seja, depois de terem sido aplicados os operadores (MÍN, MÁX, OR, AND). Com isso os dados estarão no formato da Quadro 10: Quadro 10 - Definição dos graus de liberdade. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções Anotação F 1 P 1 S 1,j (a 1,R ; b 1,R ) F 2 P 2 S 2,j (a 2,R ; b 2,R ) F 3 P 3 S 3,j (a 3,R ; b 3,R ) F 4 P 4 S 4,j (a 4,R ; b 4,R ) F 5 P 5 S 5,j (a 5,R ; b 5,R ) F 6 P 6 S 6,j (a 6,R ; b 6,R ) F 7 P 7 S 7,j (a 7,R ; b 7,R ) F 8 P 8 S 8,j (a 8,R ; b 8,R ) F 9 P 9 S 9,j (a 9,R ; b 9,R ) F 10 P 10 S 10,j (a 10,R ; b 10,R ) F 11 P 11 S 11,j (a 11,R ; b 11,R ) F 12 P 12 S 12,j (a 12,R ; b 12,R ) Os dados destacados em vermelho são os dados que se quer obter ao final da resolução. Já os dados azuis são as condições de contorno, são condições conhecidas e medidas. Os dados em vermelho representam os dados que se deseja otimizar a fim de que regra de decisão venha a aceitar a hipótese. 44

58 A fim de que não fique muito complexo a análise foi adicionada a restrição de que os dados que serão otimizados tem que ser menor que 40% do total de dados no cálculo do baricentro: I = 0,3 = 30%; como, 30% < 40% II. 4 (4) + (8) = 0,3 = 30%; como, 30% < 40% No (I) foi calculado utilizando o total de dados que se deseja obter, dividido pelo total de dados. Enquanto no (II) substituiu o total de dados pela soma de dados que se obter com o total de dados de contorno. Como o problema inverso é aplicado depois da aplicação dos operadores lógicos, as informações referentes à F (Fatores), P (Pesos) e S (Seções) são conhecidos. Dito isso, as equações serão preparadas para a inversão. a w = n (P i) b w = n (P i) 1.(a i,r ) n 1 P i 1.(b i,r ) n 1 P i Sabe-se que as equações acima são para o cálculo das coordenadas do baricentro, reescrevendo-as com os valores da tabela: 8 (a w ).( 12 1 P i ) = [ 1 (P i ). (a i,r ) (P i ). (a i,r )] 12 9 (P i ). (a i,r ) = (a w ).( 12 1 P i ) - 1 (P i ). (a i,r ) Fazendo o mesmo b w : 8 (b w ).( 12 1 P i ) = [ 1 (P i ). (b i,r ) (P i ). (b i,r )] 12 9 (P i ). (b i,r ) = (b w ).( 12 1 P i ) - 1 (P i ). (b i,r ) Uma vez tendo feito isso é necessário generalizar essa inversão sob a forma da tabela Quadro

59 Quadro 11 - Definição dos graus de liberdade para um caso geral. Adaptado de CARVALHO,ABE (2011). Fatores Pesos Seções Anotação F 1 P 1 S 1,j (a 1,R ; b 1,R ) F 2 P 2 S 2,j (a 2,R ; b 2,R ) F 3 P 3 S 3,j (a 3,R ; b 3,R ) F 4 P 4 S 4,j (a 4,R ; b 4,R ) F 5 P 5 S 5,j (a 5,R ; b 5,R ) F 6 P 6 S 6,j (a 6,R ; b 6,R ) F N P N S N,j (a N,R ; b N,R ) F N+1 P N+1 S N+1,j (a N+1,R ; b N+1,R ) F N+2 P N+2 S N+2,j (a N+2,R ; b N+2,R ) F n P n S n,j (a n,r ; b n,r ) Com isso as fórmulas da inversão de a w e b w : n N+1 (P i ) n N+1 (P i ). (a i,r ) = (a w ).( n P i. (b i,r ) = (b w ).( n P i 1 ) - N 1 (P i ). (a i,r ) 1 ) - N 1 (P i ). (b i,r ) Uma vez tendo generalizado o cálculo do baricentro isso responde a pergunta dado um baricentro conhecido e algumas anotações conhecidas qual deve ser o valor das anotações desconhecidas. Entretanto, o MPD tem como regra de decisão H NE (onde Nível de Exigência é um valor conhecido). Por consequência, a inversão do MPD passa por responder qual deve ser o valor das anotações desconhecidas para que o valor de H = (a w - b w ) NE. E resolver tais problemas significa resolver um problema de Pesquisa Operacional utilizando o Simplex Modelando o problema para aplicação do Simplex Função que se quer maximizar é: H = a w - b w Para que MPD tome uma decisão favorável é necessário que H NE (constante determinada a priori), logo se obtém a primeira restrição: I. a w - b w NE 46

60 Agora serão definidas as constantes do problema: P i, para qualquer i [1, n] é uma constante. a i, b i, para qualquer i [1, N] é uma constante. NE é uma constante. A segunda restrição e terceira se baseiam no fato de toda anotação está restrita ao quadrado unitário. é: A segunda restrição (na verdade é uma família de restrições por conta do índice i) II. 0 a i 1, para qualquer i [N + 1, n] é: A terceira restrição (na verdade é uma família de restrições por conta do índice i) III. 0 b i 1, para qualquer i [N +1, n] Com isso o problema simplex está formulado. No apêndice II estará explicado melhor a solução simplex. Uma vez que quando há variável negativa na função objetivo (H = a w - b w ), é necessária uma alteração nas restrições trocando por = e adicionar uma variável de folga x i, e quando for substituir por = e subtrair uma variável de folga x i Solução do Simplex No caso geral o Simplex possui 3 tipos de soluções: Uma única solução Infinitas soluções Não há soluçõa Pelo fato do problema inverso aplicado no MPD ser mal-posto, critério da unicidade não ser satisfeito, não há uma única solução. Restando, apenas, os dois últimos casos. Afirmar que não há solução é uma solução logicamente forte, e mais fácil de trabalhar. Isso quer dizer que para aquelas condições de contorno não há valor que suas variáveis possam assumir e que cumpra as restrições impostas. Do ponto de vista de gestão tal solução força o gestor a analisar as condições de contorno o que pode 47

61 estimular a uma mudança de realidade. Uma vez que as condições de contorno foram definidas como constantes justamente por serem mais difíceis de serem alteradas. Já a afirmação de que há infinitas soluções encontra uma dessas soluções. Não é o método mais refinado pois não entrega o melhor desses resultados. Entretanto, funciona como parâmetro de norteamento para saber o quanto se precisa alterar em relação ao seu valor inicial para que a decisão do MPD seja favorável. 48

62 Capítulo 7 Conclusão 7.1. Observações A solução obtida permite que se expanda a análise do método paraconsistente de decisão. Uma vez que a análise não irá parar na decisão de ser, ou não, favorável, mas sim, que medidas poderão ser tomadas para que a decisão seja favorável. Fazendo com que o MPD não seja, apenas, uma ferramenta pontual/ discreta mas sim contínua. Já que há um fluxo fechado no instante que se há uma análise inversa do MPD. Além disso, na aplicação do MPD há um conhecimento prévio dos fatores, seções dos fatores, especialistas, suas anotações, natureza do empreendimento e contexto em que se aplica. Tal fato, permite que novas restrições sejam adicionadas ao simplex, onde dão uma relação de proporcionalidade entre as anotações. A análise do resultado da inversão do MPD permite que alguns raciocínios sejam aplicadas. O fato de a inversão poder não ter um resultado é facilmente verificado, uma vez que se quer H = a b > NE. Basta assumir que as variáveis possuem anotação (1;0), ou seja, H de cada anotação é máximo. Se mesmo assim H < NE então quer dizer que é impossível daqueles sistema ser resolvido. O que leva a um tipo de atitude: uma vez que a idéia da inversão, é ser aplicada a uma análise que não tenha dado certo. A primeira atitude a se tomar é aumentar o número de graus de liberdade (fazendo com que o sistema tenha mais incógnitas), com isso há a possibilidade da contribuição máxima das novas variáveis fazerem com H > NE. Garantindo que o sistema tenha ao menos uma solução. É preciso salientar que em casos reais pode não ser possível aumentar graus liberdade pois não são todas as variáveis ou parâmetros que afetam o resultado são controlados pelo engenheiro. Caso mesmo aumentando o número de graus liberdade para o limite máximo (permitido pela realidade do contexto) a proposta seja recusada (H < NE) pode ser 49

63 afirmada que aquele contexto está fadado ao fracasso. Isso só pode ser dito pois a rejeição da proposta é um resultado mais forte, logicamente falando. Fazendo uma análise do resultado onde as anotações máximas são soluções, busca-se agora qual os valores mínimos das variáveis que façam H > NE. É preciso saber que como o problema é mal posto há (menos equações que variáveis) infinitas soluções. Logo, o resultado servirá como um guia sobre possíveis mudanças para que se cumpra o requisito H > NE. Entretanto, há a possibilidade de se ter uma solução matemática e na esfera real aquele resultado não poder ser atingido. Um exemplo é não ter como fazer alterações para que o empreendimento assuma os valores calculados. Por fim, o estudo conclue que as três hipóteses apresentadas são verdadeiras. i. É possível inverter o Método Paraconsistente de Decisão. ii. iii. A lógica do Problema Inverso traz uma abordagem nova e benéfica para ferramentas de gestão, já estabelecidas. Esse novo algoritmo permitirá que se faça planejamento de forma disruptiva do passado. A hipótese i foi demonstradas e teve seus resultados analisados. Quanto a hipótese ii: o Problema Inverso, aplicado ao MPD, permite que se analise um empreendimento e consiga separar os empreendimentos, entre os que podem vir a ser aceitos e os que em hipótese alguma conseguirão ser aceitos. No instante que se faz uma análise de qual valor o meu contexto atual precisa assumir para que a proposta seja aceita (H > NE). Esse contexto calculado e novo pode, ao ser confrontado com o contexto atual, tão diferente que exiga mudanças disruptivas para que o empreendimento (um exemplo) seja bem sucedido Estudos Futuros Para estudos futuros é sugerido uma análise da literatura com o intuito de avaliar se há um algoritmo melhor ou mais refinado para resolver o problema invertido. Além disso, há também a possibilidade de se melhorar o algoritmo empregado adicionando restrições obtidas de uma abordagem diferente do problema. 50

64 Referências Bibliográficas ALBUQUERQUE, A. R., KLIEWER, J. B., CAMPOS, I. P. A., et al., 2009, Risk evaluation supported by annotated paraconsistent logic: a study of a vehicle manufacturer, Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering, v. 32, n. 1, (Jan ), pp BAUMEISTER, J., LEITÃO, A., 2005, Topics in Inverse Problems. 25 Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. Disponível em: < >. Acessado em: 09/12/2017. BISPO, C., CAZARINI, E., 2006, Avaliação Qualitativa Paraconsistente do Processo de Implantação de um Sistema de Gestão Ambiental, Gestão e Produção, v. 13, n. 1, jan-abr, pp BURGELMAN, R. A., CHRISTENSEN, C. M., WHEELWRIGHT, S. C., 2012, Gestão Estratégica da Tecnologia e da Inovação: Conceitos e Soluções, Tradução: Luiz Cláudio, Revisão: André Ribeiro, 5ª ed, Porto Alegre, AMGH. CAMPOS VELHO, H. F., 2001, Problemas Inversos: Conceitos Básicos e Aplicações, IV Encontro de Modelagem Computacional, Nova Friburgo, RJ, pp Disponível em: < >. Acessado em: 09/12/2017. CARVALHO, F. R., 2006, Aplicação de Lógica Paraconsistente Anotada em Tomadas de Decisão na Engenharia de Produção, Tese de D.Sc., Univesidade de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil. Disponível em: < >. Acesso em: 09/12/2017. CARVALHO, F. R., ABE, J. M., 2011, Tomadas de Decisão com Ferramentas da Lógica Paraconsistente Anotada. 1ª ed. São Paulo, Blucher. CARVALHO, R. R., BRUNSTEIN, I., ABE, J. M., 2003, Um Estudo de Tomada de Decisão Baseado em Lógica Paraconsistente Anotada: Avaliação de um Projeto de uma Fábrica, Revista Pesquisa e Desenvolvimento Engenharia de Produção, n. 1, (Dez), pp CARVALHO, T. F., D OTTAVIANO, I. M., 2011, Ferramentas Lógicas e Matemáticas Contemporâneas, Millenium, v. 41, n. 16, pp

65 COSTA, N., 1994, Ensaios Sobre of Fundamentos da Lógica. 2ª ed. São Paulo, HUCITEC. COSTA, N., BUENO, O., KRAUSE, D., 2004, Paraconsistent Logics and Paraconsistency: Technical and Philosophical Developments, Cle e-prints, v. 4, n. 3. Disponível em: < Prints/issue/view/136 >. Acesso em: 09/12/2017. DA SILVA FILHO, J. I., ABE, J. M., TORRES, C. R., 2006, Robô Móvel Autônomo Emmy: Uma Aplicação Eficiente da Lógica Paraconsistente Anotada, Revista Seleção Documental, ano 1, n. 3, jul-set,pp Disponível em: < %20Uma%20Aplicacao%20Eficiente%20da%20Logica%20Paraconsistente%20Anotad a.pdf >. Acessado em: 09/12/2017. EXPÓSITO, E. F., CAMEIRA, R. F., 2014, Lógica Paraconsistente: Um Revisão Bibliográfica de suas Aplicações. XXI Simpósio de Engenharia de Produção, 1249, Bauru, SP, Brasil. Disponível em: < >. Acesso em: 09/12/2017. FERNANDES, D., DUARTE, M., GONCALVES, S., et al., 2017, Estratégias de Redução dos Custos Logísticos com Transporte na Cadeia de Suprimentos da Coleta a Granel de uma Cooperativa: Um Estudo de Caso no Interior do Rio de Janeiro, XXXVII Encontro Nacional de Engenharia de Produção, TN_STO_238_379_33851, Joinville, SC, Brasil. Disponível em: < >. Acessado em: 09/12/2017. KRAUSE, D., 2004, Lógica Paraconsistente, Scientific American Brasil, ano 3, n. 30, (Nov ), pp MUTHER, R., 1978, Planejamento do Layout: Sistema SLP, Tradução Itiro Iida, Elizabeth Vieira, Jorge Hijjar, Miguel de Simoni, 2ª ed, São Paulo, Blucher. NETO, A. J. S., NETO, F. D. M., 2005, Problemas Inversos Conceitos Fundamentais e Aplicações. 1ª ed. Rio de Janeiro, EdUERJ. ROGAN, J., Joe Rogan Podcast 919. Entrevistado: Neil Degrasse Tyson. California, USA, (2h 21 min 00s). (0h 33 min 44s). 52

66 Apêndice I Cadeia de Suprimento aplicado ao Fluxo de conhecimento No estudo de logística há o conceito de cadeia de suprimento onde são avaliados o fluxo de materiais e fluxo de informação como na Figura 20. Figura 20 - Exemplo de fluxo de materias no estudo da logística de cadeia de suprimentos. Adaptado de FERNANDES, DUARTE, GONCALVES (2017). A idéia consiste em fazer um paralelo do fluxo de matéria prima com o fluxo de conhecimento (no estado da arte) das diferentes ciências. Organizando de uma maneira lógica qual ciência afeta majoritariamente a outra, nos conhecimentos relacionados à Engenharia de Produção em especial (Gerência da Produção). Além disso, a última coluna são as áreas de conhecimento que mais interessam o autor, na hora de decidir tema desta monografia. Então, a lógica de tal figura é: Um conhecimento (do estado da arte) produzido em uma área irá afetar uma outra área do conhecimento. E as interligações mais prováveis até chegarem na Engenharia de Produção é esquematizadada de acordo com a figura Figura

67 Figura 21 - Fluxo de conhecimento aplicado nas áreas de interesse da Engenharia de Produção Por fim, é adicionado um eixo do tempo para evidenciar que um conhecimento produzido por uma área levará um intervalo de tempo até começar a ser estudado por uma área adiante. E essas interações fazem com que quanto mais distante uma área do conhecimento for afastada da outra, mais tempo esta área levará para começar a estudar o conhecimento (do estado da arte) da outra. Uma vez com essa representação, uma forma de se conseguir abordar temas que estariam no estado da arte para Engenharia de Produção, seria estudar temas recentes/ inéditos de áreas afastadas da Engenharia de Produção que esteja no sentido contrário do eixo do tempo. Ou seja, uma forma de abordar temas inéditos para a Engenharia de Produção é estudar/ abordar temas recentes da lógica. Isso porque há uma grande chance de não ter passado tempo suficiente desde o estudo na Lógica, para alcançar a área da Engenharia de Produção. Logo, fazendo comunicação direta com as diferentes áreas do conhecimento, facilita na descoberta e abordagem de temas que estejam na fronteira da Engenharia de Produção. 54