Nos parágrafos seguintes serão definidos os operadores NOT, OR e AND sobre o

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1 Os operadores NOT, OR e AND Nos parágrafos seguintes serão definidos os operadores NOT, OR e AND sobre o reticulado τ = < [0, 1] [0, 1], >, associado à lógica paraconsistente anotada evidencial Eτ O operador NOT O operador NOT é definido por NOT (a; b) = (b; a). Portanto, este operador corresponde à negação epistêmica (~) da lógica Eτ. De fato: ~ (a; b) = (b; a) e NOT (a; b) = (b; a). Um exemplo: suponha que a proposição p seja A seleção brasileira irá classificar-se para a copa de 2010", com (grau de crença) igual a 0,8 (a) e com (grau de descrença) igual a 0,3 (b). Intuitivamente, a negação desta proposição é A seleção brasileira irá classificar-se para a copa de 2010", com igual a 0,3 (b) e com igual a 0,8 (a). Pode-se observar que os valores das s e à proposição p passaram a ser, respectivamente, os valores das s e de sua negação. ~ (0,8; 0,3) = (0,3; 0,8) ou NOT (0,8; 0,3) = (0,3; 0,8) Por meio da Tabela 3.4, pode-se ver o resultado da aplicação deste operador às situações traduzidas pelos vértices do QUPC (estados lógicos extremos), que correspondem ao caso de graus de e de binários e não complementares. Observe-se, pelo resultado da Tabela 3.4, que o operador NOT não altera as situações de paracompleteza e de inconsistência, mas inverte as situações de verdade e de falsidade. Ou

2 113 seja, se (a; b) é paracompleto (inconsistente), então NOT (a; b) também é paracompleto (inconsistente); mas se (a; b) é verdadeiro (falso), NOT (a; b) é falso (verdadeiro). Portanto: NOT (T) = T NOT ( ) = NOT (V) = F NOT (F) = V Tabela 3.4 Aplicação do operador NOT aos estados lógicos extremos do QUPC. Anotação (a; b) NOT (a; b) Grau de Grau de Estado Grau de Grau de Estado entrada a b b a 1 1 T 1 1 T 1 0 V 0 1 F 0 1 F 1 0 V saída No QUPC, o operador NOT aplicado à anotação (a; b) leva o ponto X = (a; b), que representa a proposição p, ao seu simétrico Y = (b; a) em relação à linha perfeitamente indefinida (LPI) (diagonal AB), o qual representa a negação de p, isto é, o que é abscissa de um passa a ser ordenada do outro e vice-versa. b 1,0 D = (0; 1) B = (1; 1) B = (1; 1) = inconsistência ( T) X=( a; b) C = (1; 0) = verdade ( V) D = (0; 1) = falsidade ( F) 0 0 A = (0; 0) Y=( b; a) ) C = (1; 0) 1,0 a AB: linha perfeitamente indefinida Y: simétrico de X em relação a AB Figura 3.12 Interpretação gráfica do resultado da aplicação do operador NOT O operador OR O operador OR do reticulado < [0, 1] [0, 1], > associado à lógica Eτ, aplicado a n anotações, é definido da seguinte forma:

3 114 (a 1 ; b 1 ) OR (a 2 ; b 2 ) OR OR (a n ; b n ) = (máx{a 1, a 2,, a n }; máx{b 1, b 2,, b n }). Por isso, a regra de aplicação do operador OR a duas (ou mais) anotações é chamada de regra de maximização. Portanto, para se obter a anotação resultante da aplicação do operador OR a duas anotações (a 1 ; b 1 ) e (a 2 ; b 2 ) faz-se a maximização, primeiro, entre os valores da e, depois, entre os valores da. Os valores resultantes das s e são, respectivamente: a' = máx{a 1, a 2 } e b' = máx{b 1, b 2 } O operador OR é definido para corresponder à disjunção clássica. De fato, para uma valoração ϑ, tem-se: ϑ (A B) = máx {ϑ (A), ϑ (B)} (ver 3.2.1). Analogamente ao que se fez para o operador NOT, será analisado o resultado da aplicação do operador OR para os estados representados pelos vértices do QUPC (estados lógicos extremos), que correspondem ao caso de graus de e de binários e não complementares, combinados dois a dois (Tabela 3.5). Tabela 3.5 Aplicação do operador OR aos estados lógicos extremos do QUPC. Anotação (a 1 ; b 1 ) Anotação (a 2 ; b 2 ) (a 1 ; b 1 ) OR (a 2 ; b 2 ) Grau de Grau de Estado Grau de Grau de Estado Grau de Grau de Estado entrada entrada resultante resultante a 1 b 1 a 2 b 2 a' b' 1 1 T 1 1 T 1 1 T 1 1 T 1 0 V 1 1 T 1 1 T 0 1 F 1 1 T 1 1 T T saída 1 0 V 1 1 T 1 1 T 1 0 V 1 0 V 1 0 V 1 0 V 0 1 F 1 1 T 1 0 V V 0 1 F 1 1 T 1 1 T 0 1 F 1 0 V 1 1 T 0 1 F 0 1 F 0 1 F 0 1 F F T 1 1 T V 1 0 V F 0 1 F

4 115 No QUPC, o operador OR aplicado às anotações (a 1 ; b 1 ) e (a 2 ; b 2 ) leva os pontos que as representam, X = (a 1 ; b 1 ) e Y = (a 2 ; b 2 ), respectivamente, ao ponto Z, cuja abscissa é o valor da resultante, a' = máx{a 1, a 2 }, e cuja ordenada é o valor da resultante, b' = máx{b 1, b 2 }. b 1,0 D = (0; 1) B = (1; 1) B = (1; 1) = inconsistência ( T) X=( a 1 ; b 1 ) Z=( a ; b ) C = (1: 0) = verdade ( V) D = (0; 1) = falsidade ( F) Y=( a 2 ; b 2 ) 0 0 A = (0; 0) C = (1; 0) 1,0 a b' = máx{ b, b} 1 2 Figura 3.13 Interpretação gráfica da aplicação do operador OR aos estados representados pelos pontos X e Y O operador AND O operador AND do reticulado < [0, 1] [0, 1], > associado à Eτ, aplicado a n anotações, é definido da seguinte forma: (a 1 ; b 1 ) AND (a 2 ; b 2 ) AND AND (a n ; b n ) = (mín{a 1, a 2,, a n }; mín{b 1, b 2,, b n }). Por isso, a regra de aplicação do operador AND a duas (ou mais) anotações é chamada de regra de minimização. Portanto, para a obtenção da anotação resultante da aplicação do operador AND às duas anotações (a 1 ; b 1 ) e (a 2 ; b 2 ) faz-se a minimização, primeiro, entre os valores da (graus de crença) e, depois, entre os valores da (graus de descrença). Os valores das s e resultantes são, respectivamente: a' = mín{a 1, a 2 } e b' = mín{b 1, b 2 }

5 116 O operador AND é definido para corresponder à conjunção clássica. De fato, para uma valoração ϑ, tem-se: ϑ (A B) = mín {ϑ (A), ϑ (B)} (ver 3.2.1). Também, de modo análogo ao que se fez para o operador OR, será visto o resultado da aplicação do operador AND para os estados representados pelos vértices do QUPC (estados lógicos extremos), que correspondem ao caso de graus de e de binários e não complementares, combinados dois a dois. Tabela 3.6 Aplicação do operador AND aos estados lógicos extremos do QUPC. Anotação (a 1 ; b 1 ) Anotação (a 2 ; b 2 ) (a 1 ; b 1 ) AND (a 2 ; b 2 ) Grau de Grau de Estado Grau de Grau de Estado Grau de Grau de Estado entrada entrada resultante resultante a 1 b 1 a 2 b 2 a' b' 1 1 T 1 1 T 1 1 T 1 1 T 1 0 V 1 0 V 1 1 T 0 1 F 0 1 F 1 1 T V 1 1 T 1 0 V 1 0 V 1 0 V 1 0 V 1 0 V 0 1 F V F 1 1 T 0 1 F 0 1 F 1 0 V F 0 1 F 0 1 F 0 1 F T V F saída No QUPC, o operador AND aplicado às anotações (a 1 ; b 1 ) e (a 2 ; b 2 ) leva os pontos que as representam, X = (a 1 ; b 1 ) e Y = (a 2 ; b 2 ), respectivamente, ao ponto Z, cuja abscissa é o valor da resultante, a' = mín{a 1, a 2 }, e cuja ordenada é o valor da resultante, b' = mín{b 1, b 2 } (Figura 3.14).

6 117 b 1,0 D = (0; 1) B = (1; 1) X=( a 1 ; b 1 ) B = (1; 1) = inconsistência ( T) C = (1; 0) = verdade ( V) D = (0; 1) = falsidade ( F) 0 0 A = (0; 0) Z=( a ; b ) Y=( a 2 ; b 2 ) C = (1; 0) 1,0 a a' = mín{ a, a} 1 2 b' = mín{ b, b} 1 2 Figura 3.14 Interpretação gráfica da aplicação do operador AND aos estados traduzidos pelos pontos X e Y Comentários sobre as aplicações dos operadores OR e AND Nas aplicações dos operadores OR e AND em estudo de casos reais, para o auxílio nas tomadas de decisão, alguns detalhes devem ser observados. Como já foi visto, o operador OR tem o mesmo sentido da disjunção clássica, ou seja, o sentido de fazer a maximização dos componentes da anotação. Portanto, deve ser aplicado em situações em que os dois ou mais itens considerados não são todos determinantes, bastando que um deles tenha condição para se considerar satisfatório o resultado da análise. O operador AND, que tem o mesmo sentido da conjunção clássica, ou seja, o sentido de fazer a minimização dos componentes da anotação, deve ser aplicado em situações em que os dois ou mais itens considerados são todos determinantes, sendo indispensável que todos apresentem condições favoráveis para que se possa considerar o resultado da análise satisfatório. Normalmente, o que se faz, ao se projetar uma análise de uma situação real, é separar os itens pesquisados em grupos. Estes devem ser constituídos de tal forma que:

7 118 a) a existência de um item de cada grupo com condição seja suficiente para se considerar o resultado da pesquisa como satisfatório; b) haja tantos grupos quanto for o número mínimo de itens que devem ter condições favoráveis para se considerar o resultado da pesquisa como satisfatório. Feita esta divisão, aplica-se o operador OR dentro de cada grupo (intragrupos) e, depois, o operador AND entre os resultados obtidos nos grupos (entre grupos). A seguir, a análise de um exemplo simples para um melhor entendimento. Imagine-se que uma obra estrutural de engenharia tenha apresentado algumas trincas. Para verificar a gravidade do problema, o responsável pela obra colheu a opinião de quatro engenheiros, especialistas em mecânica dos solos (E 1 ), estruturas (E 2 ), materiais de construção civil (E 3 ) e fundações (E 4 ). Para analisar as opiniões dos engenheiros à luz da Eτ, uma maneira sensata de agrupálos seria constituir um grupo A formado pelos especialistas em mecânica dos solos e fundações (E 1 e E 4 ) e outro grupo B, pelos especialistas em estruturas e materiais de construção civil (E 2 e E 3 ). E 1 Grupo A E4 E2 Grupo B E3 (a i,1 ; b i,1 ) (a i,4 ; b i,4 ) OR (a i,2 ; b i,2 ) (a i,3 ; b i,3 ) OR (a i,ga ; b i,ga ) AND (a i,gb ; b i,gb ) para-analisador (a i,r ; b i,r ) regra de decisão DECISÃO Figura 3.15 Esquema de uma aplicação dos operadores OR e AND.

8 119 A seguir, aplicar-se-ia a regra de maximização (operador OR) dentro de cada grupo (intragrupos) e a regra de minimização (operador AND) para os resultados obtidos nos dois grupos (entre grupos). A aplicação das regras, neste caso, fica assim: [(E 1 ) OR (E 4 )] AND [(E 2 ) OR (E 3 )] ou [G A ] AND [G B ] A Figura 3.15 representa de maneira esquemática a aplicação dessas regras. A aplicação desses operadores permite determinar possíveis inconsistências da base de dados e verificar até que ponto elas são aceitáveis ou não em tomadas de decisão. Como outro exemplo ilustrativo, imagine que se tenha a desconfiança que um indivíduo esteja com certa doença, porque ele vem apresentando alguns sintomas de dores no abdômen. Para se fazer uma análise empregando-se o para-analisador, colhem-se as opiniões de quatro especialistas (médicos): um clínico geral (E 1 ), um gastroenterologista (E 2 ), um urologista (E 3 ) e um endoscopista (E 4 ). Numa situação como essa, supondo-se que a opinião do clínico geral (E 1 ) e a do endoscopista (E 4 ) sejam indispensáveis e decisivas, mas que as opiniões do gastroenterologista (E 2 ) e a do urologista (E 3 ) não tenham o mesmo peso, podendo prevalecer apenas a opinião de um deles. Nessa situação, naturalmente, já se tem uma formação adequada para os grupos: grupo A, formado pelo clínico geral (E 1 ); grupo B, pelo endoscopista (E 4 ); e grupo C, formado pelo gastroenterologista (E 2 ) e urologista (E 3 ). Tendo-se os grupos, aplica-se a regra de maximização (OR) intragrupos (que, neste caso, se resume a aplicá-la ao grupo C) e, depois, a regra de minimização (AND) entre os grupos A, B e C (entre grupos). Sendo assim, a aplicação das regras fica assim: (E 1 )] AND [(E 4 )] AND [(E 2 ) OR (E 3 )] ou [G A ] AND [G B ] AND [G C ] Nesse caso, uma representação esquemática da aplicação das regras de maximização e de minimização é traduzida pela Figura 3.16.

9 120 Observe-se que os exemplos apresentados têm apenas o objetivo de dar idéia de como se faz a distribuição dos itens pesquisados em grupos e a aplicação dos operadores OR e AND, não cabendo aqui entrar em qualquer discussão quanto à correção técnica dos mesmos. Figura 3.16 Esquema de uma aplicação dos operadores OR e AND. Grupo A Grupo B Grupo C E 1 E 4 E 2 E 3 (a i,1 ; b i,1 ) (a i,4 ; b i,4 ) (a i,2 ; b i,2 ) OR (a i,3 ; b i,3 ) (a i,ga ; b i,ga ) (a i,gb ; b i,gb ) (a i,gc ; b i,gc ) AND para-analisador (a i,r ; b i,r ) regra de decisão DECISÃO Aplicações da lógica paraconsistente anotada A lógica paraconsistente anotada evidencial Eτ, embora de criação muito recente, vem encontrando aplicações em diversos campos de atividades. Acredita-se que isso se deve à sua utilidade e adequação a essas aplicações e, também, ao fato de permitir que se trabalhe com bases de conhecimentos contendo dados imprecisos, inconsistentes e paracompletos, mas não triviais. De fato, na maioria das vezes, quando se faz uma pesquisa entre clientes ou fornecedores ou mesmo entre especialistas, as informações obtidas são vagas ou não são consistentes. Dessa forma, para se tratar uma base de dados com essas características, é conveniente uma ferramenta que suporte essas inconsistências, seja de simples aplicação e, de preferência, seja facilmente informatizada. É exatamente a lógica Eτ que apresenta esse perfil.

10 121 Por intermédio dela consegue-se analisar os dados, apesar de inconsistentes, filtrá-los e chegar a um resultado final que, analisado no reticulado τ, permitirá uma conclusão. De fato, como já se disse anteriormente, se o resultado final pertencer a um estado com grau de certeza de módulo alto (próximo do ponto C ou D), ele permitirá conclusões valiosas. Mas, se isso não acontecer, os dados acusarão paracompleteza ou inconsistência ou terão grau de certeza baixo, em módulo. As decisões tomadas, decorrentes desse procedimento e com base nas informações pesquisadas sobre itens escolhidos criteriosamente, tendo grau de certeza, em módulo, muito elevado, serão dotadas de alta precisão, dando tranqüilidade e segurança ao decisor e garantindo qualidade ao diagnóstico, ao produto, ao serviço, ao resultado ou ao empreendimento, de uma maneira geral. Várias aplicações da lógica Eτ estão descritas em (DA COSTA, 1999b). Entre elas, podem ser destacadas aplicações em Engenharia de Produção (tomadas de decisão em controle de qualidade) (LEITE, 1999), em investimentos em produtos (BARRETO, 1997), em análise de valor, em demanda de mercado (MUROLO, 2000)), em Ciência da Computação e Inteligência Artificial (Paralog uma linguagem de programação parconsistente), sistemas muti-agentes, Paranet arquitetura paraconsistente de inteligência artificial distribuída para integrar sistemas de computação, com aplicações industriais, representação de conhecimentos por frames (ÁVILA, 1996), construção de sistemas especialistas com base de conhecimento inconsistente (BARRETO, 1999), em circuitos eletrônicos, em identificação de sinais (assinaturas, por exemplo) (ENEMBRECK, 1999), em Robótica (DA SILVA FILHO, 1998), em segurança de tráfego de trens (NAKAMATSU, 2005), em controladores de pouso de aeronaves (NAKAMATSU, 2002), redes neurais artificiais para reconhecimento de padrões em Biomedicina (ABE et al., 2005), etc.

11 122 Convém ressaltar que a lógica Eτ está relacionada com a lógica fuzzy (ABE, 1992). Já foram construídos os controladores lógicos para-fuzzy que envolvem essas lógicas e tendo seus fundamentos já esclarecidos (AKAMA; ABE, 2000a,b). Assim, a lógica anotada de uma forma geral constitui-se, atualmente, sob o ponto de vista prático, em uma das mais promissoras das lógicas alternativas da clássica.