Eletrônica Digital I SUMÁRIO INTRODUÇÃO ELETRÔNICA DIGITAL

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2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ELETRÔNICA DIGITAL 1 SISTEMAS NUMÉRICOS 2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO 3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL 4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO 4 SISTEMA NUMÉRICO OCTAL (BASE 8) 5 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL 6 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO 7 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA OCTAL 8 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL 9 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO 10 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O DECIMAL 11 CONVERSÀO DIRETA DO SISTEMA HEXADECIMALPARA O BINÁRIO 12 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL 13 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL 14 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS 15.1 ADIÇÀO 15.2 SUBTRAÇÃO 15.3 MULTIPLICAÇÃO Atividades 1 15 CIRCUITOS, FUNÇÕES E PORTAS LÓGICAS 16.1 FUNÇÃO E (AND 16.2 FUNÇÃO OU (OR) 16.3 FUNÇÃO NÃO (NOT) 17. TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ÁLGEBRA DE BOOLE 18. TEOREMA DE MORGAN 18.1 PORTA NÃO E OU NE (NAND) 18.2 PORTA NÃO OU (NOR) 19. TEOREMA EXCLUSIVO 19.1 PORTA OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE OR) 19.2 PORTA NÃO OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE NOR) Atividades CONVERSÕES E MAPAS 20.1 TABELA VERDADE OBTIDA DE UMA EXPRESSÃO 20.2 A FORMA CONTRÁRIA (EXPRESSÕES GERADAS POR TABELAS VERDADES) 20.3 CIRCUITOS GERADOS POR EXPRESSÕES LÓGICAS 20.4 EXPRESSÕES LÓGICAS GERADAS POR CIRCUITOS 21. EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS 21.1 CONSEGUINDO INVERSORES 21.2 INVERSOR A PARTIR DA PORTA NÃO OU 21.3 INVERSOR A PARTIR DE UMA PORTA NÃO E 22. OUTRAS EQUIVALENTES 23. PROJETOS DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS Atividades SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VEITCH- KARNAUGH 24.1 DIAGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS 2

3 Atividades DIAGRAMA DE TRÊS VARIÁVEIS Atividades DIAGRAMA DE QUATRO VARIÁVEIS REFERENCIAIS GABARITO 3

4 MÓDULO III ELETRÔNICA DIGITAL 1. SISTEMAS NUMÉRICOS Existem vários sistemas numéricos dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o binário, o octal e hexadecimal. Os computadores não trabalham com os sistema decimal; o motivo é que teriam que processar uma quantidade muito grande de variáveis. O sistema decimal que é utilizado por nós no dia-a-dia é assim chamado porque possui dez símbolos (algarismos, dígitos) com os quais podemos formar qualquer número. Os dígitos empregados no sistema decimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Um número maior que 9 é representado através de uma convenção que atribui um significado ao lugar ou posição ocupado pelo dígito dentro do número. Exemplo: O número Este número tem um significado numérico calculado como: 1995= 1 x x x x 1 0 Observamos que o número é expresso como a soma de potências de dez, que é a base ou raiz, multiplicados pelo coeficientes (posição que os dígitos se encontram dentro do número). Do exemplos temos: 1 x 10 3 (posição) = 1 x 1000 = 1000 dígito base + 9 x 10 2 (posição) = 9 x 100 = 900 dígito base + 9 x 10 1 (posição) = 9 x 10 = 90 dígito base + 5 x 10 0 (posição) = 5 x 1 = 5 dígito base 1995 Observação: A posição de um dígito dentro de um número inteiro é contada da direita para a esquerda, começando pelo zero, que é a posição do dígito menos significativo, indo até a posição do de maior significado. 4

5 2 SISTEMA NUMÉRICO BINÁRIO Em sistemas digitais, um sistema numérico com base dois (binário) é especialmente útil porque utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1. A grande vantagem de se utilizar este sistema consiste no fato de só termos uma correspondência entre os dígitos (números), 0 e 1, e os dois valores possíveis verdadeiro e falso. Temos que, neste sistema, para representarmos a quantidade zero utilizarmos o algarismo 0 ; para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo 1. Para representarmos quantidades maiores que 1, lançamos mão dos mesmos artifícios utilizados pelo sistema decimal, para representar quantidades maiores que 9. No sistema decimal nós não possuímos o algarismo dez e nós representamos a quantidade de uma dezena utilizando-nos do algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Temos então, que ao número 1 (um) representa um grupo de dezena e o algarismo 0 (zero) é representado por nenhuma unidade. Exemplo: No sistema binário da mesma forma para representarmos a quantidade dois, utilizamos o algarismo 1 seguido do algarismo 0. O algarismo 1 terá peso (valor) de um grupo de 2 (dois) elementos e o 0 (zero) um grupo de nenhuma unidade. Exemplo: Observações: Daqui por diante, colocaremos como índice do número a base do sistema que estamos trabalhando. Este processo de conversão é utilizado para convertermos qualquer número, em qualquer base, para a base 10. 5

6 Exemplo: 3 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Exemplo: O número (1101)2 corresponde a que número base 10? 1º Passo: Desmembrar os dígitos zeros e uns e multiplicá-los pela base 2 elevado a posição em que cada dígito se encontra. 2º Passo: Executar as operações matemáticas 1 x x x x x x x2 + 1 x 1 Temos que: (1101)2 = (13)10 4 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Para convertermos um número da base 10 para base 2, se faz n ecessário que dividamos o número em questão por 2, até que encontremos um quociente menor que 2. Em seguida agrupamos o último quociente encontrado e os respectivos restos como é mostrado nos exemplos abaixo: 6

7 7 Eletrônica Digital I

8 Observação: Para convertermos um número na base 10 para qualquer base (X) devemos agir da seguinte maneira: Sistema Numérico Octal (Base 8) O sistema octal é um sistema que possui 8 dígitos base 8. Dígitos da base 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Para a representação de oito unidades neste sistema, agimos da mesma forma que foi empregada no sistema decimal para representar dez unidades e no binário para representar duas unidades. 8

9 Temos: O algarismo um 1 seguido do algarismo zero 0. (10)8 = (8)10 (10) representa oito unidades na base representa um grupo de 8 0 representa nenhuma unidade Observação: Veremos nos próximos capítulos que esse sistema irá simplificar muito o mapa de memória de máquinas digitais. 6 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL Para convertermos um número da base 8 para a base 10 agimos de forma idêntica à conversão da base 2 (dois) para a base 10 (dez). Exemplo: (120)8 = (?)10 1º Passo: Desmembra-se o número, multiplicando-se cada dígito pela base 8 elevada a posição em que o dígito se encontra dentro do número. 1 x x x 8 0 2º Passo: Executa-se as operações matemáticas. 1 x x x 1 Temos então: (120)8 = (80)10 7 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO A conversão entre o sistema octal e o sistema binário é uma operação matemática bastante s imples como é mostrado no exemplo abaixo: Exemplo: (35)8 = (?)2 1º Passo: Desmembra-se o número em dois algarismos. 3 e 5 9

10 8 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA OCTAL Para convertermos um número binário para o Octal, devemos arrumar os dígitos em grupos de 3 algarismos, a partir da direita. Exemplo: (100101)2 = (?)8 1º Passo: Agrupar o número de 3 em 3 dígitos, pois 8 = º grupo 2º grupo 2º Passo: Convertermos esses grupos para a base 10 (dez) º Passo: Unimos os números convertidos. (100101) 2 = (45) Observação: Ocorrerão casos em que separando-se o número binário em grupos de três algarismos a partir da direita, sobrará um grupo de dois ou de um algarismo. Nestes casos, basta acrescentarmos zeros a esquerda até completarmos um grupo de três números. 10

11 9 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL O processo de conversão é análogo a conversão do sistema decimal para o sistema binário, sendo que neste caso utilizamos divisão por 8 (oito). Exemplo: 10 SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO O sistema hexadecimal é um sistema que possui dezesseis dígitos base 16; estes dígitos são mostrados a seguir: Dígitos da base 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Observamos que a letra A representa o algarismo A referente a dez unidades. A letra B representa o algarismo B referente a onze unidades, e assim sucessivamente até a letra F, que representa o algarismo F, que representa quinze unidades. Para representarmos dezesseis unidades procedemos como nas outras bases até agora estudadas. Utilizamos o conceito básico de formação de um número. Colocamos um 1 representando dezesseis unidades de 0 (zero), representando zero unidades. (10)16 = dezesseis unidades. Observação: Este sistema é muito utilizado em computação e em mapeamento de memórias de computadores digitais. 11

12 11 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O DECIMAL Exemplo: (4E)16 = (?)10 É executado o mesmo procedimento de conversão utilizado nas outras bases (2 e 8). 1º Passo: Desmembra-se o número e multiplica-se cada dígito pela base elevada a posição do mesmo dentro do número. 4 x E x 160 2º Passo: Executa-se as operações matemáticas. 4 x x 1 Temos que: = 78 (4E)16 = (78)10 12 CONVERSÃO DIRETA DO SISTEMA HEXADECIMAL PAR O BINÁRIO Como já foi visto na conversão direta entre o sistema octal e o binário onde para a conversão direta agrupávamos os números em pacotes de 3 dígitos. Iremos agora agrupar pacotes de 4 dígitos, pois 16 é igual a 2 4. Exemplo: (F23)16 = (?)2 1º Passo: Separar os dígitos do número e depois convertê-los para a base, agrupando-os em pacotes de 4 dígitos. 12

13 2º Passo: Juntar os grupos de 4 dígitos. Temos então: (F23)16 = ( )2 13 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Utilizando-se da mesma analogia com a conversão do sistema binário para o octal. Temos: ( )2 = (?)16 Temos então que: ( )2 = (A3)16 14 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Teremos como nos sistemas binário o octal e conversão pela divisão sucessiva deste pela base do sistema, n este caso, dezesseis. Exemplo: 13

14 Temos então: Último quociente 2º resto 1º resto E A Temos que: (1002)10 = (3EA)16 15 OPERAÇÕES ARITMÉTICAS Este estudo irá facilitar a compreensão dos circuitos lógicos aritméticos, tais como: somadores, subtratores, etc., que serão abordados com o decorrer do curso ADIÇÃO A adição será executada neste sistema da mesma forma que é executada no sistema decimal, lembrando apenas que, no sistema binário temos apenas dois algarismos. Como no primeiro exemplo vamos executar uma adição na base 10 de um número menor que a própria base. (4)10 + (3)10 = (?)10 Operação: 4 dígito da base dígito da base 10 7 Resultado = 7 unidades O resultado é um dígito da base 10. Temos então que: (4)10 + (3)10 = (7)10 Agora, vamos executar uma adição em que o resultado seja maior que a Base (10). (6)10 + (5)10 = (?) 10 Operação: Resultado = 11 unidade Este resultado não um dígito da Base 10. O primeiro número 1 significa que o resultado passou uma vez da base (uma dezena), acrescido de uma unidade que é o segundo número da composição. Ou apenas: Convertendo o resultado para a base 10, onze unidades é igual a que símbolos na base 10? 14

15 Resultado: Onze unidades são representadas pelo símbolos 11 na base 10. Executando uma adição na base 2 com números menores que a base. (1)2 + (0)2 = (?)2 Operação: O resultado é uma unidade. Temos então que: (1)2 + (0)2 = (1)2 Agora, vamos executar uma adição em que o resultado seja maior que a base. (1)2 +(1)2 = (?)2 Operação: Resultado: 2 unidades Estas unidades serão representadas por (10)2. Onde: 1 Significa que passam uma vez da base (2). 2 Significa que não houve unidade. Ou apenas: Convertendo o resultado encontrado para a base (2), duas unidades é igual a que símbolos na base 2? 15

16 O resultado desta operação é que duas unidades são representadas pelos símbolos (10)2 na base dois. Outro exemplo: (111)2 + (110)2 = (?)2 16

17 15.2 SUBTRAÇÃO A subtração é executada no sistema binário da mesma forma que executada no sistema decimal, lembrando sempre que nesse sistema temos apenas dois algarismos. Podemos exemplificar executando a subtração: (111)2 (100)2 = (?)2 Operação: 1ª operação 1ª operação 1ª operação Resultado: (111)2 (100)2 = (011) Operação = 1-0 = Operação = 1-0 = Operação = 1-1 = 0 1 A operação que pode surgir alguma dúvida será a que pede emprestado (0-1) 17

18 Resultado (10)2 (01) = (01) MULTIPLICAÇÃO A multiplicação será executada neste sistema da mesma forma que é executada no sistema decimal, lembrando-se apenas que, neste sistema temos dois algarismos. Exemplo: (100)2 x (10)2 = (?)2 Operação: 2ª parte: 18

19 2ª parte: Como na base 10, o resultado fica debaixo do 2º dígito da 1ª parte da operação. 19

20 3ª parte: A terceira parte desta operação consiste em somarmos os números encontrados, procedendo como já explicado anteriormente (adição): Resultado final: (100)2 x (10)2 = (1000)2 NOTA: A divisão binária é uma operação complexa que envolve ao mesmo tempo cálculo com multiplicação e subtração binária. Não iremos abordar neste capítulo, pois não utilizaremos nessa parte do estudo dos circuitos lógicos. Atividades I 1) Um Microprocessador possui 10 linhas de endereçamento e trabalha em sistema binário de numeração. Qual a capacidade máxima de memória este processador poderá acessar? a) 16 M bit b) 1024 K bit c) 2048 bit d) 1024 bit 2) O nº 01110(2) equivale a que valor na base 10? a) 114 b) 11 c) 14 d) 41 20

21 3) O nº 47(10) equivale a que valor em base 2? a) b) c) d) ) O nº 74(10) convertido em octal equivale a? a) 112 b) 111 c) 110 d) 114 5) Qual o valor em binário equivalente a 98(16)? a) b) c) d) ) Assinale a alternativa errada: a) = 0 b) = 1 c) = 10 d) = 110 7) A operação 11001(2) (2) possui como resultado? a) b) c) d) ) Assinale a alternativa incorreta: a) 0-0 = 0 b) 0 1 = 0 c) 1 0 = 1 d) 1 1 = 0 9) O valor 00001(2) equivale ao resultado de que operação aritmética? a) b) c) d)

22 10)Qual operação abaixo está incorreta? a) 1010(2) 1000(2) = 0010(2) b) 1000(2) x 1(2) = 1000(2) c) 1100(2) x 011(2) = (2) d) 11010(2) x 10(2) = 11010(2) 16 CIRCUITOS, FUNÇÕES E PORTAS LÓGICAS A eletrônica digital, como visto no capítulo anterior, opera com três sistemas numéricos básicos. Adotou-se o sistema binário porque o mesmo simplifica os circuitos eletrônicos. Desta forma criou-se uma álgebra baseada em dois estados distintos, ZERO (falso) e UM (verdadeiro). Assim, adotou-se a álgebra desenvolvida por George Boole ( ), recebendo desta forma, o nome de Álgebra de Boole (Álgebra Boolena). Esta álgebra boolena é representada eletronicamente por dois estados distintos: chave aberta = 0 (zero binário) e chave fechada = 1 (um binário). A figura a seguir ilustra estas condições. Chave aberta = nível lógico 0 Chave fechada = nível lógico 1 Através destes dois estados convenientemente aplicados tornou-se possível criar um grupo de circuitos lógicos ou portas lógicas, básicas, denominadas E (AND), OU, (OR) e NÃO (NOT), que iremos estudar a seguir. Esta função E assume a saída igual a 1, somente quando todas as variáveis de entrada forem iguais a 1, da mesma forma que a função E é igual a 0 somente quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 0. Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito abaix o. BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2 L = Lâmpada 22

23 Tabela verdade: Tabela verdade: CH1 CH2 L L = 0 L = 1 CH = 0 CH = 1 Lâmpada apagada Lâmpada acesa Chave aberta Chave fechada Obs.: A tabela verdade é a forma que podemos representar os circuitos digitais, ou seja, através de símbolos numéricos. Estado lógico ZERO representa a condição: inoperante, chave aberta, lâmpada apaga, valor zero de tensão, etc. Estado lógico UM representa a condição: ativada, chave fechada, lâmpada acesa, valor máximo de tensão, etc. Símbolo: Expressão lógica: S= A.B A saída S será igual ao produto lógico da entrada A e entrada B, deve-se ler (A e B) e nunca (A vezes B) FUNÇÃO OU (OR) A função OU assume a saída 1 somente quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 1. Da mesma forma, a função OU é igual a 0 somente quando todas as variáveis de entrada forem iguais a 0. 23

24 Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito abaixo. BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2 L = Lâmpada Tabela verdade: CH1 CH2 L Símbolo: Expressão lógica: S = A + B Observamos que a expressão lógica OU é representada pelo sinal + igual ao utilizado na soma aritmética, porém não se deve confundir soma com lógica OU. Deve-se ler: A+ B (A ou B). Observação: As funções E e OU foram demonstradas somente com duas variáveis de entrada, porém estas variáveis são teoricamente infinitas. A título de exemplo, vamos mostrar algumas portas com mais de duas variáveis de entrada. Exemplo 1: S = L + M + N 24

25 Tabela verdade: L M N S Exemplo 2: X1 X2 X3 X

26 16.3 FUNÇÃO NÃO (NOT) A função NÃO (inversor) assume a saída igual a 1 somente quando a variável de entrada for igual a 0. Da mesma forma assume 0 na saída, somente quando a variável de entrada for igual a 1. Poderemos representar essa função utilizando uma chave como mostra o circuito da figura abaixo. BT = Bateria CH = Chave R = Resistor L = Lâmpada Tabela verdade: CH L Símbolo: Expressão lógica: S= Â Observações: 1) A função do resistor R é proteger a bateria de um curto-circuito pleno através da chave quando esta estiver em nível lógico 1 (fechada). 2) A barra sobre uma variável representa o inverso desta variável. Exemplos: A = 0 Â = 1 A = 1 Â = 0 3) Podemos simbolizar uma inversão antes de uma porta qualquer usando apenas a circunferência antes da mesma. Exemplo: S= A + B 26

27 17 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ÁLGEBRA DE BOOLE Inicialmente demonstraremos as propriedades da álgebra ordinária que são válidas para a Álgebra Booleana. Propriedade associativa: a) (A + B) + C = A + (B + C) b) (A. B). C = A. (B. C) Propriedade comutativa: a) A. B = B. A b) A + B = B + A Propriedade distributiva: a) A. (B + C) = A. B + A. C b) A + (B. C) = (A + B). (A + C) Teoremas: 1) A + 1 = 1 2) A + 0 = A 3) A. 1 = A 4) A. 0 = 0 5) A + Â = 1 6) A + A = A 7) A. Â = 0 8) A. A = A 9) (Â) = Â 10) (A) = A 11) A + A. B = A 12) A. (A + B) = A 13) A. B. C = A + B + C... 14) A + B + C = A. B. C... 15) A. B + Â. B = A B Teorema De Morgan Teorema Exclusivo 16) Â B + A. B = A B 27

28 Podemos exemplificar os teoremas através das tabelas verdades como no exemplo abaixo: Teorema TEOREMA DE DE MORGAN Os teoremas 13 e 14 (Teorema de De Morgan) são muito importantes em minimização de circuitos. São também derivadas deste teorema duas portas lógicas encontradas comercialmente: portas NÃO E e NÃO OU (NOR) PORTA NÃO E OU NE (NAND) A porta NÃO E é implementada a partir das funções básicas OU e NÃO com aplicação do teorema de De Morgan como mostra a figura abaixo: Â + B = A. B 28

29 A função NÃO E assume a saída igual a 0 somente quando todas as variáveis de entrada forem iguais a UM. Podemos representar essa função utilizando chaves como mostra o circuito da figura abaixo. BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2 R = Resistor L = Lâmpada Tabela verdade: CH1 CH2 L Símbolo: Expressão lógica: S = A. B Obs.: Para a porta NÃO E adotou-se o símbolo idêntico ao da porta E com um círculo na saída que identifica a inversão PORTA NÃO OU (NOR) A porta NÃO OU é implementada a partir das funções básicas E e NÃO com aplicação do Teorema De Morgan, teorema 13, como mostra a figura abaixo: 29

30 A função NÃO OU assume a saída 1 somente quando todas as variáveis de entrada forem iguais a 0. Da mesma forma a função NÃO OU é igual a 0 somente quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 1. Podemos representar essa função utilizando chaves como mostra a figura a seguir: BT = Bateria CH1 = Chave 1 CH2 = Chave 2 R = Resistor L = Lâmpada Tabela verdade: CH1 CH2 L Símbolo: Expressão Lógica: S= A + B Observação: Para efeito de demonstração das portas NÃO OU e NÃO E empregamos símbolos e tabelas com apenas duas variáveis. Porém, estas portas, teoricamente, poderão conter infinitas variáveis de entrada. 19 TEOREMA EXCLUSIVO Os teoremas 15 e16 (Teorema Exclusivo) são da mesma forma que os de De Morgan, muito importantes em minimização de circuitos. São também derivadas deste teorema duas portas lógicas encontradas comercialmente: porta OU EXCLUSIVA (OR EXCLUSIVA) e NÃO OU EXCLUSIVA (NOR EXCLUSIVA). 30

31 19.1 PORTA OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE OR) A porta OU EXCLUSIVA é implementada a partir das funções básicas E, OU e NÃO com aplicação no teorema exclusivo, teorema 15, como mostra a figura a seguir: A função OU EXCLUSIVA é igual a 1 (um) somente quando o número de bits 1 (um) das variáveis forem ímpares, e caso contrário, a função OU EXCLUSIVA SERÁ IGUAL A 0 (zero). Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito abaixo: BT = Bateria CH1 = Chave de posição oposta 1 CH2 = Chave de posição oposta 2 L = Lâmpada Tabela verdade: CH1 CH2 L Símbolo: 31

32 Expressão Lógica: S = A B Lê-se A exclusivo B 19.2 PORTA NÃO OU EXCLUSIVA (EXCLUSIVE NOR) A porta NÃO OU EXCLUSIVA é implementada a partir das funções básicas E, OU e NÃO com aplicação do teorema exclusivo, Teorema 16, como mostra a figura abaix o. A porta NÃO OU EXCLUSIVA é conhecida como circuito coincidência. A função NÃO OU EXCLUSIVA é igual a 0 (zero) somente quando o número de bits 1 (um) das variáveis forem ímpares, e caso contrário, a função NÃO OU EXCLUSIVA será igual a 1 (um). Podemos representar essa função utilizando chaves, como mostra o circuito da figura a seguir: Tabela verdade: CH1 CH2 L

33 Símbolo: Expressão Lógica: S = A B Lê-se A NÃO EXCLUSIVO B Atividades 2 1) Assinale a coluna da esquerda de acordo com a da direita: ( ) Porta OU A) Inverte a entrada ( ) S = A. B B) Basta uma entrada em 1 para S=1 ( ) Função Não C) Basta uma entrada em 0 para S=0 ( ) Porta NAND D) S=1 Somente se as entradas forem 0 ( ) Porta NOR E) S = 0 somente se as entradas forem 1 2) Assinale verdadeiro e falso: ( ) A + 1 = 1 ( ) A + 0 = 0 ( ) A. 1 = 1 ( ) A. 0 = 0 ( ) A + A = 1 ( ) A + A = 0 ( ) A. A = 0 ( ) A. A = A ( ) A + AB = 1 ( ) A. ( A + B) = B ( ) A + B = AB ( ) A. B = A + B 3) Desenhe a simbologia, escreva o nome e monte a tabela verdade das portas lógicas que são representadas pelas expressões abaixo: a) S = A + B 33

34 b) S = A. B c) S = A B d) S = A B e) S = A. B 34

35 f) S = A + B 20 CONVERSÕES E MAPAS Como já vimos no capítulo anterior, os circuitos lógicos são dispositivos de tomadas de decisões. A saída de cada porta lógica ou de portas lógicas interligadas entre si, obedecem a uma sistemática que tem como objetivo a realização de funções Booleanas. A ferramenta utilizada para a visualização destas funções é a tabela verdade também conhecida como tabela certeza ou mapa. Neste dispositivo vão constar todas as condições de saída possíveis assumidas pelos circuitos. Esta tabela é muito útil porque mostra tanto o comportamento da expressão Booleana, como também, o caminho total seguido pelo circuito (tomadas de decisões). 35

36 20.1 TABELA VERDADE OBTIDA DE UMA EXPRESSÃO Para ser executada a tabela, observa-se as seguintes regras: 1º) Analisa-se a expressão booleana; 2º) Monta-se o quadro de possibilidades, onde o número de possibilidades de combinação é dado por 2 n, sendo n o número de variáveis; 3º) Monta-se uma coluna para cada membro da expressão; 4º) Monta-se uma coluna para o resultado final; 5º) Preenche-se a tabela. No exemplo abaixo, observamos a expressão booleana. S = (A + B). D. (A + B + C) Análise da expressão: - Número de variáveis = 4 f (A, B, C, D) - Número de combinações possíveis = 2 n = 2 4 = 16 - Número de membros = Variáveis 1 Membro 2 Membro 3 Membro Resultado Final A B C D A + B D A + B + C S = (A + B). D. (A + B + c) Em alguns casos podemos lançar mão de uma coluna auxiliar que não pertence a nenhum membro da expressão lógica, ajudará a observar melhor um determinado membro. Ex.: S = A. B + C + A. B. C 36

37 Temos 3 variáveis, logo teremos 2 3 = 8 possibilidades VARIÁVEIS 1º membro 2º membro auxiliar 3º membro Resultado Final A B C A. B B. C B A. B. C S = (A + B) + (B. C) + (A + B + C) A FORMA CONTRÁRIA (EXPRESSÕES GERADAS POR TABELAS VERDADES) A forma contrária também pode ser obtida partindo de uma tabela verdade. Basta para isso convencionarmos o tipo de implementação. Exemplo: Obter a expressão lógica com implementação positiva da tabela verdade abaixo: Para obtermos a expressão lógica com implementação positiva de uma tabela v erdade, devemos proceder da seguinte forma: 1º) Identifica-se na tabela verdade todas as linhas que estejam implementadas positivamente, ou seja, todas as linhas onde a coluna de saída S for igual a 1. 2º) As linhas implementadas positivamente terão seus níveis 0 (zero) e 1 (um) substituídos pelos índices das colunas A, B e C, tendo o cuidado de barrar estes índices, quando equivalerem a variável 0 (zero). 3º) O passo final é juntar a expressão, de modo que, as linhas horizontais gerem funções E. Essas linhas serão intercaladas entre as demais implementações positivas com funções OU. 37

38 Outro exemplo: Obter a expressão lógica da tabela verdade: A B C D S Identificar as saídas implantadas positivamente Substituir os bits pelos índices e colocar barras onde os bits eram A. B. C.D * * A. B. C. D * A. B.C.D * A. B. C. D * A.B.C. D Por último, montamos a expressão da seguinte maneira: Podemos também obter expressões lógicas de uma tabela verdade com implementação negativa, bastando para isso, que tomemos somente as linhas que c ontiverem a saída S igual a 0 (zero). Da mesma forma devemos empregar a função OU entre os índices da mesma linha e a função E entre as funções obtidas nas linhas. Por exemplo, obter a expressão lógica com implementação negativa da tabela verdade abaixo: 38

39 A B C S Identificar as saídas implementadas negativamente Tirar o barramento dos índices Negados e colocar barramentos nos índices não negados A. B.C A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C A.B. C Por último, montamos a expressão da seguinte maneira: S= A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C 20.3 CIRCUITOS GERADOS POR EXPRESSÕES LÓGICAS A partir das expressões lógicas abaixo booleanas podemos obter um circuito combinacional. Deverá ser seguido os passos determinados abaixo: 1) Em todo processo envolvendo funções lógicas observamos quantas variáveis existem na expressão. Nesta expressão, por exemplo, existem quatro variáveis, a saber: A, B, C e D. Isto se faz necessário para desenhar a fiação de dados (barramento de dados). 39

40 2) O próximo passo será executar as portas de acordo com a função identificada pelos asteriscos. 40

41 41 Eletrônica Digital I

42 Outro exemplo que poderá ser executado da mesma forma. 42

43 20.4 EXPRESSÕES LÓGICAS GERADAS POR CIRCUITOS Do mesmo modo que obtemos circuitos de expressões lógicas, podemos obter expressões lógicas de circuitos. A obtenção da expressão de um circuito consiste em aplicar as variáveis em cada porta lógica do circuito passo-a- passo. Exemplo: 43

44 Primeiro passo: Segundo Passo: A expressão lógica será então: S = (A. B) + Â 21 EQUIVALÊNCIA DE BLOCOS LÓGICOS Uma das grandes vantagens entre os blocos lógicos é a possibilidade de se fazer equivalência entre si, utilizando um outro bloco qualquer e inversores, uma vez que a maior parte de circuitos digitais é feita com portas NÃO E e NÃO OU (NAND e NOR) e mais, podemos também obter inversores a partir dessas portas. 44

45 21.1 CONSEGUINDO INVERSORES Existem duas formas de se obter os inversores, ou seja, a partir de uma porta NÃO E ou de uma porta NÃO OU. Nos dois casos, basta interligarmos todas as suas entradas e teremos na saída o seu complemento. Analisaremos dois casos separadamente INVERSOR A PARTIR DA PORTA NÃO OU Observamos que ao interligarmos as entradas A e B e aplicarmos os níveis lógicos, estes serão nas duas entradas. A possibilidade de entradas diferentes entre si fica deste modo destacada. Com base nesses fatos, montamos então a tabela verdade de um inversor: X S

46 21.3 INVERSOR A PARTIR DE UMA PORTA NÃO E Da mesma forma que fizemos para a porta NÃO OU podemos obter a tabela verdade igual a um inversor a partir de uma porta NÃO E. X S OUTRAS EQUIVALÊNCIAS Porta NÃO OU a Partir de Porta E e INVERSOR A melhor forma de se obter equivalência é usando o Teorema de De Morgan, visto anteriormente (Teorema 13). S = Â. B S = A + B 46

47 Porta NÃO E a Partir de Porta OU e INVERSOR Teorema 14: Porta OU a Partir de Portas E e INVERSORES Basta colocarmos um inversor na saída e na entrada da porta E. 23 PROJETOS DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS A finalidade maior de todas essas portas lógicas já estudadas é de combinarmos de tal forma, que executem uma tarefa idealizada para um fim útil e específico, seguindo uma sequência lógica que depende das variáveis de entrada e de saída de uma determinada tabela verdade. Através dos circuitos combinacionais podemos projetar vários tipos de blocos lógicos que dependa exclusivamente das variáveis de entrada em função de uma determinada saída. Um circuito lógico combinacional pode ser projetado a partir de uma expressão Booleana que identifique este circuito e, para obtermos isto, necessitamos da tabela verdade. E, finalmente, para obtermos a tabela verdade, necessitamos da identificação das variáveis de entrada e das funções de saída. O melhor meio de aprendermos a projetar um circuito lógico é analisando passo-a-passo um projeto já executado, como mostraremos a seguir: 47

48 Projeto 1 Projetar um circuito que acenda as lâmpadas L1, vermelha, e L2, amarela, toda vez que pressionarmos as chaves A e B nas seguintes condições: 0 Quando as chaves não forem pressionadas nenhuma lâmpada deve acender. 1 Quando pressionamos somente a chave A, deverá acender somente a lâmpada L1, vermelha. 2 Quando pressionamos somente a chave B, deverá acender somente a lâmpada L2, amarela. 3 Quando pressionamos as chaves A e B deverão acender as lâmpadas L, vermelha, e L2, amarela. BT = Bateria A = Chave A B = Chave B L1 = Lâmpada 1 L2 = Lâmpada 2 O - projeto para este problema, como nos demais, devem seguir as seguintes etapas: 1 Montagem da tabela verdade. 2 Obtenção da expressão. 3 Montagem do circuito. 1- Tabela verdade A tabela verdade é montada baseada na quantidade de variáveis envolvidas no projeto. Neste caso, são as chaves A e B. Portanto, temos 2 variáveis (colunas) e consequentemente, teremos 2 2 possibilidades de combinações ou quatro linhas. Condição Variáveis Saída Chave desligada = 0 A B L1 L2 Chave ligada = Chave desligada = Chave ligada = Assim, temos a tabela verdade completa e podemos obter a expressão Booleana do circuito que será o passo seguinte: 2- Expressão 48

49 No projeto proposto, temos duas saídas, desta forma, deveremos retirar duas expressões em separado, utilizando a saída L1 e, posteriormente, utilizando a saída L2. Expressão com saída L1 Faremos a tabela verdade apenas com as informações que iremos utilizar, tais como: A, B e L1, conforme a tabela abaixo: Variáveis Saída A B L Neste passo identificamos as saídas que estejam com nível 1, pois estamos trabalhando com implementação positiva e, ao mesmo tempo, identificar os índices e montar a expressão para a saída L1. L1 = Â. B + A. B Expressão com saída L2 Será montado da mesmaforma que a anterior, somente com as informações: A, B e L2. Variáveis Saída A B L Temos no caso, as duas expressões Booleanas, respectivas às condições do projeto: L1 = Â. B+ A. B e L2 = A. B + A. B 3 Montagem Da mesma forma que montamos circuito através de expressões Booleanas, vista anteriormente. Devendo ser observado que estamos trabalhando com duas expressões: L1 e L2. 49

50 Este circuito pode ser simplificado um pouco mais, pois basta observarmos as duas expressões para concluirmos que existe uma condição idêntica, como ilustrarmos abaixo: L2 = A. B + A. B L1 = Â. B + A. B Podemos então, simplificar usando apenas uma porta lógica às duas saídas: Este circuito poderia ainda ser mais simplificado. Porém, será estudado nas lições seguintes. Desta forma, o circuito definitivo tomaria o seguinte aspecto: 50

51 Observamos que quando as chaves estiverem fechadas à terra, será igual a 0 (zero) e quando estiverem abertas, será igual a 1 (um). ATIVIDADES 3 1) Dados os circuitos abaixo levante a equação boolea na equivalente: a) b) c) 51

52 d) 2) Represente circuito lógico equivalente referente às expressões abaixo: a) S = A + B b) S = ( A + B ). C. ( B + D ) c) S = A. B. C + ( A + B ). C 52

53 d) S = [ ( A. B )+( C. D )]. E+ [ ( A. D. E )+( C. D. E ) ]. A 3) Levante a expressão e represente o circuito lógico que as tabelas verdade abaixo caracterizam: a) A B C S

54 b) A B C D S ) Represente a tabela verdade, levante a expressão e represente o circuito lógico do problema abaixo: Deseja-se utilizar um amplificador para ligar três aparelhos: Um Toca-Fitas, um Toca-discos e um Rádio FM. Deve-se obedecer as seguintes prioridades: 1ª prioridade: Toca-discos 2ª prioridade: Toca-fitas 3ª prioridade: Rádio FM Isto significa que quando não houver disco ou fita tocando, o amplificador, deverá manter a entrada de rádio ligada. Caso outra entrada esteja tocando, deve o amplificador comutar automaticamente para a de maior prioridade. Diagrama em blocos: 54

55 Convenções utilizadas: S A = 1ª prioridade S B = 2ª prioridade S C = 3ª prioridade Logo, se: S A = 1 ; CH 1 fechada S B = 1 ; CH 2 fechada S C = 1 ; CH 3 Fechada A B C SA SB SC 24 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS COMBINACIONAIS ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VEITCH- KARNAUGH Os diagramas de Veitch-Karnaugh permitem a simplificação de expressões características com duas, três, quatro ou mais variáveis, sendo que para cada caso existe um tipo de diagrama mais apropriado. Este modelo de simplificação trabalha com padrão de função AND-OR ou OR-AND. Para não complicarmos muito adotaremos o padrão AND-OR Exemplo: Desta forma, todos os padrões de funções lógicas, devem ser inicialmente transformados em um dos dois padrões citados acima. Esta sistemática torna-se inviável em determinadas simplificações, pois passamos a ter dois procedimentos complexos ao invés de um, para situações assim, o melhor é utilizar somente o modelo de Boole para simplificações. Exemplo: 1) S = ( A B) ( AB) ( AB) 55

56 Passando para o padrão AND-OR, temos: A. B A. B A. B Podemos observar que a transformação foi simples, portanto viável. 2) S = AC B D C. ACD Aplicando o 2º Teorema de De Morgan, temos: Também podemos aplicar o 1º Teorema De Morgan: A BCD C. ACD ( ABCD) C.( A C D) Aplicando a propriedade distributiva: ABCD AC CC CD Se C. C = 0, então, por fim: ABCD AC CD Este tipo de expressão exigiu uma complexibilidade de manobras para chegarmos a uma expressão AND-OR, uma pessoa que consegue chegar com facilidade até este ponto, significa que a mesma possui um bom domínio de álgebra de Boole, dispensando assim, a alteração do processo de simplificação para o modelo de Veitch-Karnaugh DIAGRAMA PARA DUAS VARIÁVEIS Vejamos inicialmente as possibilidades que duas variáveis podem fornecer: ESTADO A B Estes estados deverão ser distribuídos racionalmente nas quadrículas do modelo geométrico de Veitch-Karnaugh. 56

57 Substituindo por seus valores lógicos, temos: Através dos conceitos de transformação em MINTERMOS, podemos ainda substituir os valores por expressões. Devemos ter consciência de que chegaríamos ao mesmo objetivo com MAXTERMOS, porém para este assunto todas as transformações estarão baseadas em MINTERMOS. Logo: Veja na figura a seguir, que para cada dupla de quadrículas possuímos uma variável em comum. Após todas as observações, notamos que cada linha da tabela da verdade possui sua região própria no diagrama e essas regiões são, portanto, os locais onde devem ser colocados os valores de saída (S) que a expressão assume nas diferentes possibilidades. Para entendermos melhor o significado deste conceito, vamos observar o exemplo: A tabela da verdade abaixo mostra o estudo de uma função de duas variáveis e ao lado sua expressão não simplificada. A B S S = AB AB AB Primeiramente vamos colocar no diagrama, o valor que a expressão assume em cada estado. 57

58 Uma vez entendida a colocação dos valores no diagrama, assumidos pela expressão em cada estado, vamos verificar como podemos efetuar a simplificação. Para isto, utilizamos o seguinte método: Tentamos agrupar as regiões onde "S" é igual a "1", no menor número possível de pares. As regiões onde "S" é "1", que não puderem ser agrupadas em pares, serão consideradas isoladamente. Assim, temos: Notamos que um par é o conjunto de duas regiões onde "S" é "1", que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos. O mesmo "1" pode pertencer a mais de um par. Feito isto, escrevemos a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama. O "Par 1" ocupa a região A e sua expressão será: Par 1 = A O "Par 2" ocupa a região B e sua expressão será: Par 2 = B Agora basta unirmos as expressões ao operador OU, para obtermos a expressão simplificada "S", logo: S = Par 1 + Par 2 S = A + B Como podemos notar, esta é a expressão de uma porta OU, pois a tabela da verdade também é da porta OU. É evidente que a minimização da expressão, simplifica o circuito e consequentemente, diminui o custo e a dificuldade de montagem. ATIVIDADE 4 1) Simplifique o circuito que executa a tabela da verdade abaixo, através do diagrama de Veitch- Karnaugh. A B S

59 24.2 DIAGRAMA PARA TRÊS VARIÁVEIS Para três variáveis temos o diagrama com a seguinte distribuição dos estados: Podemos também substituir por seus valores lógicos: E por expressões: Notamos que para cada quadrupla de quadrículas existe uma variável em comum. Como no estudo para duas variáveis, podemos agrupar as quadrículas formando duplas. Porém, agora podemos também formar quádruplos de quadrículas adjacentes ou em sequência, e ainda podemos utilizar as duplas laterais, pois estas se comunicam. Veja os exemplos de possíveis quadras: 59

60 Para melhor compreensão, vamos transpor para o diagrama, a tabela da verdade: A B C S Expressão extraída da tabela sem simplificação: S = A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C Transpondo para o diagrama. Para efetuarmos a simplificação, primeiramente, localizamos as quadras e escrevemos suas expressões, estas quadras podem ter quadrículas comuns. Feita a localização das quadras, agora localizaremos os pares e também escrevemos suas expressões. Não devemos considerar os pares já incluídos nas quadras, porém pode acontecer de termos um ou mais pares formados com um elemento externo à quadra e um outro interno. Por fim, localizamos e escrevemos as expressões dos termos isolados. Sendo assim, destacamos os seguintes grupos: 60

61 Escrevendo suas expressões temos: Quadra = B Par 1 = A C Par 2 = A C A expressão final minimizada será a união das expressões encontradas através do operador OU: S = B AC AC O circuito que executa a tabela será então desenhado na forma abaixo: Atividades 4 1) Ache a expressão simplificada das tabelas da verdade abaixo, através dos diagramas de Veitch- Karnaugh, a partir das saídas "1" das tabelas. 61

62 a) b) c) A B C S A B C S A B C S ) Simplifique a expressão S = A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C A. B. C através do diagrama de Veitch-Karnaugh, utilizando o padrão AND - OR. 62

63 24.3 DIAGRAMA PARA QUATRO VARIÁVEIS Para quatro variáveis, os estados são distribuídos no diagrama na forma abaixo: Substituindo por seus valores lógicos, temos: E por suas expressões: Observamos que para cada grupo de oitavas, existe uma variável em comum. 63

64 Além das duplas e quadras que podemos formar, para este número de variáveis podemos também agrupar oitavas adjacentes horizontais e verticais utilizando até mesmo as quadras laterais e superiores com as inferiores, pois as laterais e os extremos se comunicam. Vejamos os exemplos de grupos de oitavas: 64

65 Para elucidarmos melhor as regras acima, vamos transpor para o diagrama de Veitch-Karnaugh a seguinte tabela da verdade: A B C D S Expressão extraída da tabela sem simplificação: S = A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D A. B. C. D Transpondo para o diagrama 65

66 Para efetuarmos a simplificação, seguimos o mesmo procedimento dos diagramas de três variáveis, a única observação é que para quatro variáveis o principal agrupamento será a oitava. Devemos ressaltar, que neste diagrama, os lados e os extremos se comunicam, ou seja, podemos formar oitavas, quadras e pares com as quadrículas localizadas nos lados e nos extremos. Logo, destacamos os seguintes grupos: Escrevendo suas expressões temos: Oitava = B Quadra = C. D A expressão final será: S = Oitava + Quadra S = B + C. D O circuito que executa a tabela será assim desenhado 66

67 Atividade 5 1) Dadas às tabelas verdade abaixo, lançar no mapa de Karnaugh, realizar os agrupamentos, retirar a expressão equivalente e representar o circuito. a) A B C S b) A B C S

68 2) Simplifique direto do diagrama: (Lançar as respectivas variáveis da região do mapa conforme o modelo a seguir, memorize as regiões). a) b) c)

69 d) e) ) Lançar as expressões abaixo no mapa e simplificar por agrupamento: _ a) S = ABC + ABC + ABC + A B C + ABC 69

70 _ b) S = A B C + A B C + A B 4) Simplifique por agrupamento direto do mapa: ( Lançar as variáveis no mapa) Modelo a) b) c) 70

71 5) A tabela verdade abaixo possui 4 variáveis de entrada e 4 saídas, lance as saídas no mapa e simplifique por agrupamento. 71

72 6)Dadas as expressões abaixo lançar no mapa, agrupar e simplificar: _ a) S = A B C D + A B C D + ABCD + A B C D + A B C D + ABCD + ABCD 72

73 _ b) S = A B C D + A B C D + A B C D + ABCD + A B C D + A B C D 7)Desejamos construir um painel de luzes para uma casa de festas que tenha a seqüência descrita pela tabela verdade abaixo. Já possuímos um contador de quatro canais que efetua a contagem em código BCD e gostaríamos de construir uma interface para a mudança da seqüência. Desenvolva esta interface utilizando o mapa de karnaugh para cada saída. 73

74 Diagrama em Blocos Considerar: 1 = lâmpada acesa ; 0 = lâmpada apagada 74

75 REFERENCAIS BOYLESTAD, R.L.; NASHELSKY, L. Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos, 6 a ed. - Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., MALVINO. Albert Paul. Eletronica. Vol 1, 4º ed. São Paulo, Makron Books, TORRES, Gabriel. Fundamentos de Eletrônica. Rio de Janeiro: Editora Axcel Books, VETIN, Stefano E. Eletrônica Digital Módulo I. Ed. 1. Sociedade Educacional de Santa Catarina. 75

76 MÓDULO III ELETRÔNICA DIGITAL Atividades 1 1. D 2. C 3. B 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 9. D 10. D Atividades 2 1. B,C,A,E,D 2. V,F,F,V,V,F,V,V,F,F,V,V 3. 76

77 Atividades 3 1) A) S = {( A + B). (C + D)} B) S = {(A. B. C) + [(A + B). C]} C) S = (A. B) + (B. C) + (B + D) D) S = {[(A. B) + (A. B) + C]. (C + D)} 2) a) S = A + B 77

78 b) S = (A + B). C. (B + D) c) S = A. B. C + (A + B). C 78

79 d) S = {[[ (A. B) + (C. D) ]. E ]+ [ (A. D. E) + (C. D. E)]. A } 79

80 3) a) S = A B C + A B C + A B C + A B C 80

81 b) S = {A B C D + A B C D + A B C D + AB C D + A B C D} 81

82 4) Atividades 4 1) a) 82

83 b) c) 2) 83

84 Atividades 5 1)a) 84

85 85 Eletrônica Digital I

86 86 Eletrônica Digital I

87 87 Eletrônica Digital I

88 6) a) b) 7) 88

89 89 Eletrônica Digital I

90 90 Eletrônica Digital I

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