Técnicas Digitais TDI

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1 Educação Profissional Técnica Mecatrônica Técnicas Digitais TDI 2 o semestral

2 SENAI-SP, 2 Trabalho adaptado pela Faculdade SENAI de Tecnologia Mecatrônica e Gerência de Educação Diretoria Técnica Walter Vicioni Gonçalves Coordenação geral Equipe responsável Coordenação editorial Adaptação de conteúdos Revisão de texto Digitação Capa João Ricardo Santa Rosa Célio Torrecilha Airton Almeida de Moraes José Roberto Nunes do Espírito Santo Beatriz Dadalti SEDOC - Serviços especializados em mão de obra e transporte de documentos e impressos ltda. José Joaquim Pecegueiro Material adaptado de Comandos eletroeletrônicos, SENAI-SP. Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo. A violação dos direitos autorais é punível como crime com pena de prisão e multa, e indenizações diversas (Código Penal Leis N o e 6.895). SENAI Telefone Telefax SENAI on-line Home page Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Unidade de Gestão Corporativa SP Alameda Barão de Limeira, Campos Elíseos São Paulo - SP CEP 22- (XX) (XX)

3 Curso Técnico em Mecatrônica Unidades de ensino: Faculdade SENAI de Tecnologia Mecatrônica Rua Niterói, 8 - Centro São Caetano do Sul - SP Tel: () Fax: () Escola SENAI Anchieta Rua Gandavo, 55 - Vila Mariana São Paulo - SP Telefax: Escola SENAI Roberto Simonsen Rua Monsenhor Andrade, Brás - 38 São Paulo SP Te: () Fax: ()

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5 Apresentação O presente volume, Técnicas Digitais, apresenta conhecimentos teóricos de lógica digital e circuitos lógicos digitais. O objetivo deste volume é servir de apoio ao trabalho docente e fornecer material de referência aos alunos. Nele, procurou-se apresentar o conteúdo básico sobre os assuntos abordados, que são muito amplos e ricos. Por isso, a utilização de material de apoio, como manuais e catálogos dos fabricantes, vídeos e bibliografia extra, é aconselhável a fim de enriquecer sua aplicação. Aos docentes, desejamos que este material forneça um suporte adequado à sua atividade em sala de aula. Aos alunos, desejamos que ele seja não só a porta de entrada para o maravilhoso mundo da eletroeletrônica, mas também que indique os inúmeros caminhos que este mundo pode fornecer quando se tem curiosidade, criatividade e vontade de aprender.

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7 Sumário Sistemas de numeração 7 Operações aritméticas 5 Portas lógicas básicas 2 Portas lógicas derivadas 3 Lógica combinacional 45 Codificadores e decodificadores 63 Circuitos aritméticos 69 Circuitos multiplexadores e demultiplexadores 8 Famílias lógicas 93 Flip-flops 9 Contadores 23 Registrador de deslocamento 35 Conversor D/A 45 Conversor A/D 65 Verificação de funcionamento dos flip-flops RS e JK 75 Implementação de sistema de partida de motor trifásico com flip-flops RS 79 Verificação de funcionamento de um flip-flop JK em um sistema de partida de um motor trifásico 83 Montagem de um contador assíncrono 87 Montagem de um contador utilizando o módulo CL 2 9 Montagem de um contador síncrono 93 Verificação de funcionamento de um contador em anel 95 Verificação de funcionamento de um conversor série-paralelo 97 Verificação de funcionamento de circuitos multiplexadores e demultiplexadores 2 Aplicação de circuitos multiplexadores e demultiplexadores 23 Verificação de funcionamento de um circuito conversor D/A 25 Bibliografia 27

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9 Sistemas de numeração Neste capítulo, apresentaremos os sistemas de numeração que auxiliam o estudo das técnicas digitais e sistemas de computação. A partir do sistema decimal, estudaremos os sistemas binário e hexadecimal e o método de conversão entre esses sistemas. Para assimilar os conteúdos desta lição, é necessário que você conheça perfeitamente o sistema decimal. Sistemas de numeração Dos sistemas de numeração existentes, os mais utilizados são o decimal, o binário e o hexadecimal. Sistema de numeração decimal O sistema de numeração decimal utiliza dez algarismos para a sua codificação:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Assim, a base desse sistema é dez. Com esses dez algarismos, é possível representar qualquer grandeza numérica graças à característica do valor de posição. Desse modo, temos:! números que representam as unidades:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.! números que representam as dezenas:,, 2, 3, 4, 5...; nos quais o número da posição indica uma dezena e o outro dígito, a unidade.! números que representam as centenas:,, 2, 3, 4, 5, 6..., nos quais o valor de posição indica a centena, seguida pela dezena e pela unidade. Assim, por exemplo, o número 385 indica: SENAI 7

10 centenas dezenas unidades Ou seja: " 3 3 # " 3 " " 8 8 # " 8 " " 5 5 # " 5 " = 385 O número 385 também pode ser expresso por meio de uma potência de base dez: centenas Dezenas unidades " 3 3 # " 3 " " 8 8 # " 8 " " 5 5 # " 5 " 3 # # + 5 # Observação A potência da base indica o valor da posição do número. Sistema de numeração binário O sistema de numeração binário é empregado em circuitos lógicos digitais. Esse sistema possui apenas dois algarismos: e. Por isso, sua base é dois (dois dígitos). Cada dígito ou algarismo binário é chamado de bit (do inglês "binary digit", ou seja: dígito binário). Um bit é, pois, a menor unidade de informação nos circuitos digitais. 8 SENAI

11 A tabela a seguir mostra a correspondência entre números decimais e binários. Decimal Binário Decimal Binário Empregando a propriedade do valor de posição do dígito, podemos representar qualquer valor numérico com os dígitos e. Como a base da numeração binária é 2, o valor de posição é dado pelas potências de base 2, como mostra o quadro a seguir. Potências de base Valor de posição Binário O valor da posição é indicado pelo expoente da base do sistema numérico. Esse valor aumenta da direita para a esquerda. O valor da posição do bit mais significativo (de maior valor) será a base elevada a n - (n = número de dígitos). Por exemplo, é um número binário de 6 bits. Ao aplicar a fórmula, temos 6 - = 5. Assim, o bit mais significativo terá como valor de posição 2 5. Binário Valor de posição MSB (*) LSB (**) * MSB - do inglês most significant bit, ou seja, bit mais significativo. ** LSB - do inglês least significant bit, ou seja, bit menos significativo. A base é o elemento diferenciador entre um número do sistema binário e um do sistema decimal. Portanto, por ser um número base 2, é lido um, zero, um. Já, por ser um número de base, é ligado como cento e um. SENAI 9

12 Conversão de números do sistema binário para o decimal Para converter um número binário em decimal, deve-se multiplicar cada bit pelo seu valor de posição (que é indicado pela potência de base) e somar os resultados. Exemplo Na conversão de 2 para o sistema decimal, procede-se da seguinte forma: potência de binário valor de posição # 8 # 4 # 2 # n o decimal = Portanto, 2 = Observe a seguir uma tabela das potências de base 2. Potência Decimal Potência Decimal Conversão de números do sistema decimal para o sistema binário - Método prático A conversão de números do sistema decimal para o sistema binário é realizada efetuando-se divisões sucessivas do número decimal por 2 (base do sistema binário). Exemplo SENAI

13 O número binário é formado pelo quociente da última divisão e os restos das divisões sucessivas da direita para a esquerda: 29 = 2. Observação Todo número decimal par, ao ser convertido para binário, termina em zero. Por outro lado, todo o número decimal ímpar ao ser convertido para binário, terminará em um. Sistema de numeração hexadecimal O sistema de numeração hexadecimal tem a base 6. Os dezesseis símbolos que constituem a numeração hexadecimal são os seguintes algarismos e letras:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Este sistema é empregado em computação e em mapeamento de memórias de máquinas digitais que utilizam palavras de 4, 8 ou 6 bits. A tabela a seguir mostra a relação entre numeração decimal e a hexadecimal. Decimal Hexa Decimal Hexa Decimal Hexa B C D E F 26 A B C D E F Pela tabela, é possível observar que a contagem recomeça a cada 6 dígitos. Os valores de posição da numeração hexadecimal serão as potências de base 6. Observe o quadro a seguir. Potências de base Valores de posição SENAI

14 Conversão de números do sistema hexadecimal para o sistema decimal A conversão de um número hexadecimal é realizada de mesmo modo como nos sistemas já estudados. Ou seja, multiplicando-se cada dígito hexadecimal por seu valor de posição e somando-se os resultados. Exemplo Converter A8 6 em decimal. potências de número hexadecimal A 8 valor de posição # 256 # 6 8 # número decimal = 424 Portanto, A8 6 = 424 Conversão de números de sistema decimal para o sistema hexadecimal Para converter um número decimal em hexadecimal, executam-se divisões sucessivas do número decimal por 6, que é a base do sistema hexadecimal. O número hexadecimal será dado pelo último quociente e pelos restos das divisões. Exemplo O último quociente e os restos das divisões resultarão no número hexadecimal. Contudo, em número hexadecimal não existe o número 2. Na tabela já mostrada, vemos que a letra C em hexadecimal equivale ao número 2 decimal. Portanto, pela conversão, obtivemos o número 37C. Portanto, 242 = 37C. 2 SENAI

15 Conversão de números do sistema hexadecimal para o sistema binário A tabela a seguir mostra a correspondência entre o sistema hexadecimal e o binário. Hexadecimal Binário Hexadecimal Binário A B C D E F Pela tabela é possível observar que a cada código hexadecimal correspondem quatro dígitos binários. Desse modo, para converter cada algarismo ou letra do número hexadecimal no número binário correspondente. Esse número binário terá quatro dígitos. Exemplo Converter o número hexadecimal FACA 6 em seu correspondente no sistema binário. dígitos hexadecimais F A C A dígitos binários Portanto, FACA 6 = 2 Conversão de números do sistema binário para o hexadecimal Para converter um número binário em hexadecimal, basta separar o número binário, da direita para a esquerda, em grupos de quatro bits. Em seguida, converte-se cada grupo no algarismo hexadecimal correspondente. Observação Se não for possível formar um grupo de 4 bits, completa-se o grupo com zeros, ou seja:, por exemplo, daria. SENAI 3

16 Exemplo Converter 2 para o sistema hexadecimal dígitos binários número hexadecimal 4 D Na numeração hexadecimal não existe o número 3; em seu lugar usa-se a letra D. Portanto, o resultado da conversão será: 2 = 4D 6. 4 SENAI

17 Operações aritméticas Qualquer operação executada por equipamentos munidos de circuitos lógicos digitais é realizada necessariamente por meio de operações aritméticas ou lógicas entre palavras binárias. Neste capítulo, estudaremos as operações de adição, subtração e multiplicação, bem como as operações lógicas E, OU, NÃO efetuadas entre palavras binárias. Para compreender bem esse assunto, você precisa conhecer circuito integrado, operações lógicas e sistema binário. Operações aritméticas do sistema binário Para facilitar a compreensão de circuitos lógicos e aritméticos, tais como somadores e subtratores é necessário estudar as operações aritméticas de adição, subtração e multiplicação de números binários. Adição A operação de adição de números binários é idêntica à do sistema decimal. O sistema binário, como já sabemos, possui apenas dois algarismos: e. Para a realização da soma, existem as seguintes condições: + = + = + = + = e vai = (um, zero) SENAI 5

18 Observação Na condição + = (um, zero) está exemplificada a regra de transporte na qual é transportado para a coluna seguinte, ou seja, "vai um". Por exemplo, a soma de 2 + 2, de acordo com essas regras é realizada do seguinte modo: * * transporte ou vai-um Assim, = 2 Subtração O processo de subtração binária é igual ao de subtração decimal. As regras da subtração binária são: - = - = - = - = e "empresta um" Observação Na condição - = está exemplificada a regra de transporte na qual é emprestado da coluna seguinte. Veja, por exemplo, a subtração de 2-2 : Assim, 2-2 = 2 6 SENAI

19 Veja, agora, um exemplo com "empresta um": $ transporte ou empréstimo de Assim, 2-2 = 2 Subtração pelo "complemento" A subtração de números binários pode ser efetuada pela soma do complemento. Esse método possui três variações:! soma simples do complemento;! soma do complemento de ;! soma do complemento de 2. Subtração por soma simples do complemento Para realizar a subtração por soma simples do complemento, procede-se da seguinte forma:. determina-se o complemento do minuendo (transformando o em e o em ); 2. soma-se o subtraendo; 3. determina-se o complemento do resultado. Exemplo Subtrair 2 de 2 $ (complemento de ) + (complemento de ) Portanto, o resultado é 2. Pode-se provar a exatidão desse resultado comparando-se com o da subtração decimal: 2 $ 7-2 $ $ 5 2 SENAI 7

20 Subtração por soma do complemento de Esse método de subtração segue a seguinte seqüência:. determina-se o complemento de do subtraendo, transformando-se o em e o em ; 2. efetua-se a soma do minuendo com o complemento de do subtraendo; 3. soma-se o vai-um ao bit menos significativo. Exemplo Subtrair 2 de complemento de de " vai-um Soma do vai-um ao resultado: Portanto, é o resultado final. Pode-se comprovar esse resultado, comparando-o com o obtido na subtração decimal. - 2 $ 3 2 $ $ 7 Observação Se o subtraendo tiver menos dígitos do que o minuendo, deve-se completar com zeros as posições que faltarem antes de completar o subtraendo. Por exemplo: SENAI

21 O resultado pode ser provado se comparado com o resultado da operação executada com números decimais: 2 $ 9-2 $ $ 6 Subtração por soma do complemento de 2 O método de subtração pela soma do complemento de 2 segue a seguinte seqüência:. determina-se o complemento de do subtraendo; 2. soma-se ao subtraendo (complemento de ) a fim de obter o complemento de 2; 3. soma-se o minuendo com o complemento de 2 do subtraendo; 4. ignora-se o vai-um do resultado da soma. Exemplo Efetuar a seguinte subtração: 2-2 % complemento do subtraendo + % complemento de 2 do subtraendo % minuendo % complemento de 2 do subtraendo () Como o vai-um é ignorado, o resultado de 2-2 = 2. Multiplicação A multiplicação de números binários é feita do mesmo modo como no sistema decimal, ou seja:. =. =. =. = SENAI 9

22 Exemplo Multiplicar # SENAI

23 Portas lógicas básicas Os circuitos eletrônicos são divididos em dois grupos: circuitos analógicos e circuitos digitais. Nos circuitos analógicos, os componentes operam normalmente de forma contínua ou linear, como, por exemplo os amplificadores e as fontes reguladas. Os circuitos digitais, também chamados de chaveadores, empregam componentes que operam nos estados de corte ou saturação. É o caso de um transistor que, conectado a um circuito, em um momento está cortado e no outro, saturado. A partir deste momento, vamos começar a estudar os circuitos digitais. Antes, porém, serão apresentados conceitos básicos que você deverá aprender a fim de compreender melhor o funcionamento desse tipo de circuito. Eles são: estados ou níveis lógicos, funções lógicas e operações lógicas. Estados ou níveis lógicos Em sistemas digitais, trabalha-se com dois estados ou níveis lógicos, pois a eletrônica digital apoia-se no princípio da lógica que considera uma proposição verdadeira ou falsa. Assim, um ponto qualquer do circuito digital pode assumir apenas um de dois estados:! Ligado ou desligado! saturado ou cortado! alto ou baixo! com pulso ou sem pulso! fechado ou aberto! excitado ou desexcitado SENAI 2

24 Suponhamos, por exemplo, um circuito em que uma lâmpada é acionada por um interruptor. Nesse caso, a lâmpada pode assumir os dois estados: ligado ou desligado. Um relê, dentro de um circuito, assume os estados energizado ou desenergizado. Do mesmo modo, um transistor ligado como chave no circuito pode assumir os estados saturado ou em corte. Os sistemas digitais processam apenas os números binários (um) e (zero). Isso significa que se associarmos o valor binário a um estado ou nível lógico, associaremos o valor binário ao outro estado. Função lógica A função lógica (f) é uma variável dependente e binária. Seu valor é o resultado de uma operação lógica em que se relacionam entre si duas ou mais variáveis binárias. As funções lógicas operam com variáveis independentes (elementos de entrada em um circuito) e com variáveis dependentes (elementos de saída). Veja os circuitos a seguir. Convenção: A e B = Variáveis independentes (de entrada) Y ou S = Variável dependente (de saída) Normalmente, as variáveis lógicas independentes (de entrada) são representadas por letras maiúsculas A, B, C... N; as variáveis dependentes (de saída), por S ou Y. As funções lógicas têm apenas dois estados: o estado e o estado. 22 SENAI

25 Operações lógicas A relação entre duas ou mais variáveis que representam estados é estabelecida através de operações lógicas. As operações lógicas são:! produto ou multiplicação lógica;! soma lógica;! inversão. Essas operações, nos circuitos ou sistemas lógicos, são efetuadas por blocos denominados portas lógicas. Portas lógicas básicas Portas são unidades básicas de sistemas lógicos eletrônicos. Porta lógica é qualquer arranjo físico capaz de efetuar uma operação lógica. As portas lógicas operam com números binários, ou seja, com os dois estados lógicos e. Os sistemas digitais, mesmo os mais complexos como os computadores, são constituídos a partir de portas lógicas básicas. As portas lógicas básicas são três:! a porta E que realiza a operação produto ou multiplicação lógica;! a porta OU que realiza a operação soma lógica;! a porta NÃO ou inversora que realiza a operação inversão, ou negação ou complementação. Porta E A função E é aquela que assume o valor quando todas as variáveis de entrada forem iguais a ; e assume o valor quando uma ou todas as variáveis de entrada forem iguais a. SENAI 23

26 A operação E ("AND" em inglês), é a multiplicação ou o produto lógico de duas ou mais variáveis binárias. Essa operação pode ser expressa da seguinte maneira: Y = A # B. Essa expressão é lida da seguintes forma: a saída (Y) é igual a A e B. Observação O ponto (#) é uma função lógica e lê-se e. A figura a seguir mostra o circuito elétrico equivalente à porta E. Convenção: Chave Aberta = Chave Fechada = Lâmpada Apagada = Lâmpada Acesa = Neste circuito, a lâmpada (saída Y) acenderá () somente se ambas as chaves de entrada A e B estiverem fechadas (). A seguir, apresentamos todas as combinações possíveis das chaves A e B, assim como a respectiva tabela-verdade que é a forma de representação gráfica das funções lógicas. Combinações possíveis Tabela-verdade Chaves De entrada Saída (lâmpada) Entrada Saída B A Y B A Y Aberta aberta apagada Aberta fechada apagada Fechada aberta apagada Fechada fechada acesa 24 SENAI

27 Os símbolos ou blocos lógicos para a porta E são mostrados a seguir. Observe as duas variáveis de entrada A e B e a saída Y. Muitas vezes, um circuito lógico tem três variáveis, ou seja, uma porta E de três entradas (A, B e C) e uma saída (Y). Neste caso, a operação será expressa assim: A. B. C = Y ou Y = A. B. C. Os símbolos da porta E com três variáveis de entrada são mostrados a seguir. Observação É possível construir uma porta E de três entradas empregando duas portas E de duas entradas. A ilustração a seguir mostra o diagrama de blocos lógicos da porta E de três entradas bem como seu circuito elétrico equivalente. SENAI 25

28 As combinações possíveis da operação E com três variáveis e a tabela-verdade correspondente são apresentadas a seguir. Combinações possíveis Tabela verdade Chaves Saída de entrada (Lâmpada) Entradas Saídas C B A Y C B A Y aberta aberta aberta apagada aberta aberta fechada apagada aberta fechada aberta apagada aberta fechada fechada apagada fechada aberta aberta apagada fechada aberta fechada apagada fechada fechada aberta apagada fechada fechada fechada acesa Porta OU A função OU é aquela que assume valor quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a ; e assume o valor quando todas as variáveis de entrada forem iguais a. A operação OU, executada pela porta OU ("OR" em inglês) é a soma lógica de duas ou mais variáveis binárias. Essa operação é expressa do seguinte modo: Y = A + B. A expressão é lida da seguinte forma: a saída Y é igual a A ou B. Observação O símbolo (+) nesta expressão significa OU. A figura a seguir mostra o circuito elétrico equivalente à porta OU. Convenção: Chave Aberta = Chave Fechada = Lâmpada Apagada = Lâmpada Acesa = 26 SENAI

29 A lâmpada (Y) acenderá quando ou a chave A ou a chave B estiver fechada. Ela também acenderá quando A e B estiverem fechadas. Quando A e B estiverem abertas, a lâmpada não acenderá. A seguir veja as combinações possíveis das chaves e também a tabela-verdade da função OU. Combinações possíveis Tabela-verdade Chaves Saída de entrada (lâmpada) Entrada Saída B A Y B A Y aberta aberta apagada aberta fechada acesa fechada aberta acesa fechada fechada acesa Observe, nas tabelas, como a saída do circuito OU é ativada quando pelo menos uma ou todas as chaves estiverem fechadas. Os símbolos lógicos da porta OU com duas entradas (A e B) e a saída (Y) estão esquematizados na ilustração a seguir. Uma porta OU de três entradas apresenta as variáveis A, B e C para as entradas e Y para a saída. Neste caso, a operação será expressa da seguinte forma: A + B + C = Y Os símbolos da porta OU com três variáveis de entrada são mostrados a seguir. SENAI 27

30 Observação É possível construir uma porta OU de três entradas utilizando duas portas OU de duas entradas. A ilustração a seguir mostra o diagrama de blocos lógicos da porta OU de três entradas, bem como seu circuito elétrico equivalente. Observe agora a tabela das combinações possíveis da porta OU de três variáveis e sua respectiva tabela-verdade. Combinações possíveis Tabela verdade Chaves Saída de entrada (Lâmpada) Entradas Saídas C B A Y C B A Y aberta aberta aberta apagada aberta aberta fechada acesa aberta fechada aberta acesa aberta fechada fechada acesa Fechada aberta aberta acesa Fechada aberta fechada acesa Fechada fechada aberta acesa Fechada fechada fechada acesa Porta NÃO A função NÃO, ou função complemento, ou ainda, função inversora é a que inverte o estado da variável de entrada. Se a variável de entrada for, ela se tornará na saída. Se a variável de entrada for, ela se tornará na saída. 28 SENAI

31 A operação lógica inversão é realizada pela porta lógica NÃO ("NOT" em inglês). Ela consiste em converter uma dada proposição em uma proposição a ela oposta. É expressa da seguinte maneira: Y & A. Essa expressão é lida da seguinte forma: saída Y é igual a não A pois o traço sobre o A significa não. Para o A pode-se dizer também A barrado ou A negado. Veja a seguir o circuito elétrico equivalente a uma porta NÃO e seus símbolos lógicos. Convenção: Chave Aberta = Chave Fechada = Lâmpada Apagada = A lâmpada Y acenderá () quando a chave A estiver aberta (). Quando a chave A estiver fechada (), a lâmpada não acenderá. Veja a seguir, as combinações possíveis da chave e a respectiva tabela-verdade. Combinações possíveis Tabela verdade Chaves de Saida entrada (lâmpada) Entrada Saída A Y A Y aberta acesa fechada apagada Quando houver negação de uma variável já negada, ( A, que se lê: A barrado barrado; ou ainda, não não A), o resultado será a própria variável, ou seja: Y & A & A. Em uma expressão, quando o traço estiver sobre uma variável, somente essa variável é negada. Por exemplo, na expressão A B & Y, somente a variável A é negada. SENAI 29

32 O diagrama de blocos dessa expressão apresenta a seguinte configuração: Quando o traço estiver sobre toda a expressão, ou seja, expressão é que será negado. Y & A ' B, o resultado da Essa expressão é representada pelo diagrama de blocos mostrado a seguir. Observe que a negação atua sobre a saída da porta OU, que é o resultado da expressão. Pode-se demonstrar essa afirmação pela tabela-verdade da expressão A ' B & Y. Entrada A B A + B A ' B Y 3 SENAI

33 Portas lógicas derivadas Os sistemas digitais mais complexos como os computadores de grande porte, são construídos a partir das portas lógicas básica E, OU e NÃO. A partir dessas portas podem-se construir quatro outras portas denominadas de portas lógicas derivadas. Elas são: porta NE (ou NÃO E), a porta NOU (ou NÃO OU), a porta OU EXCLUSIVO e a porta NÃO OU EXCLUSIVO. Neste capítulo serão estudados os símbolos lógicos, a tabela-verdade e a expressão booleana das portas lógicas derivadas usadas em sistemas digitais. Vamos iniciar esse estudo por alguns conceitos da álgebra de Boole e que são necessários ao estudo da lógica digital. Para isso, é preciso ter conhecimentos anteriores sobre portas lógicas básicas e construção de tabela-verdade. Álgebra de Boole A Álgebra de Boole é a parte da matemática destinada à análise e projetos de sistemas lógicos. Seu criador foi o matemático George Boole (85-864). A álgebra booleana opera com variáveis que só podem assumir dois valores lógicos, usando para isso números binários. Assim, por exemplo, tanto a variável A, como a B e a Y podem assumir os valores ou. A álgebra booleana é aplicada aos sistemas digitais que também trabalham com dois estados ou níveis lógicos. Assim, para operar matematicamente dentro dos princípios da álgebra booleana, basta associar o valor binário a um dos estados lógicos e o valor binário ao outro estado. SENAI 3

34 Operações lógicas fundamentais Na álgebra booleana, as operações lógicas básicas são três: Operação Expressão Lê-se Multiplicação ou produto lógico - E A # B A e B Adição ou soma lógica - OU A + B A ou B Negação ou A barrado ou A complementação - NÃO não A Operação produto lógico A operação produto lógico (ou multiplicação) permite obter uma nova proposição (saída Y) a partir de duas ou mais proposições (variáveis A, B, C... N), ligadas pela palavra E. A expressão algébrica booleana para a operação E é: Y = A # B A expressão booleana da operação E com três variáveis é: Y = A # B # C A operação E é definida pela tabela a seguir. A B Y (A# B) Lembre-se de que a porta E pode ter duas ou mais entradas e terá sempre uma única saída. Essa saída terá o estado somente quando todas as entradas tiverem o estado. 32 SENAI

35 Propriedades da operação E As propriedades da operação E e as respectivas expressões booleanas são as seguintes:! associativa: A (BC) = (AB) C! comutativa: AB = BA! distributiva: A + (BC) = (A + B) (A + C) A título de exemplo, vamos demonstrar como, através da tabela-verdade, pode-se provar a propriedade associativa da operação E. A (BC) = (AB) C Y Y 2 A B C (B # C) A (BC) (A # C) (AB) C Observação As colunas dos resultados ou saída (Y) apresentam, linha por linha, os mesmos valores. Isso prova que A (BC) = (AB) C. Identidades básicas A operação E possui as seguintes identidades básicas: a) A # = b) A # = A c) A # A = A d) A # A = Observação É o postulado da multiplicação lógica que determina as regras da multiplicação booleana, ou seja: a) (A) # (B) = (Y) b) # = c) # = d) # = e) # = SENAI 33

36 Vamos agora analisar cada identidade básica a partir desse postulado. a) A # = Postula-se que todo número multiplicado por (zero) é igual a (zero). Temos assim as seguintes possibilidades: (A) # (B) = (Y) Se A = $ # = Se A = $ # = Assim, A # = b) A # = A Demonstramos que se : (A) # (B) = (Y) A = $ # = A = $ # = Portanto: A # = A c) A # A = A Existem duas possibilidades: (A) # (B) = (Y) Se A = $. = A = $ # = Portanto, A # A = A d) A # A = Analisando as possibilidades: (A) # (B) = (Y) Se A = e A = $ # = A = e A = $ # = Portanto: A # A = Operação soma lógica A operação soma ou adição lógica permite uma nova proposição (saída Y) a partir de duas ou mais proposições (variáveis A, B, C... N), ligadas pela palavra OU. A expressão algébrica booleana da operação OU é: Y = A + B. A saída é igual a A ou B. A expressão booleana da operação OU com três variáveis será: Y = A + B + C. 34 SENAI

37 A operação OU é definida pela tabela mostrada a seguir. A B Y (A + B) A porta OU pode ter duas ou mais entradas e uma só saída. Essa saída terá o estado quando pelo menos uma ou todas as entradas tiverem o estado. Propriedades da operação OU As propriedades da operação OU e as respectivas expressões booleanas são as seguintes:! associativa: A + (B + C) = (A + B) + C! comutativa: A + B = B + A! distributiva: A (B + C) = AB + AC A título de exemplo, a propriedade distributiva da operação OU A (B + C) = AB + AC, é demonstrada a seguir por meio da tabela-verdade. Y Y 2 A B C (B + C) A (B + C) A (B + C) (A # C) AB + AC Observação As colunas dos resultados ou saídas apresentam, linha por linha, os mesmos valores. Isso prova que: A (B + C) + AB + AC SENAI 35

38 Identidades básicas A operação OU possui as seguintes identidades básicas: a) A + = A b) A + = c) A + A = A d) A + A = Observação O postulado da adição determina as regras da adição dentro da álgebra booleana. (A) + (B) = (Y) a) + = b) + = c) + = d) + = A partir desse postulado é possível analisar cada identidade básica. a) A + = A As possibilidades são: (A) + (B) = (Y) se A = $ + = A = $ + = O resultado será, portanto, sempre A. b) A + = c) A + A = A (A) + (B) = (Y) se A = $ + = A = $ + = O resultado será sempre. Portanto, A + = (A) + (B) = (Y) se A = $ + = A = $ + = Conclui-se que ao efetuar a soma lógica da mesma variável, o resultado será essa mesma variável. d) A + A = É possível demonstrar que sempre que efetuarmos a soma lógica de uma variável ao seu complemento, o resultado será. (A) + (B) = (Y) Se A = e A = $ + = A = e A = $ + = 36 SENAI

39 Operação inversão A operação lógica inversão ou negação ou complementação consiste em converter uma proposição dada numa proposição a ela oposta. A expressão algébrica booleana da operação não de acordo com o enunciado é: A = A (a entrada A é igual à saída não A). A operação NÃO é definida pela seguinte tabela: A Y (A) A operação inversão, executada pela porta NÃO, tem apenas uma entrada e uma saída. A saída terá o estado quando a entrada for, pois a negação ou oposto de é. Identidades básicas As identidades básicas da operação NÃO são: (A) (B) (Y) a) A + A = b) A # A = c) A = A Observação Ao complemento de A, chamamos A (lê-se: não A ou A barrado). Desse modo, temos: A = A = A = A = a) A + A = (A) (B) (Y) Se A = e A = $ + = A = e A = $ + = Portanto, A ou A =. SENAI 37

40 b) A A = (A) (B) (Y) Se A = e A = $ # = A = e A = $ # = Portanto, A e A =. c) A = A (não não A = A) Se A = A = ; então A = Portanto, A = A Ou, A = $ A =, donde: A = Portanto, A = A. Portas lógicas derivadas As portas lógicas derivadas são:! porta NÃO E ou NE;! porta NÃO OU ou NOU;! porta OU EXCLUSIVO ou XOU;! porta NÃO OU-EXCLUSIVO ou XNOU Porta NÃO E (NE) Quando um inversor é conectado à saída de uma porta E, obtemos uma porta NÃO E ("NAND" em inglês), cujos diagramas de blocos são mostrados a seguir. Nos diagramas, as entradas A e B são submetidas a uma operação E (A # B). em seguida, A # B é invertida pela porta NÃO formando à saída a seguinte expressão booleana. Y & A. # B O traço sobre A. # B indica a inversão do produto A e B. 38 SENAI

41 A operação NÃO E é uma composição da operação E com a operação NÃO. Isso significa que ela resulta na função E invertida. Isso pode ser verificado na tabelaverdade a seguir. Entrada Saída A B (A# B) ( A # B) Os símbolos lógicos da porta NE são mostrados a seguir. A porta NÃO E como outros blocos lógicos pode ter duas ou mais entradas. É uma porta amplamente usada em sistemas digitais e é considerada a porta universal. Observação É possível obter um circuito NÃO E de várias entradas. Para isso, basta ligar as entradas em paralelo de modo que elas constituam uma única entrada, conforme mostra a ilustração a seguir. SENAI 39

42 Porta NÃO OU Quando se conecta um inversor à saída de um porta OU, obtemos uma porta NOU ("NOR" em inglês). O diagrama de blocos a seguir indica como é formada uma porta NOU. Nesse circuito, uma porta OU está conectada a um inversor. As entradas A e B são submetidas a uma operação OU (A + B). Em seguida, A + B é invertida pela porta NÃO, formando à saída a seguinte expressão booleana: Y & A ' B. A tabela-verdade a seguir mostra a operação da porta NOU. A coluna de saída da porta NOU é o complemento ou inversão da operação OU. Entrada Saída A B (A + B) A ' B A operação NÃO OU resulta verdadeira () quando todas as variáveis de que dependa são falsas (). Veja a seguir, os símbolos lógicos da porta NÃO OU. 4 SENAI

43 Porta OU-EXCLUSIVO (XOU) A porta OU-EXCLUSIVO ("XOR" em inglês) é ativada somente quando na entrada aparecer um número ímpar de uns. Ou, a saída será quando as variáveis de entrada forem diferentes. Na tabela-verdade a seguir, observe que as entradas das linhas 2 e 3 têm um número ímpar de uns. Entrada Saída A B Y Observe agora a expressão booleana da porta XOU extraída da tabela-verdade: Y & A # B ' A # B. Com essa expressão booleana, pode ser desenvolvido um circuito lógico usando portas E, OU e inversoras. Os circuitos mostrados podem ser também representados da seguinte maneira. Este circuito executa a função lógica XOU. A entrada A e a entrada B são submetidas juntas e exclusivamente a uma operação OU. SENAI 4

44 Veja a seguir os símbolos lógicos da porta XOU. A expressão booleana A ( B & Y é uma expressão XOU simplificada. O símbolo ( significa OU-EXCLUSIVO em álgebra booleana. A expressão Y & A ( B é lida da seguinte maneira: a saída é igual a A OU- EXCLUSIVO B. Porta NOU-EXCLUSIVO (XNOU) - Equivalência A porta NOU-EXCLUSIVO ("XNOR" em inglês) executa a operação NÃO OU- EXCLUSIVO que é a inversão do resultado da operação XOU (OU-EXCLUSIVO). Veja a seguir a tabela-verdade da porta NOU-EXCLUSIVO de duas entradas: Entrada Saída A B ( A ( B ) ( A ( B ) Observe que a saída da operação XNOU é a inversão da operação XOU. Portanto, se a expressão algébrica booleana de XOU é Y & A ( B, a expressão booleana de XNOU é a negação ou inversão de XOU, ou seja: Y & A ( B. Enquanto a porta XOU é um detetor de número ímpar de uns, a porta XNOU detecta números pares de uns. A porta XNOU produzirá uma saída quando um número par de uns aparecer nas entradas. 42 SENAI

45 O diagrama de blocos da porta XNOU é mostrado a seguir. Observe como uma saída da porta XOU é invertida, dando a função NOU- EXCLUSIVO. Veja a seguir os símbolos lógicos da porta XNOU. SENAI 43

46

47 Lógica combinacional Você já sabe que os circuitos lógicos correspondem a equações booleanas que, por sua vez, são extraídas da tabela-verdade. Contudo, construir circuitos lógicos diretamente das expressões booleanas da tabelaverdade é um processo complexo. Esses circuitos podem ser simplificados, o que facilita sua montagem e diminui o custo do sistema pela economia dos blocos lógicos necessários a sua construção. Neste capítulo, vamos estudar os postulados, teoremas, propriedades e identidade da álgebra booleana. Isso nos permitirá realizar a simplificação das expressões booleanas o que facilitará muito a execução dos circuitos combinatórios, ou seja, aqueles cuja saída depende das combinações das variáveis de entrada. Para estudar este capítulo, é importante ter os seguintes conhecimentos da álgebra booleana: propriedades e identidades básicas. Teorema de De Morgan Os teoremas de De Morgan são empregados para simplificar as expressões algébricas booleanas. Primeiramente, vamos demonstrar e comparar as leis postuladas por De Morgan. Em seguida, veremos a aplicação desses postulados. Teorema : O complemento do produto é igual à soma dos complementos. Ou seja: A # B & A ' B SENAI 45

48 Veja, com o auxílio da tabela-verdade, como os resultados de cada termo das expressões são iguais. A B A B A # B A # B A + B Este teorema pode também ser deduzido pela equivalência entre blocos lógicos, como por exemplo: A # B (porta NE) % $ A ' B (porta OU) Esse teorema pode ser aplicado para mais de duas variáveis: A # B # C #...N & ( A ' B ' C '...N) Teorema 2: O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. A ' B & A # B Este teorema é a extensão do primeiro. Assim, podemos escrever: A ' B ' C '...N & ( A # B # C #...N) 46 SENAI

49 A aplicação desse teorema é demonstrada pela equivalência entre blocos lógicos. A ' B (porta NOU) A # B (porta E) Generalizando: Com o auxílio do teorema de De Morgan, é fácil realizar a transferência de expressão booleana de termos mínimos para a de termos máximos. Observação Entende-se por expressão booleana de termos mínimos, a expressão booleana resultante da soma de produtos. Expressão booleana de termos máximos é aquela que resulta do produto das somas. Equações lógicas Para resolver qualquer problema, ou antes de iniciar um projeto lógico, constrói-se primeiramente a tabela-verdade. Da tabela-verdade, extrai-se a expressão booleana correspondentes à operação exata de um circuito digital. Expressão booleana de soma de produtos Pela análise da tabela-verdade de um operação OU-EXCLUSIVO, vamos mostrar como extrair uma expressão booleana de soma de produtos A B Y A # B A # B SENAI 47

50 A tabela-verdade mostra que apenas as linhas 2 e 3 da tabela geram a saída. Na linha 2, as variáveis de entrada correspondem a não A e B ( A # B ). A outra combinação de variáveis que gera é a da linha 3. Essas variáveis são o produto A # B. A B Y Ao realizar a soma desses produtos ( A # B ' A # B ), temos a expressão booleana completa, ou seja: Y & A # B ' A # B Esta é uma expressão de soma de produtos ou de termo mínimo. A expressão booleana Y & A # B ' A # B constitui-se num circuito de portas lógicas E-OU cujo diagrama de blocos lógicos é mostrado a seguir. Assim para a elaboração de um projeto lógico, deve-se:! construir a tabela-verdade;! determinar a partir da tabela-verdade, a expressão booleana de termos mínimos (soma de produtos);! a partir da expressão booleana de termos mínimos, esquematizar o circuito lógico. 48 SENAI

51 Expressão booleana de produto de somas Pela análise de uma operação OU-EXCLUSIVO, vamos demonstrar como extrair uma expressão booleana de produtos de somas. A B Y A # B A # B Na tabela-verdade, vemos que as linhas e 4 geram a saída. Dessas linhas será extraída a expressão booleana. Pelos resultados, chega-se à saída Y. A expressão booleana será: Y & A # B ' A # B Para chegar à saída Y, inverte-se a expressão: Y & A # B ' A # B Para simplificar essa expressão, aplica-se primeiramente o segundo teorema de De Morgan. Isso resulta na seguinte expressão: Y & A # B # A # B Aplicando, nessa expressão, o primeiro teorema de De Morgan, obteremos: Y & A ' B # A ' B Sabendo-se que duas negações equivalem a uma afirmação, então: Y & A ' B # A ' B Aplicando, então, a identidade básica em ambos os termos, chegamos a: Y & (A ' B) # (A ' B) SENAI 49

52 Essa expressão resultante é uma expressão de produto de somas ou de termo máximo. Agora você já sabe que as expressões booleanas podem ser tiradas de duas maneiras:! a partir dos uns de saída (termos mínimos ou soma de produtos).! a partir dos zeros (termos máximos ou produto da soma). Contudo, antes de extrair a expressão booleana de uma tabela-verdade, convém verificar que método oferece maior facilidade: tirar a expressão pelos uns ou pelos zeros Observe que na tabela verdade a seguir, é mais fácil extrair a expressão booleana pelos zeros (termos máximos ou produto da soma), pois pelos uns a expressão booleana seria mais longa e mais complexa. A B C Y o Termo A # B # C & Y o Termo A # B # C & Y Temos então, a expressão booleana das variáveis das linhas 5 e 8. Quando submetidas ao teorema de De Morgan, estas variáveis darão um termo da expressão booleana: o Termo 2 o Termo Y= ( A # B # C) + (A # B # C) Y = ( A ' B ' C) # ( A ' B ' C) Y = ( A ' B ' C) # ( A ' B ' C) Portanto, a expressão booleana de termos máximos (produto de somas) será: Y & (A ' B ' C) # (A ' B ' C) 5 SENAI

53 O diagrama de blocos OU-E, a seguir é a implementação da expressão retirada da tabela-verdade. Observe que as saídas das portas OU estão alimentando uma porta E. Aplicação dos teoremas de De MOrgan e de equações lógicas booleanas As leis e as propriedades fundamentais da operação da álgebra booleana permitem resolver problemas e projetos lógicos em diversas áreas. Através de um exemplo, vamos demonstrar a aplicação desses princípios. Exemplo No setor de operação de uma empresa, um alarme deverá disparar toda a vez que ocorrer uma das seguintes situações:! faltar energia elétrica, o gerador auxiliar não entrar em funcionamento e as luzes de emergência não acenderem; ou! faltar energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não acenderem; ou! houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência não acenderem; ou! houver energia elétrica, o gerador auxiliar funcionar e as luzes de emergência acenderem. Observação Lembre-se de que os passos a serem seguidos para resolver um problema lógico são:! a elaboração da tabela-verdade; SENAI 5

54 ! a extração da equação lógica;! a execução do circuito ou diagrama de blocos lógicos. Para elaborar a tabela verdade deste problema, observamos que há três variáveis a considerar:! a energia elétrica (A);! o gerador auxiliar (B);! as luzes de emergência (C). Uma vez identificadas as variáveis de entrada, estabelecemos a convenção em binário para as situações existentes:! falta de energia = existência de energia =! funcionamento do gerador = não-funcionamento do gerador =! luzes de emergência acesas = luzes de emergências apagadas =! alarme disparado = alarme não disparado = A tabela resultante é: A B C Y Observação A saída Y = é resultado das proposições dadas. Vejamos, por exemplo, a primeira proposição: se faltar energia elétrica (), o gerador auxiliar não entrar em funcionamento (), e as luzes de emergência não acenderem, o alarme disparará (). Tal situação está representada na linha 5 da tabela (). As demais situações nas linhas em que a saída for Y =. 52 SENAI

55 Montada a tabela-verdade, extraímos a expressão algébrica booleana a partir das situações em que Y =. Dessa forma, teremos a expressão booleana de termos mínimos ou de soma de produtos. Na tabela-verdade montada, as linhas 3, 4, 5 e 7 geram a saída (Y = ). Para a linha 3 gerar a saída, temos as variáveis de entrada uma operação E: A e B e C unidas por A # B# C Para a linha 4 gerar a saída, as entradas são expressão: A e B e C. Isso corresponde à A # B # C Na linha 5, temos as entradas A e B e C. A expressão booleana é: A # B # C Na linha 7, as entradas são A e B e C. A expressão booleana é: A # B # C A expressão booleana total será composta pela interligação desses quatro termos por uma operação OU. Y = A # B# C + A # B # C + A # B # C + A # B # C Essa expressão, também chamada expressão canônica, pode ser representada pelo diagrama de blocos de portas E e OU mostrado a seguir. SENAI 53

56 A expressão canônica que apresenta uma operação soma lógica (porta OU) como principal, é chamada de soma de produtos. Como vimos antes, a expressão booleana pode também ser extraída a partir dos resultados Y =. A expressão assim obtida será um produto de somas. No caso do exemplo apresentado, a tabela-verdade apresenta Y = nas linhas, 2, 6 e 8. A B C Y A # B # C 2 A # B # C A # B # C 7 8 A # B # C A expressão booleana final é: A # B # C + A # B # C + A # B # C + A # B # C = Y Inverte-se a equação para obter a expressão de Y: Y = A # B # C + A # B # C + A # B # C + A # B # C Aplicando-se o Teorema de De Morgan, tem-se Y & A.B. C ' A.B. C ' A.B. C ' A.B. C Simplificando a equação pela aplicação do teorema de De Morgan, temos: Y & A ' B ' C. A ' B ' C. A ' B ' C. A ' B ' C 54 SENAI

57 Embora essa expressão se apresente de forma diferente (produto das somas) daquela extraída pelos resultados Y = (soma dos produtos), ambas são iguais, o que pode ser comprovado por meio da tabela-verdade como é mostrado a seguir. Y = A # B # C + A # B # C + A # B # C + A # B # C A B C A # B # C A # B # C A # B # C A # B # C Y Y & A ' B ' C. A ' B ' C. A ' B ' C. A ' B ' C A B C A ' B ' C A ' B ' C A ' B ' C A ' B ' C Y Teoremas de absorção Os teoremas de absorção são os que definem identidades utilizadas para a simplificação de expressões booleanas. Quatro são os teoremas de absorção: A (A + B) = A A + AB = A A + AB = A + B A. ( A + B) = A. B SENAI 55

58 Esses teoremas podem ser demonstrados de dois modos: pela tabela-verdade ou pela aplicação de postulados, propriedades e teoremas da álgebra booleana. Teorema A (A + B) = A Aplicando a propriedade distributiva, temos a expressão: A [. ( + B)] = A Aplicando o princípio da identidade básica, temos: ( + B) = A (. ), donde se conclui: A = A Teorema 2 A + A. B = A Aplicando a tabela-verdade, provamos que A + A. B = A A B A. B A + B Observe que as colunas A e A + A. B são iguais. Teorema 3 A + A B = A + B Pela propriedade distributiva, obtemos a equação: A + A. A + B = A + B Pela identidade básica, obtemos: A + A = Dado que. A + B = A + B, concluímos que A + B = A + B. Assim, fica provado que: A + A B = A + B 56 SENAI

59 Teorema 4 A. ( A + B) = A. B Empregando a tabela-verdade, obtemos: A B A A + B A. ( A + B) A. B Verifique que A. ( A + B) = A, o que comprova as respectivas colunas da tabelaverdade. Simplificação de expressões algébricas De modo geral, a expressão booleana extraída da tabela-verdade é longa e complexa, embora essa expressão seja a base da construção do circuito lógico. Para que o circuito se torne mais prático, as expressões booleanas podem ser simplificadas por meio de dois métodos:! o método algébrico, que emprega os postulados, as propriedades, as identidades e os teoremas da álgebra de Boole;! o método prático que utiliza mapas para a simplificação. Método algébrico de simplificação Na simplificação de expressões booleanas pelo método algébrico, não há ordem determinada a ser seguida. Conforme a necessidade, aplicam-se os postulados, as propriedades, os teoremas e as identidades até obter uma forma reduzida da expressão original. Exemplo Dada a expressão: Y = A # B # C + A # B # C + A # B # C + A # B # C Aplica-se a propriedade distributiva nos termos e 2 e o resultado obtido será o seguinte: Y = ( A + A). B # C + A # B # C + A # B # C 3 4 SENAI 57

60 Pela identidade básica, obteremos: A + A = e. B # C = B # C Portanto: Y = B # C + A # B # C + A # B # C 2. Aplica-se igualmente a propriedade distributiva nos termos 3 e 4 e o resultado será: Y = B # C + B # C. ( A + A) Pela identidade básica, obteremos: A + A = e. B # C = B # C Portanto, Y = B # C + B # C Aplicando novamente a propriedade distributiva, obteremos: Y & B # (C ' C) ( C ' C) = e. B = B Assim, a forma final da expressão será: Y = B Método gráfico de simplificação (mapas de Karnaugh) A simplificação de expressões algébricas booleanas é um processo complexo e trabalhoso e pode apresentar resultado falso. O método de simplificação por meio de mapas de Karnaugh (método gráfico) oferece maior facilidade e segurança no processo de simplificação. 58 SENAI

61 Esses mapas permitem simplificar expressões booleanas com qualquer número de variáveis. Para cada expressão booleana, deve-se construir um mapa com diferentes números de casas. Assim:! expressões booleanas com duas variáveis (A, B) terão quatro casas (22): A A A B As variáveis, neste caso, podem ser A, B (A e B seriam as outras possibilidades)! expressões com três variáveis (A, B, C) terão 8 casas (23). BC BC BC BC A A! expressões com quatro variáveis terão dezesseis casas (24). CD CD CD CD AB AB AB AB A disposição das variáveis nas linhas horizontais e nas colunas pode ser feita em qualquer combinação de variáveis. O que se deve observar é que de uma casa para outra haja mudança em apenas uma variável. Por exemplo, na expressão com as variáveis A. B. C. D:! nas linhas horizontais, qualquer combinação pode dar início à seqüência. Iniciamos AB. AB AB AB AB SENAI 59

62 ! nas colunas, pode-se iniciar também por qualquer combinação; a cada coluna muda-se apenas uma variável. CD CD CD CD A casa formada pela intersecção de uma coluna com uma linha corresponde a uma combinação das variáveis de entrada, como acontece na tabela-verdade. Veja exemplo abaixo. A B C Y Utilização do mapa de Karnaugh Vamos tomar como exemplo a seguinte expressão extraída de uma tabela-verdade qualquer: Y = A # B # C + A # B # C + A # B # C + A # B # C + A # B # C Para simplificar a expressão, constrói-se, primeiramente, o mapa de acordo com o número de variáveis. No exemplo dado, três são as variáveis (23). A A BC BC BC BC 6 SENAI

63 O processo de simplificação é o seguinte:. Colocar nas casas de acordo com os termos da expressão. BC BC BC BC A A 2. Colocar ou deixar em branco as demais casas, cujos termos não correspondem à expressão. Observação O mapa poderá ser feito de outra forma, mas o resultado será o mesmo. 3. Enlaçar a maior quantidade de uns adjacentes em grupos de 2, 4 e 8 uns no mesmo laço como é mostrado a seguir. Observações! Não deixar nenhum número fora do laço; o mesmo número pode fazer parte de dois laços.! A primeira e a última linhas do mapa, assim como a primeira e e última colunas também são adjacentes. Verifique que os uns pertencentes à primeira e última colunas estão unidos pelo mesmo laço.! Não importa a maneira de enlaçar os uns, as respostas serão iguais e irão satisfazer a tabela-verdade. 4. Extrair a expressão simplificada, conforme mostramos a seguir. o laço: separar as variáveis comuns dos termos: ABC, ABC, ABC, ABC B 2 o laço: separar as variáveis comuns dos termos: ABC, ABC AB SENAI 6

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