FIBRADOS, CLASSES DE STIEFEL-WHITNEY E RESULTADOS DE NÃO IMERSÃO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FIBRADOS, CLASSES DE STIEFEL-WHITNEY E RESULTADOS DE NÃO IMERSÃO CAIO CARLEVARO INFORZATO São Carlos - SP Setembro de 2012

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA FIBRADOS, CLASSES DE STIEFEL-WHITNEY E RESULTADOS DE NÃO IMERSÃO CAIO CARLEVARO INFORZATO Dissertação apresentada ao PPGM da UFSCar como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientação: Profa. Dra. Adriana Ramos. São Carlos - SP Setembro de 2012

3 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar I43fc Inforzato, Caio Carlevaro. Fibrados, classes de Stiefel-Whitney e resultados de não imersão / Caio Carlevaro Inforzato. -- São Carlos : UFSCar, f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, Topologia. 2. Fibrados vetoriais. 3. Classes de Stiefel- Whitney. 4. Variedades diferenciáveis. I. Título. CDD: 514 (20 a )

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5 Agradecimentos À minha família; À minha orientadora Profa. Dra. Adriana Ramos, pelo incentivo e pela grande ajuda no desenvolvimento desta dissertação; Ao programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos e seus professores, pelos ensinamentos e pela oportunidade de realizar este trabalho; À CAPES e ao "Programa de Apoio ao Plano de Reestruturação e Expansão das Universidades Federais", REUNI, pelo apoio nanceiro.

6 Resumo Apresentamos um estudo introdutório de Variedades Suaves, Fibrados e Classes de Stiefel-Whitney (de brados vetorias reais). Explicamos que, dada uma certa variedade suave m-dimensional, as classes de Stiefel-Whitney do seu brado tangente podem ser usadas para garantir que tal variedade não imerge (suavemente) em certos espaços Euclidianos R j. Nesse sentido, consideramos a variedade Grassmanniana G 2,n, variedade dos 2-subespaços de R n+2, e realizamos um estudo detalhado do seguinte teorema de não imersão, provado por V. Oproiu [Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1977]: "Seja n > 1 um natural e considere s = 2 r tal que s 2n < 2s. Se n s 1, então G 2,n não imerge em R 2s 3 ; se n = s 1, então G 2,n não imerge em R 3s 3."

7 Abstract We present an introductory study of smooth manifolds, bundles and Stiefel- Whitney classes (of real vector bundles). We explained that, given a certain smooth m-dimensional manifold, the Stiefel- Whitney classes of its tangent bundle can be used to ensure that such a manifold does not immerse (smoothly) in certain Euclidean spaces R j. In this sense, we consider the Grassmann manifold G 2,n of the 2-subspaces of R n+2, and we carry out a detailed study of the following non-immersion theorem, proved by V. Oproiu [Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1977]: "Let n > 1 be a natural number and consider s = 2 r such that s 2n < 2s. If n = s 1, then G 2,n does not immerse in R 2s 3 ; if n = s 1, then G 2,n does not immerse in R 3s 3."

8 Sumário Introdução 8 1 Preliminares Variedades Suaves Funções diferenciáveis e Plano Tangente As variedades Grassmannianas G k,n Cohomologia com coecientes em Z Fibrados Fibrado coordenada Construção de brados a partir das funções de transição Fibrados Vetoriais O brado canônico sobre G k,n O Pull-Back e a Soma de Whitney O brado normal de uma imersão Classes de Stiefel-Whitney e resultados de não imersão Classes de Stiefel-Whitney Resultados de não imersão Sobre H (G k,n ) Resultados de não imersão de G 2,n

9 3.5 Demonstração do Teorema

10 Introdução Nesta dissertação realizamos, essencialmente, um estudo introdutório sobre duas teorias "sosticadas"e "modernas": brados e classes de Stiefel-Whitney. Além de seu valor intrínseco, essas duas teorias já estão consolidadas, pela literatura, como ferramentas úteis na abordagem de problemas diversos em Geometria e Topologia. Em particular, abordamos, neste trabalho, a estratégia de utilizar classes de Stiefel-Whitney nos chamados "resultados de não imersão". Tais resultados estão inseridos no contexto do teorema clássico de imersão de Whitney: Teorema. Se M é uma variedade diferenciável suave de dimensão n > 1, então existe uma imersão φ : M R 2n 1. [12] Observe que, se uma variedade pode ser imersa no espaço euclidiano R m, então ela pode ser imersa em R j para todo j > m. Neste ponto, cabe a pergunta: dada uma variedade fechada M n, n-dimensional, especíca, ela pode ser imersa em R n+k com k < n 1? O enunciado da questão acima é puramente geométrico; no entanto, como pretendemos explicar ao longo deste trabalho, uma resposta negativa pode ser garantida ao investigarmos certo elemento do anel de Cohomologia (com coecientes em Z 2 ) da variedade M n considerada; tal elemento especial é a classe de Stiefel-Whitney do brado tangente de M n. Como exemplo canônico, na Seção 3.2, utilizaremos essa estratégia para mostrar que M n = RP 2r (espaço projetivo real de dimensão n = 2 r ) não pode ser imerso 8

11 em R n+k com k < n 1; ou seja, para esta variedade fechada especíca, a codimensão de imersão garantida pelo Teorema de Whitney é a melhor possível. Seguindo essa linha, Oproiu provou em [14] resultados de não imersão para as variedades Grassmannianas M 2n = G 2,n (espaço dos 2-subespaços de R n+2 ). Mais precisamente, ele provou o seguinte Teorema. Seja n > 1 um natural e considere s = 2 r tal que s 2n < 2s. Então: 1. G 2,n não imerge em R 2s 3, para n s 1; 2. G 2,s 1 não imerge em R 3s 3. Nosso principal objetivo, neste trabalho, é desenvolver os requisitos necessários para apresentar um estudo detalhado da demonstração do teorema acima. Observe que: para o caso particular n = 2 r, esse teorema garante que G 2,n não imerge em R 2n 3 ; daí, pelo teorema de imersão de Whitney, o problema de imersão só continua "aberto"para R 2n 2. A seguir, indicamos o modo com que esta dissertação está organizada. No capítulo 1, Preliminares, reunimos conceitos e resultados de Cohomologia singular (e celular) básicos para o que segue; além disso, desenvolvemos um estudo introdutório sobre variedades suaves. O capítulo 2, Fibrados, é dedicado ao conceito de Fibrado em um enfoque mais amplo, conforme Steenrood [8], e, em especial, ao conceito de Fibrado Vetorial (real). No terceiro e último capítulo, intitulado "Classes de Stiefel-Whitney e resultados de não imersão", denimos axiomaticamente classes de Stiefel-Whitney e discorremos sobre alguns resultados relevantes. Apresentamos, em seguida, alguns resultados conhecidos sobre o anel de Cohomologia de G 2,n, conforme [15] (em termos dos cociclos de Schubert ). Finalmente, na Seção 3.4, realizamos nosso principal estudo: a demonstração do teorema de Oproiu enunciado anteriormente. 9

12 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo estabelecemos notações, denições e resultados elementares para a compreensão dos capítulos que seguem. Admitimos que o leitor tenha familiaridade com tópicos básicos de Topologia Geral e de Topologia Algébrica (em especial com Homologia e Cohomologia Singulares). Nesse contexto, usamos e indicamos [7], [4] e [6] como principais referências. 1.1 Variedades Suaves Denição Um espaço topológico X é dito ser uma variedade topológica de dimensão n se X é um espaço de Hausdor com base enumerável e localmente n-euclidiano, isto é, para cada p X existe uma vizinhança U de p homeomarfa a um aberto de R n. Lema Seja X uma variedade topológica de dimensão n. Então X é localmente conexo, localmente compacto, regular e metrizável. Dem.: Sejam p X, U uma vizinhança de p homeomorfa a U (aberto de R n ) e φ : U U homeomorsmo. Então dado V uma vizinhança de p temos que existe um aberto W, com W U V, e φ(w ) = B ɛ (φ(p)) (bola aberta centrada em φ(p) de raio ɛ) com φ(w ) = B ɛ (φ(p)) U. 10

13 Assim, W é conexo e W é compacto e, portanto, X é localmente compacto e localmente conexo. Como X é de Hausdor, segue que também é regular. Assim, pelo Teorema de metrização de Urysohn, concluímos que X é metrizável. Sabemos que todo espaço métrico é paracompacto (Teorema de Stone); assim, pelo Lema anterior, toda variedade topológica é um espaço paracompacto. Exemplo Todo subconjunto aberto de R n dimensão n. é uma variedade topológica de Exemplo Seja S n R n+1, a esfera n-dimensional. Então S n é uma variedade topológica n-dimensional. De fato: S n é um espaço de Hausdor com base enumerável e, além disso, todo ponto p S n pertence a um dos conjuntos H + i = {(x 1,..., x n+1 ) R n ; x i > 0} H i = {(x 1,..., x n+1 ) R n ; x i < 0}, i 1,..., n + 1. Mas cada um desses conjuntos é homeomorfo à bola aberta centrada em 0 e raio 1, B 1 (0) de R n (basta considerar φ ± i : H ± i B 1 (0), dada por φ ± i (x) = (x 1,..., x i 1, x i+1,... x n+1 )). Logo S n é localmente n-euclidiano. Denição Seja X um espaço topológico. Um atlas C de dimensão n N para X é uma coleção A = {(U α, φ α )} de cartas, isto é, pares da forma (U α, φ α ) com U α X aberto de X e φ α : U α φ α (U α ) homeomorsmo sobre um aberto φ α (U α ) de R n, tal que: 1. A coleção {U α } cobre X; 2. Se U α U β então φ α φ 1 β : φ β (U α U β ) φ α (U α U β ) é um difeomorsmo de classe C (isto é, as cartas são C -compatíveis). Um atlas A é maximal se toda carta (U α, φ α ) de X que é C -compatível com qualquer carta de A está em A. 11

14 Lema Seja X um espaço topológico e A um atlas C de dimensão n N para X. Então existe um único atlas maximal A para X que contém A. Dem.: Basta considerar A = {(U, φ); (U, φ) é uma carta C -compatível com todas as cartas de A }. É fácil vericar que A é atlas maximal de X e comtém A. Denição Uma variedade diferenciável suave n-dimensional ou, simplesmente, uma variedade diferenciável n-dimensional (M, A) é um par formado por um espaço topológico Hausdor com base enumerável M e A um atlas maximal C de dimensão n. Se, além disso, M é compacto então M é chamado de variedade fechada. n. Denotaremos por M n uma variedade diferenciável suave (M, A) de dimensão Como toda variedade diferenciável (M, A) é também variedade topológica, segue, pelo Lema 1.1.2, que M é localmente compacto, localmente conexo e metrizável (e portanto paracompacto). Exemplo O espaço Euclidiano R n é uma variedade diferenciável de dimensão n, pois é claramente Hausdor, possui base enumerável e o atlas maximal considerado é o que contém o atlas {id R n}. De forma geral, qualquer subconjunto aberto A de R n é uma variedade diferenciável de dimensão n, quando consideramos o atlas maximal que contém {i : A R n }, onde i é a função inclusão. Exemplo Sejam as funções φ ± i : H ± i B 1 (0) como no Exemplo Então {φ ± i : H ± i B 1 (0)} é um atlas C para S n e assim S n possui estrutura de variedade diferenciável n-dimensional. Exemplo Sejam M m e N n variedades diferenciáveis. Vamos denir um atlas de dimensão m + n no espaço produto M N, considerando a coleção de todos os homeomorsmos da forma x y : U V R n+m, com (x, U) e (y, V ) 12

15 cartas de M e N respectivamente, denidos por (x y)(z, w) = (x(z), y(w)). Como (x 1 y 1 ) (x y) 1 = (x 1 x 1 ) (y 1 y 1 ), segue que tal coleção é atlas para M N e este espaço é variedade diferenciável de dimensão m + n. Podemos generalizar tal resultado considerando r variedades V n 1 1,..., Vr nr e obtemos, analogamente, uma estrutura de variedade diferenciável para V 1... V r, com dimensão n n r Funções diferenciáveis e Plano Tangente Denição Sejam M m e N n variedades diferenciáveis e f : M N função de M em N. Então f é diferenciável em p 0 M, se existem uma carta (U, x) de M e (U, y) carta de N tais que: p 0 U, f(u) U e y f x 1 é diferenciável de classe C em x(p 0 ). Se f é diferenciável em todos os pontos de M, então dizemos que f é diferenciável. Se para cada p M existem (U, x) e (U, y) cartas de M e N respectivamente, tais que y f x 1 é diferenciável e de classe C k, 1 k, então f é dita ser uma função de classe C k. A aplicação y f x 1, denida acima, é a expressão de f nas coordenadas x e y, e será denotada por f x,y. Neste trabalho, ao falarmos "função diferenciável" ca subentendido ser diferenciável de classe C. Sejam X variedade de dimensão n e p X. Considere C p = {f : J X; J é intervalo aberto de R, 0 J e f é diferenciável em 0 com f(0) = p}. Considere uma carta (U, x) de X, p U. Então para toda curva f C p, existe um aberto J J tal que f(j ) U e x f J é uma curva diferenciável em 0. Além disso (x f J ) (0) não depende de J, assim denotaremos tal curva, simplesmente por x f. Denimos uma relação de equivalência em C p dada por: f g se, somente se, (x f) (0) = (x g) (0), para certa carta (U, x) de X. É facil ver que, isto implica 13

16 (y f) (0) = (y g) (0), para toda carta (V, y) de X e portanto é uma relação de equivalência. O espaço quociente C p / é o plano tangente de X passando por p, e será denotado por T p X. Para cada (U, x) carta de X, p U, a função Ψ U : T p X R n, Ψ U ([f]) = (x f) (0) está bem denida, é bijetora e assim T p X tem naturalmente uma estrutura de espaço vetorial de dimensão n e Ψ U é um isomorsmo. As operações de adição e multiplicação por escalar são dadas respectivamente por: [f] + [g] = Ψ 1 U (Ψ U([f]) + Ψ U ([g])), f, g C p ; α [f] = Ψ 1 U (αψ U([f])), α R, f C p. As operações denidas acima independem da escolha da carta (U, x). Suponha f : M m N n diferenciável e p M. Sejam (U, x) e (V, y) cartas de M m e N n respectivamente, tais que f(u) V. Então o diagrama abaixo comuta T p M f (p) Tf(p) N Ψ U Ψ V R m R n f x,y(x(p)) De fato: para todo [λ] T p M, temos que: Ψ V f (p)([λ]) = Ψ V ([f λ]) = (y f λ) (0) = = (f x,y (x λ)) (0) = f x,y(x(p)) Ψ U ([λ]). Denição Se f : M N é uma função diferenciável, então para cada p M, f (p) : T p M T f(p) N, dada por f (p) [g] = [f g], é a transformação derivada de f no ponto p. Tal aplicação está bem denida e é linear. Se f (p) é injetora para todo p em M, então f é dita ser uma imersão, e se, além disso, f é um homeomorsmo sobre a imagem, então f é chamada de mergulho. 14

17 Como o diagrama anterior comuta, temos que se f é uma imersão então f x,y(x(p)) é injetora, para todo p U M, (U, x) carta de M, (V, y) carta de N, tais que f(u) V. Os dois principais resultados que enunciaremos neste capítulo são os famosos teoremas de imersão e mergulho de Whitney: Teorema (Teorema de imersão de Whitney.). Se M é uma variedade diferenciável suave de dimensão n > 1, então existe uma imersão φ : M R 2n 1. Teorema (Teorema de mergulho de Whitney.). Se M é uma variedade diferenciável suave de dimensão n, então existe um mergulho ψ : M R 2n. Para a demonstração destes teoremas vide [12]. Uma superfície de dimensão n é um subespaço topológico S de R m (n m) tal que para todo ponto p S existe uma vizinhaça V de p e um homeomorsmo diferenciável γ : U V, de U aberto de R n, de tal forma que a transformação derivada γ (x) : R n R m é injetora para todo x U. Pelo Teorema de Mergulho de Whitney, temos que toda variedade X n é mergulhada em R 2n+1. Considere f um tal mergulho. Então X e f(x) são homeomorfos e f(x) é uma superfície de dimensão n, pois dado p f(x), escolha (U, φ) carta de X de tal forma que p f(u) (f(u) é aberto em f(x), pois f é homeomorsmo sobre a imagem), então f φ 1 : φ(u) f(u) é diferenciável e (f φ) (w) é injetora para todo w φ(u), pois f é imersão. Portanto, toda variedade pode ser identicada com uma superfície de mesma dimensão. Nosso objetivo será estudar certas variedades (as Grassmannianas G 1,n e G 2,n ), que serão apresentadas na subseção seguinte, e encontrar condições necessárias para a imersão destas variedades em R m. 15

18 1.1.2 As variedades Grassmannianas G k,n Seja G k,n o conjunto de todos os subespaços vetoriais de R k+n de dimensão k. Vamos denir uma estrutura diferenciável de tal forma que G k,n seja uma variedade fechada de dimensão kn, que são chamadas de variedades Grassmannianas G k,n. Para isto, vamos utilizar o Teorema Considere X um conjunto. Suponha que exista uma coleção A = {(U i, φ i ), i J}, U i X e φ i : U i R n funções injetoras, tais que : 1. φ i (U i ) é aberto em R n, para todo i J; 2. i JU i = X; 3. Se U i U j então φ i (U i U j ) e φ j (U i U j ) são abertos de R n, tais que φ i φ 1 j : φ j (U i U j ) φ i (U i U j ) é um difeomorsmo de classe C. Então, existe uma única topologia para X tal que A é um atlas de dimensão n. Tal topologia é Hausdor se, e somente se, para todo U i e U j, não disjuntos, não existe uma sequência de pontos (z n ), em φ i (U i U j ), com z n z φ i (U i U j ) e φ j φ 1 i (z n ) z φ j (U j U i ). Dem.: Dena τ = {A X; φ i (A U i ) é aberto em R n, i J}. É facil ver que τ é topologia para X. Seja U i subconjunto de X. Então, para todo j J, temos que φ j (U j U i ) é aberto de R n, assim cada U i é um aberto de (X, τ). Além disso, se A U i é aberto, então φ i (A) = φ i (A U i ) é aberto de φ i (U i ), logo φ i é aplicação aberta. Se C R n é aberto então, φ j (φ 1 i (C) U j ) = (φ j φ 1 i (C)) φ j (U j ), para todo j J, desse modo φ i é contínua. Logo, A é um atlas de dimensão n para X. Suponha que exista outra topologia para X, τ de tal modo que A é um atlas para X. Então cada U i pertence a τ e se U τ então U U i τ e φ i (U U i ) é aberto em R n, assim τ τ. 16

19 Suponha que A X, φ i (A U i ) é aberto em R n para todo j J. Então, como A = φ 1 (φ(a U j )), segue que τ τ, e portanto tal topologia é única. j Para o restante da demonstração vide [1, p.115]. Para cada Y G k,n, k-subespaço de R n+k, associamos uma certa matriz M M n+k,k (R), tal que as colunas desta matriz formam uma base para Y. Esta matriz M é chamada de matriz de coordenadas homogêneas de Y. Sabemos que qualquer outra matriz M M n+k,k (R) nestas condições é da forma M = MA, com A GL k (R) (grupo das matrizes reais inversíveis de ordem k). Dado um subconjunto α {1, 2,..., n + k}, α = {i 1 < i 2 <... < i k }, denotaremos por α(m) a matriz de ordem k formada pelas linhas i 1, i 2,..., i k de M e pelas colunas de M. Indicamos por α o complementar de α com relação a {1, 2,..., n + k}. Verica-se que α(y A) = α(y )A e α (Y A) = α (Y )A, para toda matriz Y M n+k,k (R) e toda matriz A inversível de ordem k. Para cada α {1, 2,..., n + k}, denimos o conjunto U α G n,k, formado pelos subespaços H, tais que p α : R n+k [e i1, e i2,..., e ik ], projeção ortogonal sobre [e i1, e i2,..., e ik ] leva H sobre a imagem. Isto equivale a dizer que α(y ) é inversível. Deniremos bijeções x α : U α R nk, para cada α = {i 1 < i 2 <... < i k }. Identicamos R kn com M n,k (R). Pomos x α (H) = α (Y α(y ) 1 ), H U α e Y matriz de coordenadas homogeneas de H. Tal função está bem denida, pois se Y = Y A, então α (Y Aα(Y A) 1 ) = α (Y )AA 1 α(y ) 1 = x α (H). Também temos que x α é bijetora. Dado H M n,k (R), dena M M n+k,k (R), tal que α(m) = Id k e α (M) = H, então Y, gerado pelas colunas de M é elemento de U α e x α (Y ) = H, e portanto x α é sobrejetora. Se X, Y G k,n, então sempre podemos escolher matrizes M e N que representam Y e X respectivamente, tais que α(m) = α(n) = Id k e x α (Y ) = x α (X) 17

20 α (M) = α (N). Logo M = N e X = Y. Sabemos também que {U α } cobre X, pois todo Y G k,n tem matriz de coordenadas homogeneas H com posto r. Assim, existe α {1, 2,..., n + k}, α(h) é invertível. Agora suponha α, β subconjuntos de {1, 2,..., n + k}, U α e U β não disjuntos. As aplicações ᾱ : M n,k (R) M n+k,k (R) tal que α (ᾱ(w )) = W e α(ᾱ(w )) = Id, e β : M n+k,k (R) M k (R), W β(w ) são contínuas. Verica-se que x α (U α U β ) = (β ᾱ) 1 (GL k ), logo é aberto em R nk. Além disso x β x 1 α (W ) = β (ᾱ(w ))β(ᾱ(w )) 1, o que mostra que as funções coordenadas de x β x 1 α são de classe C. são polinômios e, portanto, Assim, pelo teorema anterior, existe uma topologia para G k,n tal que {(U α x α )} é atlas C. Tal topologia tem base enumerável, pois cada U α tem base enumerável e existem apenas um número nito destes abertos U α. Também temos que G k,n é Hausdor, pois se α β e (W i ) é uma sequência em x α (U α U β ) (considerado como subconjunto de M n,k (R)), com W i W, W x α (U α U β ), então β(ᾱ(w )) não é inversível e, desse modo, [β(ᾱ(w i ))] 1 não pode convergir, e x β x 1 α (W i ) diverge. Assim, se considerarmos o atlas maximal que contém {(U α x α )}, segue que G k,n é variedade diferenciável de dimensão kn. Para ver que G k,n é compacto, considere V k (R n+k ), o cojunto das matrizes (n + k) k cuja as colunas são linearmente independentes, e ψ : V k (R n+k ) G k,n tal que ψ(h) é o subespaço gerado pelas colunas de H. Provemos que ψ é contínua. Para cada α = {i 1 < i 2 <... < i k } {1,..., n + k}, denotamos por V α o conjunto ψ 1 (U α ) formado por todas as matrizes Y V k (R n+k ), tais que α(y ) é invertível. Como α : V k (R n+k ) M k (R) é contínua e o conjunto das matrizes inversíveis é aberto, segue que V α é aberto. Portanto, para provar a continuidade da função ψ, basta provar que ψ Vα : V α U α é contínua para todo α = {i 1 < i 2 <... < i k } {1,..., n + k}. Mas 18

21 x α ψ Vα (Y ) = α α(y ) 1 para todo Y V α. Assim, x α ψ Vα é contínua, o que implica na continuidade de ψ Vα, pois x α é homeomorsmo. Considere F, o conjunto de todas as matrizes de V k (R n+k ) em que suas colunas formam um conjunto ortonormal. Então F é compacto, pois se considerarmos o homeomorsmo: Φ : M (k+n),k (R) R k(k+n), dado por Φ([c 1,..., c k ]) = (c 1,..., c k ), onde [c 1,..., c k ] denota a matriz cuja as colunas são c 1,..., c k.temos que Φ(F ) é fechado e limitado pois (c 1,..., c k ) k para toda matriz [c 1,..., c k ] F. Portanto F é compacto e como todo subespaço em G k,n possui base ortonormal, segue que G k,n = ψ(f ) e assim é compacto. Note que, quando k = 1, G 1,n = RP n é o n-espaço projetivo real. 1.2 Cohomologia com coecientes em Z 2 Lembramos que o anel de cohomologia singular de um espaço topológico B, com coecientes no anel Z 2 dos inteiros módulo 2, é o anel graduado H (B) = H i (B), i=0 a soma direta dos Z 2 -módulos de cohomologia (singular) de B, H i (B), munido do produto cup e com unidade 1 H 0 (B). Os elementos de H (B) são da forma w = w 0 + w w n, com w i H i (B). Se x H i (B) e y H j (B), então o produto cup de x e y será denotado por xy H i+j (B). Se f : B B é uma função contínua entre dois espaços topológicos B e B, então, para cada inteiro n 0, o homomorsmo induzido em cohomologia é denotado por fn : H n (B ) H n (B). Tais homomorsmos denem um 19

22 homomorsmo de anéis f : H (B ) H (B) dado por: f (w 0 + w w n ) = f0 (w 0 ) + f1 (w 1 ) fn(w n ), com f (1) = 1. Observe que, para qualquer espaço topológico X, H (X) é um anel comutativo, pois: se x H i (X, Z 2 ) e y H j (X, Z 2 ), então xy = ( 1) i+j yx = yx. Além disso, temos o seguinte Lema Todo elemento w H (B) com w 0 = 1 tem inverso multiplicativo. Denotaremos tal elemento por w, isto é: ww = ww = 1. Dem.: Considere w 0 = 1, w 1 = w 1 e dena recursivamente w, por: n 1 w n = (w i w n i ) + w n, n > 1. i=1 Então w H (B, Z 2 ), (w w) 0 = 1 e (w w) 1 = w 1 + w 1 = 0. Se n > 1 então n+1 (w w) n+1 = (w j w n+1 j ) + w n+1 = j=1 n (w j w n+1 j ) + w n+1 + w n+1 = j=1 = w n+1 + w n+1 = 0. Assim (w w) i = 0 i 1. Logo ww = 1. Como consequência desse Lema, obtemos que o subconjunto de H (B) formado por elementos w H (B) tais que w 0 = 1, munido do produto cup, é um grupo abeliano. Para os nossos propósitos, vale lembrar a estrutura do anel de cohomologia H (RP n, Z 2 ) (vide [7]): H i (RP n, Z 2 ) Z 2, se 0 i n = 0, se i > n 20

23 Denotando por a o elemento não nulo de H 1 (RP n, Z 2 ) temos que a i = a... a (produto cup de i fatores iguais a a) é o elemento não nulo de H i (RP n, Z 2 ) para todo 1 i n. Sendo M n variedade conexa, sabemos que: H n (M n, Z 2 ) = Z 2 e H i (M n, Z 2 ) = 0 se i > n (vide [4]). Agora, faremos uma breve recordação sobre Homologia e Cohomologia celular com coecientes em Z 2. Uma n-célula aberta e é um espaço topológico homeomorfo a bola aberta B n (0, 1) = {x R n, x < 1}, para certo inteiro n 0. Um C-W complexo é um par (X, {e α }), formado por um espaço topológico X e uma coleção {e α } de células abertas contidas em X tal que: 1. e α = X; 2. Para cada α, existe uma função contínua f α : D n (0, 1) X, (D n (0, 1) é o fecho de B n (0, 1) em R n ), tal que a restrição f α B n (0,1) é homeomorsmo sobre a imagem e α, n-célula, e f(s n 1 ) está contido em uma união nita de r-células com r < n; 3. Se F X e F e α é fechado em e α, para cada e α, então, F é fechado em X. Denotaremos por X n a união de todas as r-células de e α com r n; X n é o n-esqueleto do C-W complexo X. Dado C-W complexo X, associamos um complexo de cadeias, denotado por C (X):... C i (X) i Ci 1 (X) i 1 C i 2 (X)... onde C i (X) = H i (X i, X i 1 ) para todo i 0 e C i (X) = 0 se i < 0. Os elementos de C i (X) são chamados de cadeias em X. O homomorsmo i é denido pela composição dos homomorsmos já conhecidos 21

24 H i (X i, X i 1 ) Hi 1 (X i 1 ) π Hi 1 (X i 1, X i 2 ) onde π é o homomorsmo induzido de π : X i 1 (X i 1, X i 2 ) dado por π(x) = x e é o homomorsmo conectante denido de tal forma que... H i (X i ) π Hi (X i, X i 1 ) Hi 1 (X i 1 ) π Hi 1 (X i 1, X i 2 )... é sequência exata. O complexo de cadeias C (X) é chamado de complexo de cadeias celular do C-W complexo X. É conhecido que C n (X) e α N H i (e α, e α p α ) Z 2, onde cada p α é ponto e α N de cada célula e α e N é o conjunto de todas as n-células de X (vide [2] página 261). Assim, C n (X) é um Z 2 -espaço vetorial de dimensão igual à cardinalidade de N e cada célula e α pode ser identicada como uma cadeia de X (e j) j N com e j = e α se j = e α e e j = 0 para j e α. O n-ésimo Z 2 -módulo de homologia do complexo de cadeias C (X) é denido por H c,n (X) = Z n /B n, onde Z n = ker( n ) (o núcleo de n ) é o módulo dos ciclos de X e B n = Im( n+1 ) (a imagem de n+1 ). O módulo H c,n (X) é a n-ésima homologia celular de X Denimos C n (X) = C n (X), espaço dual de C n (X) = H i (X i, X i 1 ). Obtemos, então, um complexo de cocadeias, denotado por C (X):... C i (X) δ i C i+1 (X) δi+1 C i+2 (X)... onde δ i é o homomorsmo dual de i, isto é, δ i (f) = f i+1. O complexo de cocadeias C (X) é chamado de complexo de cocadeias celular de X e os elementos de C i (X) são chamados de cocadeias de X. O n-ésimo Z 2 -módulo de cohomologia do complexo de cocadeias C (X) é de- nido por Hc n (X) = Z n /B n, onde Z n = ker(δ n ) (o núcleo de δ n ) é o módulo dos cociclos de X e B n = Im(δ n 1 ) (a imagem de δ n 1 ).O módulo Hc n (X) é a n-ésima cohomologia celular de X. 22

25 Para relacionar homologia (resp., cohomologia) celular com homologia (resp., cohomologia) singular, fazemos uso do Teorema Seja X um C-W complexo. O n-ésimo Z 2 -módulo de homologia do complexo C (X) é isomorfo à n-ésima homologia (singular) de X, H n (X). Analogamente, Hc n (X) é isomorfo à n-ésima cohomologia (singular) de X, H n (X). Dem.: [2] página

26 Capítulo 2 Fibrados Neste capítulo apresentaremos a denição de brado e suas principais propriedades. Denição Um brado η = (E, B, p, F ) é formado por: 1. três espaços topológicos: E (espaço total), B (espaço base) e F (espaço bra); 2. uma função contínua e sobrejetiva p : E B; tais que: existe uma cobertura de abertos de B, {U i } i J, onde cada U i é um aberto localmente trivial do brado η, isto é, existe um homeomorsmo ψ i : p 1 (U i ) U i F de tal forma que o diagrama abaixo é comutativo: p 1 (U i ) p U i ψ i π 1 Ui F ou seja: π 1 ψ i (x) = p(x), x p 1 (U i ), com π 1 : U i F U i sendo a projeção usual na primeira coordenada. Sejam η = (E, B, p, F ) um brado, {U j } j J uma cobertura de abertos localmente triviais de η com homeomorsmos ψ i : p 1 (U i ) U i F e ψ j : p 1 (U j ) 24

27 U j F tais que π 1 ψ i (x) = p(x), para todo x p 1 (U i ) e π 1 ψ j (x ) = p(x ), para todo x p 1 (U j ), como na denição acima. Então, como p 1 (U i U j ) = p 1 (U i ) p 1 (U j ) e utilizando as propriedades de ψ i e ψ j segue que ψ i (p 1 (U i U j )) = (U i U j ) F e ψ j (p 1 (U i U j )) = (U i U j ) F. Além disso, o diagrama abaixo comuta: (U i U j ) F ψ 1 i p 1 (U i U j ) ψ j (U i U j ) F π 1 p U i U j π 1 De fato: π 1 (ψ j (x)) = p(x), para todo x p 1 (U i U j ) e, dado z (U i U j ) F, temos p ψ 1 i (z) = π 1 (ψ i (ψ 1 i (z))) = π 1 (z). Assim π 1 (ψ j ψ 1 i (z)) = π 1 ψ j ψ 1 i (z) = π 1 (z), z (U i U j ) F. Então ψ j ψ 1 i forma ψ j ψ 1 i (x, y) = (x, g ji (x)(y)) para certa função g ij. : (U i U j ) F (U i U j ) F é da Para cada x U i U j dena p x : F (U i U j ) F dada por p x (y) = (x, y), função contínua. Temos então: g ji (x) = π 2 ψ j ψ 1 i Proposição Sejam η = (E, B, p, F ) um brado, {U j } j J uma cobertura formada por abertos localmente triviais de η. Então: p x 1. g ii (x) = id F, x U i e i J; 2. g ij (x) = g ji (x) 1, x U i U j ; 3. g ij (x) g jk (x) = g ik (x), x U i U j U k. Dem.: 1. Temos g ii (x)(y) = π 2 ψ i ψ 1 i p x (y) = y, y F. 1 1 Em alguns trechos, por simplicidade de notação e sem risco de confusão, omitiremos o sinal de composição usual de funções. 25

28 2. (g ij (x) g ji (x))(y) = π 2 ψ i ψ 1 j p x π 2 ψ j ψ 1 i p x (y) = π 2 ψ i ψ 1 j p x π 2 (ψ j ψ 1 i (x, y)) = y. Analogamente temos (g ji (x) g ij (x))(y) = y. Logo g ij (x) = g ji (x) Sejam U i, U j, U k e x U i U j U k. Então: (g ij (x) g jk (x))(y) = (π 2 ψ i ψ 1 j p x ) (π 2 ψ j ψ 1 k ψ j ψ 1 k (x, y) = g ik(x)(y). p x )(y) = π 2 ψ i ψ 1 j p x π 2 (ψ j ψ 1 k (x, y)) = π 2 ψ i ψ 1 j 2.1 Fibrado coordenada Lembramos que um grupo topológico (G, τ) é um par formado por um grupo G e uma topologia τ para G tal que as aplicações (x, y) xy e x x 1 são contínuas. Sejam G um grupo topológico e F um espaço topológico. Uma ação Φ : G F F é uma função contínua, tal que, para todo f F, e g, h G tem-se: Φ(e G, f) = f (e G é o elemento neutro emg); Φ(g, Φ(h, f)) = Φ(gh, f)). Se Φ : G H(F ), (H(F ) conjunto dos homeomorsmos de F ), Φ(g) = Φ g, é injetora (onde Φ g : F F é denida por Φ g (f) = Φ(g, f)), dizemos que é uma ação efetiva de G em F. Denição Sejam E, B, F espaços topológicos e Φ : G F F uma ação. Um brado coordenada η = (E, B, p, F, Φ, G, {U i, φ i } i ) é formado por: 1. Uma função contínua p : E B sobrejetora chamada de função projeção; 2. Uma ação Φ : G F F efetiva; 26

29 3. Uma família {U i, ψ i } i, formada por abertos U i de B, com {U i } i cobertura aberta de B, e homeomorsmos ψ i : p 1 (U i ) U i F, tais que o diagrama abaixo é comutativo: p 1 (U i ) p U i ψ i π 1 Ui F Além disso, para todo par (U i, U j ) de abertos, tais que U i V j, e para todo x U i U j, temos que o homeomorsmo π 2 Φ x Φ 1 x p x pertence a Φ(G). Cada par (U i, ψ i ) como no item 3 da denição acima é chamado de sistema de coordenadas local do brado η. Para cada par (i, j) de índices, tais que U i V j, as funções g ij : U i U j G denidas de tal forma que g ij (x) é o único elemento em G tal que π 2 ψ j ψ 1 i p x (y) = Φ(g ij (x), y), y F, são contínuas. Tais funções são chamadas de funções de transição. Dado um brado ξ, denotamos por E(ξ) e B(ξ) os espaços total e base, respectivamente, do brado ξ e p ξ sua função projeção. Denição Sejam η e ξ dois brados com o mesmo espaço base B, mesma bra F, mesmo grupo topológico G e mesma ação efetiva Φ. Então, dizemos que tais brados são equivalentes se existe um homeomorsmo f : E(η) E(ξ) tal que: 1. p ξ f = p η ; 2. Dados (U i, ψ i ) e (V j, α j ) sistemas locais do brados η e ξ, respectivamente, tais que U i V j pertence à Φ(G). é não vazio, temos que o homeomorsmo π 2 Ψ i f α 1 j p x 27

30 2.1.1 Construção de brados a partir das funções de transição Dado um brado η com sistemas de coordenadas locais {U i } i J. Construímos as funções g ij : U i U j H(F ), para cada par (i, j) J 2, tal que U i U j, satisfazendo as propriedades: g ii (x) = id F, i J, x U i ; g ij (x) g jk (x) = g ik (x), i, j, k J, x U i U j U k. Teorema Dados: B e F espaços topológicos, {U i } i J cobertura aberta de B, G um grupo topológico, Φ uma ação efetiva de G em F e, para cada par (i, j) J 2 com U i U j, g ij : U i U j G funções contínuas tais que g ik (x) g kj (x) = g ij (x), x U i U j U k. Então, existe um brado η = (E, B, p, F, Φ, G, {U i, φ i } i ), de tal forma que suas funções de transição são g ik. Dem.: Considere E = i J U i F a união disjunta da família de espaços topológicos {U i F }. A topologia de E é formada por conjuntos O tais que p 1 j (O) é aberto para todo j J, com p 1 j : U j F E denida por p j (x) = (x, j). Em E, dena a seguinte relação: ((x, y), i) ((x, y ), j) x = x e g ji (x)y = y. Tal relação é de equivalencia, de fato: Temos que ((x, y), i) ((x, y), i), pois g ii (x)y = y. Além disso, se ((x, y), i) ((x, y ), j) então x = x, g ji (x)y = y. Assim: g ij (x)g ji (x)y = g ij (x)y g ij (x)y = y. Logo, ((x, y ), j) ((x, y), i). Também temos que: se ((x, y), i) ((x, y ), j) e ((x, y ), j) ((z, w), k), então x = x, g ji (x)y = y, x = z e g kj (x)y = w. Logo x = z e g ki (x)y = g kj (x)(g ji (x)y) = g kj (x)y = w. Portanto ((x, y), i) ((z, w), k). Dena E = E /, espaço quociente, e considere q : E E, função contínua dada por q((x, y), i) = [((x, y), i)]. O espaço E será o espaço total do brado e a função projeção p é denida por p([((x, y), i)]) = x. Tal aplicação é bem denida, pois se [((x, y), i)] = [((x, y), j)] então x = x e além disso p é contínua. De fato: 28

31 sabemos que p é contínua se, e somente se, p q : E B é continua. E tal aplicação é contínua se, e somente se, p q p j é contínua. Como p q p j (x, y) = x segue que p é contínua. Para cada j J, dena Ψ j : U j F E, dena por Ψ j (x, y) = [((x, y), j)]. Ψ j é contínua pois Ψ j = q p j. Além disso Ψ j (U j F ) = p 1 (U j ). De fato: se [((x, y), i)] Ψ j (U j F ) então [((x, y), i)] = Ψ j (u, f), u U j e f F. Assim [((x, y), i)] = [((u, f), j)], Logo [((x, y), i)] p 1 (U j ). p([((x, y), i)]) = x = u U j. Se z p 1 (U j ) então z = [((x, y ), k)] com p(z) = x U j. Assim x U k U j e (x, g j k(x )y) U j F com Ψ j (x, g jk (x )y ) = [((x, g jk (x )y ), j)] = z. Ψ j é injetora, pois se Ψ j (x, y) = Ψ j (x, y ) com x, x U i e y, y F. Então [((x, y), j)] = [((x, y ), j)] e assim x = x e g ji (x)y = y, donde obtemos y = y, e (x, y) = (x, y ). Portanto Ψ j é uma aplicação contínua e bijetora sobre p 1 (U j ). É fácil vericar que Ψ j é uma aplicação aberta e portanto um homeomorsmo. π 1 Ψ 1 j ψ i ψ 1 j Também temos que p Ψ j (x, y) = p([((x, y), i)]) = x = π 1 (x, y) logo p =. Assim, cada (U j, Ψ 1 j ) é um sistema de coordenadas local. Resta mostrar que as aplicações de transição deste brado são as g ij. Dados x U i U j. Seja π 2 ψ i ψ 1 j p x. Vamos provar que π 2 ψ i ψ 1 j p x (y) = g ij (x)y, y F. De fato, π 2 p x (y) = π 2 ψ i ψ 1 j (x, y) = π 2 ψ i ([((x, y), j)]). Mas x U i U j e [((x, y), j)] = [((x, g ij (x)y), i)]. Assim π 2 ψ i ([((x, y), j)]) = π 2 ψ i ([((x, g ij (x)y), i)]) = g ij (x)y, y F. Lema Dados dois brados (E, p, B, F, G) e (E, p, B, F, G) com a mesma ação efetiva Φ : F G G e com coberturas localmente triviais {U i } i J e { } U j 29 j J

32 respectivamente e com funções de transição {g ik } e { g jl}. Então, tais brados são equivalentes se, e somente se, existem funções contínuas H ji : U i U j G tais que: H ji (x) = H jk (x)g ki (x), i, k J, j J e x U i U j U k ; H lm (x) = H lp (x)g pm (x), l, p J, m J e x U l U m U p. Dem.: [8] páginas 11 e 12. Lema Dados dois brados (E, p, B, F, G, {U i } i J ) e (E, p, B, F, G, {U i } i J ) com a mesma ação efetiva Φ : F G G. Sejam {g ik } e { g jl} as respectivas funções de transição. Então, tais brados são equivalentes se, e somente se, existem funções contínuas λ j : U j G, de tal modo que: g ij (x) = λ 1 i (x)g ij(x)λ j (x), x U i U j. Dem.: Suponha que os brados sejam equivalentes. Então, pelo lema anterior, temos que existem funções contínuas H ij : U I U j G, para cada (i, j) J 2, tal que: H ij (x) = H ik (x)g kj (x), x U i U j U k e H lm (x) = g lp(x)h pm (x), x U l U m U p. Dena λ j : U j G dada por λ j (x) = H jj (x) 1. Então λ i (x) 1 g ij (x)λ j (x) = H ii (x)g ij (x)h jj (x) 1 = H ij (x)h jj (x) 1 = g jj(x)h jj (x)h jj (x) 1 = g ij(x), para todo x U i U j. Reciprocamente, se existe λ j : V j G contínua, dena H ij (x) = λ i (x)g ij (x). Então H ij (x)g jk (x) = λ i (x)g ij (x)g jk (x) = H ik (x) g lp(x)h pm (x) = H lp (x)λ p (x)g pm (x) = H lm (x). 30

33 Corolário Sejam brados como no Lema acima com g ij (x) = g ij(x), x U i U j (isto é, com as mesmas funções de transição), então tais brados são equivalentes. Dem.: Basta tomar λ j : U j G, dada por λ j (x) = e G. Assim, o brado construído no Teorema é único, a menos de equivalência. Exemplo Se X = U 1 U 2, A e B abertos de espaço X, não disjuntos. Então dada uma função contínua g 12 : U 1 U 2 G, denimos g 11 (x) = g 22 (x) = e G e g 21 (x) = g 12 (x) 1 e desse modo, obtemos um único brado, a menos de equivalencia, com as funções de transição {g 11, g 12, g 21, g 22 }. Dados um brado η, com p : E B, e uma função contínua f : X B. Construiremos um brado sobre X a partir deste brado e desta função contínua. Para isso, denimos as funções de transição a patir da cobertura aberta W i = f 1 (U i ) com {U i } cobertura formada por abertos localmente triviais de η. Considere g ij : U i U j G as funções de transição do brado η. Dena b ij : W i W j G dada por b ij (x) = g ij f(x). Dado x W i W j W k então b ij (x)b jk (x) = g ij f(x)g jk f(x) = g ik (f(x)) = b ik (x). Assim, existe um brado (único), cujas funções de transição são b ij. Denição O brado coordenada acima construído chama-se pull back de η com respeito à f e será denotado por f! η. 2.2 Fibrados Vetoriais Nesta seção, apresentaremos as principais propriedades de brados vetoriais. Denição Sejam E, B espaços topológicos. Um brado vetorial (real), ξ, de dimensão n com espaço total E e espaço base B é formado por: 1. Uma função contínua e sobrejetora p : E B, chamada de função projeção do brado; 31

34 2. Uma estrutura de espaço vetorial real em p 1 (x), para cada x B. O espaço vetorial p 1 (x) é chamado de bra em x do brado ξ. Além disso, para cada x B, existem U B, vizinhança aberta de x, e ψ : U R n p 1 (U) tais que o diagrama abaixo comuta: U R n ψ p 1 (U) π 1 p U A função Ψ x : R n p 1 (U) dada por Ψ x (y) = ψ(x, y) é um isomorsmo entre os espaços vetoriais R n e p 1 (x), para cada x U. Assim, como na denição de brado coordenada, o par (U, ψ) satisfazendo tal propriedade é chamado de sistema de coordenadas local do brado ξ. Temos que o espaço p 1 (x) é sempre um espaço vetorial de dimensão n e será denotado por F x (ξ). Observamos, a seguir, como a denição de brado vetorial está relacionada com a denição de brado coordenada. Seja η = (E, p, B, G, R n, Φ, {U i, φ i } i J ) um brado coordenada com bra R n, grupo topológico G formado por todos os isomorsmos lineares de R n, com a operação de composição, topologia usual (topologia proveniente da norma de isomorsmos lineares) e ação efetiva Φ : G R n R n, denida por Φ(f, v) = f(v) (a transformação evaluação). Então, p 1 (x) tem uma estrutura de espaço vetorial real; de fato: sejam U i e φ i : p 1 (U i ) U i R n com x em U i. A aplicação de π 2x φ ix : p 1 (x) R n, com π 2x : {x} R n R n, dada por π 2x (x, y) = y, é bijetiva. Assim, existe uma única estrutura de espaço vetorial no conjunto p 1 (x) de tal modo que π 2x φ ix é isomorsmo. Tal estrutura não depende da escolha do sistema de coordenadas (U i, φ i ), pois se (U j, φ j ) é outro sistema de coordenadas local, tal que x U j então como π 2x φ ix φ jx p x é isomorsmo de R n, vide o diagrama 32

35 abaixo: (U i U j ) R n φ 1 j p x R n p 1 (U i U j ) temos que para todo z, w p 1 (x) e α R : φ i (Ui U j ) R n R n π 2 (π 2x φ jx ) (π 2x φ jx ) 1 (π 2x φ jx (p) + π 2x φ jx (p)) = = π 2x φ ix φ jx p x (π 2x φ jx (p) + π 2x φ jx (p)) = π 2x φ ix (p) + π 2x φ ix (p) e (π 2x φ jx ) (π 2x φ jx ) 1 (α(π 2x φ jx (p))) = α(π 2x φ jx (p)). Portanto (π 2x φ jx ) 1 (π 2x φ jx (p) + π 2x φ jx (p)) = (π 2x φ ix ) 1 (π 2x φ jx (p) + π 2x φ jx (p)) e (π 2x φ jx ) 1 (α(π 2x φ ix (p))) = (π 2x φ jx ) 1 (α(π 2x φ jx (p))). Temos também que o diagrama abaixo é comutativo, e φ 1 i x isomorsmo. U R n φ i p 1 (U) : R n R n é π 1 Assim (U i, φ 1 i ) é um sistema de coordenadas local para o brado sobre B com espaço total E e função projeção p. Logo, o brado η é um brado vetorial. Reciprocamente, se ɛ é brado vetorial sobre B com função projeção p, podemos escolher uma família {(U i, φ i )} i J de pares formados por abertos U i de B e p U homeomorsmos φ i : P 1 (U i ) U i R n, de tal forma que ɛ = (E, p, B, G, R n, Φ, {(U i, φ i )} i J ) é um brado coordenada com G, grupo topolólogico formado pelos isomorsmos lineares de R n, bra R n e ação efetiva Φ a transformação evaluação. Denição Dados dois brados vetoriais ɛ e η com mesmo espaço base B. Dizemos que ɛ e η são brados isomorfos, e denotamos por ɛ = η, se existe um homeomorsmo h : E(ɛ) E(η) 33

36 tal que h(f b (ɛ)) F b (η) e h Fb (ɛ) : F b (ɛ) F b (η) é isomorsmo, para cada b B. Denição O brado vetorial ɛ é dito ser trivial, se é possível escolher como sistema de coordenadas local o par (B, h), onde B é o espaço base de ɛ e é homeomorsmo. h : B R n p 1 (B) Exemplo O brado trivial com espaço total B R n, sobre B, com função projeção π : B R n B dada por π(b, x) = b e com estrutura de espaço vetorial em cada bra π 1 (b) = {(b, x)/x R n }, denida por: 1. (b, x) + (b, y) := (b, x + y), x, y R n ; 2. α(b, x) := (b, αx), x R n e α R n. será denotado por ɛ n B. Suponha que ɛ seja um brado trivial n-dimensional sobre B. Então existe um homeomorsmo φ : B R n E(ɛ), tal que para cada b B a correspondência (b, x) φ(b, x) é isomorsmo entre os espaços {b} R n com as operações denidas no exemplo acima, e F b (ɛ). Logo ɛ = ɛ n B. Reciprocamente, temos que se ɛ = ɛ n B, com ɛ brado n-dimensional sobre B, então existe um homeomorsmo φ : B R n E(ɛ), tal que para todo b B, a correspondência x φ(b, x) é isomorsmo entre R n e F b (ɛ) e portanto ɛ é trivial. Assim temos o seguinte Lema Seja ɛ um brado n-dimensional sobre B. somente se, ɛ = ɛ n B. Então ɛ é trivial se, e Considere X uma variedade diferenciável C de dimensão n, com atlas A = {(U i, φ i )} i J. Para cada par (i, j) J 2 tal que U i U j, dena a função contínua g ij : U i U j G, G grupo dos isomorsmos de R n, denida por g ij (x) = D(φ i φ 1 j )(φ j (x)) onde D(φ i φ 1 j )(φ j (x)) é a transformação derivada de φ i φ 1 j em φ j (x) 34

37 Temos então que se x U i U j U k, então: g ij (x)g jk (x) = D(φ i φ 1 j )(φ j (x)) D(φ j φ 1 k )(φ k(x)) = = D(φ i φ 1 j φ j φ 1 k )(φ k(x)) = D(φ i φ 1 )(φ k(x)) = g ik (x). Assim, pelo Teorema 2.1.3, existe um brado coordenada com funções de transição g ij e com espaço base X. Como visto anteriormente, tal brado pode ser considerado como brao vetorial n-dimensional sobre X, chamado de brado tangente de X, e será denotado por τ(x). k 2.3 O brado canônico sobre G k,n Considere E = {(X, v) G k,n R n+k v X} subespaço topológico de G k,n R n+k, a função π : E G k,n, dada por π(x, v) = X e com estrutura de espaço vetorial denida em π 1 (X) = {(X, v) v X} da seguinte forma: dados v, w X e t R (X, v) + (X, w) = (X, v + w); t(x, v) = (X, tv). Para cada X 0 G k,n, considere U, vizinhança aberta de X em G k,n, formado por todos os subespaços Y, k-dimensionais de R n+k, tais que Y X0 = 0 (espaço nulo). Dena T (Y ) : X 0 X0, transformação linear tal que para todo x X 0, T (Y )x é o único vetor de X0 de tal forma que T (Y )x + x Y, T (Y ) está bem denida pois R n+k = X0 Y Seja h : U X 0 π 1 (U), denida por h(y, x) = (Y, T (Y )x + x). Temos que h é bijetiva, com h 1 : π 1 (U) U X 0, h 1 (Y, p(y)), onde p : R n+k X0 é a projeção ortogonal sobre X0. Tanto h como h 1 são contínuas e portanto h é homeomorsmo. Se escolhermos um isomorsmo linear de f : R n X 0 então (U, h ), h : U R n U X 0, denida por h (u, v) = (u, f(v)) é um sistema de coordenadas local para o brado 35

38 vetorial k-dimensional sobre G k,n com espaço total E e função projeção π, chamado de brado canônico sobre G k,n e será denotado por γ k (R n+k ). Um brado vetorial de dimensão 1 é chamado de brado linha, assim γ 1 (R n+1 ) é o brado linha canônico sobre RP n. Denição Uma seção cruzada de um brado vetorial ɛ sobre B é uma função contínua s : B E(ɛ), tal que s(b) F b (ɛ) para todo b B, isto é, o diagrama abaixo comuta: B s E(ɛ) id B Uma seção cruzada é não nula se, para todo b B, s(b) é um vetor não nulo de F b (ɛ). p B Denição Se s 1,..., s n são seções cruzadas de ξ, tais que s 1 (b),..., s n (b) são linearmentes independentes para todo b B, B espaço base de ξ, então dizemos que s 1,..., s n são seções cruzadas linearmente independentes em todo lugar, ou simplesmente, l.i.. Lema Sejam ξ e η brados vetoriais sobre B e f : E(ξ) E(η) uma função contínua tal que f Fb (ξ) : F b (ξ) F b (η) é isomorsmo para todo b B. Então f é homeomorsmo e ξ = η. Dem.: Dado b 0 B, escolha sistemas de coordenadas locais (U, g) de ξ e (V, h) de η, tais que b 0 U V. Vamos mostrar que a função h 1 f g : (U V ) R n (U V ) R n é homeomorsmo. Assim, como h 1 e g são homeomorsmos, segue que f também é. Por hipótese, a função v h 1 f g(b, y) para cada b U V xo, é isomorsmo linear de R n. Seja A = [A ij (b)] a matriz inversível desta transformação linear relativamente à base canônica de R n. n Desse modo h 1 f g(b, (x 1,..., x n )) = (b, (y 1,..., y n )) com y i = A ij (b)x j j=1 36

39 A função que associa a cada b B o número real A ij (b), para cada par (i, j), é contínua. com Seja [A 1 ij (b)] a matriz inversa de A. Temos então que g 1 f 1 h(b, (y 1,..., y n )) = (b, (x 1,..., x n )) n j=1 A 1 ij (b)y j. Como a inversão de matrizes é contínua, segue que g 1 f 1 h é contínua. Logo h 1 f g. Denição Um brado vetorial Euclidiano ξ é um brado vetorial munido de uma função contínua µ : E(ξ) R, chamada de métrica Euclidiana tal que µ Fb (ξ) : F b (ξ) R é uma transformação positiva denida e quadrática; isto é, para m todo v F b (ξ), temos µ(v) = L i (v)l i(v), para certos funcionais lineares L i e L i i=1 µ(2w) 2µ(w) denidos em F b (ξ) e > 0, para todo w 0 em F b (ξ). 2 µ(v + w) µ(v) µ(w) Desse modo, v.w = dene um produto interno em 2 cada bra F b (ξ). É possível mostrar que todo brado vetorial sobre um espaço paracompacto possui uma métrica Euclidiana (vide [12]). Exemplo O brado trivial ɛ n B para todo (b, x) B R n. tem métrica Euclidiana denida por: m µ(b, x) = x 2 i, Exemplo O brado tangente τ(x) de uma variedade diferenciável X é um brado Euclidiano, pois X é paracompacto. Lema Sejam ξ brado Euclidiano e η brado vetorial equivalente a ξ. Então η também é Euclidiano. 37 i=1

40 Dem.: Se η = ξ então existe um homeomorsmo ψ : E(η) E(ξ), tal que ψ Fb (η) : F b (η) F b (ξ) é isomorsmo para todo b B, espaço base dos brados η e ξ. Seja µ : E(ξ) R a métrica Euclidiana de ξ. Então µ ψ : E(η) R é contínua e µ ψ Fb (η) é quadrática denida e positiva pois ψ Fb (η) é linear e µ Fb (ξ) é quadrática denida e positiva. Portanto Ψ = µ ψ é métrica Euclidiana para η e (η, Ψ) é brado Euclidiano. 2.4 O Pull-Back e a Soma de Whitney Seja ξ um brado vetorial sobre B com função projeção π : E(ξ) B. Considere B B subespaço de B e Ē = π 1 ( B). Então, π Ē : Ē B é contínua e assim obtemos um novo brado vetotrial de mesma dimensão que ξ, com espaço base B, função projeção π Ē e com bra F b (ξ). Tal brado é chamado de brado restrição de ξ sobre B e será denotado por ξ B. Observe que se (U, φ) é um sistema de coordenadas local de ξ, então (U B, φ), com φ : (U B) R n π 1 B(U B) é um sistema de coordenadas local para ξ B. Considere ξ brado vetorial, de dimensão n, sobre B e f : B B uma função contínua. Sejam E = {(b, e) B E(ξ) f(b) = p ξ (e)} e p : E B dada por p(b, e) = b. Então se f : E E(ξ) é denida por f(b, e) = e, segue que o diagrama abaixo comuta: E f E(ξ) p B f B p ξ 38

41 Dena em F b (ξ) as operações: 1. (b, e) + (b, f) = (b, e + f), f, e F f(b) (ξ); 2. α(b, e) = (b, αe), e F f(b) (ξ) e α R. Se (U, φ) é um sistema de coordenadas local para ξ, então considere (Ū, φ) tal que Ū = f 1 (U) e φ : Ū Rn p 1 (Ū) é dada por φ(b, x) = (b, h(f(b), x)). Temos que φ é homeomorsmo e, desse modo, obtemos um novo brado vetorial, de dimensão n, com espaço total E sobre B, com função projeção p e p 1 (b) espaço vetorial (cujas operações são denidas em 1. e 2. acima). Os pares (Ū, φ) formam, assim, um sistema de coordenadas local para este brado. Tal brado é chamado de o pull-back de ξ com relação a f, e será denotado por f! (ξ). Observe que f : E E(ξ) leva cada bra F b (f! (ξ)) isomorcamente em F f(b) (ξ). Assim f é aplicação de brados (veja denição abaixo). Denição Uma aplicação de brados é uma função contínua f : E(η) E(ξ), onde η e ξ são brados vetoriais sobre B e B respectivamente, tal que para cada b B, existe b B, único, com f(f b (η)) = F b (ξ) e f Fb (η) : F b (η) F b (ξ) é isomorsmo. Dada uma aplicação de brados f : E(η) E(ξ) existe uma única aplicação f : B B, tal que o diagrama abaixo comuta: E(η) p η B f f E(ξ) B p ξ Basta denir f(b) = b tal que f(f b (η)) = F b (ξ). Assim, dado x E(η), temos que x F pη(x)(η) e f(f pη(x)(η)) = F b (ξ), para certo b B. Então f p η (x) = f(p η (x)) = b. Mas f(x) F b (ξ), assim p ξ (f(x)) = b ; logo f p η (x) = p ξ (f(x)). 39

42 Se h é uma aplicação h : B B tal que E(η) p η B f h E(ξ) B p ξ então dados b B e 0 F b (η) (o vetor nulo), temos que donde f(f b (η)) = F b (ξ). h(b) = h(p η (0)) = p ξ (f(0)) = b Assim h = f, provando a unicidade de f. A aplicação descrita acima, f, é dita ser coberta pela aplicação de brado f, ou dizemos que f cobre f. Proposição Seja ξ um brado vetorial. Então p ξ, a aplicação projeção de ξ, é aberta. Dem.: Seja (U, φ) um sistema de coordenadas local de ξ. É suciente mostrar que p ξ : p 1 ξ (U) U é aberta. Temos o seguinte diagrama comutativo: U R n φ p 1 (U) π 1 U p ξ Então se A p 1 (U) é aberto, segue que φ 1 (A) e π 1 (φ 1 (A)) são abertos pois φ é homeomorsmo e π 1 é aplicação aberta. Como p ξ (U) = φ(π 1 (A)) temos que p ξ : p 1 ξ (U) U é aberta. Corolário Se f é coberta por uma aplicação de brados f : E(η) E(ξ), então f é contínua. Dem.: Basta notar que f(a) = p η (f 1 (p 1 ξ (A))) 40