Livro Eletrônico Aula 00 RETA FINAL - Questões Comentadas de Raciocínio Lógico p/ AFT

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1 Livro Eletrônico Aula 00 RETA FINAL - Questões Comentadas de Raciocínio Lógico p/ AFT Professor: Marcos Piñon

2 AULA 00: Conjuntos Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft Observação importante: este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei 9.610/98, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências. Grupos de rateio e pirataria são clandestinos, violam a lei e prejudicam os professores que elaboram os cursos. Valorize o trabalho de nossa equipe adquirindo os cursos honestamente através do site Estratégia Concursos ;-) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação Conjuntos Questões comentadas nesta aula Gabarito Apresentação Olá, meu nome é Marcos Piñon, sou casado, baiano, torcedor do Bahêa e formado em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal da Bahia. Atualmente moro em Brasília e trabalho na Secretaria de Orçamento Federal do Ministério do Planejamento (MPOG), onde fui aprovado em 8º lugar para o cargo de Analista de Planejamento e Orçamento - APO, no concurso realizado em Fiz faculdade de Engenharia por sempre ter tido afinidade com a Matemática, pois realmente é um assunto que tenho prazer em estudar (cheguei até a dar aulas de reforço de Matemática na época da faculdade para ganhar um trocado). Após me tornar APO, decidi criar um site no intuito de aprender um pouco mais de informática e também poder ajudar os concurseiros (raciociniologico.50webs.com). Foi uma experiência maravilhosa, apesar de ser algo bem primitivo, mas que tenho um carinho enorme. Também recebi vários s com agradecimentos, o que causou uma sensação muito boa. Isso me fez tomar gosto pela coisa e comecei a preparar materiais e estudar bastante a matéria. Com isso, recebi um convite do Professor Sérgio Mendes, para fazer parte desta equipe, onde permaneço desde a fundação do site em Com relação ao nosso curso de Questões Comentadas de Auditor Fiscal do Trabalho - AFT, estou baseando o curso no último edital, publicado em 01/07/2013. Trata-se de uma disciplina que agrega vários assuntos da matemática básica estudada no ensino fundamental e médio. Vamos dar uma olhada no conteúdo: 1 - Estruturas lógicas. 2 - Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Prof. Marcos Piñon 1 de 71

3 3 - Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4 - Lógica de primeira ordem. 5 - Princípios de contagem e probabilidade. 6 - Operações com conjuntos. 7 - Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Esse conteúdo é bastante comum em provas do CESPE, o que nos garante uma boa quantidade de questões. Apesar de o último concurso ter sido realizado pelo CESPE, colocarei no final de cada aula algumas questões da ESAF, pois esta banca já realizou diversos concursos de AFT no passado. Pretendo chegar ao final do curso com cerca de 500 questões resolvidas do CESPE, e cerca de 70 questões da ESAF, inclusive com várias questões recentes de 2014, o que fará com que apareçam na prova várias questões semelhantes às resolvidas em nosso curso. Teremos nesse curso todas as questões que foram trabalhadas no curso completo de Teoria + Questões Comentadas com a adição de questões mais recentes do CESPE, de provas que ocorreram após o lançamento daquele curso (cerca de 80 questões novas). Com base no último edital, resolvi montar o curso da seguinte maneira: Aula Conteúdo Data Aula 00 Conjuntos Já disponível Aula 01 Lógica (Parte 1) 27/03/2015 Aula 02 Lógica (Parte 2) 03/04/2015 Aula 03 Lógica (Parte 3) 10/04/2015 Aula 04 Princípios de contagem 17/04/2015 Aula 05 Probabilidade 24/04/2015 Aula 06 Problemas aritméticos 01/05/2015 Aula 07 Problemas matriciais 07/05/2015 Prof. Marcos Piñon 2 de 71

4 Aula 08 Problemas geométricos 15/05/2015 Aula 09 Bateria de Questões Resolvidas 22/05/2015 Como o curso é voltado para a resolução de questões, não haverá abordagem teórica dos assuntos, apenas uma referência na resolução das questões. O objetivo é que você possa treinar bastante, para poder chegar bem afiado no momento da prova. As questões comentadas em cada aula estão listadas no final do arquivo, caso o aluno queira tentar resolvê-las antes de ver a solução (eu recomendo!). A última aula reunirá quatro simulados, com 20 questões cada, para um treino final antes da prova. Caso outra banca seja escolhida ou o edital venha diferente do que estamos abordando, todo o curso será reformulado a tempo para que você não seja prejudicado. Mas espero que isso não aconteça. Espero que gostem do curso, não economizem na resolução de questões e não deixem de aproveitar o fórum, seja para tirar dúvidas, ou para enviar críticas e sugestões. Um abraço e bons estudos!!! Prof. Marcos Piñon 3 de 71

5 01 - (SEGER/ES / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se B é o conjunto formado pelos países que participarão da conferência e não pertencem à América do Sul, então o número de subconjuntos formados a partir dos elementos de B é igual a 128. Temos, nessa questão, como conjunto universo, todos os países que participarão da conferência internacional. Assim, U = {Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela} Temos, também, que B é formado pelos países que participarão da conferência, mas não pertencem à América do Sul. Assim, B = {Alemanha, Canadá, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Suíça} Devemos saber que para encontrarmos o número de subconjuntos de qualquer conjunto basta sabermos a quantidade de elementos deste conjunto, já que o número de subconjuntos é dado por 2 n onde n é o número de elementos do conjunto. Assim, como B possui 7 elementos, o número de subconjuntos de B é dado por 2 7 = = 128. Portanto, o item está correto (SEFAZ/ES / CESPE) Sejam A = {n N*; n é par}, B = {n N*; n é ímpar} e C = {n N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos, o conjunto C A é vazio. Vamos organizar as informações: A = {n N*; n é par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8,...} B = {n N*; n é ímpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9,...} C = {n N*; n é primo}, ou seja, C = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...} Só para lembrar, um número natural é dito primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. Por definição, nem o zero nem o número um são considerados primos. Uma observação importante é que o único Prof. Marcos Piñon 4 de 71

6 número primo que é par é o número dois, já que todos os outros números pares são, no mínimo, divisíveis por um, por ele mesmo e por dois. Assim, com o que acabamos de lembrar sobre números primos e olhando para os conjuntos A e C, podemos concluir que C A = {2}, pois 2 é o único elemento que é par e primo ao mesmo tempo. Portanto, o item está errado! 03 - (SEGER/ES / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se P representa o conjunto formado pelos países que participarão da conferência, e A, o conjunto formado pelos países da América do Sul, então o conjunto A P tem 5 elementos. Organizando as informações, temos: P = {Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela} A = {x; x é um país da América do Sul} A P = {Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Peru, Uruguai, Venezuela} Bom, podemos ver que A P possui 8 elementos. Assim, o item está errado! 04 - (SEFAZ/ES / CESPE) Sejam A = {n N*; n é par}, B = {n N*; n é ímpar} e C = {n N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos. Assim, o conjunto N* \ (A B) é vazio. Vamos organizar as informações: A = {n N*; n é par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8, 10,...} B = {n N*; n é ímpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9,...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Podemos perceber que A B = N*, pois a união de todos os números pares positivos com todos os números ímpares positivos resulta no conjunto de todos os números naturais positivos. Assim, N* \ (A B) = N* \ N* = N* N* = Prof. Marcos Piñon 5 de 71

7 Portanto, o item está correto! 05 - (STJ / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol. Bom, vamos começar organizando as informações: I = Conjunto dos técnicos que falam inglês (42 elementos) E = Conjunto dos técnicos que falam espanhol (46 elementos) I E = Conjunto dos técnicos que falam inglês e/ou espanhol (64 elementos) I E = Conjunto dos técnicos que falam inglês e espanhol (x elementos) Devemos saber que a quantidade de elementos da união entre dois conjuntos é dado por n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). Assim, nesse caso, temos: n(i E) = n(i) + n(e) n(i E) 64 = x x = x = 24 Portanto, podemos concluir que a quantidade de técnicos que falam inglês e espanhol é igual a 24. Item correto! 06 - (SEBRAE / CESPE) Considerando que, em um concurso público no qual as provas para determinado cargo constituíam-se de conhecimentos básicos (CB) e de conhecimentos específicos (CE), 430 inscritos fizeram as provas e, deles, 210 foram aprovados em CB, 230 foram aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas, então é correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas. Mais uma vez, vamos começar organizando as informações: T: Total de alunos que fizeram a prova = 430 CB: Alunos aprovados em Conhecimento Básicos = 210 CE: Alunos aprovados em Conhecimento Específicos = 230 CB CE: Alunos aprovados nas duas provas = 16 AR: Total de alunos reprovados nas duas provas =??? Prof. Marcos Piñon 6 de 71

8 Para a resolução desta questão, vamos construir um diagrama para facilitar o entendimento: T CB CE O que queremos calcular é quantidade de elementos da área pintada de amarelo. Para isso, basta diminuir o total de alunos que fizeram a prova do total de alunos que passaram em pelo menos uma prova (CB CE). Para saber a quantidade de alunos que passaram em pelo menos uma prova, devemos calcular a quantidade de elementos da união dos conjuntos CB e CE. Para isso, usamos aquela mesma equação: n(cb CE) = n(cb) + n(ce) n(cb CE) n(cb CE) = n(cb CE) = 424 Agora podemos calcular a quantidade de elementos da área pintada de amarelo: n(ar) = n(t) n(cb CE) n(ar) = n(ar) = 6 Portanto, apenas 6 alunos foram reprovados nas duas provas. Item correto! 07 - (SEBRAE / CESPE) É possível que existam conjuntos A e B com a A B e que A B = A B. Poderíamos matar essa questão apenas nos lembrando que se A B = A B, então, A = B. Se você se lembrasse disso na hora da prova já acertaria esta questão sem perder tempo. Mas, e se você não se lembrasse? Bom, aí você teria que ir para os conceitos. Vamos lá: Prof. Marcos Piñon 7 de 71

9 Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto união A B como {x ; x A ou x B}. Ou seja, o conjunto união A B é formado por todos os elementos que pertençam a pelo menos um dos conjuntos A e B. Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção A B como {x ; x A e x B}. Ou seja, o conjunto interseção A B é formado por todos os elementos que pertençam ao mesmo tempo aos dois conjuntos A e B. Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A. Com isso, sabemos que dois conjuntos podem ter a seguinte relação entre eles (a área pintada de amarelo corresponde à área do conjunto interseção e a área pintada de verde corresponde a área do conjunto união): A e B possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro não possui: A B A B A B A B A e B não possuem nenhum elemento em comum: A B (conjunto vazio) A A B B A B (B possui todos os elementos de A e mais alguns que A não possui): A B A B A B A B A = B (A e B possuem os mesmos elementos): A A B B A A B B Prof. Marcos Piñon 8 de 71

10 Assim, a única forma de A B ser igual a A B é A ser igual a B. Portanto, este item está errado (MPS / CESPE) Se A for um conjunto não vazio e se o número de elementos do conjunto A B for igual ao número de elementos do conjunto A B, então o conjunto B terá pelo menos um elemento. Da mesma forma que a questão anterior, devemos perceber que se n(a B) = n(a B), podemos concluir que A e B possuem os mesmo elementos. Assim, se A é um conjunto não vazio, com certeza B também será um conjunto não vazio, pois A e B possuem os mesmos elementos. Portanto, o item está correto (DETRAN/ES / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. Começamos organizando as informações: Total de pessoas (T): 210 Pessoas com problemas relacionados a documentação (D): 105 Pessoas com problemas relacionados a multas (M): 70 Pessoas com problemas não relacionados à documentação ou a multas (N): 70 Pessoas com problemas relacionados à documentação e a multas (D M):??? Podemos desenhar o seguinte diagrama para esta situação: T D D M M Prof. Marcos Piñon 9 de 71

11 Assim, podemos montar a seguinte equação: Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft n(t) = n(n) + n(d M) 210 = 70 + n(d M) n(d M) = n(d M) = 140 Lembrando a equação do número de elementos da união de dois conjuntos, temos: n(d M) = n(d) + n(m) n(d M) 140 = n(d M) n(d M) = n(d M) = 35 Portanto, o número de pessoas que foram resolver problemas relacionados simultaneamente a documentação e a multas é igual a 35. Item errado! 10 - (PC/ES / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões. Organizando as informações, temos: Não sabiam do sistema online (S): 60 pessoas Não sabiam do crime de denúncia caluniosa (D): 85 pessoas Não sabiam do sist. online e do crime de denúncia caluniosa (S D) :10 pessoas Não sabiam de pelo menos uma das questões (S D):??? Lembrando a equação do número de elementos da união de dois conjuntos, temos: n(s D) = n(s) + n(d) n(s D) Prof. Marcos Piñon 10 de 71

12 n(s D) = n(s D) = 135 Portanto, o item está correto! 11 - (MPS / CESPE) Considerando que A, B e C sejam três conjuntos não vazios com a, b e c elementos cada, respectivamente, que a união a + 2c b A B C tenha elementos, que a interseção A C tenha 3 2 elementos e que o conjunto A B seja vazio, então o conjunto B C terá mais elementos do que o conjunto A C. Vamos começar organizando as informações: n(a) = a n(b) = b n(c) = c n(a B C) = n(a B) = n(a C) = 2 b a + 2c 3 Como A e B não possuem elementos em comum, vamos desenhar os conjuntos da seguinte forma: A C c b/2 n(b C) B a b/2 b/2 n(b C) b n(b C) Assim, temos: n(a B C) = a + 2c 3 b b b a + 2c a + + c n(b C) + n(b C) + b n(b C) = Prof. Marcos Piñon 11 de 71

13 b a + 2c a + c + b n(b C) = 2 3 b a + 2c a + c + n(b C) = 2 3 n(b C) = 2 b + a 3 a + c 3 2c n(b C) = 2 b + 3 2a + 3 c Ou seja, n(b C) = n(a C) + 3 2a + 3 c Assim, podemos concluir que B C possui mais elementos do que A C. Item correto! 12 - (IFB / CESPE) O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informações advindas de 480 crianças, apontou que: crianças tomaram as três doses; tomaram a primeira e a segunda dose; tomaram a segunda e a terceira dose; tomaram a primeira e a terceira dose; tomaram a primeira dose; tomaram a segunda dose; - 50 não tomaram nenhuma das três doses. Na situação considerada, mais de 80 crianças tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente. Essa questão só é um pouco trabalhosa e não devemos nos assustar com isso. Nesse caso, é bom desenhar o diagrama para facilitar o entendimento: Prof. Marcos Piñon 12 de 71

14 1ª 2ª Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft Total de entrevistados 3ª Agora, vamos preencher as regiões com os valores correspondentes, a partir das informações da questão: crianças tomaram as três doses; 1ª 2ª Total de entrevistados 120 3ª tomaram a primeira e a segunda dose; Bom, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que = 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2 a doses. 1ª 10 2ª Total de entrevistados 120 3ª tomaram a segunda e a terceira dose; Prof. Marcos Piñon 13 de 71

15 Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que = 30 crianças tomaram apenas a 2ª e a 3 a doses. 1ª 10 2ª Total de entrevistados ª tomaram a primeira e a terceira dose; Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que = 50 crianças tomaram apenas a 1ª e a 3 a doses. 1ª 10 2ª Total de entrevistados ª tomaram a primeira dose; Bom, como 120 crianças tomaram as três doses, 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2 a doses e 50 crianças tomaram apenas a 1ª e a 3 a doses, podemos concluir que = 90 crianças tomaram apenas a 1ª dose. 1ª ª Total de entrevistados ª Prof. Marcos Piñon 14 de 71

16 - 220 tomaram a segunda dose; Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2 a doses e 30 crianças tomaram apenas a 2ª e a 3 a doses, podemos concluir que = 60 crianças tomaram apenas a 2ª dose. 1ª ª Total de entrevistados ª - 50 não tomaram nenhuma das três doses. 1ª ª Total de entrevistados ª Pronto, agora é só calcular quantas crianças tomaram apenas a 3ª dose (x): x = Total de entrevistados ( ) x = x = 70 Portanto, menos do que 80 crianças tomaram apenas a 3ª dose. Item errado! (Texto para as questões 13 e 14). Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos Prof. Marcos Piñon 15 de 71

17 para integralização de seus currículos. Por solicitação da diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes (TRT / CESPE) Se as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos em disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentração de alunos estará no curso de Física. Essa questão é bem parecida com a questão anterior. Vamos começar desenhando o diagrama: Física Química Total de alunos do curso de Matemática Biologia Agora, vamos preencher os espaços com as quantidades de elementos. Aqui vai uma dica, é bom começar pelo espaço que já temos a informação clara da quantidade de elementos (nesse caso, a interseção dos três conjuntos). 8 cursam disciplinas desses três cursos Física Química 8 Total de alunos do curso de Matemática Biologia Prof. Marcos Piñon 16 de 71

18 32, dos cursos de Biologia e Física (como 8 alunos cursam os três cursos, 32 8 = 24 cursam apenas Biologia e Física) Física Química 24 8 Total de alunos do curso de Matemática Biologia 23, dos cursos de Química e Física (como 8 alunos cursam os três cursos, 23 8 = 15 cursam apenas Química e Física) Física Química Total de alunos do curso de Matemática Biologia 16, dos cursos de Biologia e Química (como 8 alunos cursam os três cursos, 16 8 = 8 cursam apenas Biologia e Química) Física Química Total de alunos do curso de Matemática Biologia Prof. Marcos Piñon 17 de 71

19 80 cursam disciplinas do curso de Física (como 8 alunos cursam os três cursos, 15 cursam apenas Física e Química e 24 cursam apenas Física e Biologia, = 33 cursam apenas Física) Física Química Total de alunos do curso de Matemática Biologia 90, do curso de Biologia (como 8 alunos cursam os três cursos, 24 cursam apenas Física e Biologia e 8 cursam apenas Química e Biologia, = 50 cursam apenas Biologia) Física Química Total de alunos do curso de Matemática 50 Biologia 55, do curso de Química (como 8 alunos cursam os três cursos, 15 cursam apenas Química e Física e 8 cursam apenas Química e Biologia, = 24 cursam apenas Química) Física Química Total de alunos do curso de Matemática 50 Biologia Prof. Marcos Piñon 18 de 71

20 Portanto, podemos concluir que o item está errado, pois a maior concentração de alunos de um único curso é em Biologia. Questão 14 - (TRT / CESPE) De acordo com os dados da situação em apreço, as informações do secretário estão realmente corretas. Vamos voltar para o texto para verificar o que pode estar errado: o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, dos cursos 0 de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. Para checar se essa informação está correta, devemos somar todos os alunos que estão matriculados nas outras disciplinas e verificar se algum dos 200 alunos ficou de fora da distribuição. Assim, temos: = 162 Ou seja, com as informações que ele passou, 38 alunos ( ) ficaram de fora da distribuição, o que contradiz a informação passada de que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. Portanto, o item está errado. (Texto para as questões 15 a 17) Considere que A e B sejam conjuntos finitos e não-vazios e sejam S1, S2, S3, S4, S5 e S6 os seguintes números inteiros: S1: quantidade de elementos do conjunto A; S2: quantidade de elementos do conjunto B; S3: quantidade de elementos do conjunto A B; S4: quantidade de elementos do conjunto A B; S5: quantidade de elementos do conjunto A \ B; S6: quantidade de elementos do conjunto B \ A. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para quaisquer conjuntos A e B nas condições especificadas, 15 - (AFRE/ES / CESPE) S3 = S1 + S6. Prof. Marcos Piñon 19 de 71

21 Para facilitar o entendimento, temos: S3 = S1 + S6 n(a B) = n(a) + n(b \ A) Devemos saber que n(b \ A) = n(b) n(b A). Assim, substituindo n(b \ A) na equação de cima, temos: n(a B) = n(a) + n(b \ A) n(a B) = n(a) + n(b) n(b A) Ora, essa equação já deve estar decorada, não é mesmo? Assim, o item está correto! Se você não se lembrasse de nenhuma dessas equações na hora da prova, bastava desenhar os diagramas para verificar. Veja que as informações são para Quaisquer conjuntos A e B. Assim, podemos escolher a situação em que A e B possuem elementos em comum e elementos só deles para verificar a equação: A B Com isso, A B n(a B) = n(a) = A B / A n(b \ A) = Portanto, n(a B) = n(a) + n(b \ A) Prof. Marcos Piñon 20 de 71

22 A B A Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft B / A = + Assim, basta juntar os pedaços. Isso mostra que a equação está correta! 16 - (AFRE/ES / CESPE) S3 + S4 = S1 + S2. Vamos lá: S3 + S4 = S1 + S2 n(a B) + n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Mais uma vez, chegamos na mesma equação. Item correto! 17 - (AFRE/ES / CESPE) S3 = S5 + S6. S3 = S5 + S6 n(a B) = n(a \ B) + n(b \ A) Lembrando que n(a \ B) = n(a) n(a B) e n(b \ A) = n(b) n(b A), temos, n(a B) = n(a \ B) + n(b \ A) n(a B) = n(a) n(a B) + n(b) n(b A) n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(b A) Podemos perceber pelo destaque em azul e vermelho que existe o termo n(b A) sobrando na equação. Portanto, o item está errado! (Texto para as questões 18 e 19) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 são casados, 70 possuem casa própria e 30 são solteiros e possuem casa própria, julgue os itens seguintes. Prof. Marcos Piñon 21 de 71

23 18 - (DETRAN/DF / CESPE) Mais da metade dos empregados casados possui casa própria. Podemos montar a seguinte tabelinha para ajudar na resolução: Possuem casa própria Não possuem casa própria Total Casados Solteiros Total Total de Empregados: 110 Casados Solteiros Total Possuem casa própria Não possuem casa própria Total 110 Total de Casados: 80 Casados Solteiros Total Possuem casa própria Não possuem casa própria Total Com isso, podemos concluir que o total de solteiros era igual a = 30 Casados Solteiros Total Possuem casa própria Não possuem casa própria Total Total que possui casa própria: 70 Casados Solteiros Total Possui casa própria 70 Não possui casa própria Total Prof. Marcos Piñon 22 de 71

24 Com isso, podemos concluir que o total de pessoas que não possuem casa própria era igual a = 40 Casados Solteiros Total Possui casa própria 70 Não possui casa própria 40 Total são solteiros e possuem casa própria Casados Solteiros Total Possui casa própria Não possui casa própria 40 Total Com isso, podemos concluir que o total de casados que possuem casa própria era igual a = 40. Casados Solteiros Total Possui casa própria Não possui casa própria 40 Total Para finalizar, podemos concluir que = 40 empregados casados não possuem casa própria e que = 0 empregados solteiros não possuem casa própria. Casados Solteiros Total Possui casa própria Não possui casa própria Total Portanto, este item está errado, já que exatamente a metade dos empregados casados possuem casa própria (DETRAN/DF / CESPE) Dos empregados que possuem casa própria há mais solteiros que casados. Prof. Marcos Piñon 23 de 71

25 Utilizando a tabela que fizemos para o item anterior, podemos concluir que este item está errado, pois a quantidade de casados que possuem casa própria (40) é maior que a quantidade de solteiros que possuem casa própria (30). Casados Solteiros Total Possui casa própria Não possui casa própria Total (Texto para as questões 20 a 23) Os conjuntos A, B, C e D são tais que A e B são disjuntos de C e D e suas partes têm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir. subconjunto elemento [A / B] [C / D] 15 C 18 [A B] [C D] 24 A B 8 A B 32 [C / D] [D / C] 25 Com relação a esses conjuntos e subconjuntos e aos números de elementos, julgue os itens seguintes (SEBRAE / CESPE) C D tem mais de 40 elementos. Nessa questão, no meu modo de ver, o CESPE cometeu um equívoco na notação da diferença entre conjuntos. Em todos os livros de matemática que conheço, a diferença entre os conjuntos A e B é representada por (A B) ou (A \ B). Nessa questão essa diferença foi escrita como A / B (a barra deveria ser invertida). Feita essa observação, vou começar desenhando os diagramas que nos ajudarão a entender melhor a explicação. Sabendo que A e B são disjuntos de C e D, temos: A x i C B y z j k D Prof. Marcos Piñon 24 de 71

26 A partir da tabela, podemos ir preenchendo as áreas com as quantidades de elementos: n(a B) = 8 = y A x i C B 8 z j k D n([a B] [C D]) = j = 24 j = 24 8 A j = 16 x i C B 8 16 z k D n(c) = 18 i + 16 = 18 i = i = 2 A x 2 C B 8 z 16 k D n([c / D] [D / C]) = k = 25 k = 25 2 k = 23 A x 2 C B 8 z D Prof. Marcos Piñon 25 de 71

27 Aqui já podemos responder esta questão, pois queremos saber quantos elementos possui C D: n(c D) = n(c D) = 41 elementos. Portanto, o item está correto! 21 - (SEBRAE / CESPE) [A / B] [B / A] tem mais de 25 elementos. Vamos responder esta questão, aproveitando o que já fizemos na questão anterior: A x 2 C B 8 z D n(a B) = 32 x z = 32 x + z = 32 8 x + z = 24 Como n(a \ B) = x; n(b \ A) = z e (A \ B) não possui nenhum elemento em comum com (B \ A), então n([a \ B] [B \ A]) = x + z = 24. Assim, podemos concluir que este item está errado! 22 - (SEBRAE / CESPE) C / D tem mais de 4 elementos. Olhando diretamente para o que já encontramos anteriormente, n(c \ D) = i = 2. Portanto, este item está errado! 23 - (SEBRAE / CESPE) D / C tem mais de 20 elementos. Prof. Marcos Piñon 26 de 71

28 Olhando diretamente para o que já encontramos anteriormente, n(d \ C) = k = 23. Portanto, este item está correto! (Texto para as questões 24 e 25) Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes (DETRAN/ES / CESPE) O número de veículos que não apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a 50. Organizando as informações, temos: Total de veículos (T): 150 Veículos com problemas de extintor (Ve): 60 Veículos com problemas de documentação (Vd): 45 Veículos com pelo menos uma dessas infrações (Ve Vd): 90 Veículos sem nenhuma infração (Vn):??? Desenhando o diagrama, temos: T Ve Vd Bom, a questão pede o total de veículos que não apresentaram nenhuma infração. Temos o total de veículos parados na blitz (150) e o total de veículos com pelo menos uma infração (90). Assim, o total de veículos que não teve nenhuma infração corresponde à área amarela do diagrama e é dado por: n(vn) = n(t) n(ve Vd) n(vn) = n(vn) = 60 Portanto, o item está correto, pois mais de 50 veículos não apresentaram as irregularidades mencionadas no texto. Prof. Marcos Piñon 27 de 71

29 25 - (DETRAN/ES / CESPE) O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20. Bom, agora a questão pede o número de veículos flagrados simultaneamente nas duas infrações. Esse grupo de veículos corresponde à interseção dos conjuntos Ve e Vd (ou seja, Ve Vd). Para isso, temos: n(ve Vd)= n(ve) + n(vd) n(ve Vd) 90 = n(ve Vd) n(ve Vd) = n(ve Vd) = 15 Assim, concluímos que o item está correto, pois menos de 20 veículos foram flagrados simultaneamente nas duas infrações. (Texto para as questões 26 e 27) Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importância da nota fiscal. Em 2009, o Programa de Educação Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reuniões, seminários, palestras, capacitações de professores e treinamento de servidores. A atuação abrangeu 27 municípios capixabas. Internet: < (com adaptações). Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraíram público e que, entre os participantes, 2 mil pessoas compareceram às palestras, pessoas, aos seminários e 500 pessoas, aos demais eventos. Considere também que 500 pessoas participaram de palestras e seminários, 800 pessoas participaram apenas de seminários, 200 pessoas não participaram de palestras ou seminários e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situação hipotética e com o texto acima, julgue os itens a seguir (SEFAZ/ES / CESPE) Menos de pessoas participaram apenas de palestras. Como sempre fazemos, vamos começar organizando as informações: Estudantes que não foram a nenhum evento (N): 0 Estudantes que compareceram a Palestras (P): Estudantes que compareceram a Seminários (S): Estudantes que compareceram a Demais Eventos (D): 500 Estudantes que compareceram a Palestras e Seminários (P S): 500 Prof. Marcos Piñon 28 de 71

30 Estudantes que compareceram apenas a Seminários (S (P D)): 800 Estudantes que não compareceram a Palestras ou Seminários (D (P S)): 200 Estudantes que compareceram a todos eventos: (P S D): 25 Agora, desenhamos o diagrama e preenchemos com as quantidades: P S D Estudantes que compareceram a todos eventos: (P S D): 25 P S 25 D Estudantes que compareceram apenas a Seminários (S (P D)): 800 P S D Estudantes que não compareceram a Palestras ou Seminários (D (P S)): 200 Prof. Marcos Piñon 29 de 71

31 P S D Estudantes que compareceram a Palestras e Seminários (P S): 500 Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, apenas = 475 compareceram apenas a Palestras e Seminários. P S D Estudantes que compareceram a Seminários (S): Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 475 compareceram apenas a Palestras e Seminários, 800 compareceram apenas a Seminários, e compareceram a Seminários, podemos concluir que = 200 compareceram apenas a Seminários e Demais Eventos. P S D Estudantes que compareceram a Demais Eventos (D): 500 Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 200 compareceram apenas a Seminários e Demais Eventos, 200 compareceram apenas a Demais Eventos, e Prof. Marcos Piñon 30 de 71

32 500 compareceram a Demais Eventos, podemos concluir que = 75 compareceram apenas a Palestras e Demais Eventos. P S D Estudantes que compareceram a Palestras (P): Como 25 alunos compareceram a todos os eventos, 75 compareceram apenas a Palestras e Demais Eventos, 475 compareceram apenas a Palestras e Seminários, e compareceram a Palestras, podemos concluir que = compareceram apenas a Palestras. P S D Portanto, podemos concluir que o item está errado, pois mais de pessoas participaram apenas de Palestras (SEFAZ/ES / CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos. Bom, usando o diagrama preenchido na questão anterior, temos: P S D Prof. Marcos Piñon 31 de 71

33 A área pintada de amarelo corresponde justamente ao grupo que a questão pediu, que são aqueles que participaram de dois ou mais eventos. Assim, temos: Pessoas que participaram de dois ou mais eventos = = 775 Portanto, o item está correto, pois mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais eventos. (Texto para as questões 28 a 30) Um instituto de ensino oferece três cursos profissionalizantes: de contabilidade, de informática e de administração. As matrículas dos alunos desse instituto estão assim distribuídas: 100 em contabilidade, 70 em informática, 55 em administração, 30 em contabilidade e informática e 25 em informática e administração. Com base nessas informações e sabendo que nenhum aluno está matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administração, julgue os itens que se seguem (MEC / CESPE) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administração é igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informática. Organizando as informações, temos: Total de alunos matriculados em contabilidade (C): 100 Total de alunos matriculados em informática (I): 70 Total de alunos matriculados em administração (A): 55 Total de alunos matriculados em contabilidade e informática (C I): 30 Total de alunos matriculados em informática e administração (I A): 25 Total de alunos matriculados em contabilidade e administração (C A): zero Agora, desenhamos o diagrama e preenchemos com as quantidades: C I A Total de alunos matriculados em contabilidade e administração (C A): zero Prof. Marcos Piñon 32 de 71

34 C I 0 0 A Total de alunos matriculados em contabilidade e informática (C I): 30 C I A Total de alunos matriculados em informática e administração (I A): 25 C I A Total de alunos matriculados em contabilidade (C): 100 Como 30 desses alunos também estão matriculados em informática, = 70 estão matriculados apenas em contabilidade. Prof. Marcos Piñon 33 de 71

35 C I A Total de alunos matriculados em informática (I): 70 Como 30 desses alunos também estão matriculados em contabilidade e 25 desses alunos também estão matriculados em administração, = 15 estão matriculados apenas em informática. C I A Total de alunos matriculados em administração (A): 55 Como 25 desses alunos também estão matriculados em informática, = 30 estão matriculados apenas em administração. C I A Portanto, podemos concluir que o item está correto, pois o número de alunos matriculados apenas em administração é igual a 30, que é o dobro de 15 (total de alunos matriculados apenas em informática). Prof. Marcos Piñon 34 de 71

36 29 - (MEC / CESPE) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administração e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem também em informática, então informática será o curso com o maior número de alunos matriculados. Bom, usando o diagrama preenchido na questão anterior, temos: C I A Agora, vamos realizar as modificações propostas na questão: 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administração C I 70-15= = 45 A 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem também em informática C 30+10=40 I 55-10= A Prof. Marcos Piñon 35 de 71

37 Calculando o número de alunos em cada curso, temos: Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft C I A Contabilidade = = 85 Informática = = 80 Administração = = 70 Portanto, o curso que fica com mais alunos é contabilidade. Item errado (MEC / CESPE) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos três cursos. Bom, usando o diagrama preenchido anteriormente, temos: C I A Total de alunos = = 170 Portanto, o instituto possui menos de 200 alunos. Item errado. (Texto para as questões 31 e 32) Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento Prof. Marcos Piñon 36 de 71

38 de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas (Polícia Federal / CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas. Nessa questão, vamos começar desenhando o diagrama, onde queremos encontrar o valor de x: T TP x PI Onde T é o total de denúncias, TP o total de denúncias referentes ao Tráfico de Pessoas e PI o total de denúncias referentes à Pornografia Infantil. Agora, vamos analisar as informações da questão e preencher o diagrama com as quantidades correspondentes: tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil Com isso, podemos concluir que a interseção dos conjuntos TP e PI possui 30 elementos: T TP x 30 PI outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes Prof. Marcos Piñon 37 de 71

39 Com isso, podemos concluir que a área laranja do diagrama acima possui 30 elementos, pois essas trinta denúncias não fazem parte nem de TP nem de PI: T TP x 30 PI 30 em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil Como nós já sabemos que 30 denúncias se tratavam de Pornografia Infantil e também de Tráfico de Pessoas, podemos concluir que = 30 denúncias se tratavam apenas de Pornografia Infantil: T TP x PI 30 Por fim, como o total de denúncias era igual a 100, podemos calcular o total de denúncias que se tratavam apenas de Tráfico de Pessoas: x = x = 10 Portanto, item correto (Polícia Federal / CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. Utilizando o diagrama da questão anterior, temos: Prof. Marcos Piñon 38 de 71

40 T TP PI 30 Total de denúncias de Tráfico de Pessoas = = 40 Total de denúncias de Pornografia Infantil = = 60 Portanto, os crimes de Tráfico de Pessoas foram menos denunciados que os crimes de Pornografia Infantil. Item errado. (Texto para a questão 33) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2,..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos (TCDF / CESPE) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y, então Ey Ex. A dificuldade dessa questão é entender exatamente quais são os conjuntos informados na questão. Para facilitar o entendimento, vamos supor uma situação prática. Digamos que existam 5 empresas A, B, C D e E. Digamos, também, que A não tenha participado de nenhuma licitação, que B e C tenham participado de 2 licitações e que D e E tenham participado de 3 licitações. Assim, teremos os seguintes conjuntos: E0 = {A, B, C, D, E}, pois todas as empresas participaram de zero ou mais licitações. E1 = {B, C, D, E}, pois apenas A não participou de pelo menos uma licitação. E2 = {B, C, D, E}, pois apenas A não participou de pelo menos duas licitações. E3 = {D, E}, pois A, B e C não participaram de pelo menos três licitações. Assim, considerando que x e y são número inteiros não negativos (ou seja, 0, 1, 2, 3,...), e que x é menor ou igual a y, podemos concluir que Ey está contido em Ex. Prof. Marcos Piñon 39 de 71

41 Utilizando a situação prática descrita acima, podemos supor que x = 1 e y = 3, assim teremos dois números inteiros não negativos e teremos também x menor que y. Resta verificar se E3 está contido em E1, ou seja, se {D, E} está contido em {B, C, D, E}. Lembrando que um conjunto K está contido em outro conjunto J, se todos os elementos de K também pertencerem a J, e é exatamente isso que acontece acima. Se ainda tiverem dúvida, é só perceber que uma empresa que participou de 2 licitações será elemento dos conjuntos E0, E1 e E2. Se a Empresa participou de 3 licitações, ela fará parte dos conjuntos E0, E1, E2, e E3, e assim sucessivamente, fazendo com que o conjunto En sempre seja subconjunto de En-1, En-2, En-3... Portanto, podemos concluir que o item está correto. (Texto para as questões 34 e 35) Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivíduos do conjunto E que são clientes de pelo menos x operadoras de telefonia móvel e Nx, à quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem (Anatel / CESPE) Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 Nx. Aqui, devemos entender que cada pessoa do conjunto E pode ser cliente de nenhuma, de uma, de duas, de três ou de quatro operadoras. O conjunto E0 representa todas as pessoas do conjunto E, pois todo mundo é cliente de pelo menos zero operadoras, ele pode ser cliente de uma, de duas, de três, de quatro ou de nenhuma operadora que ele fará parte deste conjunto. Já o conjunto E1 é composto por todas as pessoas que são clientes de pelo menos uma operadora. O elemento deste conjunto pode ser cliente de uma, duas, três ou quatro operadoras, mas não pode ser cliente de zero operadoras Assim, podemos concluir que o número de elementos do conjunto E1 será menor ou igual ao número de elementos do conjunto E0, pois todos os elementos de E1 pertencem a E0, sendo que E0 ainda pode possuir as pessoas que não são clientes de nenhuma operadora. Assim, podemos perceber que isso se aplica a E2, E3 e E4, ou seja, o número de elementos de E4 é menor ou igual ao número de elementos de E3, o qual possui um número de elementos menor ou igual a E2, que possui um número de elementos menor ou igual a E1. Assim, temos: N4 N3 N2 N1 N0 Com isso, podemos perceber que o item está errado, já que o x irá variar entre 0 e 4, o que fará com que o N4 seja menor ou igual a Nx e não maior ou igual a Nx. Item errado. Prof. Marcos Piñon 40 de 71

42 35 - (Anatel / CESPE) Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x y, então, Ey será um subconjunto de Ex. Essa questão parece uma cópia da questão do TCDF acima. Como x é menor ou igual a y, podemos concluir que todos os elementos de Ey irão pertencer ao conjunto Ex, ou seja, Ey é um subconjunto de Ex (Ey Ex). Item correto (Texto para as questões 36 e 37) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3 são de B, julgue os itens a seguir (MPU / CESPE) O conjunto CP(A) CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são prioritários para análise. Nessa questão, devemos analisar se CP(A) CP(B) é igual ao conjunto dos processos que não são prioritários para análise. Para isso, vamos inicialmente desenhar os conjuntos para facilitar nosso entendimento: P A B Sabemos que P representa o total dos processos em análise na unidade, A representa o conjunto dos processos que envolvem autoridades influentes e B representa o conjunto dos processos que envolvem desvio de altos valores. Veja que é possível que um processo envolva autoridade influente e desvio de altos valores, ou seja, é possível que existam processos na área branca do desenho, que representa a interseção dos conjuntos A e B. Agora, vamos representar no desenho o conjunto CP(A) CP(B). Vejamos: Prof. Marcos Piñon 41 de 71

43 CP(A) Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft P A B O complementar de A em relação a P está representado pela área verde, ou seja, envolve todos os elementos de P que não pertencem ao conjunto A. CP(B) P A B O complementar de B em relação a P está representado pela área roxa, ou seja, envolve todos os elementos de P que não pertencem ao conjunto B. Unindo as duas áreas, temos o seguinte: CP(A) CP(B) P A B Esse conjunto representa todos os elementos de P que não pertencem ao mesmo tempo a A e a B. Veja que existem elementos de A e elementos de B neste conjunto, o que faz com que CP(A) CP(B) não represente os processos da unidade que não são prioritários para análise. Item errado (MPU / CESPE) A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios Prof. Marcos Piñon 42 de 71

44 de altos valores é inferior à de processos que não são prioritários para análise. Essa é uma questão bastante interessante. Temos a informação de que dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3 são de B. Vamos olhar o desenho da questão anterior: P A B Essa questão quer saber se a quantidade de processos da área branca é inferior à quantidade de processos da área cinza. Sabemos que: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a B) = 2.P P 5 n(a B) n(a B) = 10.P + 9.P 15 n(a B) n(a B) = 19.P 15 n(a B) Chamando que K o total de processos que não são prioritários, podemos também escrever a seguinte equação: P = n(a B) + K n(a B) = P K Igualando as duas equações, temos: 19.P P 15 n(a B) = P K P = n(a B) K Prof. Marcos Piñon 43 de 71

45 19.P 15.P 15 = n(a B) K Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft 4. P n(a B) K = 15 4.P Como é um número positivo, já que não podemos ter uma quantidade 15 negativa de elementos de um conjunto, podemos concluir que n(a B) > K, para que o resultado encontrado seja positivo. Assim, concluímos que a quantidade de processos da área branca é SUPERIOR à quantidade de processos da área cinza. Item errado. (Texto para as questões 38 e 39) Considerando que Ν seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m Ν, o conjunto A(m) seja o subconjunto de Ν formado por todos os números divisíveis por m, julgue os itens a seguir (ANS / CESPE) O conjunto A(15) A(10) contém o conjunto A(60). Foi dito na questão que A(m) representa o conjunto dos números que são divisíveis por m. Dizemos que um número é divisível por m quando o quociente da divisão deste número por m é um número inteiro e o resto desta divisão é igual a zero. Assim, vamos listar A(15), A(10), A(15) A(10) e A(60): A(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120,...} A(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120,...} A(15) A(10) = {30, 60, 90, 120, 150, } A(60) = {60, 120, 180,...} Portanto, podemos ver que todos os elementos do conjunto A(60) pertencem ao conjunto A(15) A(10), o que faz com que a afirmação do enunciado seja verdadeira. Outra forma de resolver esta questão é verificando que para um número pertencer ao conjunto A(15) A(10) ele deve ser divisível por 10 e por 15 ao mesmo tempo. Assim, resta verificar se todos os números divisíveis por 60 serão sempre divisíveis por 10 e por 15 ao mesmo tempo: Prof. Marcos Piñon 44 de 71

46 60: é divisível por 10 e por 15 ao mesmo tempo 120: é divisível por 10 e por 15 ao mesmo tempo 180: é divisível por 10 e por 15 ao mesmo tempo... Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft Item correto (ANS / CESPE) O conjunto A(6) A(8) contém o conjunto A(14). Essa questão é semelhante à questão anterior. Vamos listar os conjuntos: A(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,...} A(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,...} A(6) A(8) = {6, 8, 12, 16, 18, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48,...} A(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84...} Portanto, podemos ver que nem todos os elementos do conjunto A(14) pertencem ao conjunto A(6) A(8), o que faz com que a afirmação do enunciado seja falsa. Outra forma de resolver esta questão é verificando que para um número pertencer ao conjunto A(6) A(8) ele deve ser divisível por 6 ou por 8. Assim, resta verificar se todos os números divisíveis por 14 serão sempre divisíveis por 6 ou por 8: 14: não é divisível por 6 nem por 8 (aqui já podemos concluir que A(6) A(8) não contém A(14)) Item errado. (Texto para as questões 40 e 41) Os convênios celebrados por um órgão enquadram-se em uma das seguintes situações: em execução: quando o convenente ainda não está obrigado a prestar contas ao concedente; aguardando prestação de contas: quando, após o período de vigência do convênio, o convenente tem determinado prazo para prestar contas; prestação de contas em análise: quando, após a entrega da prestação de contas pelo convenente, o órgão concedente tem determinado prazo para analisar; Prof. Marcos Piñon 45 de 71

47 concluído: quando a prestação de contas foi analisada e aprovada; em instrução de tomada de contas especial (TCE): quando a prestação de contas foi analisada e rejeitada. Considere que, dos 180 convênios celebrados pelo referido órgão neste ano, 21 estão concluídos, 10 estão em fase de instrução de TCE, 35 estão com a prestação de contas em análise, 80 estão em execução e o restante está aguardando prestação de contas. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes (FUNASA / CESPE) Mais de 30 convênios já tiveram suas prestações de contas analisadas. Só temos duas situações em que podemos afirmar que a prestação de contas foi analisada: concluído: quando a prestação de contas foi analisada e aprovada; em instrução de tomada de contas especial (TCE): quando a prestação de contas foi analisada e rejeitada. Assim, temos as seguintes informações: 21 estão concluídos 10 estão em fase de instrução de TCE Total de convênios com prestações de contas analisadas = = 31 Portanto, item correto (FUNASA / CESPE) O complementar do conjunto dos convênios que estão aguardando prestação de contas tem mais elementos que o complementar do conjunto dos convênios em execução. Nessa questão, temos as seguintes informações: 180 convênios celebrados pelo referido órgão neste ano (vou chamar de T) 21 estão concluídos (vou chamar de C) 10 estão em fase de instrução de TCE (vou chamar de I) 35 estão com a prestação de contas em análise (vou chamar de A) 80 estão em execução (vou chamar de E) O restante está aguardando prestação de contas (vou chamar de P) Prof. Marcos Piñon 46 de 71

48 Assim, temos: Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft T = C + I + A + E + P 180 = P P = P = 34 Assim, temos: Número de elementos do complementar de P: CP = = 146 Número de elementos do complementar de E: CE = = 100 Como CP > CE, concluímos que o item está correto. (Texto para as questões 42 a 45) No triênio , 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos (INPI / CESPE) Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA. Nessa questão, vamos começar desenhando os diagramas: Brasil EUA França Prof. Marcos Piñon 47 de 71

49 Agora, vamos preencher as regiões do diagrama com as informações da questão: 27 patentearam seus produtos nos três países; Brasil EUA 27 França 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; Brasil EUA França 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; Brasil EUA França 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; Prof. Marcos Piñon 48 de 71

50 Brasil EUA França 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; Brasil EUA França 130 patentearam seus produtos na França. Como = 117 também patentearam seus produtos em outros países, concluímos que apenas = 13 patentearam seus produtos apenas na França. Brasil EUA França Por fim, do total de 240 grupos, podemos calcular o total de grupos que patentearam seus produtos apenas nos EUA (vou chamar esta quantidade de x): 240 = x Prof. Marcos Piñon 49 de 71

51 x = Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft x = 14 Brasil EUA França Agora, voltando ao enunciado da questão, temos: Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA. Esta quantidade é representada pela região amarela da figura abaixo: Brasil EUA França Portanto, o total de grupos que patentearam seus produtos na França e nos EUA foi de = 67 grupos. Item errado (INPI / CESPE) Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França. Essa quantidade é representada pela área verde do diagrama: Prof. Marcos Piñon 50 de 71

52 Brasil EUA França Portanto, o total de grupos que patentearam seus produtos somente na França foi de 13 grupos. Item errado (INPI / CESPE) Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA. Essa quantidade é representada pela área azul do diagrama abaixo: Brasil EUA França Portanto, o total de grupos que não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA foi de = 99 grupos. Item correto (INPI / CESPE) Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil. Essa quantidade é representada pela área laranja do diagrama: Prof. Marcos Piñon 51 de 71

53 Brasil EUA França Portanto, o total de grupos que patentearam seus produtos no Brasil foi de = 173 grupos. Item correto (DNIT / ESAF) Uma escola oferece reforço escolar em todas as disciplinas. No mês passado, dos 100 alunos que fizeram reforço escolar nessa escola, 50 fizeram reforço em Matemática, 25 fizeram reforço em Português e 10 fizeram reforço em Matemática e Português. Então, é correto afirmar que, no mês passado, desses 100 alunos, os que não fizeram reforço em Matemática e nem em Português é igual a: (A) 15 (B) 35 (C) 20 (D) 30 (E) 25 Nessa questão, vamos começar desenhando o diagrama: T M P Agora, vamos preencher as regiões do diagrama com as informações da questão: 10 fizeram reforço em Matemática e Português Prof. Marcos Piñon 52 de 71

54 T M P fizeram reforço em Matemática Como 10 também fizeram reforço em Português, podemos concluir que apenas = 40 fizeram reforço somente de Matemática. T M P 25 fizeram reforço em Português Como 10 também fizeram reforço em Matemática, podemos concluir que apenas = 15 fizeram reforço somente de Português. T M P Por fim, temos a informação que o total de alunos era 100. Assim, podemos encontrar o total de alunos que não fizeram reforço em Matemática e nem em Português (vou chamar esta quantidade de N): N = Total de alunos N = N = 35 Resposta letra B. Prof. Marcos Piñon 53 de 71

55 47 - (CGU / ESAF) Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é (A) 21. (B) 14. (C) 16. (D) 19. (E) 12. Nessa questão, vamos começar desenhando o diagrama: Nordeste Familiares Exportadoras Agora, vamos batizar as regiões do diagrama com incógnitas, e tentar descobrir seus valores com as informações da questão: Nordeste Familiares A E D G F B H C Exportadoras Temos as seguintes informações: Prof. Marcos Piñon 54 de 71

56 Em um grupo de 120 empresas A + B + C + D + E + F + G + H = 120 (equação 1) 57 estão situadas na Região Nordeste A + D + E + G = 57 (equação 2) 48 são empresas familiares B + D + F + G = 48 (equação 3) 44 são empresas exportadoras C + E + F + G = 44 (equação 4) 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima H = 19 Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras D + G = 19 (equação 5) E + G = 20 (equação 6) Das empresas familiares, 21 são exportadoras F + G = 21 (equação 7) O que queremos saber é o valor de G. Agora, vamos manipular as equações até que encontremos G. Reescrevendo as equações 5, 6 e 7, temos: D + G = 19 (equação 5) D = 19 G E + G = 20 (equação 6) E = 20 G Prof. Marcos Piñon 55 de 71

57 F + G = 21 (equação 7) F = 21 G Agora, vamos substituir os valores de D, E e F nas equações 2, 3 e 4: A + D + E + G = 57 (equação 2) A + 19 G + 20 G + G = 57 A = G A = G + 18 B + D + F + G = 48 (equação 3) B + 19 G + 21 G + G = 48 B = G B = G + 8 C + E + F + G = 44 (equação 4) C + 20 G + 21 G + G = 44 C = G C = G + 3 Por fim, podemos substituir todos os valores encontrados na equação 1: A + B + C + D + E + F + G + H = 120 (equação 1) G G G G + 20 G + 21 G + G + 19 = 120 G = G = G = 12 Resposta letra E. Prof. Marcos Piñon 56 de 71

58 48 - (SMF/RJ / ESAF) Em uma amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? (A) 18 (B) 15 (C) 8 (D) 0 (E) 20 Essa questão é bem semelhante à anterior, vamos resolver da mesma forma: RJ Exportadoras S.A. Agora, vamos batizar as regiões do diagrama com incógnitas, e tentar descobrir seus valores com as informações da questão: RJ Exportadoras A E D G F B H C S.A. Prof. Marcos Piñon 57 de 71

59 Temos as seguintes informações: Em um amostra de 100 empresas A + B + C + D + E + F + G + H = 100 (equação 1) 52 estão situadas no Rio de Janeiro A + D + E + G = 52 (equação 2) 38 são exportadoras B + D + F + G = 38 (equação 3) 35 são sociedades anônimas C + E + F + G = 35 (equação 4) Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas D + G = 12 (equação 5) E + G = 15 (equação 6) das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas F + G = 18 (equação 7) Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas H = 12 O que queremos saber é o valor de G. Agora, vamos manipular as equações até que encontremos G. Reescrevendo as equações 5, 6 e 7, temos: D + G = 12 (equação 5) Prof. Marcos Piñon 58 de 71

60 D = 12 G Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft E + G = 15 (equação 6) E = 15 G F + G = 18 (equação 7) F = 18 G Agora, vamos substituir os valores de D, E e F nas equações 2, 3 e 4: A + D + E + G = 52 (equação 2) A + 12 G + 15 G + G = 52 A = G A = G + 25 B + D + F + G = 38 (equação 3) B + 12 G + 18 G + G = 38 B = G B = G + 8 C + E + F + G = 35 (equação 4) C + 15 G + 18 G + G = 35 C = G C = G + 2 Por fim, podemos substituir todos os valores encontrados na equação 1: A + B + C + D + E + F + G + H = 100 (equação 1) G G G G + 15 G + 18 G + G + 12 = 100 G = Prof. Marcos Piñon 59 de 71

61 G = G = 8 Resposta letra C (SUSEP / ESAF) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam A B, A B e A \ B, respectivamente, as operações de interseção, união e diferença entre eles. Seja o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja A c = U \ A. A opção correta é: (A) (A B) (A c B c ) c = U. (B) (A B) (A c B c ) c =. (C) (A B) (A c B c ) =. (D) (A B) (A c B c ) = A B. (E) (A B) (A c B c ) c = U. Uma forma de resolver esta questão é por meio de um exemplo. Vamos pensar na seguinte situação: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Assim, vamos analisar cada alternativa: (A) (A B) (A c B c ) c = U. A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {3, 4} A c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7, 8} B c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 7, 8} A c B c = {5, 6, 7, 8} {1, 2, 7, 8} = {1, 2, 5, 6, 7, 8} (A c B c ) c = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} {1, 2, 5, 6, 7, 8} = {3, 4} = A B Portanto, nosso item fica: (A B) (A c B c ) c = (A B) (A B) = (A B) Portanto, item errado. Prof. Marcos Piñon 60 de 71

62 (B) (A B) (A c B c ) c =. Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft Com as informações do item anterior, temos: (A B) (A c B c ) c = (A B) (A B) = (A B) Portanto, item errado. (C) (A B) (A c B c ) =. Com as informações já obtidas, temos: (A B) (A c B c ) = {3, 4} {1, 2, 5, 6, 7, 8} = Portanto, item correto. (D) (A B) (A c B c ) = A B. A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Com as informações já obtidas, temos: (A B) (A c B c ) = {3, 4} {1, 2, 5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = U Portanto, item errado. (E) (A B) (A c B c ) c = U. Com as informações já obtidas, temos: (A B) (A c B c ) c = (A B) (A B) = (A B) Portanto, item errado. Resposta letra C. Prof. Marcos Piñon 61 de 71

63 3 - Questões comentadas nesta aula Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft 01 - (SEGER/ES / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se B é o conjunto formado pelos países que participarão da conferência e não pertencem à América do Sul, então o número de subconjuntos formados a partir dos elementos de B é igual a (SEFAZ/ES / CESPE) Sejam A = {n N*; n é par}, B = {n N*; n é ímpar} e C = {n N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos, o conjunto C A é vazio (SEGER/ES / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se P representa o conjunto formado pelos países que participarão da conferência, e A, o conjunto formado pelos países da América do Sul, então o conjunto A P tem 5 elementos (SEFAZ/ES / CESPE) Sejam A = {n N*; n é par}, B = {n N*; n é ímpar} e C = {n N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos. Assim, o conjunto N* \ (A B) é vazio (STJ / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol (SEBRAE / CESPE) Considerando que, em um concurso público no qual as provas para determinado cargo constituíam-se de conhecimentos básicos (CB) e de conhecimentos específicos (CE), 430 inscritos fizeram as provas e, deles, 210 foram aprovados em CB, 230 foram aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas, então é correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas (SEBRAE / CESPE) É possível que existam conjuntos A e B com A B e que A B = A B (MPS / CESPE) Se A for um conjunto não vazio e se o número de elementos do conjunto A B for igual ao número de elementos do conjunto A B, então o conjunto B terá pelo menos um elemento. Prof. Marcos Piñon 62 de 71

64 09 - (DETRAN/ES / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas (PC/ES / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões (MPS / CESPE) Considerando que A, B e C sejam três conjuntos não vazios com a, b e c elementos cada, respectivamente, que a união A B C a + 2c b tenha elementos, que a interseção A C tenha elementos e que o 3 2 conjunto A B seja vazio, então o conjunto B C terá mais elementos do que o conjunto A C (IFB / CESPE) O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informações advindas de 480 crianças, apontou que: crianças tomaram as três doses; tomaram a primeira e a segunda dose; tomaram a segunda e a terceira dose; tomaram a primeira e a terceira dose; tomaram a primeira dose; tomaram a segunda dose; - 50 não tomaram nenhuma das três doses. Na situação considerada, mais de 80 crianças tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente. Prof. Marcos Piñon 63 de 71

65 (Texto para as questões 13 a 15) Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralização de seus currículos. Por solicitação da diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes (TRT / CESPE) Se as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos em disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentração de alunos estará no curso de Física (TRT / CESPE) De acordo com os dados da situação em apreço, as informações do secretário estão realmente corretas. (Texto para as questões 15 a 17) Considere que A e B sejam conjuntos finitos e não-vazios e sejam S1, S2, S3, S4, S5 e S6 os seguintes números inteiros: S1: quantidade de elementos do conjunto A; S2: quantidade de elementos do conjunto B; S3: quantidade de elementos do conjunto A B; S4: quantidade de elementos do conjunto A B; S5: quantidade de elementos do conjunto A \ B; S6: quantidade de elementos do conjunto B \ A. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para quaisquer conjuntos A e B nas condições especificadas, 15 - (AFRE/ES / CESPE) S3 = S1 + S (AFRE/ES / CESPE) S3 + S4 = S1 + S (AFRE/ES / CESPE) S3 = S5 + S6. (Texto para as questões 18 e 19) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 são casados, 70 possuem casa própria e 30 são solteiros e possuem casa própria, julgue os itens seguintes. Prof. Marcos Piñon 64 de 71

66 18 - (DETRAN/DF / CESPE) Mais da metade dos empregados casados possui casa própria (DETRAN/DF / CESPE) Dos empregados que possuem casa própria há mais solteiros que casados. (Texto para as questões 20 a 23) Os conjuntos A, B, C e D são tais que A e B são disjuntos de C e D e suas partes têm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir. subconjunto elemento [A / B] [C / D] 15 C 18 [A B] [C D] 24 A B 8 A B 32 [C / D] [D / C] 25 Com relação a esses conjuntos e subconjuntos e aos números de elementos, julgue os itens seguintes (SEBRAE / CESPE) C D tem mais de 40 elementos (SEBRAE / CESPE) [A / B] [B / A] tem mais de 25 elementos (SEBRAE / CESPE) C / D tem mais de 4 elementos (SEBRAE / CESPE) D / C tem mais de 20 elementos. (Texto para as questões 24 e 25) Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes (DETRAN/ES / CESPE) O número de veículos que não apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a (DETRAN/ES / CESPE) O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20. Prof. Marcos Piñon 65 de 71

67 ==0== Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft (Texto para as questões 26 e 27) Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importância da nota fiscal. Em 2009, o Programa de Educação Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reuniões, seminários, palestras, capacitações de professores e treinamento de servidores. A atuação abrangeu 27 municípios capixabas. Internet: < (com adaptações). Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraíram público e que, entre os participantes, 2 mil pessoas compareceram às palestras, pessoas, aos seminários e 500 pessoas, aos demais eventos. Considere também que 500 pessoas participaram de palestras e seminários, 800 pessoas participaram apenas de seminários, 200 pessoas não participaram de palestras ou seminários e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situação hipotética e com o texto acima, julgue os itens a seguir (SEFAZ/ES / CESPE) Menos de pessoas participaram apenas de palestras (SEFAZ/ES / CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos. (Texto para as questões 28 a 30) Um instituto de ensino oferece três cursos profissionalizantes: de contabilidade, de informática e de administração. As matrículas dos alunos desse instituto estão assim distribuídas: 100 em contabilidade, 70 em informática, 55 em administração, 30 em contabilidade e informática e 25 em informática e administração. Com base nessas informações e sabendo que nenhum aluno está matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administração, julgue os itens que se seguem (MEC / CESPE) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administração é igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informática (MEC / CESPE) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administração e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem também em informática, então informática será o curso com o maior número de alunos matriculados (MEC / CESPE) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos três cursos. (Texto para as questões 31 e 32) Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianças para Prof. Marcos Piñon 66 de 71

68 exploração sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas (Polícia Federal / CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas (Polícia Federal / CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil. (Texto para a questão 33) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2,..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos (TCDF / CESPE) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y, então Ey Ex. (Texto para as questões 34 e 35) Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivíduos do conjunto E que são clientes de pelo menos x operadoras de telefonia móvel e Nx, à quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem (Anatel / CESPE) Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 Nx (Anatel / CESPE) Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x y, então, Ey será um subconjunto de Ex. (Texto para as questões 36 e 37) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no Prof. Marcos Piñon 67 de 71

69 conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3 são de B, julgue os itens a seguir (MPU / CESPE) O conjunto CP(A) CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são prioritários para análise (MPU / CESPE) A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores é inferior à de processos que não são prioritários para análise. (Texto para as questões 38 e 39) Considerando que Ν seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m Ν, o conjunto A(m) seja o subconjunto de Ν formado por todos os números divisíveis por m, julgue os itens a seguir (ANS / CESPE) O conjunto A(15) A(10) contém o conjunto A(60) (ANS / CESPE) O conjunto A(6) A(8) contém o conjunto A(14). (Texto para as questões 40 e 41) Os convênios celebrados por um órgão enquadram-se em uma das seguintes situações: em execução: quando o convenente ainda não está obrigado a prestar contas ao concedente; aguardando prestação de contas: quando, após o período de vigência do convênio, o convenente tem determinado prazo para prestar contas; prestação de contas em análise: quando, após a entrega da prestação de contas pelo convenente, o órgão concedente tem determinado prazo para analisar; concluído: quando a prestação de contas foi analisada e aprovada; em instrução de tomada de contas especial (TCE): quando a prestação de contas foi analisada e rejeitada. Considere que, dos 180 convênios celebrados pelo referido órgão neste ano, 21 estão concluídos, 10 estão em fase de instrução de TCE, 35 estão com a prestação de contas em análise, 80 estão em execução e o restante está aguardando prestação de contas. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. Prof. Marcos Piñon 68 de 71

70 40 - (FUNASA / CESPE) Mais de 30 convênios já tiveram suas prestações de contas analisadas (FUNASA / CESPE) O complementar do conjunto dos convênios que estão aguardando prestação de contas tem mais elementos que o complementar do conjunto dos convênios em execução. (Texto para as questões 42 a 45) No triênio , 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos (INPI / CESPE) Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA (INPI / CESPE) Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França (INPI / CESPE) Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA (INPI / CESPE) Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil (DNIT / ESAF) Uma escola oferece reforço escolar em todas as disciplinas. No mês passado, dos 100 alunos que fizeram reforço escolar nessa escola, 50 fizeram reforço em Matemática, 25 fizeram reforço em Português e 10 fizeram reforço em Matemática e Português. Então, é correto afirmar que, no mês passado, desses 100 alunos, os que não fizeram reforço em Matemática e nem em Português é igual a: (A) 15 (B) 35 (C) 20 (D) 30 (E) 25 Prof. Marcos Piñon 69 de 71

71 47 - (CGU / ESAF) Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é (A) 21. (B) 14. (C) 16. (D) 19. (E) (SMF/RJ / ESAF) Em uma amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? (A) 18 (B) 15 (C) 8 (D) 0 (E) (SUSEP / ESAF) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e sejam A B, A B e A \ B, respectivamente, as operações de interseção, união e diferença entre eles. Seja o conjunto vazio, U o conjunto universo e seja A c = U \ A. A opção correta é: (A) (A B) ( A c B c ) c = U. (B) (A B) ( A c B c ) c =. (C) (A B) ( A c B c ) =. (D) (A B) ( A c B c ) = A B. (E) (A B) ( A c B c ) c = U. Prof. Marcos Piñon 70 de 71

72 4 - Gabaritos Reta Final - Raciocínio Lógico p/aft 01 - C 02 - E 03 - E 04 - C 05 - C 06 - C 07 - E 08 - C 09 - E 10 - C 11 - C 12 - E 13 - E 14 - E 15 - C 16 - C 17 - E 18 - E 19 - E 20 - C 21 - E 22 - E 23 - C 24 - C 25 - C 26 - E 27 - C 28 - C 29 - E 30 - E 31 - C 32 - E 33 - C 34 - E 35 - C 36 - E 37 - E 38 - C 39 - E 40 - C 41 - C 42 - E 43 - E 44 - C 45 - C 46 - B 47 - E 48 - C 49 - C Prof. Marcos Piñon 71 de 71

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