Projecto de Estruturas 2004/2005

Transcrição

1 2004/2005 Edifício de Acesso ao Parque Oceanográfico de Valência Diogo Manuel Xavier Matias Vaz Angélico uno Ricardo Machado Sá Vitor Manuel Vaz Ribeiro Orientador: Prof. Álvaro F. M. Azevedo Porto, Julho de 2005

2 2004/2005 Edifício de Acesso ao Parque Oceanográfico de Valência

3 AGRADECIMETOS Ao Professor Álvaro F. M. Azevedo, o nosso sincero agradecimento pela disponibilidade e orientação proporcionada ao longo de todo o trabalho. À Prof. Ana Maria Faustino e Prof. Isabel Martins Ribeiro pela preciosa ajuda prestada. Ao nosso colega António Rui Figueiredo Amaral pela colaboração na recolha de informação acerca da estrutura real.

4 ÍDICE 1- Introdução Modelação da estrutura Determinação das coordenadas dos nós Preparação do ficheiro de dados malha.s3d Programa S3DCAD Preparação do ficheiro de dados malha_gl.dat Parâmetros principais Definição dos graus de liberdade dos apoios Definição das propriedades dos materiais Definição das espessuras da malha Definição das acções Peso Próprio Sobrecarga Temperatura Sismo Obtenção dos esforços e deslocamentos Obtenção da armadura Conclusão Bibliografia Anexos 4

5 1- Introdução O edifício de acesso ao Parque Oceanográfico em Valência é uma construção de grandes dimensões de carácter informativo e comercial, coroado por uma cobertura formada por três parabolóides hiperbólicos. Este edifício multi-funcional actua como núcleo distribuidor dos visitantes ao Parque (figuras 1 e 2). Figuras 1 e 2 Edifício de acesso ao Parque Oceanográfico de Valência A cobertura é formada por três parabolóides hiperbólicos idênticos, de m de altura e 12 cm de espessura., girados de 120 graus num eixo vertical. As intersecções entre eles formam as nervuras inferiores. O bordo livre de cada parabolóide forma um ângulo de 69.20º com o plano horizontal. As geratrizes horizontais, que passam pelo vértice de intersecção dos três parabolóides, formam um ângulo de 82.12º entre si. A distância entre apoios é de 29,28 m. o trabalho aqui apresentado, os parabolóides hiperbólicos apresentam uma altura de m e uma espessura variável entre 10 e 20 cm. O bordo livre de cada parabolóide forma um ângulo de 71.32º com o plano horizontal. As geratrizes horizontais, que passam pelo vértice de intersecção dos três parabolóides, formam um ângulo de 90º entre si. A distância entre apoios é de m. Tratando-se de superfícies regulares, a sua cofragem faz-se colocando tábuas rectas na direcção de uma das famílias de geratrizes. A armadura coloca-se em duas camadas, nas duas direcções das parábolas. 5

6 2- Modelação da estrutura O primeiro passo a ser dado para o dimensionamento é a definição do modelo estrutural. 2.1-Determinação das coordenadas dos nós Para o dimensionamento optou-se por utilizar o método dos elementos finitos, com elementos de casca de 6 graus de liberdade. Sendo assim, era necessário definir os elementos da estrutura e os respectivos nós, assim como as suas coordenadas. Em primeiro lugar começou-se por determinar a equação do parabolóide hiperbólico. Os parabolóides hiperbólicos contêm dois sistemas de geratrizes rectas, sendo cada um destes sistemas paralelo a um plano director (figura 1). A intercepção de ambos os planos directores define o eixo z e formam entre si um ângulo ω. Figura 3 Planos directores do parabolóide hiperbólico. Se este ângulo é recto, a sua equação genérica é a seguinte: sendo, ( α, ω ). ( α, ω) z K. r 2. g f K constante que varia entre 0.13m -1 e 0.17m -1 que denominaremos constante de superfície; r distância do centro do parabolóide a um ponto qualquer da malha; 6

7 g f ( α, ω ) ( α, ω ) 90 + ω sen α 90 + ω 2 cos α 2 tg( ω ) 90 ω sen α 90 ω 2 cos α 2 tg( ω) ω ângulo formado pela intercepção dos planos directores, que deverá variar entre 84º e 91º; α o ângulo formado entre a recta, que une o cento do parabolóide a qualquer ponto da malha e o eixo x; 1 Definiu-se K 0.15m, uma vez que era o valor intermédio entre 0.13m -1 e 0.17m -1, e ω 90º. Assim, a equação genérica transformou-se na seguinte: ( α ).cos( ) 0,15. x y 2 z 0,15. r. sen α. A partir desta equação, usando uma folha de Excel, fez-se variar o raio entre 0.5m e 14m com intervalos de 0.5m, e o ângulo entre -15º e 105º com intervalos de 5º, obtendo-se assim as coordenadas (x,y,z) dos pontos que definem a malha do hiperbolóide. 2.2-Preparação do ficheiro de dados malha.s3d Depois de se ter as coordenadas dos nós do parabolóide hiperbólico, desenhou-se uma malha, atribuindo-se a numeração de cada um dos elementos e respectivos nós. Em seguida, preparou-se um ficheiro em otepad com a seguinte configuração: 7

8 malha mesh (a) Mesh (b) 656 (c) 710 (d) 0 (e) (f) (g) (h) (h) (h) (h) (h) (i) (j) (k) (l) Quadro 1 Excerto do ficheiro malha.s3d 8

9 sendo, (a)- título principal (b)- título do desenho (c)- o número de elementos; (d)- o número de nós; (e)- o numero de nós especiais; (f)- a coluna da numeração dos elementos; (g)- a coluna correspondente ao número de nós por elemento- neste caso são 4 mas indicam-se 5 para que o programa leia os 4 e volte a ler o primeiro para fechar cada um dos elementos; (h)- as colunas que indicam a numeração dos nós pertencentes a cada elemento; (i)- a coluna da numeração dos pontos ou nós; (j),(k),(l)- as colunas com as coordenadas x, y e z respectivamente de cada nó. Concluído este ficheiro, alterou-se a sua extensão.dat para.s3d (malha.s3d) de maneira que o ficheiro pudesse ser lido pelo programa Drawmesh. esta altura, a malha visualizada com o Drawmesh tinha o seguinte aspecto: Figura 4 Aspecto da malha 9

10 Figura 5 Aspecto da malha 2.3-Programa S3DCAD Após obtenção das coordenadas dos pontos da malha de elementos finitos para um gomo (1/3) da estrutura (com recurso ao software Microsoft Excel), utilizou-se o programa S3DCAD para obter uma malha da estrutura completa (3 gomos). Assim, já com o referido programa, abriu-se o ficheiro malha.s3d (obtido a partir da simples alteração da extensão do ficheiro malha.dat), utilizando-se para o efeito o comando rea. Após introdução deste comando o programa pede o nome do ficheiro com o qual se pretende trabalhar malha. De seguida, procedeu-se à renumeração dos elementos e dos nós da malha, isto é, em vez dos elementos e nós terem a numeração atribuída no programa Microsoft Excel, estes terão uma nova numeração gerada pelo programa de uma forma mais lógica, ficando cada elemento associado a nós com numeração diferente, mas com as mesmas coordenadas que anteriormente, transformando, ainda, nós de coordenadas coincidentes num só nó. Para o efeito, utilizou-se o comando ren, seleccionando-se a direcção em que a numeração dos nós deveria progredir com menor prioridade, com prioridade intermédia e com maior prioridade. 10

11 O passo seguinte foi repetir a malha em torno de um eixo, de forma a obter a malha da estrutura inteira, a partir da malha de apenas 1/3 daquela (1 gomo). O comando utilizado foi o cya, com 3 repetições (3 gomos) em torno do eixo zz (vertical coordenadas (0;0;0) e (0;0;1)), com um ângulo de rotação de 120º. Efectuou-se uma nova renumeração da malha (ren) e gravou-se (wri) num ficheiro novo malha.s3d. Utilizando o programa drawmesh, procedeu-se à importação daquele ficheiro, de forma a visualizar o aspecto da malha em 3D, como se pode ver nas figuras seguintes. Figura 6 Aspecto da malha completa (perspectiva XZ) 11

12 Figura 7 Aspecto da malha completa (perspectiva XY) Após gerar a malha inteira, introduziram-se os pontos especiais, isto é, os apoios. Para tal, utilizou-se, no S3DCAD, o comando snd, que detectou os nós do plano z -6 (definido por três pontos) e os seleccionou como nós especiais. Fez-se uma renumeração dos nós e gravou-se o ficheiro. as figuras seguintes, pode-se ver os referidos nós (a azul) na base da cobertura. 12

13 Figura 8 ós especiais (perspectiva XZ) Figura 9 ós especiais (perspectiva XY) 13

14 O último passo foi criar um ficheiro com a extensão _gl.dat, para ser corrido no programa FEMIX, com objectivo de obter o esforços e deslocamentos na estrutura devido a acções a considerar. O comando utilizado para o efeito foi o gld, tendo sido necessário escolher o tipo de estrutura (Casca opção 6) em que a malha foi convertida. 14

15 3-Preparação do ficheiro de dados malha_gl.dat Depois de criado o ficheiro malha_gl.dat com o programa s3dcad, era necessário fazer as devidas alterações de maneira a adaptá-lo a esta estrutura e ás respectivas acções consideradas. 3.1-Parâmetros principais Começou-se por alterar os parâmetros principais da estrutura. Os valores atribuídos pelo programa s3dcad, indicam-se a seguir: ### Main parameters 1968 # nelem (n. of elements in the mesh) 6054 # npoin (n. of points in the mesh) 87 # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom) 1 # ncase (n. of load cases) 1 # nmats (n. of sets of material properties) 1 # nspen (n. of sets of element nodal properties) 6 # ntype (problem type) 8 # nnode (n. of nodes per element) 2 # ngaus (n. of Gauss points in the integration rule) (element stiffness) 2 # ngstr (n. of Gauss points in the integration rule) (stresses) 3 # ndime (n. of geometric dimensions) 6 # ndofn (n. of degrees of freedom per node) 1 # nnscs (n. of points with specified coordinate system) 1 # nsscs (n. of specified coordinate systems) 1 # npspr (n. of springs) 1 # nsspv (n. of spring vectors) 4 # nprop (n. of material properties used in the formulation) 1 # npren (n. of element nodal properties used in the formulation) 1 # nwink (n. of element faces with Winkler coefficients) Quadro 2 Excerto do ficheiro malha_gl.dat Em vez de 1 caso de carga considerou-se 6, portanto, o valor de ncase deixou de ser 1 e passou a ser 6. Por defeito, o ficheiro malha_gl.dat atribui uma espessura constante a todos os nós da estrutura de valor 0.25m. Uma vez que no nosso caso temos uma espessura variável entre 0.10m e 0.20m, o valor a atribuir a nspen deixa de ser 1 e passa a ser 1968 que é o número de elementos da estrutura. Apenas foi considerado um único sistema de eixos para todos os pontos, logo, os valores considerados para de nnscs e nsscs foram 0. Tendo-se considerado apoios rígidos, os valores para npspr, nsspv e nwink também são 0. Os restantes valores que não foram referenciados, não foram alterados. 15

16 3.2-Definição dos graus de liberdade dos apoios Depois da alteração dos parâmetros principais, passou-se para a definição dos graus de liberdade dos nós que formam os apoios. Por defeito, o ficheiro malha_gl.dat é criado pelo programa s3dcad com todos os graus de liberdade, nos nós dos apoios, fixos, tal como se pode constatar no excerto do ficheiro que se apresenta a seguir: ### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free) # ivfix nofix ifpre Quadro 3 Excerto do ficheiro malha_gl.dat o nosso caso, pretendia-se que apenas as translações fossem impedidas, libertando-se as rotações. Sendo assim, foi necessário, para cada um destes nós, alterar as três últimas colunas para 0 em vez de 1. De salientar, no entanto, que os três apoios da estrutura acabariam, de qualquer das formas, por funcionar como encastrados. Isto deve-se ao facto de se ter impedido as translações em vários nós por apoio, estando esses nós muito próximos uns dos outros. 16

17 3.3-Definição das propriedades dos materiais Ao nível dos materiais utilizados, considerou-se apenas o betão com as seguintes propriedades: Módulo de Young (E) kpa Coeficiente de Poisson (υ) 0,15 Densidade 2,5 Coeficiente de dilatação térmica (α) 10-5 ºC -1 o ficheiro malha_gl.dat esta informação aparece com a seguinte configuração: ### Sets of material properties ### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.) # imats young poiss dense alpha 1 20e e-5 Quadro 4 Excerto do ficheiro malha_gl.dat 17

18 3.4-Definição das espessuras da malha Para definir as espessuras em cada um dos nós da estrutura, e uma vez que a malha é composta por 6054 nós, teve que se recorrer à programação para definir e atribuir automaticamente o valor das espessuras de cada nó. Como ponto de partida utilizou-se um programa em linguagem FORTRA já existente (Quadros 5 e 6), que cria um ficheiro.dat com dados para um programa de elementos finitos a partir de um ficheiro.s3d. Desse programa aproveitou-se apenas a sequência inicial cujo algoritmo verifica a numeração dos elementos, dos nós e dos nós especiais contemplados num ficheiro.s3d já existente (critérios: a exposição dessa numeração elementos, nós e nós especiais no ficheiro tem de ser sequencial, isto é de 1 até n, com incrementos de 1; o número representativo do número de nós de um elemento tem de coincidir com o número efectivo de nós que esse elemento apresenta; todos os elementos têm de conter igual nº de nós). O algoritmo que se acrescentou (Quadros 7 e 8) consistiu, genericamente, em escrever num ficheiro novo, com extensão.dat, as espessuras dos oito nós que constituem cada elemento. O formato desse ficheiro permitiu, depois, copiar integralmente a informação gerada para um ficheiro de dados _gl.dat, próprio para ser corrido pelo FEMIX. DIMESIO COORD(6100,3) DIMESIO LODS(3100,20) DIMESIO ODD(3100) DIMESIO OFIX(3100) real, parameter :: pi CHARACTER FILE1*80, FILE2*80, PROBL*80, TITL1*80, TITL2*80 WRITE(*,*) ' ************************************************' WRITE(*,*) ' * CRIAR UM FICHEIRO.DAT COM DADOS PARA UM *' WRITE(*,*) ' * PROGRAMA DE ELEMETOS FIITOS A PARTIR DE UM *' WRITE(*,*) ' * FICHEIRO.S3D *' WRITE(*,*) ' ************************************************' WRITE(*,*) WRITE(*,*) ' OME BASE DO PROBLEMA? ' READ(*,'(A)') PROBL LEGPLEGH(PROBL) FILE1PROBL(1:LEGP)//'.S3D' FILE2PROBL(1:LEGP)//'.DAT' OPE(50,FILEFILE1,STATUS'OLD') READ(50,'(A)') TITL1 READ(50,'(A)') TITL2 READ(50,*) ELEM,POI,VFIX DO 120 IELEM1,ELEM READ(50,*) JELEM,ODD(IELEM),. (LODS(IELEM,IODE),IODE1,ODD(IELEM)) IF (JELEM.E. IELEM) THE WRITE(*,*) ' UMERACAO DOS ELEMETOS ERRADA O' WRITE(*,*) ' ELEMETO.',IELEM STOP EDIF C ( ) Quadro 5 Programa em linguagem FORTRA 18

19 C ( ) IF ( LODS(IELEM,1).EQ. LODS(IELEM,ODD(IELEM)) ). ODD(IELEM)ODD(IELEM)-1 IF (IELEM.EQ. 1) THE ODEODD(1) ELSE IF (ODD(IELEM).E. ODE) THE WRITE(*,*) ' O ODE TEM DE SER COSTATE' STOP EDIF EDIF 120 COTIUE DO 150 IPOI1,POI READ(50,*) JPOI,(COORD(IPOI,IDIME),IDIME1,3) IF (JPOI.E. IPOI) THE WRITE(*,*) ' UMERACAO DOS OS ERRADA O' WRITE(*,*) ' O`.',IPOI STOP EDIF 150 COTIUE DO 200 IVFIX1,VFIX READ(50,*) JVFIX,OFIX(IVFIX) IF (JVFIX.E. IVFIX) THE WRITE(*,*) ' UMERACAO ERRADA O APOIO. ',IVFIX STOP EDIF 200 COTIUE CLOSE(50) C acabou a leitura do ficheiro.s3d Quadro 6 Programa em linguagem FORTRA C começou a escrita do ficheiro.dat OPE(60,FILEFILE2,STATUS'REPLACE') write(60,'(a)') '### Sets of element nodal properties' do 600 ielem1,nelem write(60,'(a)') '#ispen' write(60,'(i5)') ielem write(60,'(a)') '#inode thickness' do 650 inode1,nnode ipoinlnods(ielem,inode) x coord(ipoin,1) y coord(ipoin,2) C ( ) if ( x.eq. 0) then x end if write(*,*) ipoin, x, y r_n1r(sqrt(x**2+y**2)-7.25)*(sqrt(x**2+y**2)-14)/ r_n2r-(sqrt(x**2+y**2)-0.5)*(sqrt(x**2+y**2)-14)/ r_n3r(sqrt(x**2+y**2)-0.5)*(sqrt(x**2+y**2)-7.25)/ Quadro 7 Programa em linguagem FORTRA 19

20 C ( ) if (y.ge *x.and. x.ge. 0) then r_n1a(ata(y/x)*(180/pi)-45)*(ata(y/x)*. (180/pi)-105)/7200 r_n8a(ata(y/x)*(180/pi)+15)*(ata(y/x)*. (180/pi)-105)/(-3600) r_n7a(ata(y/x)*(180/pi)+15)*(ata(y/x)*. (180/pi)-45)/7200 espr_n1r*r_n1a*0.1+r_n2r*r_n1a*0.15+r_n3r*r_n1a*0.2+r_n3r*. r_n8a*0.1+r_n3r*r_n7a*. 0.2+r_n2r*r_n7a*0.15+r_n1r*r_n7a*0.1+r_n1r*r_n8a*0.1+. r_n2r*r_n8a*0.1 write(60,'(i5,5x,f5.3)') inode,esp else if (y.ge *x.and. x.lt. 0) then r_n1a(ata(y/x)*(180/pi)+135)*(ata(y/x)*. (180/PI)+75)/7200 r_n8a(ata(y/x)*(180/pi)+195)*(ata(y/x)*. (180/PI)+75)/(-3600) r_n7a(ata(y/x)*(180/pi)+195)*(ata(y/x)*. (180/PI)+135)/7200 espr_n1r*r_n1a*0.1+r_n2r*r_n1a*0.15+r_n3r*r_n1a*0.2+. r_n3r*r_n8a*0.1+r_n3r*r_n7a*. 0.2+r_n2r*r_n7a*0.15+r_n1r*r_n7a*0.1+r_n1r*r_n8a*0.1+. r_n2r*r_n8a*0.1 write(60,'(i5,5x,f5.3)') inode,esp else if (y.ge. x.and. x.lt *x) then r_n1a(ata(y/x)*(180/pi)+15)*(ata(y/x)*. (180/PI)-45)/7200 r_n8a(ata(y/x)*(180/pi)+75)*(ata(y/x)*. (180/PI)-45)/(-3600) r_n7a(ata(y/x)*(180/pi)+15)*(ata(y/x)*. (180/PI)+75)/7200 espr_n1r*r_n1a*0.1+r_n2r*r_n1a*0.15+r_n3r*r_n1a*0.2+. r_n3r*r_n8a*0.1+r_n3r*r_n7a*. 0.2+r_n2r*r_n7a*0.15+r_n1r*r_n7a*0.1+r_n1r*r_n8a*0.1+. r_n2r*r_n8a*0.1 write(60,'(i5,5x,f5.3)') inode,esp Quadro 8 Programa em linguagem FORTRA Para obtenção das espessuras de cada nó, desenvolveram-se funções que dependem das coordenadas x e y de cada ponto, uma vez que estas são as variáveis que caracterizam cada ponto. Para chegar a estas funções, desenvolveram-se, inicialmente, as funções em função das coordenadas R e θ, convertendo-se, depois, estas variáveis em x e y, y utilizando as expressões tg θ e R x + y. Adoptou-se este procedimento x uma vez que a projecção das coordenadas R e θ dos pontos num eixo cartesiano forma um rectângulo, tal como se pode ver nas figuras seguintes. 20

21 θ gomo 1 θ gomo R R 21

22 Figura 10 Projecção do Parabolóide num eixo cartesiano, de coordenadas R e θ (gomo 1) Figura 11 Projecção do Parabolóide num eixo cartesiano, de coordenadas R e θ (gomo2) θ gomo R Figura 12 Projecção do Parabolóide num eixo cartesiano, de coordenadas R e θ (gomo3) Deste modo torna-se mais fácil a utilização de funções interpoladoras, com o objectivo de obter as espessuras de nós intermédios, a partir de espessuras previamente atribuídas a determinados nós, criteriosamente seleccionados. Esta atribuição das espessuras teve como critérios espessuras mínimas e máximas atribuídas a nós estratégicos, em função da concentração de esforços. Assim, e uma vez que os esforços aumentam em direcção aos apoios devido ao peso próprio principal acção actuante, achou-se apropriado que a espessura da cobertura aumentasse da crista para os apoios e do centro (interior) para os apoios (periferia). Desta forma, atribuiu-se espessura 0.10 m aos nós da crista e aos do centro da cobertura e 0.20 m aos nós extremos dos apoios. Convertendo este raciocínio para o esquema das coordenadas R e θ, atrás representado(s), os nós 1,7,8,9 e 4 são os que têm espessura 0.10 m e os nós 5 e 3 espessura 0.20 m, tendo-se ainda atribuído espessura 0.15 m aos nós 2 e 6. De seguida, apresentam-se as funções interpoladoras iniciais a que se chegou: 3

23 1º gomo (Figura 10) 0.5 R 14 e 15 θ 105 ( R) 1,8,7 ( R 7.25) ( R 14) ( ) ( ) ( θ ) 1,2, 3 ( θ 45) ( θ 105) ( 15 45) ( ) ( R) 2,6,9 ( R 0.5) ( R 14) ( ) ( ) ( θ ) 8,9,4 ( θ ( 15) ) ( θ 105) ( 45 ( 15) ) ( ) ( R) 3,4,5 ( R 0.5) ( R 7.25) ( ) ( ) ( θ ) 7,6,5 ( θ 45) ( θ ( 15) ) ( 45 ( 15) ) ( ) 2º gomo (Figura 11) 0.5 R 14 e 105 θ 225 ( R) ( R) ( R) 1,8,7 2,6,9 3,4,5 ( R 7.25) ( R 14) ( ) ( ) ( R 0.5) ( R 14) ( ) ( ) ( R 0.5) ( R 7.25) ( ) ( ) ( θ ) ( θ ) ( ) θ 1,2,3 8,9,4 7,6,5 ( θ 165) ( θ 225) ( ) ( ) ( θ 105) ( θ 225) ( ) ( ) ( θ 165) ( θ 105) ( ) ( ) 22

24 3º gomo (Figura 12) 0.5 R 14 e 225 θ 345 ( R) ( R) ( R) 1,8,7 2,6,9 3,4,5 ( R 7.25) ( R 14) ( ) ( ) ( R 0.5) ( R 14) ( ) ( ) ( R 0.5) ( R 7.25) ( ) ( ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) 1,2,3 8,9,4 7,6,5 ( θ 285) ( θ 345) ( ) ( ) ( θ 225) ( θ 345) ( ) ( ) ( θ 285) ( θ 225) ( ) ( ) 23

25 A partir destas fórmulas, e através das expressões 2 2 e θ R x + y y tg 1 x chegou-se, então, às seguintes funções interpoladoras em função de x e y: 1,8,7 2,6,9 3,5, ( x + y 7,25 )(. x + y 14) y) ( 0,5 7,25 ).(0.5 14) ( x + y 0,5 )(. x + y 14) y) ( 7,25 0,5 ).(7,25 14) ( x + y 0,5 )(. x + y 7.25) y) ( 14 0,5 ).( ) Zona A y 0,268. x x 0 1,2,3 4,8,9 5,6,7 tg y) tg y) tg y) y 45. tg x 1 y 105 x ( )( ) y tg x 1 ( )( ) y tg x 1 ( )( ) y 105 x y 45 x Zona B y 3,732. x x < 0 24

26 1,2,3 tg y) 1 y tg x 1 ( )( ) y x 4,8,9 tg y) 1 y x tg 1 ( )( ) y x 5,6,7 tg y) 1 y tg x 1 ( )( ) y x Zona C y x y < 3,732. x 1,2,3 tg y) 1 y tg x 1 ( )( ) y x 4,8,9 tg y) 1 y x tg 1 ( )( ) y x 5,6,7 Zona D y < x x tg y) 0 1 y tg x 1 ( )( ) y x 25

27 1,2,3 4,8,9 5,6,7 tg y) tg y) tg y) 1 y tg x ( )( ) y tg x 1 ( )( ) y tg x 1 ( )( ) y x y x y x Zona E y < 0,268. x x > 0 1,2,3 tg y) 1 y tg x 1 ( )( ) y x 4,8,9 tg y) 1 y tg x 1 ( )( ) y x 5,6,7 tg y) 1 y tg x 1 ( )( ) y x 26

28 y gomo 1 B A C x D E gomo 3 Figura 13 Esquema das zonas relativas às funções de forma Convém referir que as expressões (x,y) obtidas directamente das funções (θ) tiveram y que ser alteradas, uma vez que a função θ tg 1 reduz o ângulo θ dos quadrantes II x e III a um ângulo do quadrante I negativo e positivo, respectivamente (ver trigonometria). Desta forma, a expressão do gomo 1 dividiu-se nas expressões da zona A e B. Para a zona A não foi necessário proceder a alterações, apesar de abranger o quadrante IV e para a zona B foi necessário somar 180º. À expressão do gomo 2 adicionou-se 180º, dando origem à expressão da zona C. A expressão do gomo 3 deu origem à da zona B, somando 180º, e à da zona E, somando 360º. É de referir, também, que as expressões (x,y) obtidas das funções (R) são iguais para todos os gomos, uma vez que o raio varia de igual forma e a expressão R x y não traz qualquer tipo de problemas. Tendo as funções de forma para cada um dos sectores (gomos) da malha e as espessuras máxima e mínima atribuídas a nós estratégicos, a espessura dos restantes nós pode ser determinada através da seguinte expressão: e 3,5,4 1,8,7 1,7,8 y). y). y). 4,8,9 5,6,7 1,2,3 y).0,1 + y).0,1 + y).0,1 + 3,4,5 1,7,8 2,6,9 y). y). y). 5,6,7 4,8,9 1,2,3 y).0,15 + y).0,2 + y).0,1 + 2,6,9 2,6,9 3,4,5 y). y). y). 5,6,7 4,8,9 1,2,3 y).0,20 + y).0,15 + y).0,1 27

29 Recuando, um pouco no raciocínio, colocaram-se estas expressões no programa em FORTRA, que por sua vez criou o ficheiro em formato.dat, com as espessuras de cada nó de cada elemento (cada elemento está associado a um bloco de espessuras). Copiaram-se, então, os dados registados neste ficheiro para um ficheiro _gl.dat, por forma a ser lido pelo FEMIX. Para se poder visualizar o esquema das espessuras no Drawmesh, teve que se criar um ficheiro.pva. Para o efeito, utilizou-se o programa das espessuras, alterando-se, apenas a disposição das espessuras e dos nós, no ficheiro.dat. Com este ficheiro já criado, bastou alterar a sua extensão para.pva. O resultado pode ser visto na figura seguinte. Pode-se confirmar que a espessura vai aumentando de 0,10m para 0,20m á medida que os nós se aproximam do apoio. Figura 14 - Mapa das espessuras da cobertura 28

30 3.5 Definição das acções Finalmente, definiram-se as acções. De maneira a facilitar as combinações de cargas com os respectivos coeficientes parciais de segurança, optou-se por colocar apenas uma acção por cada caso de carga. Sendo assim, as acções consideradas foram as seguintes: peso próprio da estrutura, dois casos de sobrecargas, acção uniforme da temperatura, e a acção sísmica segundo duas direcções diferentes de actuação Peso Próprio Para o cálculo do peso próprio da estrutura considerou-se uma aceleração da gravidade de 9.8 m/s 2. Esta aceleração deve ser introduzida no ficheiro malha_gl.dat segundo a direcção do eixo cartesiano x 3 e com sentido negativo. Uma vez que anteriormente já se tinha atribuído a densidade ao betão (densidade 2.5), o programa determina o seu peso volúmico, que vai utilizar na determinação do peso próprio da estrutura. γ 9, ,5k / m c 3 o ficheiro malha_gl.dat, a introdução da acção do peso próprio apresenta a seguinte configuração: ### Title of the first load case Peso próprio (1) ### Load parameters 0 # nplod (n. of point loads in nodal points) 1 # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 0 # nedge (n. of edge loads) (F.E.M. only) 0 # nface (n. of face loads) (F.E.M. only) 0 # nteme (n. of elements with temperature variation) (F.E.M. only) 0 # nudis (n. of uniformly distributed loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntral (n. of trapezoidal distributed loads (3d frames and trusses only) 0 # nepoi (n. of bar point loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntemb (n. of bars with temper. variation) (3d frames and trusses only) 0 # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) ### Gravity load (gravity acceleration) ### (global coordinate system) # gravi-tx1 gravi-tx2 gravi-tx3 gravi-rx1 gravi-rx2 gravi-rx Quadro 9 Excerto do ficheiro malha_gl.dat 29

31 3.5.2-Sobrecarga De acordo com 1º ponto do artº.34º do RSA a estrutura em questão insere-se na definição de cobertura ordinária. Sendo assim, e de acordo com este mesmo artigo o valor a considerar para a sobrecarga característica é 0,3 k/m 2. o ficheiro malha_gl.dat, o valor das acções em cada nó têm que ser introduzidas de acordo com o referencial local do respectivo nó. Uma vez que esse referencial local varia de nó para nó, tornar-se-ia muito complicado determinar para cada um deles as acções tangentes à sua superfície, daí que se tenha optado por determinar apenas as acções devidas à sobrecarga perpendiculares à superfície no nó. Para isso, teve que se determinar o versor perpendicular á superfície em cada nó e, a partir dai, determinar o ângulo desse versor com a vertical que vai afectar o valor da sobrecarga (direcção vertical). A seguir, demonstra-se como se obteve a expressão que permite determinar a acção normal à superfície em cada nó, devido à sobrecarga, em função do ângulo entre o versor normal à superfície nó e o versor vertical. o caso em estudo, a equação da superfície é a seguinte: ou, logo, h Z 0,15. x. y x 0 x 3,15. x1. ( x1, x2, x3 ) 0,15. x1. x2 x3 2 h ( x x, x ) 0 0,15. x. x x 0 0,15. x. x + x 0 1, O vector normal à superfície h x, x, x ) 0 0,15. x. x + x 0 é h : ( h ( x, x h h ), x1 x2 1 2, x3, h x3 este caso: h (,15x 2 ; 0,15x ;1) 0 1 O versor da normal é: ou seja, 1 h nˆ, h ( 0,15x ; 0,15x ;1) nˆ ,15 x2 + 0,15 x

32 x3 γ ^ n ^ v x1 Figura 15 Esquema do versor perpendicular à superfície e respectivo ângulo com a vertical x2 Sabendo que o versor vertical é dado por ( 0,0,1 ) v ˆ, e o versor normal à superfície é ˆ 1 2 n3 n ( n, n, ), então, o produto interno destes dois vectores é n ˆ vˆ n 3 sendo o produto interno dado por então, logo, n ˆ vˆ nˆ. vˆ.cos( γ ) n ˆ vˆ cos( γ ) ( γ ) n cos, 3 e 1 n3 cos( γ ) ,15. x + 0,15. x ,15. x ,15. x Portanto, o valor da acção da sobrecarga segundo a normal à superfície, em qualquer nó, é dado pela seguinte expressão: 31

33 p pnormal p.cos( γ ) pnormal, ,15. x + 0,15. x sendo, p - o valor característico da sobrecarga de direcção vertical, que neste caso é 0.3 k/m 2 ; x 1,x 2 - as coordenadas segundo x e y, respectivamente, do nó; Obtida esta expressão, a melhor maneira de atribuir o valor da sobrecarga a todos os nós da estrutura foi fazer um programa em Fortran, uma vez que a estrutura é constituída por 6054 nós. Esse programa lia os valores das coordenadas x e y de cada um dos nós da estrutura através do ficheiro de dados malha.s3d, e procedia ao cálculo da sobrecarga do versor normal à superfície no nó, através da equação acima transcrita. Tal como para o programa das espessuras, acrescentou-se um algoritmo a um programa já existente. Uma vez já transcrito algoritmo desse programa inicial (Quadros 5 e 6), apenas se transcreve a parte acrescentada: C ( ) C C Terminou a leitura do ficheiro.s3d Vai comecar a escrita do ficheiro.dat OPE(60,FILEFILE2,STATUS'REPLACE') write(60,'(a)') '### Face load (loaded element, loaded points and.load value)' write(60,'(a)') '### (local coordinate system)' do 600 ielem1,nelem write(60,'(a)') '#iface loelf' write(60,'(i4,5x,i4)') ielem,ielem write(60,'(a)') '#lopof fs1 fs2 fn ms1 ms2 ignored.' do 650 inode1,nnode ipoinlnods(ielem,inode) x coord(ipoin,1) y coord(ipoin,2) fn1.0/sqrt(0.15**2*x**2+0.15**2*y**2+1) zero0 write(60,'(i5,2(4x,f3.1),4x,f4.3,3(3x,f3.1))') ipoin,zero,zero,fn, * zero,zero,zero 650 continue 600 continue CLOSE(60) ED Quadro 10 Excerto do programa em linguagem FORTRA 32

34 Os valores daí resultantes eram escritos pelo programa num novo ficheiro de otepad. Restava finalmente copiar esses valores para o seu lugar respectivo no ficheiro malha_gl.dat. Falta ainda referir que foram considerados dois casos de carga para a sobrecarga. O primeiro caso, em que a sobrecarga actua em toda a estrutura (Sobrecarga Total) (Figura 16), e o segundo caso, em que a sobrecarga actua apenas em um terço da estrutura (Sobrecarga Parcial) (Figura 17). Figura 16 Mapa da componente normal à superfície da sobrecarga (acção em toda a estrutura) 33

35 Figura 17 Mapa da componente normal à superfície da sobrecarga (acção num só gomo) o ficheiro malha_gl.dat, os valores da sobrecarga (neste caso, Sobrecarga Total) são introduzidos da seguinte forma: ###Title of the second load case Sobrecarga Total (2) ### Load parameters 0 # nplod (n. of point loads in nodal points) 0 # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 0 # nedge (n. of edge loads) (F.E.M. only) 1968 # nface (n. of face loads) (F.E.M. only) 0 # nteme (n. of elements with temperature variation) (F.E.M. only) 0 # nudis (n. of uniformly distributed loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntral (n. of trapezoidal distributed loads (3d frames and trusses only) 0 # nepoi (n. of bar point loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntemb (n. of bars with temper. variation) (3d frames and trusses only) 0 # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) Quadro 11 Excerto do ficheiro malha_gl.dat (continua ) 34

36 ( continuação) ### Face load (loaded element, loaded points and load value) ### (local coordinate system) #iface loelf 1 1 #lopof fs1 fs2 fn ms1 ms2 ignored #iface loelf 2 2 #lopof fs1 fs2 fn ms1 ms2 ignored Quadro 12 Excerto do ficheiro malha_gl.dat Temperatura Uma vez que esta estrutura é constituída por elementos de casca espacial (ntype6), a variação de temperatura é considerada uniforme na espessura do elemento, não sendo possível modelar variações de temperatura diferencial entre as suas faces superior e inferior. a determinação da variação uniforme de temperatura característica, foi considerado o valor preconizado no1º ponto do artº.18º do RSA para estruturas de betão armado e préesforçado não protegidas constituídos por elementos de pequena espessura, cujo valor é 15ºC. Este valor foi usado para todos os nós da estrutura. Uma vez mais, devido à grande quantidade de nós da estrutura (6054 nós), teve que se fazer um programa em Fortran (quadro 13) para atribuir este valor a todos os nós, programa esse muito idêntico aos anteriores. 35

37 C ( ) C Terminou a leitura do ficheiro.s3d C Vai comecar a escrita do ficheiro.dat OPE(60,FILEFILE2,STATUS'REPLACE') write(60,'(a)') '### Thermal load (loaded element, loaded nodes,' write(60,'(a)') '### uniform and differential temperature variatio.n)' do 600 ielem1,nelem write(60,'(a)') '# iteme loelt' write(60,'(i5,4x,i5)') ielem,ielem write(60,'(a)') '# inode teuni tedif' do 650 inode1,nnode ipoinlnods(ielem,inode) x coord(ipoin,1) y coord(ipoin,2) iesp15 izero0 650 continue 600 continue write(60,'(i5,13x,i2,12x,i1)') inode,iesp,izero CLOSE(60) ED Quadro 13 Excerto do programa em linguagem FORTRA Este programa, tal como os anteriores, gera um ficheiro de dados em otepad cujos valores são posteriormente copiados para o ficheiro malha_gl.dat. o ficheiro malha_gl.dat a acção da temperatura aparece com a seguinte configuração: 36

38 ### Title of the fourth load case Temperatura (4) ### Load parameters 0 # nplod (n. of point loads in nodal points) 0 # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 0 # nedge (n. of edge loads) (F.E.M. only) 0 # nface (n. of face loads) (F.E.M. only) 1968 # nteme (n. of elements with temperature variation) (F.E.M. only) 0 # nudis (n. of uniformly distributed loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntral (n. of trapezoidal distributed loads (3d frames and trusses only) 0 # nepoi (n. of bar point loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntemb (n. of bars with temper. variation) (3d frames and trusses only) 0 # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom) ### Thermal load (loaded element, loaded nodes, ### uniform and differential temperature variation) # iteme loelt 1 1 # inode teuni tedif # iteme loelt 2 2 # inode teuni tedif Quadro 13 Excerto ficheiro malha_gl.dat 37

39 3.5.4 Sismo Finalmente, introduziu-se no ficheiro malha_gl.dat os valores das acções correspondentes a um possível sismo. Para isso, consultou-se o RSA e, na falta de informações geotécnicas do local, optou-se por considerar uma aceleração sísmica de 2 m/s 2, que pareceu ser suficiente uma vez que o valor máximo preconizado neste regulamento é 5m/s 2. Considerou-se dois casos de acção sísmica, estando a direcção de actuação para cada um deles representada na figura 18 Para o Sismo 1 a aceleração sísmica decompõe-se segundo as seguintes componentes dos eixos x 1 e x 2 : 2 Sx1 1.93m/ s 2 Sx 0.52m / s Para o Sismo 2 a aceleração sísmica decompõe-se da seguinte forma: 2 Sx 1.41m / s Sx m / s A introdução dos valores desta acção no ficheiro malha_gl.dat é feita da mesma forma que o peso próprio, mas em vez de se indicar o valor da aceleração da gravidade segundo a direcção vertical do eixo cartesiano x 3, este valor aparece igual a zero; e define-se os valores das acelerações sísmicas segundo os eixos cartesianos x 1 e x y S2 gomo 2 gomo 1 x S1 gomo 3 Figura 18 Direcção das acelerações sísmicas 38

40 4-Obtenção dos esforços e deslocamentos Após o tratamento de dados do ficheiro malha_gl.dat estar completo, este é lido pelo programa FEMIX, que é composto pelos módulos prefemix, femix e posfemix. O primeiro lê o ficheiro _gl.dat (formatado) e escreve os dados num ficheiro _gl.bin (não formatado). O segundo lê o ficheiro não formatado com os dados e calcula os deslocamentos e reacções, para cada caso de carga. Estes valores ficam guardados em dois ficheiros não formatados, um com os deslocamentos (extensão _di.bin) e outro com as reacções (extensão _re.bin). O terceiro destina-se ao pós processamento dos dados e resultados, como por exemplo a obtenção de ficheiros com resultados sob a forma numérica e ficheiros específicos para tratamento gráfico. É de referir que, no processamento deste último módulo, utilizou-se um ficheiro adicional malha_cm.dat por forma a entrar com as várias combinações consideradas, que se transcrevem de seguida: Comb PP SobTot Temp Comb PP SobPar Temp Comb PP SobTot Sis1 Comb PP SobPar Sis2 Sendo, PP Peso próprio SobTot Sobrecarga a actuar em toda e estrutura SobPar Sobrecarga a actuar num só gomo da estrutura Temp Acção da temperatura Sis1 Acção do Sismo, segundo a direcção S1 Sis2 Acção do Sismo, segundo a direcção S2 De seguida apresenta-se o conteúdo do ficheiro malha _cm.dat: ### Main title of the list of combinations Main title of the combinations ### Combination parameters 4 # ncomb (total number of combinations) # (continua ) Quadro 14 Excerto ficheiro malha_gl.dat 39

41 ### Title of the combination Peso proprio+sobr.total+temperatura ( continuação) ### Combination number and number of load cases in the combination # icomb nlcas 1 3 ### Load case numbers and load case coefficients # lcase vcoef # ### Title of the combination Peso Proprio+Sobr.Parcial+Temperatura ### Combination number and number of load cases in the combination # icomb nlcas 2 3 ### Load case numbers and load case coefficients # lcase vcoef # ### Title of the combination Peso Proprio+Sobr.Total+Sismo1 ### Combination number and number of load cases in the combination # icomb nlcas ### Load case numbers and load case coefficients # lcase vcoef # (continua ) Quadro 15 Excerto ficheiro malha_gl.dat 40

42 ### Title of the combination Peso Proprio+Sobr.Parcial+Sismo2 ( continuação) ### Combination number and number of load cases in the combination # icomb nlcas 4 3 ### Load case numbers and load case coefficients # lcase vcoef ED_OF_FILE Quadro 16 Excerto ficheiro malha_gl.dat Das várias hipóteses possíveis dadas pelo posfemix, seleccionaram-se os seguintes ficheiros: ficheiro com os resultados (deslocamentos, reacções e tensões/esforços) sob a forma numérica (extensão _rs.lpt); ficheiros para tratamento gráfico que possibilitam a visualização da deformada (extensão _dm.s3d) das várias combinações (figura 19); ficheiros para tratamento gráfico que permitem visualizar os deslocamentos generalizados (extensão _di.pva); ficheiros para tratamento gráfico que possibilitam visualizar os esforços (extensão _st.pva). Apresentam-se em seguida alguns resultados representados graficamente por intermédio da coloração de campos escalares. Figura 19 Malha deformada (_dm.s3d) e mapa dos deslocamentos (_di.pva), para Comb1 41

43 Figura 20 Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb1 Figura 21 Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb1 42

44 5-Obtenção da armadura Para a obtenção da armadura foi utilizado o programa Steel. Este programa utiliza os resultados dos esforços que foram calculados com o programa Femix e que se encontram gravados no ficheiro malha_st.bin. Para que o programa Steel possa ser executado, também tem que se criar um ficheiro de dados em otepad. Este ficheiro (malha_sr.dat) encontra-se transcrito a seguir: ### Steel reinforcement data file ### Compatible with Femix Version 3.1 ### Shell elements (ntype6) ### Main title of the problem Malha ### Units in file jobname_gl.dat: ### - force (, k, M, G) ### - metric (mm, cm, m) # forcu metru k m ### Output units of reinforcement # outpu (mm2/mm, mm2/m, cm2/cm cm2/m, m2/m) cm2/m ### Reinforcement parameters 2 # nsmap (n. of sets of reinforced concrete material properties) 2 # nsrep (n. of sets of reinforcement properties) 1 # nelel (n. of element lists) ### Reinforced concrete (RC) properties index, concrete compressive strength, ### steel yield stress and units (Pa, kpa, MPa, GPa) # ismap cofcd sfsyd units MPa MPa (continua ) Quadro 17 Excerto ficheiro malha_gl.dat 43

45 ( continuação) ### Reinforcement properties index (isrep) ### Grid mesh at top surface: ### distance between 1st reinf. axe and concrete top surf. (trecx1) ### distance between 2nd reinf. axe and concrete top surf. (trecx2) ### Grid mesh at bottom surface: ### distance between 1st reinf. axe and concrete bot. surf. (brecx1) ### distance between 2nd reinf. axe and concrete bot. surf. (brecx2) ### Angle, in degrees, between 1st reinforcement axe and stress X' direction (angra). # isrep trecx1 trecx2 brecx1 brecx2 angra(degrees) ### Element list index, list of element numbers, RC properties index ### and reinforcement properties index. # ielel lelel ielma ielre 1 /1-1968/ 1 1 ED_OF_FILE Quadro 18 Excerto ficheiro malha_gl.dat Tal como se pode verificar, neste ficheiro encontram-se indicadas as unidades utilizadas pelo ficheiro malha_gl.dat e as unidades das armaduras a serem obtidas através do Steel. Também se encontram as várias combinações a fazer entre tipos de armadura e tipos de betão, combinações essas que depois serão atribuídas aos diferentes elementos da estrutura. este caso, apenas se considerou uma combinação aço/betão para todos os elementos. Considerou-se aço A400 e betão C30/37. É também neste ficheiro que são indicadas as espessuras de recobrimento para a armadura superior e inferior nas duas direcções ortogonais. Tal como se pode ver no ficheiro, considerou-se em ambas as faces e para ambas as direcções uma espessura de recobrimento de 3cm. É de salientar que esta estrutura está sujeita ao ambiente marítimo, daí que, de acordo com o EC2, o recobrimento mais indicado seria 4cm. o entanto, usando este recobrimento poderia haver alguma dificuldade na disposição da armadura nas zonas onde a espessura de betão é mínima (10cm), e portanto considerouse 3cm. Uma vez que se pretendia calcular a armadura através de combinações de acções, e não a partir dos casos de carga, foi necessário utilizar o ficheiro malha_cm.dat, que já tinha sido criado anteriormente para ser usado aquando da execução do programa posfemix. Tendo-se o ficheiro malha_st.bin que foi criado pelo programa posfemix, o ficheiro malha_sr.dat e o ficheiro malha_cm.dat, o programa Steel pôde ser executado. Com a execução deste programa obtiveram-se ficheiros de dados e ficheiros para tratamento gráfico com os valores das armaduras (superior, inferior, direcção 1, direcção 2). Apresenta-se, de seguida, mapas da envolvente das armaduras. 44

46 Figura 22 Mapa da envolvente da armadura inferior, na direcção 1 Figura 23 Mapa da envolvente da armadura inferior, na direcção 2 45

47 Figura 24 Mapa da envolvente da armadura superior, na direcção 1 Figura 25 Mapa Mapa da envolvente da armadura superior, na direcção 2 46

48 6-Conclusão Analisando estes gráficos, decidiu-se utilizar a mesma quantidade de armadura nas faces superior e inferior, nas duas direcções, uma vez que as quantidades obtidas por metro são muito próximas nos quatro casos, de zona para zona. Assim, consideraram-se 4 zonas principais onde as quantidades de armadura são idênticas: zona central, zona da crista, zona do encontro dos gomos (vértice) e zona dos apoios, tal como se pode observar no esquema seguinte. Figura 26 Distribuição das armaduras 47

49 A zona central, com cerca de 2m de raio, a contar do eixo central, requer cerca de 14.0cm 2 /m tendo-se atribuído uma armadura de 12//0.08 (14.14 cm 2 /m), nas direcções radial e tangencial. A zona da crista, limitada por um ângulo de 60º, é a zona menos solicitada da estrutura, requerendo uma armadura de cerca de 5.1 cm 2 /m, tendo-se atribuído uma armadura de 10//0.15 (5.24 cm 2 /m), nas direcções radial e tangencial. A zona do vértice, limitada, igualmente por um ângulo de 60º, requer uma armadura de 10.8 cm 2 /m, tendo-se atribuído uma armadura de 12//0.10 (11.30 cm 2 /m). A zona do apoio é uma zona crítica, uma vez que apresenta valores pontuais de elevada armadura devido à transição da malha aí existente e à elevada concentração de esforços. Por conseguinte, este caso necessitaria de uma análise mais cuidada, por forma a compreender melhor a origem desses valores e, talvez, alterar o formato do apoio. 48

50 7-Bibliografia - Álvaro F. M. Azevedo - Método dos Elementos Finitos, 1ª Edição, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Álvaro F. M. Azevedo; Joaquim A. O. de Barros Manual De Utilização Do Programa S3DCAD, versão3.0, Álvaro F. M. Azevedo; Joaquim A. O. de Barros Manual De Utilização Do Programa Femix, versão3.1, António A. R. Henriques - Programação E Computadores, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Colecção Regulamentos Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes, Porto Editora, A. Tomás, P. Martí, M. A. Solano Optimización de Forma De Un Paraboloide Hiperbólico De Hormigón, Comunicação do Congresso Métodos uméricos En Ingeniería V, Espanha

51 AEXOS 50

52 Fig. I Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb1 Fig.II Mapa de esforços normais na direcção 2, para Comb1 51

53 Fig.III Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb1 Fig.IV Mapa de momentos em torno da direcção 2, para Comb1 52

54 Fig. V Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb2 Fig. VI Mapa de esforços normais na direcção 2, para Comb2 53

55 Fig. VII Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb2 Fig. VIII Mapa de momentos em torno da direcção 2, para Comb2 54

56 Fig. IX Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb3 Fig. X Mapa de esforços normais na direcção 2, para Comb3 55

57 Fig. XI Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb3 Fig. XII Mapa de momentos em torno da direcção 2, para Comb3 56

58 Fig. XIII Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb4 Fig. XIV Mapa de esforços normais na direcção 2, para Comb14 57

59 Fig. XV Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb4 Fig. XVI Mapa de momentos em torno da direcção 2, para Comb4 58

60 Fig. XVII Mapa de deslocamentos, para Comb1 Fig. XVIII Mapa de deslocamentos, para Comb2 59

61 Fig. XIX Mapa de deslocamentos, para Comb3 Fig. XX Mapa de deslocamentos, para Comb4 60

62 Fig. XXI Mapa da envolvente da armadura inferior, na direcção 1 Fig. XXII Mapa da envolvente da armadura inferior, na direcção 2 61

63 Fig. XXIII Mapa da envolvente da armadura superior, na direcção 1 Fig. XXIV Mapa da envolvente da armadura superior, na direcção 2 62