MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS

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1 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS MANUEL L. ESQUÍVEL 1. Modelos para mercados finitos 1.1. Introdução e motivação. Suponhamos um contrato que nos dá odireito, mas não a obrigação, de comprar a um dado preço K, denominado preço de exercício enuma determinada data T, denominada data de exercício, umactivo financeiro denominado activo subjacente, cujo preço corrente S 0 é conhecido. Um tal contrato denomina-se uma call option. Suponhamos ainda que a taxa de juro sem risco, por exemplo, a taxa de juro de uma conta bancária, é constante e dada por R. Suponhamos ainda que o preço do activo financeiro na data de exercício poderá tomar apenas dois valores S u e S d, com probabilidades, respectivamente, p u e p d. O problema fundamental colocado nesta situação éode determinar um preço justo para o contrato que acabámos de descrever. Com efeito, uma vez que este contrato dá aoseu possuidor um direito na data de exercício, ainda que opcional, tem um valor corrente que procuramos determinar. Para tornarmos concreta a situação, suponhamos que: S 0 = 280, K = 280, S u = 320, S d = 260. Vamos adoptar um modelo em que há dois estados do mundo Ω = {ω 1,ω 2 }. Seja o preço do activo financeiro, à data T, dado por: S T (ω 1 )=S u = 320 e S T (ω 2 )=S u = Ométodo das probabilidades naturais ou subjectivas. Vamos supor que um dado investidor encara o mercado como um bear market, isto é, tal que: P[{ω 1 }]=0.2 =1 P[{ω 2 }]. Observação 1. Note que um urso é considerado um animal pachorrento e que quando ataca, ataca com uma pata num movimento descendente. Talvez por isto, a denominação de bear market, para um mercado com fraca probabilidade de fazer subir os preços, está bem atribuída. Encarando S T como uma variável aleatória temos, obviamente, que: S T = 320I {ω1 } + 260I {ω2 }. Determinemos C T,ocashflow gerado pelo contrato, ou seja, o payoff terminal ou à data de exercício. Se se verificar S T = 320 então, o contrato pode ser exercido, compra-se o activo pelo preço de exercício 280 e vende-se o activo no mercado com uma receita de = 40; se se verificar que S T = 320 então, o contrato não deverá ser exercido sendo o cahhflow nulo. Éóbvio, pois, que: C T =40I {ω1 } isto é C T (ω 1 )=40 ec T (ω 2 )=0, 1

2 2 MANUEL L. ESQUÍVEL isto é, temos a expresão importante seguinte para o payoff terminal da call option: C T = max(s T K, 0) =(S T K) +. Utilizemos, para o apreçamento, o princípio do valor esperado actualizado do payoff terminal. Então, Π(0) o preço corrente da call option virá: Π(0) = E P C T [ 1+R ]= 1 1+R (P[{ω 1}]C T (ω 1 )+P[{ω 2 }]C T (ω 2 ))=7.62. Vamos supor, agora, que um outro investidor encara o mercado como um bull market, isto é, tal que: P[{ω 1 }]=0.8 =1 P[{ω 2 }]. Observação 2. Note que um touro é considerado um animal agressivo e que quando ataca, ataca com um movimento ascendente da cabeça e dos chifres. Talvez por isto, a denominação de bull market, para um mercado com grande probabilidade de fazer subir os preços, está bem atribuída. Utilizando o princípio do valor esperado actualizado do payoff terminal, para apreçar a call option, virá: Π(0) = E P C T [ 1+R ]= 1 1+R (P[{ω 1}]C T (ω 1 )+P[{ω 2 }]C T (ω 2 )) = Observação 3. Note-se que o método que empregámos usando as probabilidades naturais ou subjectivas, na medida em que estas probabilidades dependem da atitude de cada investidor, não fornece um preço único para o contrato uma vez que, tal como vimos, o preço depende destas probabilidades subjectivas. Uma tal solução para o problema do apreçamento deixa muito a desejar na medida em que escolhendo adequadamente as probabilidades poderemos obter, praticamente, qualquer valor num dado intervalo para o preço do contrato Ométodo das carteiras réplicas. Segundo [6], o método das carteiras réplicas foi introduzido por Sharpe em 1978 e Rendleman & Barter em 1979, isto é, praticamente, cinco anos após a contibuição fundamental de Black, Scholes e Merton. Este método consiste em realizar uma carteira com uma certa quantidade do activo financeiro subjacente e com uma certa quantidade de dinheiro numa conta bancária, de tal forma que o valor da carteira na data de exercício coincida com o payoff terminal do contrato. Neste sentido, a carteira replica ou reproduz o contrato. A carteira Φ aparece, pois, definida inicialmente como um par de números Φ = Φ 0 =(α 0,β 0 ), em que: a quantidade α 0 representa o número de acções do activo subjacente; a quantidade β 0 representa o número de unidades monetárias na conta bancária. Observação 4. Note-se que: Consideramos que a taxa de juro activa é igual à taxa de juro passiva. Admitimos que (α 0,β 0 ) R 2. Tal significa, para α 0 < 0, que constituímos uma posição short no activo subjacente recebendo dinheiro por uma venda não concluída dado não termos em nossa posse o activo que vendemos. Admitir β 0 < 0 significa que contraímos um empréstimo em unidades monetárias no montante β 0.

3 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS 3 Após constituição da carteira, na data inicial, a composição desta não se altera até à data terminal. Designemos por 0adata inicial e, por V t (Φ), o valor da carteira Φ à data t =0,T. Éóbvio que o valor da carteira numa dada data se obtem adicionando os termos, um para o activo subjacente e outro para a conta bancária, que resultam do produto quantidade pelo preço, nessa data, do activo considerado. Assim sendo: V 0 (Φ) = α 0 S 0 + β 0 e V T (Φ) = α 0 S T + β 0 (1 + R). Pela descrição que fizémos acima de carteira réplica deveremos ter que: C T = V T (Φ). Note-se que se trata de uma igualdade entre variáveis aleatórias pelo que se tem de facto: C T (ω i )=V T (Φ)(ω i ) i =1, 2. Reescrevendo esta expressão, tomando em conta a definição de V T (Φ), temos o sistema de equações: { V T (Φ)(ω 1 )= α 0 S T (ω 1 )+β 0 (1 + R) =C T (ω 1 ) V T (Φ)(ω 2 )= α 0 S T (ω 2 )+β 0 (1 + R) =C T (ω 2 ). Com os dados concretos que tomámos este sistema pode escrever-se, { α β = 40 α β = 0, tendo este sistema a solução única dada por: α 0 = 2 3 e β 0 = A nossa carteira (α 0,β 0 ) constitui-se, pois, da seguinte forma. Por cada call option em que estamos short temos α 0 =2/3 unidades de activo subjacente e contraímos um empréstimo de β 0 = unidades monetárias. Por construção, a carteira assim constituída permite reproduzir o payoff terminal do contrato. Na posse desta carteira réplica é possível agora apreçar o contrato usando o princípio de não arbitragem que se pode enunciar, neste contexto, na forma seguinte: se dois produtos têm o mesmo valor à data T então deverão ter o mesmo valor à data inicial zero. Desta forma, o preço do contrato será o custo inicial de constituição da carteira réplica ou seja, ainda, o investimento inicial necessário apara adquirir a carteira réplica. Temos pois: Π(0) = V 0 (Φ) = α 0 S 0 + β 0 = = Observação 5. Em consequência do que expusémos podemos observar que: O preço do contrato aparece definido univocamente pois depende apenas de α 0 e β 0 que ficaram determinados como solução de um sistema de equações algébricas.

4 4 MANUEL L. ESQUÍVEL O preço obtido não depende das probabbilidades subjectivas, ou seja, não depende da forma sob a qual cada agente avalia a evolução mais provável do mercado. Na determinação do preço do contrato usámos, apenas, o preço de exercício do contrato, o preço corrente do activo financeiro subjacente, as variações deste activo ao longo do tempo e, a taxa de juro de uma conta bancária ou de um activo sem risco Ométodo das medidas martingalas. Suponhamos que épossível encontrar uma medida de probabilidade P sobre o espaço de probabilidade Ω = (ω 1,ω 2 ), munido da álgebra sigma maximal, tal que P coincida com a probabilidade natural nos conjuntos de probabilidade nula e tal que S,opreço actualizado à taxa de juro R seja uma P martingala. Temos, então, que sendo S o preço actualizado à taxa de juro R dado por: S0 S 0 = (1 + R) = S 0 0 e ST S T = (1 + R) = S T 1 (1 + R), a condição de martingala exprime-se por: (1) S0 = E P [ST ]. Uma medida verificando a consição (1) é denominada medida de martingala ou ainda, por razões óbvias, medida neutra face ao risco. Determinemos, com os dados concretos, a solução do problema de apreçamento que já encontrámos por dois métodos. Podemos dizer que P é determinada por p ]0, 1[ tal que, por exemplo p = P [{ω 1 }], uma vez que necessariamente virá: 1 p = P [{ω 2 }]. Podemos reescrever afórmula (1) na seguinte forma: S0 = 1 1+R (p S T (ω 1 )+(1 p ) S T (ω 2 )), o que resolvendo em ordem a p nos dá: p = P [{ω 1 }]= (1 + R) S 0 S T (ω 2 ) S T (ω 1 ) S T (ω 2 ) e. por conseguinte, 1 p = P [{ω 2 }]= S T (ω 1 ) (1 + R) S 0. S T (ω 1 ) S T (ω 2 ) Para apreçarmos o contrato usamos o princípio do valor esperado actualizado do payoff terminal, mas relativamente à medida neutra face ao risco. Logo para apreçar a call option virá, para Π (0) o preço, neutro face ao risco, do contrato: Π C (0) = E P T [ [ (S T K) + 1+R ]=EP 1+R ]= = 1 1+R (p C T (ω 1 )+(1 p ) C T (ω 2 ))= Observação 6. Note-se que o preço obtido com este método coincide com o preço obtido para o contrato pelo método da carteira réplica. Esta coincidência éumfacto geral que será explorado no que vai seguir-se.

5 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS Pressupostos probabilísticos. Consideremos um espaço de probabilidade finito (Ω, F, P). A título de interpretação temos como pressuposto que há k N estados do mundo podendo então escrever-se que: Ω={ω 1,...,ω k }. Consideramos um horizonte temporal N N, que poderá ser interpretado como a data maturidade ou de exercício dos contratos relativos a produtos financeiros e o conjunto de datas ou instantes dado por: T := {0, 1,...,N}. O fluxo de informação disponível é-nos dado por uma filtração F =(F n ) n T sobre (Ω, F, P), isto é uma sequência F 0 F 1,..., F N, de subálgebras σ de F em que, F n pode ser interpretada como o conjunto da informação disponível à data n {0, 1,...,N}. Observação 7. Usualmente e, salvo aviso em contrário, consideramos em vigor as seguintes hipóteses: F 0 = {, Ω}. F N = F = P(Ω). ω Ω P[{ω}] > O mercado. Consideramos que no mercado existem d +1activos com d N dados pelos respectivos preços à data n {0, 1,...,N}. Representaremos estes preços pela sequência de variáveis aleatórias positivas: Sn,S 0 n,...,s 1 n d, mensuráveis relativamente a F n, isto é tal que para j {0, 1,...,d} se tenha (Sn) j 0 n N processo estocástico adaptado. Observação 8. S n := (S 0 n,s 1 n,...,s d n) R d+1 éovector dos preços à data n O activo sem risco. Consideramos que um dos activos, o que é representado pelo processo (S 0 n) 0 n N, tem uma dinâmica ou, evolução ao longo do tempo, dada por: S 0 0 1, n {1, 2,...,N} S 0 n =(1+r) n, em que r éataxa de juro do activo sem risco. Observação 9. A quantidade, β n := 1, Sn 0 éofactor de desconto da data n à data 0 isto é, se β n for investida à data 0 no activo sem risco então, poderemos recuperar uma unidade monetária à data n. Observação 10. Por oposição ao activo sem risco, os activos representados pelos processos (S j n) 0 n N para 0 <j (d +1)são activos com risco. Emgeral não especificaremos a dinâmica dos activos com risco. No caso particular do modelo binomial é especificada uma dinâmica, binomial, do activo com risco.

6 6 MANUEL L. ESQUÍVEL 1.4. Estratégias ou carteiras Noção intuitiva de carteira. No passado, a posse de um título de participação de uma empresa era formalizada por um documento impresso, geralmente, numa folha de papel única. Para preservar um conjunto desses documentos usava-se um portfolio ou carteira Descrição de uma carteira no medelo. Consideramos que a quantidade de títulos do activo i detidos à data n depende dos estados do mundo e é, por isso, representada por uma variável aleatória: Φ i n para i =0, 1,...,d e n {0, 1,...,N}. Definição 1. Ao processo estocástico Φ := (Φ 0 n, Φ 1 n,...,φ d n) 0 n N chamamos carteira sse Φ for previsível, isto é, se se verificar que: { Φ 0 n mf 0 Φ 0 n mf n 1 para n 1. Observação 11. Note-se que para n 1, o conjunto das posições da carteira no instante n, representado pelo vector (Φ 0 n, Φ 1 n,...,φ d n), é decidido com base da informação disponível à data n Valor e valor descontado de uma carteira. Para determinar o valor de uma certa carteira numa dada data, é necessário efectuar, para cada activo, o produto da quantidade detida desse activo pelo preço, à data, do activo e, em seguida, somar os termos assim obtidos para cada activo. Justifica-se pois a seguinte definição. Definição 2. Processo valor e valor descontado de uma carteira. (1) O processo estocástico V (Φ) = (V n (Φ)) 0 n N, processo valor da carteira Φ, é dado, para n =0, 1,...,N,por: d V n (Φ) =Φ n S n = Φ i nsn i =Φ 0 nsn 0 + +Φ N n Sn N. i=0 (2) O processo estocástico Ṽ (Φ) =(Ṽn(Φ)) 0 n N, processo valor descontado da carteira Φ, é dado, para n =0, 1,...,N,por: Ṽ n (Φ) := β n V n (Φ), onde β n éofactor de desconto definido acima. Observação 12. Note-se que, onde se tem que, β n V n (Φ) = β n (Φ n S n )= d ( Φ i n βn Sn) i =Φn S n, i=0 S n = ( 1,β n S 1 n,...,β n S d n), éopreço à data n descontado à data 0.

7 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS Carteiras autofinanciadas. Admitimos que o processo de gestão das carteiras éoseguinte. Constituímos a carteira à data zero. Numa data posterior qualquer, vendemos e compramos activos que mantemos até à data seguinte, altura em que voltamos a vender e a comprar activos; em qualquer data não épermitida a entrada ou saída de capitais que não seja para efeitos de venda ou compra de activos da carteira. Este processo corresponde no modelo à noção de carteira autofinanciada. Definição 3. Uma carteira Φ diz-se autofinanciada sse: (2) n {0, 1,...,N 1} Φ n S n =Φ n+1 S n. Observação 13. Para melhor se entender o significado desta definição fundamental atente-se que: (1) Se suposermos que d =1,isto é, a existência de, apenas, um activo para além do activo sem risco a condição (2) acima pode escrever-se: Φ 0 nsn 0 +Φ 1 nsn 1 =Φ 0 n+1sn 0 +Φ 1 n+1sn 1. Como consequência desta igualdade fica claro que, se à data n + 1, decidirmos aumentar a quantidade do activo sem risco na carteira, teremos que diminuir a quantidade do activo com risco na carteira uma vez que os preços dos activos permanecem os mesmos na condição. (2) A condição (2) pode ainda ler-se: (3) n{0, 1,...,N 1} (Φ n+1 Φ n ) S n =0. Esta outra forma admite a seguinte leitura: dados os preços à data n, arecom- posição da carteira faz-se sem entradas ou saídas de capital; os cash-flows na recomposição são apenas os que decorrem de compras de activos financiados exclusivamente por vendas de activos. (3) A partir da condição (2) tem-se, ainda, que: Φ n S n =Φ n+1 S n Φ n+1 S n+1 Φ n S n =Φ n+1 S n+1 Φ n+1 S n (4) V n+1 (Φ) V n (Φ) =Φ n+1 (S n+1 S n ). Podemos pois afirmar que uma dada carteira é autofinanciada sse a variação de valor da carteira entre duas datas consecutivas se deve apenas àvariação de preço dos activos entre essas datas. Apresentamos de seguida uma caracterização fundamental das carteiras autofinanciadas. Teorema 1. São equivalentes: (1) Acarteira Φ é autofinanciada; (2) n {1,...,N} V n (Φ) = V 0 (Φ) + n j=1 Φ j(s j S j 1 ); (3) Sendo S j := β j S j, n {1,...,N} Ṽn(Φ) = V 0 (Φ) + n j=1 Φ j( S j S j 1 ). Demonstração. Suponhamos que se verifica a condição 2. Tem-se então: ( ) n+1 n V n+1 (Φ) V n (Φ) =V 0 (Φ) + Φ l (S l S l 1 ) V 0 (Φ) + Φ l (S l S l 1 ) = l=1 =Φ n+1 (S n+1 S n ), l=1

8 8 MANUEL L. ESQUÍVEL pelo que se tem que a carteira Φ é auto-fianciada. Suponhamos, agora, que a carteira Φ é autofinanciada. Podemos, então, escrever que: V n+1 (Φ) V n (Φ) = Φ n+1 (S n+1 S n ) = Φ n+1 S n+1 V n (Φ) V n 1 (Φ) = Φ n (S n S n 1 ) = Φ n S n = = V 2 (Φ) V 1 (Φ) = Φ 2 (S 2 S 1 ) = Φ 2 S 2 V 1 (Φ) V 0 (Φ) = Φ 1 (S 1 S 0 ) = Φ 1 S 1, pelo que somando membro a membro as igualdades acima se pode obter imediatamente: n+1 n+1 V n+1 (Φ) V n (Φ) = Φ l (S l S l 1 )= Φ l S l, l=1 e esta é exactamente a condição 2. Para demosntrar a equivalência entre as condições 1e3pode repetir-se a demonstração com S l = β l S l dado que a condição sobre uma carteira para que esta seja autofinanciada é invariante por desconto ou actualização ou seja: a carteira Φ é autofinanciada sse: Observação 14. Note-se que a expressão l=1 n {0, 1,...,N 1} Φ n Sn =Φ n+1 Sn. Ṽ n (Φ) = V 0 (Φ) + n Φ j ( S j S j 1 ), j=1 na condição 2 do teorema, pode interpretar-se da forma seguinte: Ṽ n (Φ), o valor descontado de uma carteira autofinanciada Φ, depende da riqueza inicial V 0 (Φ) e, da carteira dada por: (Φ 1 n, Φ 2 n,...,φ d n) 0 n N, isto é, onde não aparece a quantidade referente ao activo sem risco. Com efeito pode observar-se também que: S j 0 = S j 0 S j 1 0 = 1 Sj 0 1 Sj 1 0 =1 1=0. β j β j 1 A interpretação dada na observação anterior põe em evidência um facto importante que é explicitado na proposição seguinte e que pode ser visto como uma proposição recíproca da constatação feita na observação. Proposição 1. Dado o processo (φ 1 n,...,φ d n) 0 n N,previsível e V 0 mf, existe um processo previsível (φ 0 n) 0 n N, tal que a carteira Φ:=(φ 0,...,φ d ) é autofinanciada e V 0 (Φ) = V 0.

9 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS 9 Demonstração. Pela proposição e dado que Φ é autofinanciada: Ṽ n (Φ) =Φ 0 n +Φ 1 S n n 1 + +Φ d S n n d = (def. valor descontado) n =V 0 + Φ j S j = (proposição 3) =V 0 + j=1 n j=1 Logo, verifica-se que: n ( Φ 0 n = V 0 + Φ 1 j S j 1 + +Φ d j S ) j d = V 0 + = V 0 + j=1 n 1 j=1 n 1 j=1 Φ j S j + Φ j S j + ( Φ 1 j S j 1 + +Φ d j S ) j d =(Φ j S j =...) ( Φ 1 S n n 1 + +Φ d S ) n n d ( Φ 1 n S n 1 + +Φ d n S ) ( n d Φ 1 S n n 1 + +Φ d S ) n n d ( Φ 1 n( S n 1)+ +Φ 1 d n( S ) n 1) d pelo que Φ está bem definido e é previsível, tal como foi anunciado Estratégias admissíveis e arbitragem. Observação 15. Os valores que tomam as componentes Φ i n de uma dada carteira Φ=(Φ 0,...,Φ d ), têm sinal arbitrário. Com efeito: Φ 0 n < 0: pode ser interpretado como tendo nós tomado emprestado Φ 0 n no activo sem risco. Φ i n < 0 para i 1: pode ser interpretado como sendo a carteira curta (short) na quantidade Φ i n no activo sem risco indexado por i. Carteiras curtas em activos com risco e empréstimos são admitidos desde que ovalor da carteira seja não negativo em qualquer data. Definição 4. Uma estratégia ou carteira Φ é admissível sse se verificar: (1) Φ é autofinanciada. (2) n {0, 1,...,N} V n (Φ) 0. Observação 16. De acordo com esta definição, com uma dada carteira admissível um investidor deve poder pagar as suas dívidas (nos activos com e sem risco) em qualquer data. A noção intuitiva de arbitragem pode ser descrita como a possibilidade de criar uma proveito certo, sem risco, a partir de um custo inicial nulo. Definição 5. Uma estratégia, ou carteira, Φ é uma carteira de arbitragem sse se verificar: (1) Φ é admissível; (2) V 0 (Φ) =0 e V N (Φ) 0 isto é, V N (Φ) é uma variável aleatória não nula.

10 10 MANUEL L. ESQUÍVEL Observação 17. Uma estratégia de arbitragem é pois uma carteira admissível com valor inicial nulo e com valor terminal não nulo Tranformação de uma martingala por um processo previsível. Relembramos nesta secção alguns resultados releventes da teoria das martingalas, para os modelos finitos de mercados financeiros. Seja F := (F n ) 0 n N uma filtração sobre o espaço de probabilidade (Ω, F, P). Definição 6. Um processo H := (H n ) 0 n N éumprocesso F previsível se se verificar: H 0 mf 0 e n {1,...,N} H n mf n. Teorema 2. Seja M := (M n ) 0 n N uma F martingala e H := (H n ) 0 n N um processo F previsível (e limitado). Então, o processo X := (X n ) 0 n N definido por: { X 0 := H 0 M 0 X n := H 0 M 0 + H 1 M H n M n 1 n N, onde M i := M i M i 1,é uma F martingala. Observação 18 (Comentário importante). Pela proposição (3) vemos que se os preços descontados ( S n ) 0 n N formarem uma martingala e, sendo Φ a carteira um processo previsível então o processo valor actualizado (Ṽn(Φ)) 0 n N é uma martingala. Logo podemos concluir que: E[ṼN(Φ)] = E[V 0 (Φ)], isto é, o valor esperado final da riqueza gerada por uma estratégia autofinanciada é igual ao valor esperado da riqueza inicial. Demonstração. Por construção o processo X é soma de processos adaptados pelo que éumprocesso adaptado. Note-se que X 0 mf 0 visto que H 0,M 0 mf 0. Como H é limitado tem-se que: E[ X n ] < +. Para verificarmos a propriedade de martingala observamos, apenas, que: E[X n+1 X n F n ]=E[H n+1 (M n+1 M n ) F n ] (visto que: H n+1 mf n ) = H n+1 E[M n+1 M n F n ] (visto que: E[M n+1 F n ]=M n ). Logo, X é uma martingala. Proposição 2. Seja M := (M n ) 0 n N um processo F adaptado de variáveis aleatórias integráveis. São equivalentes: (1) M é uma F martingala; (2) Para qualquer processo previsível e limitado H =(H n ) 0 n N, verifica-se: [ N ] E H n M n =0. n=1

11 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS 11 Demonstração. Verifiquemos que a condição é necessária. Seja H 0 0e(H n ) 0 n N uma qualquer sequência previsível, relativamente a F, limitada, de variáveis aleatórias. Pela proposição 2 o processo X definido por: { X 0 := 0 X n := n i=1 H i M i 1 n N, é uma F martingala. Dado que uma martingala tem valor médio constante, tem-se que: [ n ] E H i M i = E[X n ]=E[X 0 ]=0. i=1 Verifiquemos que a condição é suficiente. Seja j {0, 1,...,N 1} fixo e A F j arbitrário. Seja por definição, { I A n = j +1 H n = 0 n j +1 ou seja, tem-se a seguinte definição: H 0 H 1... H j 1 H j H j+1 H j+2... H N I A O processo (H n ) 0 n N é previsível e obviamente limitado. Em consequência da condição admitida por hipótese: [ N ] 0=E H i M i = E [I A (M j+1 M j )] = (M j+1 M j )dp. i=1 Tem-se, pois, pela definição de esperança condicional e atendendo a que A é arbitrário: isto é, M é uma martingala. E [M j+1 M j F j ]=0para j =0, 1,...N 1, 1.7. Mercados financeiros viáveis. Podemos formalizar a noção de mercado considerando o processo de preços e o conjunto de todas as carteiras autofinanciadas. Definição 7. Um mercado financeiro diz-se viável sse não existirem carteiras de arbitragem isto é sse for impossível gerar lucros certos a partir de um investimento incial nulo. Observação 19. Para P probabilidade e A F um qualquer acontecimento, sabemos que P[A] [0, 1] exprime a confiança que temos na realização do acontecimento A. P[A] = 0diz-nos que o acontecimento A é impossível. dadas duas probabilidades P e P,podemos considerar P equivalente a P seesósep e P coincidem sobre os acontecimentos de probabilidade nula. A coincidência sobre os acontecimentos de probabilidade nula deve ser um denominador comum atodos os agentes de mercado. A

12 12 MANUEL L. ESQUÍVEL Dado que Ω é finito e que F = P(Ω) temos que se A F então, necessariamente, A = q i=1 {ω i} onde q éonúmero de elementos de A. Nestas condições tem-se que P[A] =0seesósepara todo o i =1,...,q se tem P[{ω i }]=0. Como, por hipótese, para qualquer ω em Ω se tem que P[{ω}] =0temos finalmente que: P = P ω Ω P [{ω}] =0. Com efeito: P = P A F (P[A] =0 P [A] =0) (P[A] > 0 P [A] > 0). É notável que a existência de uma medida de probabilidade relativamente à qual o processo de preços descontados seja uma martingala caracterize os mercados viáveis. Teorema 3 (Primeiro teorema fundamental sobre o apreçamento de activos). Um o mercado é viável sse existir uma medida de probabilidade P,equivalente a P tal que oprocesso de preços actualizados seja uma martingala relativamente a P. Definição 8. Uma medida de probabilidade verificando a condição do teorema diz-se uma medida neutra face ao risco ou uma medida de martingala. Demonstração. Suponhamos que existe uma medida P equivalente a P tal que o processo de preços actualizados seja uma martingala relativamente à medida P.Para uma qualquer carteira Φ autofinanciada e limitada: n n 1 Ṽ n (Φ) = V 0 + Φ j S j, em consequência do teorema 1. Logo (Ṽn(Φ)) 0 n N é uma martingala relativamente a P pelo teorema 2. Suponhamos agora Φ admissível tal que V 0 (Φ) = 0. Pelas propriedades das martingalas tem-se que: E [ṼN(Φ)] = E [V 0 (Φ)] = 0. Como se tem que ṼN(Φ) 0, dado que Φ é admissível e r E [ṼN(Φ)] = Ṽ N (Φ)(ω i ) P [{ω i }]=0, i=1 com ṼN(Φ)(ω i ) 0eP [{ω i }] > 0, terá que ser ṼN(Φ) 0. Em consequência, não há carteiras de arbitragem Mercados completos. Consideramos num modelo de mercado financeiro contratos conferindo direitos com exercício opcional caracterizados pelo correspondente cashflow ou payoff. Neste contexto um direito contingente pode definir-se da seguinte forma. Definição 9. Um direito contingente é uma variável aleatória, não negativa, F N mensurável. Os exemplos seguintes são fundamentais. j=1

13 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS 13 Exemplo 1. Call option europeia: ocash-flow deste direito contingente sobre, por exemplo, o activo com preço S 1 =(Sn) 1 0 n N, depende de um parâmetro, o preço de exercício K eé definido por: { (5) h := (SN 1 SN 1 K) + = K se S1 N K 0 se SN 1 K Exemplo 2. Put option europeia: o cash-flow deste activo contingente é definido por: (6) h := (K S 1 N) + Observação 20. (1) Um direito contingente h depende apenas do valor do activo subjacente à data de exercício isto é, tem-se que: h = h(s N ). (2) Noutro tipo de produtos financeiros derivados pode ter-se: h = h(s 0,S 1,...,S N ), tal como, por exemplo, no caso das opções asiáticas em que o preço de exercício éumvalor médio do preço do subjacente calculado entre a data de exercício e uma data anterior. Definição 10. Um direito contingente h é atingível sse existe uma estratégia admissível cujo valor à data N seja exactamente h. Teorema 4. Num mercado viável é condição suficiente para que um direito contingente h seja atingível que exista uma carteira autofinanciada Φ, cujo valor na data de maturidade seja h. Observação 21. Neste teorema substitui-se a hipótese da carteira ser admissível, na definição acima, pela hipótese mais fraca da carteira ser autofinanciada. Demonstração. Seja Φ uma carteira autofinanciada tal que V N (Φ) = h e P uma probabilidade de martingala. Uma tal probabilidade existe dado que o mercado é viável. (Ṽn(Φ)) 0 n N é uma martingala relativamente a P uma vez que é transformação de martingala do processo de preços descontados que é uma martingala devido à definição de P.Tem-se pois que: n {0, 1,...,N} Ṽn(Φ) = E [ṼN(Φ) F n ]. Como ṼN(Φ) = h/s 0 N 0 tem-se que Ṽn(Φ) 0, para 0 n N em consequência das propriedades da noção de esperança condicional, verificando-se pois que V n (Φ) 0, sendo então a estratégia admissível. Definição 11. Um mercado financeiro diz-se completo sse todo o direito contingente é atingível. Observação 22. Assumir que um mercado é completo é uma hipótese restritiva cuja motivação económica não é tão óbvia como a hipótese de não arbitragem.

14 14 MANUEL L. ESQUÍVEL Teorema 5 (Segundo teorema fundamental no apreçamento de activos). Um mercado viável écompleto sse existir uma medida de martingala P única, i.e. se existir uma única medida de probabilidade equivalente a P, relativamente à qual o processo de preços descontados seja uma martingala. Demonstração. Suponhamos o mercado viável e completo. Para h 0, h mf N, existe uma carteira admissível tal que V N (Φ) = h. Como Φ é autofianciada temos que: (7) h S 0 N = V N(Φ) S 0 N = ṼN(Φ) = V 0 + N Φ j S j. Suponha-se que F 0 = {, Ω} e sejam P 1 e P 2 duas medidas de martingala tem-se então que para i =1, 2: j=1 E i [ṼN(Φ)] = E i [V 0 (Φ)] ( propriedades de martingala) = V 0 (Φ)( dado que F 0 = {, Ω}). Em consequência da fórmula 7 tem-se que: E 1[ h ]=E S 2[ h ]. N 0 SN 0 Como h mf N é arbitrária tem-se que P 1 P 2 sobre F N. Supondo F = F N temos o resultado anunciado Apreçamento e cobertura de direitos contingentes em mercados completos. Consideremos um mercado viável e completo denotando-se por P aúnica medida de martingala. Seja h mf N, h 0umdireito contingente. Seja Φ uma carteira admissível e réplica de h. Dado que (Ṽn(Φ)) 0 n N é P martingala tem-se que: V 0 (Φ) = E [ṼN(Φ) F 0 ]=E [ṼN(Φ)] = E [ h ]. SN 0 Mais geralmente, para n = 0, 1,..., N tem-se que: V n (Φ) = Ṽn(Φ) Sn 0 = Sn 0 E [ h F SN 0 n ], isto é: [ ] h (8) n {0,...,N} V n (Φ) = Sn 0 E F SN 0 n. Pode pois afirmar-se que o valor de uma carteira réplica de h é completamente determinado por h épois natural que num mercado viável e completo o preço livre de arbitragem de um direito contingente h seja dado pela fórmula 8. Com efeito V n (Φ) éariqueza necessária à data n para replicar h à data N seguindo a estratégia admissível Φ.

15 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS 15 Se à data zero o investidor vender o direito contingente por E [h/s 0 N ]eseguir reconstituindo a carteira Φ, pode gerar o valor h à data N. Estápor isso perfeitamente coberto (hedged). Exemplo 3. Considere um mercado com dois activos um com risco e o outro sem risco e tal que N =1. Considere um direito contingente h sobre o activo com risco eφuma carteira réplica de h. O quadro seguinte demonstra que se o preço à data zero do direito contingente não for exactamente V 0 (Φ), então existe no mercado uma oportunidade de arbitragem. Suponha, por exemplo, que Π(0,h) opreço de h à data zero verifica Π(0,h) <V 0 (Φ). Data 0 Data 1 Posição short V 0 (Φ) V N (Φ) = h Posição long Π(0,h) Π(0,h)= h Total no Activo sem risco V 0 (Φ) Π(0,h) (V 0 (Φ) Π(0,h))(1 + R) > 0 2. O modelo de Cox Ross Rubinstein No enquadramento definido até agora consideramos: a existência de apenas um activo com risco i.e. d =1; denotamos o preço do activo com risco por (S n ) 0 n N. a dinâmica do activo sem risco é dada por: n {0,...,N} Sn 0 =(1+r) n, com r R +. a dinâmica do activo com risco é dada por S 0 R + e (9) S n+1 = para 1 <a<b. { S n (1 + a) S n (1 + b) Exercício 1 (Uma concretização).. (1) Represente graficamente (para N =3)a árvore de evolução dos preços do activo com risco e mostre que pode identicar Ω oconjunto dos estados do mundo com {(1 + a), (1 + b)} N. (2) Verifique que: ω =(y 1,...y N ) Ω i {0,...,N 1} y i+1 = S i+1 (ω). S i Consideramos ainda como hipóteses: F 0 = {, Ω} n {1,...,N} F n := σ(s 1,...,S n ). F = P(Ω) A probabilidade inicial sobre Ω está definida a menos de equivalência, i.e.: ω Ω P[{ω}] > 0.

16 16 MANUEL L. ESQUÍVEL Definição 12. Seja, por definição, para cada n =1,...,N T n := S n S n 1 Exercício 2. (1) Mostre que L(T 1,...,T N ) P i.e. que a lei do N-uplo de variáveis aleatórias (T 1,...,T N ) é, exactamente, P. (2) Mostre que n {1,...,N} F n = σ(t 1,...,T n ) Exercício 3. Mostre que se o processo dos preços descontados ( S n ) 0 n N é P martingala então: n {0,...,N 1} E[T n+1 F n ]=1+r. Exercício 4. Mostre que se o mercado for livre de arbitragem então, r ]a, b[. Exercício 5. Mostre que se a condição r ]a, b[ não for satisfeita então há oportunidades de arbitragem. Exercício 6. Suponha-se que r ]a, b[ e seja: p := b r b a. (1) Mostre são equivalentes (a) ( S n ) 0 n N é P martingala (b) (T n ) 1 n N é uma sucessão iid e P[T 1 =1+a] =p =1 P[T 1 =1+b] (2) Conclua que, sob a hipótese feita acima (r ]a, b[) omercado é livre de arbitragem e completo. Exercício 7. Seja C n (respectivamente P n )opreço à data n de uma Call (respectivamente Put) Option europeia sobre o activo com risco com preço de exercício K e data de maturidade N. (1) Mostre a relação de paridade Call-Put: C n P n = S n K(1 + r) (N n). (2) Mostre que C n = c(n, S n ) onde: c(n, x) =(1+r) (N n) ( N n (N n)! (N n j)!j! pj (1 p) ( N n j x(1 + a) j (1 + b) N n j K ) ) + j= Questão de desenvolvimento. Suponha-se no contexto de um mercado a um período (N = 1), num espaço de probabilidade com uma infinidade numerável de estados do mundo e com uma infinidade de activos d =+ Seja Ω = {1, 2,...,}, F 0 = {, Ω} e F 1 = F a σ-álgebra gerada pelos subconjuntos finitos de Ω. Seja a probabilidade P definida sobre (Ω, F) por: k Ω P[{k}] =2 k..

17 MODELOS FINITOS PARA MERCADOS FINANCEIROS 17 Seja para cada activo i {1, 2,...,} a sucessão dos preços Sn, i para n =0, 1 definida pela diferença: 1 ω = i (S1 i S0)(ω) i = 1 ω = i +1 0 i ω i +1 Exercício 8. (1) Suponha que B 0 = B 1 =1. Mostre que para uma carteira Φ= (φ i ) i {1,2,...,} que verifique a condição + i=1 φ i < + o valor da carteira V 1 (Φ), à data 1, pode ser dado por: V 1 (Φ) = φ i=1 φ i S i 1 = V 0 (Φ) + + i=1 φ i (S i 1 S i 0), se for V 0 (Φ) = φ i=1 φ i. (2) Suponha que V 0 (Φ) = 0 e que V 1 (Φ) 0. Mostre que V 1 (Φ) = 0 P quase certamente. (3) Mostre que se existir uma medida de martingala P então: E [ S1 i S0] i =0, econclua que P [{i}] =P [{i +1}]. (4) Mostre que o mercado com as características que acabou de utilizar é livre de arbitragem e exprima uma conclusão dos resultados obtidos nas alíneas anteriores. Referências [1] S. Beninga Financial Modeling, The MIT press, [2] T. Björk An introduction to Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, [3] R. J. Elliot, P. Ekkehard Kopp Mathematics of Financial Markets, Springer Verlag, [4] John C. Hull Options Futures and other Derivatives, fourth edition, Prentice Hall International, Inc., [5] D. Lamberton, & B. Lapeyre, Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall [6] M. Musiela, & M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer Verlag, [7] S. R. Pliska, Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishers, [8] A. N. Shiryaev, Essentials of Stochastic Finance, World Scientific, 1999.