Instituto uprior Técnico Dpartamnto d Matmática cção d Álgbra Anális ANÁLIE MATEMÁTICA IV FICHA 5 ITEMA DE EQUAÇÕE LINEARE E EQUAÇÕE DE ORDEM UPERIOR À PRIMEIRA () Considr a matriz A 3 3 (a) Quais são os valors próprios d A? (b) Quais são os vctors próprios d A? (c) Dtrmin uma matriz d mudança d bas,, qu diagonaliza A, dtrmin a sua invrsa, (d) Calcul At () Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial: ẏ y y () A com ẏ y y () (f) Dtrmin a solução gral da sguint quação difrncial: ẏ y A ẏ y (g) Escrva duas funçõs y : R R qu constituam uma bas do spaço vctorial das soluçõs da quação da aĺına antrior Rsolução: (a) Os valors próprios são os zros do polinómio caractrístico: dt(a λi) (3 λ) 4 λ 6λ + 5 λ ou λ 5 Os valors próprios d A são 5 (b) Os vctors próprios d A associados ao valor próprio satisfazm a (A I)v a b b Logo, os vctors próprios d A associados ao valor próprio são os vctors da forma v a com a R Os vctors próprios d A associados ao valor próprio 5 satisfazm a (A 5I)v a b b Logo, os vctors próprios d A associados ao valor próprio 5 são os vctors da forma v a com a R
AMIV FICHA REOLVIDA 5 (c) Mudando para uma bas d vctors próprios d A, a transformação linar dada por A fica diagonal Tom-s, por xmplo, a matriz d mudança d bas cujas primira sgunda colunas são vctors próprios d A associados aos valors próprios 5, rspctivamnt A mudança invrsa é Então tm-s A 5 (d) D acordo com a aĺına antrior, At t 5t t + 5t 5t t () A solução dst problma d valor inicial é y(t) At y () t + 5t 5t t y () 5t t t + 5t 5t t t + 5t 3 5t t 3 5t + t, t R (f) A solução gral dsta quação difrncial é dada, por xmplo, pla xprssão t c c y(t) 5t t + c 5t c c 5t c t, t R ond c, c R Comntário: y(t) A solução acima pod sr scrita c c At t 5t c c, t R ond c, c R Equivalntmnt, podr-s-ia tr rspondido qu a solução gral é dada por y(t) At c, t R ond c c, c R As colunas d At formam uma bas das soluçõs da quação dada Como é uma matriz invrtívl, as colunas d At também formam uma bas das soluçõs da quação Optou-s pla xprssão At porqu sta dá uma xprssão mais simpls para a solução gral (g) Compõ-s uma bas para o spaço vctorial das soluçõs da quação da aĺına antrior, por xmplo, com as colunas da matriz t 5t t 5t t 5t, ou sja, com as funçõs x : R R x : R R dadas por x (t) t 5t t x (t) 5t D facto, x (t) x (t) são funçõs linarmnt indpndnts, são soluçõs da quação da aĺına antrior qualqur outra solução y(t) é da forma y(t) c x (t) + c x (t) para algum c R algum c R
AMIV FICHA REOLVIDA 5 3 () Para cada uma das matrizs A sguints, dtrmin At (a) A (b) A 3 3 (c) A (d) A 3 4 Rsolução: (a) Esta matriz A só tm um valor próprio: dt(a λi) ( λ)( λ) + λ + λ + λ Os vctors próprios são dados por a b a b Escolh-s o vctor v para bas do spaço próprio procura-s um vctor próprio gnralizado, w, a associado a v: c d c + d Escolh-s a solução w Logo, uma dcomposição d Jordan para A é A }{{}}{{}}{{} J Conclui-s qu At t t t t }{{}}{{}}{{} Jt t ( + t) t t t t ( + t) t t t t t ( t) t Comntário: Quando s dtcta qu sta matriz tm apnas o valor próprio, pod-s concluir qu a sua forma canónica d Jordan tm apnas um bloco Com
4 AMIV FICHA REOLVIDA 5 fito, s a forma canónica d Jordan J tivss dois blocos, sria a matriz diagonal J I, plo qu a própria matriz A tria qu sr o qu é falso A J ( I) I, (b) Nota-s qu a matriz transposta A t é um bloco d Jordan Como ( + Att (A t t) k + (A k t k ) t + ) t A k t k ( At) t, k! k! k! calcula-s k conclui-s qu At k k Att 3t t 3t 3t ( ) t At t 3t t 3t 3t (c) Os valors próprios da matriz são as soluçõs da quação λ λ ( λ)( λ)λ λ λ ou λ ou λ Os vctors próprios associados a são os vctors qu vrificam a b b c c Escolh-s o vctor v para bas do spaço próprio d Os vctors próprios associados a são os vctors qu vrificam a b { a b c c Escolh-s o vctor v para bas do spaço próprio d Os vctors próprios associados a são os vctors qu vrificam a b { a c b c Escolh-s o vctor v para bas do spaço próprio d Assim, uma dcomposição d Jordan para A é A J
AMIV FICHA REOLVIDA 5 5 Conclui-s qu At t t t t t Jt t t t t t t t Comntário: Ao ncontrar 3 valors próprios difrnts para sta matriz 3 3, pod-s concluir logo qu la é diagonalizávl, ou sja, qu xist uma bas formada por vctors próprios d A, pois valors próprios difrnts admitm vctors próprios linarmnt indpndnts (d) Os valors próprios da matriz são as soluçõs da quação λ 3 λ ( λ)(3 λ)(4 λ) + (3 λ) 4 λ λ 3 ou λ 6λ + 9 λ 3, portanto A tm apnas o valor próprio 3 Os vctors próprios são os vctors qu vrificam a b a + b + c } {{ } c A 3I Como há xactamnt uma condição linar a qu os vctors próprios têm obdcr, o spaço próprio tm dimnsão 3 Toma-s os vctors v v para formar uma bas do spaço próprio, tndo tido o cuidado d scolhr o vctor v prtncnt ao spaço das colunas da matriz A 3I Calcula-s agora um vctor próprio gnralizado w associado a v : A 3I Toma-s, por xmplo, w a b c v
6 AMIV FICHA REOLVIDA 5 Consquntmnt, uma dcomposição d Jordan para A é A 3 3 } {{ }} {{ 3 }} {{ } J Conclui-s qu At 3t 3t t 3t 3t 3t 3t t 3t 3t 3t t 3t 3t Jt ( t)3t t 3t t 3t 3t t 3t t 3t ( + t) 3t (3) Considr a matriz A (a) Calcul At (b) Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial ẏ y t y () A + com ẏ y y () Rsolução: (a) Os valors próprios da matriz são as soluçõs d dt(a λi) λ λ ( λ) + λ ± i Os vctors próprios associados a + i são os vctors qu vrificam i a ia b i b Uma bas do spaço próprio d + i é constituída plo vctor v i Os vctors próprios associados a i são os vctors conjugados dos vctors próprios associados a + i (D facto, s λ λ são valors próprios complxos conjugados d uma matriz ral A, ntão (A λi)v (A λi)v ) Uma bas do spaço próprio d i é constituída plo vctor v v i
AMIV FICHA REOLVIDA 5 7 Logo, uma dcomposição d Jordan para A é + i A i i i i i }{{}}{{}}{{} J Conclui-s qu At ( +i)t i } i i {{ } t it it i it i it t cos t sin t } ( i)t {{ } Jt sin t cos t i i i Comntário: Apsar do método d rsolução nvolvr complxos, a rsposta tinha qu sr ral, pois a matriz dada é ral a xponncial d uma matriz ral é ral (b) Em trmos d y (t) y(t), y y (t) st problma d valor inicial scrv-s { ẏ Ay + b(t) y() y t b(t), A solução é dada, por xmplo, pla fórmula d variação das constants: y(t) At y + + t t t t A(t s) b(s) ds (t s) cos(t s) sin(t s) cos(t s) sin(t s) sin(t s) cos(t s) ds t t cos(t s) ds t sin(t s) ds t sin t cos t Conclui-s qu a solução é y (t) y (t) t sin t t (cos t ) s ds
8 AMIV FICHA REOLVIDA 5 (4) Rsolva o sguint sistma d quaçõs difrnciais: dy y dt + y + t dy dt y + y Rsolução: Est sistma fica mais simpls s for traduzido nas incógnitas x y y x y + y Como { y y t y + y 4(y + y ) + t, as novas funçõs satisfazm { x t x 4x + t A solução gral da primira quação é x (t) t + c ond c é uma constant ral arbitrária A sgunda quação admit o factor d intgração 4t rsolv-s como s sgu: x 4x + t 4t x 4 4t x t 4t d ( 4t ) x t 4t dt 4t x t 4t dt + c x (t) 4t ( t 4 4t 6 4t + c ) x (t) t 4 6 + c 4t ond c é uma constant ral arbitrária Como y (x + x ) y (x x ), conclui-s qu a solução gral pdida é { y (t) t 4 + k t 8 3 + k 4t y (t) t 8 3 + k 4t t 4 k ond k c k c são constants rais arbitrárias Comntário: Em altrnativa, podr-s-ia tr aplicado a fórmula d variação das constants ao sistma original (5) Dtrmin a solução gral d cada uma das sguints quaçõs difrnciais scalars: (a) y () + 4ẏ + 4y ; (b) y () + 4ẏ + 4y ; (c) y () + 4ẏ + 4y t ; (d) y () + 4ẏ + 4y + t
AMIV FICHA REOLVIDA 5 9 Rsolução: (a) Esta quação pod sr scrita (D + 4D + 4)y ond D d dt é o oprador d drivação m ordm a t Como λ + 4λ + 4 (λ + ) tm apnas a raiz com multiplicidad, conclui-s qu a solução gral é y(t) c t + c t t, t R ond c, c R (b) Esta quação pod sr scrita (D + 4D + 4)y ( ) A sua solução gral pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada, a qual foi rsolvida na aĺına (a) Para ncontrar uma solução particular, aplica-s o método dos coficints indtrminados Um aniquilador d é D A quação homogéna auxiliar D(D +4D +4)y tm solução gral a + a t + a 3 t t Como a família a t + a 3 t t é constituída xclusivamnt por soluçõs da quação homogéna associada a ( ), sts trmos não adiantam na busca d uma solução particular d ( ) Vai-s ntão dtrminar a constant a, substituindo-a na quação ( ) impondo qu sja uma solução particular: (D + 4D + 4)a 4a a 4 Conclui-s qu a solução gral é y(t) c t + c t t + 4, t R ond c, c R (c) Esta quação pod sr scrita (D + 4D + 4)y t ( ) A sua solução gral pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada, a qual foi rsolvida na aĺına (a) Para ncontrar uma solução particular, aplica-s o método dos coficints indtrminados Um aniquilador d t é D+ A quação homogéna auxiliar (D+)(D +4D+4)y, qu é quivalnt a (D + ) 3 y, tm solução gral a t + a t t + a 3 t t Como a família a t +a t t é constituída xclusivamnt por soluçõs da quação homogéna associada a ( ), sts trmos não adiantam na busca d uma solução particular d ( ) Vai-s ntão dtrminar a constant a 3, substituindo a 3 t t na quação ( ) impondo qu sja uma solução particular: (D + 4D + 4)(a 3 t t ) t (4a 3 t t 8a 3 t t + a 3 t ) + 4( a 3 t t + a 3 t t ) + 4a 3 t t t 4a 3 8a 3 + 4a 3 8a 3 + 8a 3 a 3, a 3 ond o sistma d quaçõs para a 3 foi obtido igualando os coficints d t t, t t t nos mmbros squrdo dirito Conclui-s qu a solução gral é y(t) c t + c t t + t t, t R ond c, c R (d) Esta quação pod sr scrita (D + 4D + 4)y + t
AMIV FICHA REOLVIDA 5 A sua solução gral pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada, a qual foi rsolvida na aĺına (a) Encontra-s uma solução particular somando as soluçõs particulars dtrminadas nas aĺınas (b) (c), as quais corrspondm a cada uma das parclas do mmbro dirito da quação Conclui-s qu a solução gral é y(t) c t + c t t + 4 + t t, t R ond c, c R Comntário: Em altrnativa, na aĺına (d) podr-s-ia tr aplicado o método dos coficints indtrminados para calcular uma solução particular, notando qu o aniquilador da soma + t é a composição dos aniquiladors d d t, ou sja, é D(D + ) (6) Dtrmin a solução qu vrifica as condiçõs iniciais y() ẏ() y () () para as sguints quaçõs difrnciais scalars: (a) y (3) 4y () + 5ẏ t + t; (b) y (3) 4y () + 5ẏ t cos t Rsolução: (a) A quação difrncial pod sr scrita (D 3 4D + 5D)y t + t ( ) A sua solução gral pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada (D 3 4D + 5D)y ( ) H Como λ 3 4λ + 5λ λ(λ 4λ + 5) tm as raízs simpls, + i i, a solução gral complxa da quação homogéna associada ( ) H é a + a (+i)t + a 3 ( i)t, t R ond a, a, a 3 C nquanto qu a solução gral ral d ( ) H é y H (t) c + c t cos t + c 3 t sin t, t R ond c, c, c 3 R Para obtr uma solução particular d ( ), aplica-s o método dos coficints indtrminados Um aniquilador d t + t é D (D ), obtido compondo aniquiladors das parclas t t A quação homogéna auxiliar D (D )(D 3 4D +5D)y, qu é quivalnt a D 3 (D )(D i)(d + i)y, tm solução gral ral b +b t+b 3 t +b 4 t +b 5 t cos t+b 6 t sin t Como a família b +b 5 t cos t+b 6 t sin t é constituída xclusivamnt por soluçõs da quação homogéna associada ( ) H, sts trmos não adiantam na busca d uma solução particular d ( ) Vai-s ntão dtrminar as constants b, b 3 b 4, substituindo b t + b 3 t + b 4 t na quação ( ) impondo qu sja uma solução particular: (D 3 4D + 5D)(b t + b 3 t + b 4 t ) t + t b 4 t 4(b 3 + b 4 t ) + 5(b + b 3 t + b 4 t ) t + t b 4 4b 4 + 5b 4 b 4 b 3 b 3 8b 3 + 5b b 4 5
AMIV FICHA REOLVIDA 5 ond o sistma d quaçõs para b, b 3 b 4 foi obtido igualando os coficints d t, t nos mmbros squrdo dirito Logo, uma solução particular d ( ) é y P (t) 4 5 t + t + t, t R Conclui-s qu a solução gral d ( ) é y(t) c + c t cos t + c 3 t sin t }{{} y H (t) + 4 5 t + t + t y P (t), t R ond c, c, c 3 R Para achar a solução particular qu satisfaz as condiçõs iniciais dadas, calcula-s a primira a sgunda drivadas da solução gral: ẏ(t) c t ( cos t sin t) + c 3 t ( sin t + cos t) + 4 5 + 5 t + t y () (t) c t (3 cos t 4 sin t) + c 3 t (3 sin t + 4 cos t) + 5 + t impõ-s as condiçõs: y() c + c + ẏ() c + c 3 + 4 5 + y () () 3c + 4c 3 + 5 + Portanto a rsposta é c 5 c 47 5 c 3 9 5 y(t) 5 47 5 t cos t + 9 5 t sin t + 4 5 t + t + t, t R (b) A quação difrncial pod sr scrita (D 3 4D + 5D)y t cos t ( ) A sua solução gral pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada (D 3 4D + 5D)y, cuja solução gral ral foi obtida na aĺına antrior: y H (t) c + c t cos t + c 3 t sin t, t R ond c, c, c 3 R Para ncontrar uma solução particular d ( ), aplica-s o método dos coficints indtrminados Um aniquilador d t cos t é (D ) + A quação homogéna auxiliar (D ) +(D 3 4D +5D)y, qu é quivalnt a D(D i) (D + i) y, tm solução gral ral b + b t cos t + b 3 t sin t + b 4 t t cos t + b 5 t t sin t Como a família b + b t cos t + b 3 t sin t é constituída xclusivamnt por soluçõs da quação homogéna associada, sts trmos não adiantam na busca d uma solução particular d ( ) Vai-s ntão dtrminar as constants b 4 b 5, substituindo b 4 t t cos t + b 5 t t sin t na quação ( ) impondo qu sja uma solução particular: (D 3 4D + 5D)(b 4 t t cos t + b 5 t t sin t) t cos t ( b 4 + 4b 5 ) t cos t + ( 4b 4 b 5 ) t sin t + t t cos t + t t sin t t cos t { { b 4 + 4b 5 b 4 4b 4 b 5 b 5 5
AMIV FICHA REOLVIDA 5 ond o sistma d quaçõs para b 4 b 5 foi obtido igualando os coficints d t cos t t sin t nos mmbros squrdo dirito Logo, uma solução particular d ( ) é y P (t) tt cos t + 5 tt sin t, t R Conclui-s qu a solução gral d ( ) é y(t) c + c t cos t + c 3 t sin t }{{} tt cos t + 5 tt sin t, }{{} y H (t) y P (t) para todo o t m R ond c, c, c 3 R Para achar a solução particular qu satisfaz as condiçõs iniciais dadas, calcula-s a primira a sgunda drivadas da solução gral: ẏ(t) c t ( cos t sin t) + c 3 t ( sin t + cos t) t cos t tt ( cos t sin t) + 5 t sin t + 5 tt ( sin t + cos t) y () (t) c t (3 cos t 4 sin t) + c 3 t (3 sin t + 4 cos t) t (4 cos t sin t) tt (3 cos t 4 sin t) + 5 t (4 sin t + cos t) + 5 tt (3 sin t + 4 cos t) impõ-s as condiçõs: y() c + c c 3 ẏ() c + c 3 5 c 3 y () () 3c + 4c 3 4 + 5 5 c 3 7 5 Portanto a rsposta é y(t) 3 5 3 5 t cos t + 7 5 t sin t tt cos t + 5 tt sin t, t R