Electrónica Geral Autor: José Gerald MEAer: 4º ano, 1º semestre MEFT: 3º ano, 1º semestre 015/016 Capítulo Versão 1.007 1
1.1. Amostragem de sinais analógicos 1. Introdução Amostragem Impulsional e Transformada Z Sinal (x(t)) amostrado por sequência de impulsos de Dirac (δ(t)): x δ (t)=x(t) δ(t)+x(t) δ(t-t)+x(t) δ(t-t)+...=x(0) δ (t)+x(t) δ(t-t)+x( T) δ(t-t)+... =x 0 δ(t)+x 1 δ(t-t)+x δ(t-t)+... A transformada de Laplace é: X δ (s)= x 0 + x 1 e -st +x e -st+... Ou, introduzindo a variável z=e st (que representa um atraso T) X(z)= x 0 + x 1 z -1 +x z - +... = n0 xz n Que representa a Transformada Z de x(t). n
1.. Amostragem de sinais analógicos (cont.) 1. Introdução (cont) Resposta em Frequência de Sistemas Amostrados T ( s ) T ( z ) T ( z ) jt s j ze ze g = ωt é designada frequência digital e vem em rad e jg j -1 1 g Resposta em frequência periódica! 3
1. Introdução (cont) 1.3. Equação de Recorrência e Função de Sistema Considerando o filtro digital linear, invariante no tempo e causal, podemos representar o seu processamento de sinal no tempo, ou seja, relacionar a saída y com a entrada x da forma: N M y b y a x n n n 1 0 Aplicando a Transformada Z a ambos os membros da equação N M N M 1 0 1 0 Y ( z) Y ( z) b z X ( z) a z ou seja Y ( z)(1 b z ) X ( z) a z T( z) Y( z) X( z) M 1 0 N az 1 bz Equação de Recorrência Função de Sistema Todos b =0 Algum b 0 FIR IIR 4
1.4. Função de Sistema e Estabilidade M M 1 az (1 cz ) 0 1 N N 1 bz dz 1 1 T( z) 1 (1 ) 1. Introdução (cont) 1 (1 cz ) 1 (1 dz ) Zero em z=c e pólo em zero Pólo em z=d e zero em zero Sistema Estável pólos têm que estar no interior da circunferência unitária. Exp: 1 n T ( z) h a u 1 (1 az ) n n Estabilidade h n n 5
1.5. Exemplo de Filtro IIR vs FIR 1. Introdução (cont) 6
. Filtros IIR.1. Filtros IIR ( Infinite Impulse Response ) - Introdução Introdução - Maior selectividade ordens reduzidas (usualmente < 6) - Desenhados a partir dos filtros analógicos - Sempre recursivos - Podem ser instáveis - Fase não-linear Eq. de Recorrência: Obtenção de T(z) N Função de Sistema: Ideal seria obter T(s) e fazer z=e st, ou seja, s=(1/t)ln(z) função não racional em z -1! M y b y a x n n n 1 0 M T( z) 1 0 N 1 az bz Solução: usar outras transformações s z 7
.1 Filtros IIR Transformação Bilinear. Filtros IIR Transformação Bilinear - Baseia-se na integração trapezoidal - Aplicada ao filtro analógico mais elementar, integrador sem perdas de 1ª ordem, T(s)=1/s resulta: 1 T Y ( z) T 1 z 1 yn yn 1 ( xn 1 xn ) 1 X ( z) 1 z s Transformada Z s 1 T 1 z z 1 1 y n x n-1 x n SPCE s -1 1 z n-1 n 8
A(γ) γ=ωt. Filtros IIR.1 Filtros IIR Transformação Bilinear (Cont.) Deformação na Frequência da Transformação Bilinear s 1 T 1 z z 1 1 ~ T tan( ) T s=jῶ z=e jωt ωt π ~ tan 1 T ( ) T A(ῶ) T(s) ῶ -π ῶ ῶ p ῶ s ῶ 9
. Filtros IIR.1 Filtros IIR Transformação Bilinear (Cont.) Exp: as b T() s s c s 1z T 1 z Resposta de Amplitude: 1 1 T( z) a ' b' z 1 cz ' 1 1 ( a b) a ' T ( c) T ( b a) b ' T ( c) T ( c) c ' T ( c) T jt jt a ' b' e a ' b'cos( T ) jb' sen( T ) [ a ' b'cos( T )] [ b' sen( T )] Te ( ) jt 1 c ' e 1 c 'cos( T ) jc ' sen( T ) [1 c'cos( T )] [ c' sen( T )] Resposta de Fase: jt jt a ' b' e b' sen( T ) c ' sen( T ) arg T ( e ) arg arctg arctg 1 ' jt c e a ' b 'cos( T ) 1 c 'cos( T ) 10
.1 Filtros IIR - Realização. Filtros IIR Realização de Filtros IIR 1 DFS (3 operações apenas: adição, multiplicação e atraso) Optimização de processamento 3 Implementação na tecnologia desejada Diagrama de Fluxo de Sinal (DFS) z -1 z -1 Forma Directa I a 0 x n -b1 a 1 a -b z -1 z -1 y n x n M T( z) 1 M 0 N 1 az bz y a x b y n n n 0 1 Forma Directa II (canónica) a 0 -b 1 -b z -1 z -1 a 1 a y n N x n a 0 y n Forma Directa II Transposta (canónica) x n a 0 y n -b1 -b 1 z-1 -b z -1 z -1 z -1 a 1 a a 1 a z -1 z -1 -b 11
3. Filtros FIR 3.1 Filtros FIR ( Finite Impulse Response ) - Introdução Introdução - Podem ser desenhados para terem fase linear (tipo mais usado) - Sempre estáveis - Quase sempre não recursivos - Ordem elevada (usualmente >30) pois têm baixa selectividade - Desenho complexo (aconselhável o uso de meios computacionais) Eq. de Recorrência: y N 1 h x n n 0 Função de Sistema: T ( z) h z 0 Obtenção de T(z) Método mais usado é o método das janelas: 1) Trunca-se a resposta impulsional h n com uma janela (temporal) finita; 1a) Faz-se uma translacção dos coeficientes no tempo; ) Aplica-se a Transformada Z à série resultante. N 1 1
3. Filtros FIR 3.1 Filtros FIR ( Finite Impulse Response ) - Introdução Fase Linear Há duas propriedades nos filtros FIR de fase linear: 1) Simetria (ou anti-simetria) na resposta impulsional ) Se z i é um zero da função de sistema, então 1/z i também é. h n N ímpar h n N par h n N ímpar h n N par Simetria Plano z Anti-Simetria N pólos 13
3.1 Filtros FIR Introdução (Cont.) 3. Filtros FIR j T ( e ) hne n0 Verificação de condição necessária e suficiente: N ímpar N par ( N 3)/ N 1 j j jn j( N 1 n) n N1 n0 T( e ) h e e h e N 1 e h h cos ( n ) N 1 ( N 3)/ j N1 n n0 N 1 j jn j( N 1 n) n n0 T ( e ) h e e A fase (linear) vem: ( ) N N 1 1 j 1 N e hn cos ( n ) n0 N 1 N 1 O atraso (constante) vem: ( ) jn N 1 14
3. Filtros FIR Método das Janelas _ j T ( e ) n hˆ e n jn 3. Filtros FIR Método das Janelas ( Windows ) Resposta ideal (por exp LP) desejada Ť(e jγ ) 1... -γ p γ p γ = série de Fourier com coeficientes função periódica _ ˆ 1 j jn hn T ( e ) e d Resposta impulsional ideal, não causal, de duração infinita! Para obter o filtro FIR trunca-se ĥ n, ou seja, a resposta do filtro fica h n = ĥ n W n Janela = W Wn n 0, n=0,1,,...,n-1 0, n<0 ou n N Nota: Para aumentar a ordem do filtro (maior selectividade) e manter fase linear, aumenta-se a janela (centrada em zero) e faz-se translacção dos coeficientes para que comecem em n=0. 15
3. Filtros FIR 3. Filtros FIR Método das Janelas (Cont.) _ Fenómeno de Gibbs - A truncatura da resposta impulsional ideal provoca ondulação não desejada na resposta de amplitude! Minimização passa por utilizar janelas não rectangulares. - Produto ĥ n W n resulta na convolução dos sinais no domínio da frequência. - Exp. para janela rectangular: Wn 1, n=0,1,,...,n-1 W n 0, n<0 ou n>n N 1 j N j jn 1 e W ( e ) e j 1 e e n0 j T ( e ) N 1 j n hˆ e n sin( N ) N jn _ j 1 j j( ) T ( e ) T ( e ) W e d 16
3. Filtros FIR 3. Filtros FIR Método das Janelas (Cont.) Fenómeno de Gibbs (Cont.) - N grande conduz a lóbulos com largura menor e mesma área, ou seja, ondulação mais rápida mas com a mesma amplitude. - Usando lóbulos laterais com menor amplitude vem lóbulo principal mais largo, logo menor ondulação mas banda de transição mais larga (menor selectividade). - A banda de transição ( largura do lóbulo principal) Δγ=A/N, A é uma constante dependente da janela. 17
3. Filtros FIR 3. Filtros FIR Método das Janelas (Cont.) Janelas Mais Usadas 18
3. Filtros FIR 3. Filtros FIR Método das Janelas (Cont.) Exemplo: FIR LP de N=64, f s =8Hz, f p =Hz, janelas rectangular e Hamming. 19
3. Filtros FIR 3.3 Filtros FIR Realização Realização de Filtros FIR 1 DFS Optimização de processamento 3 Implementação na tecnologia desejada Diagrama de Fluxo de Sinal (DFS) Forma Directa I x z -1 n z -1 hn- h N-1 h 0 h 1 F.D. I para FIR de Fase Linear (N ímpar) x n z -1 z -1 y n x n N 1 T ( z) hn z h N- y n0 N 1 h x n n n 0 Forma Directa I Transposta h N-1 z -1 z -1 h 1 h 0 F.D. I para FIR de Fase Linear (N par) x n z -1 z -1 y n z -1 z -1 z -1 z -1 z -1 y n h 0 h 1 h (N-3)/ h (N-1)/ y n h 0 h 1 h N/- h N/-1 0
4.1 Realização de Realização de 4. Realização de Há dois métodos mais usuais na realização de filtros digitais: 1) Implementação em hardware (ROM, ASIC, etc.) ) Implementação em software (DSP, FPGA) 4. Implementação em ROM com Aritmética Distribuída Eq. de Recorrência: N M y b y a x n n n 1 0 Genericamente: ou seja Definindo 1
4. Realização de 4. Implementação em ROM com Aritmética Distribuída (Cont.) Exemplo para representação em complemento para com 4 bits y a x a x a x a x n 0 n 1 n1 n 3 n3 a x x x x 0 1 1 3 3 0( n n n n) a ( x x x x ) 0 1 1 3 3 1 n1 n1 n1 n1 a ( x x x x ) 0 1 1 3 3 n n n n a ( x x x x n1 1 1 3 3 3 n3 n3 n3 n3) F(x 0 ) F(x 1 ) F(x ) F(x 3 ) 3 j j j j j n n n1 n n3 j0 y F( x, x, x, x ), (-F) para j=0
4. Realização de 4. Implementação em ROM com Aritmética Distribuída (Cont.) 3 j j j j j n n n1 n n3 j0 y F( x, x, x, x ), (-F) para j=0 K=4, B=4 3
4. Realização de 4. Implementação em ROM com Aritmética Distribuída (Cont.) Arquitectura paralela aumento de rapidez Secção biquadrática 4
4. Realização de 4.3 Implementação em DSP Aplicações dos DSPs (Fonte: Texas Instrument) OMAP- Open Multimedia Applications Platform. 5
4.3 Implementação em DSP (Cont.) 4. Realização de TI 3010 (1983) - 5 MIPS - Instruction Cycle 00 ns - Palavra de 16 bits - ALU 16x16 bits vírgula fixa - Relógio de 0 MHz - Memória: 144 palavras RAM (,3 b) 1,5 palavras ROM (4 b, programa) - 40 pins - Alimentação +5V/0V 6
4.3 Implementação em DSP (Cont.) 4. Realização de TMS30C5 TMS30C40 TMS30C6 TMS30C6748 Fins de 80 Meados de 90 Inícios de 000 014 Essencialmente vírgula fixa Vírgula flutuante Vírgula flutuante Vírgula flutuante Instruction cycle: 100 ns Instruction cycle: Vírgula flutuante: 746 MFLOPS 10 MIPS 40 ns 75 MOPS 1800 MOPS (MFLOPS: Million Floating ( 4 operações por iteração) Vírgula fixa: Point Operations per 40 MOPS 8000 MOPS Second) Principalmente operações com 16 bits Operações com 3 bits Operações com 3 bits Operações com 3 bits e com 64 bits 1 ALU + 1 auxiliar ALU 1 ALU + auxiliar ALUs 6 ALUs 6 ALUs 68 pinos 35 pinos 56 pinos 361 pinos 7
4.3 Implementação em DSP (Cont.) 4. Realização de Freescale Semiconductor MSC8156 (multicore, 013) - 783 pins - Palavra de 18 bits - Alimentação -0,3V a 1,1V - 6 DSPs SC3850 - Relógio até 1GHz - Memória: Gb DDR3 RAM - Um 3850 tem 8 ALU 16x16 bits 8
5. Filtros Adaptativos 5.1 Introdução Sistemas (contínuos ou discretos cujos parâmetros variam no tempo e apresentam as seguintes características: Adaptação automática Possibilidade de treino para filtragens específicas Não necessitam de procedimentos relativos à síntese (aproximação), pelo contrário, desenham-se a si mesmos Podem identificar modelos, após um período de treino Em certa medida, podem repara-se a si próprios Em geral, podem considerar-se sistemas não lineares de parâmetros variáveis no tempo Em geral, são mais difíceis de analisar que os sistemas não adaptativos, mas possibilitam um melhor desempenho quando o sinal de entrada tem características desconhecidas ou variantes no tempo 9
5. Filtros Adaptativos 5. Modos de Operação Correção (modelação inversa, circuito aberto) H(z) Ĥ(z) 1 Ĥ opt (z)=h ( z) Identificação (modelação direta, circuito fechado) H(z) Ĥ(z) Ĥ opt (z)=h( z) 30
5. Filtros Adaptativos 5.3 Áreas de Aplicação Identificação de sistemas Igualização de canal Digitalização/síntese de voz Cancelamento de eco (dados e acústico) Branqueamento espectral 31
5. Filtros Adaptativos 5.3 Áreas de Aplicação (Cont.) Exemplos: Identificação de sistemas Função de sistema: H(z)=c ˆ ˆ cˆ z cˆ z cˆ z 1 N 0 1 N Resposta impulsional: h ˆ =c ˆ,c ˆ,c ˆ, c ˆ n 0 1 N Y(z)=E(z)-E(z)=X(z) ˆ H(z)-H(z) ˆ Igualização Adaptativa Decision Feedbac Equaliser (DFE) x ^ H 1 (z) + - ^e - y ^ H (z) + ~ e X ( z) H ( z) E( z) ˆ X(z) ˆ X(z) Y(z)=E(z)-E(z)= - X(z)H ˆ 1( z) H ( z) H( z) H( z) 1+H ˆ ( z) X(z) H ˆ 1( z) H( z) (ISI) 3
5.3 Áreas de Aplicação (Cont.) 5. Filtros Adaptativos Cancelamento de Eco em Transmissão de Voz Eco remoto: Grande atraso (satélite > 0,5 s) e pequena amplitude + Canal A Híbrido F. Adap. F. Adap. Híbrido B Canal + Sinal Eco Local Eco emitido 1º Eco Remoto º Eco Remoto 33
5.3 Áreas de Aplicação (Cont.) 5. Filtros Adaptativos Cancelamento de Eco em Transmissão de Dados Eco local: Pequeno atraso e grande amplitude (mais de -15 db abaixo do sinal emitido) 34
5. Filtros Adaptativos 5.4 Sistema de Identificação ( output Error Criterion ) x e Sinal de saída do sistema desconhecido y ^ H(z) ^ - e + e +r H(z) ê Sinal de saída do filtro adaptativo (estimativa de e ) x Sinal de entrada y Sinal de erro (e possível sinal de saída) r Ruído aditivo ruído Y(z)=E(z)+R(z)-E(z)=X(z) ˆ H(z)-H(z) ˆ +R(z) E y H(z)=H( ˆ z) Minimização de Características: y é geralmente adequado ao restante recetor Sistema de identificação mais utilizado Mas para filtros adaptativos recursivos conduz geralmente a superfícies de erro com mínimos locais 35
5.5 Formas de Erro (Funções de Custo) 5. Filtros Adaptativos Função do Erro Quadrtático Médio Função do Módulo Outras Funções Exp: Não Linear com Limiar E[y ] y f{y } y y y 5.6 Estimadores Lineares Ótimos Não Recursivo Filtro de Wiener, produz uma estimativa baseada numa soma pesada de amostras em número finito. Recursivo Filtro de Kalman, produz uma estimativa baseada num modelo recursivo (AR Autoregressive ) continuamente otimizado a mpartir de cada nova amostra. 36
5. Filtros Adaptativos 5.7 Filtro de Wiener N Tˆ ˆ T x-ic ˆi =XC=C X i0 e ˆ = T -1 -N X x, x,, x T 0 1 N C ˆ c ˆ,c ˆ,,c ˆ ˆ T MSE=E y =E e - C X Superfície de erro é um híper-paraboloide invertido (mínimo global) Ey Mínimo 0 T Ĉ T T T E ˆ ex Cotimo E XX P R ĉ 1 Equação de Wiener-Hopf: Ĉ R P T -1 otimo ĉ 0 Ĉ Otimo 37
5. Filtros Adaptativos 5.8 Algoritmos de Adaptação Algoritmos de gradiente baseados no filtro de Wiener, estimam o gradiente das superfícies de nível. Bons para superfícies de erro bem comportadas. Exp: LMS e derivados. Algoritmos de mínimos quadrados baseados no filtro de Kalman, determinísticos, minimizam a soma dos quadrados dos erros. Não são directamente afectados pelos mínimos locais. Geralmente apresentam maior rapidez de convergência, maior complexidade e problemas de estabilidade. Exp: RLS, Fast-Kalman e derivados. 5.8.1 Algoritmos de Gradiente Algoritmo do gradiente determinístico Gradiente Fazendo Ey T ˆ,,, RC T T -P Cˆ Cˆ cˆ ˆ ˆ 0 c1 cn T 0 vem C ˆ =Cˆ -μ +1 m é o passo de adaptação, regula a estabilidade e rapidez de convergência 38
5. Filtros Adaptativos 5.8.1 Algoritmos de Gradiente (Cont.) Algoritmo do gradiente estocástico (LMS Least Mean Squares ) Utiliza o valor instantâneo de y como estimativa da média Ey ˆ y y y y,,, y x ˆ T C cˆ ˆ ˆ 0 c1 cn Algoritmo LMS: C ˆ +1=C ˆ +μyx (Variantes: algoritmos do sinal, LMS normalizado, etc) 5.8. Algoritmos de Mínimos Quadrados Minimizam a soma J = ia y i Exps: RLS ( Recursive Least Squares, a=1), Fast Kalman, etc. 39
5. Filtros Adaptativos 5.8.3 Comparação da Complexidade (Peso Computacional) Algoritmo Multi./Div. Somas/Sub. Total Exp: N=30 LMS (N+1) (N+1) 4N+3 13 RLS 3N +11N+8 N +6N+4 5N +17N+1 50 Fast 8N+5 7N+ 15N+7 457 N Ordem do filtro (N+1 baixadas) Estrutura transversal (usualmente designada por filtro FIR) Estrutura Processamento do filtro também incluído 40