, Indice 1 Sinais e Sistemas 1 1.1 Introdução aos Sinais e Sistemas 1 1.2 Sinais............... 3 1.2.1 O que são sinais?..... 3 1.2.2 Transformações lineares da variável independente 5 1.2.3 Propriedades dos sinais 10 1.2.4 Sinais contínuos básicos 12 1.2.5 Sinais discretos básicos. 19 1.3 Sistemas... 25 1.3.1 Sistema físico, modelo, representação matemática. 25 1.3.2 Propriedades dos sistemas 31 1.4 Sumário 40 Problemas................ 41 2 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs) 57 2.1 Introdução... 57 2.2 Resposta Impulsional......... 58 2.2.1 Introdução 58 2.2.2 Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional............... 59 '2.2.3 Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional............................ 64 2.3 Equações Diferenciais e às Diferenças Lineares e de Coeficientes Constantes................................... 74 2.3.1 Introdução 74 2.3.2 Sistemas contínuos descritos por equações diferenciais lineares de coeficientes constantes................ 75
viii SINAIS E SISTEMAS 2.3.3 Sistemas discretos descritos por equaçoes às diferenças lineares de coeficientes constantes. 85 2.4 Sumário 91 Problemas.................... 91 3 Transformadas de Laplace e de Fourier 105 3.1 Introdução... 105 3.2 Motivação... 106 3.3 Transformada de Laplace Bilateral 108 3.3.1 Definição.......... 108 3.3.2 A região de convergência da transformada de Laplace 114 3.3.3 A transformada de Laplace inversa........... 120 3.3.4 Propriedades da transformada de Laplace....... 126 3.3.5 Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace............................ 133 3.3.6 Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de. convergência da função de transferência............ 135 3.4 Particularização a Funções Causais. Transformada de Laplace Unilateral......... 139 3.4.1 Definição........... 139 3.4.2 Propriedades......... 140 3.4.3 Utilização da transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais................ 144 '3.4.4 Representação de SLITs contínuos e causais usando a transformada de Laplace..................... 146 3.4.5 Determinação da resposta no tempo de sistemas causais descritos pela função de transferência 148 3.5 Transformada de Fourier............ 150 3.5.1 Definição................ 150 3.5.2 Representação de sinais contínuos usando a transformada de Fourier 153 3.5.3 Propriedades....................... 157 3.5.4 Função resposta de frequência e resposta impulsional. 166 3.6 Sumário 169 Problemas.................... 170 4 Transformadas Z e de Fourier Discreta 191 4.1 Introdução. 191 4.2 Motivação... 191
índice I ix 4.3 Transformada Z Bilateral 193 4.3.1 Introdução... 193 4.3.2 Definição..... 194 4.3.3 A região de convergência da transformada Z. 198 4.3.4 A transformada Z inversa........... 201 4.3.5 Propriedades da transformada Z....... 204 4.3.6 Representação de SLITs discretos usando a transformada Z 208 4.3.7 Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência......... 209 4.4 Particularização a Funções Causais. Transformada Z Unilateral 213 4.4.1 Definição.......................... 213 4.4.2 Propriedades........................ 215 4.4.3 Utilização da transformada Z na resolução de equações às diferenças........................ 219 4.4.4 Representação de SLITs discretos e causais usando a transformada Z................... 221 4.4.5 Determinação da resposta no tempo de sistemas causais descritos pela função de transferência 222-4.5 Transformada de Fourier Discreta. 223 4.5.1 Introdução 223 4.5.2 Propriedades.............. 228 4.5.3 Função resposta de frequência e resposta impulsional. 234 4.6 Amostragem de Sinais e de Sistemas........ 236 4.6.1 Relação entre transformadas de Laplace e Z. 236 4.6.2 Sinais...................... 239 4.6.3 Equivalentes discretos de sistemas contínuos. 243 4.7 Sumário 249 Problemas.............. 250 5 Análise no Domínio do Tempo 269 5.1 Introdução... 269 5.2 Resposta no Tempo de SLITs Contínuos e Causais 269 5.2.1 Teoremas do valor final e do valor inicial. 269 5.2.2 Sistema de la ordem sem zeros....... 274 5.2.3 Sistema de 2 a ordem sem zeros....... 276 5.2.4 Influência de um zero na resposta do sistema de 2 a ordem criticamente amortecido.. 286 5.2.5 Sistemas de ordem superior................... 288
x I SINAIS E SISTEMAS 5.3 Resposta no Tempo de SLITs Discretos e Causais. 290, 5.3.1 Teoremas do valor inicial e do valor final. 290-5.3.2 Sistema de la ordem 292 5.3.3 Sistema de 2 a ordem 294 5.4 Sumário 296 Problemas............. 297 6 Análise no Domínio da Frequência 315 6.1 Introdução... 315 6.2 Resposta de Frequência de SLITs Contínuos Causais 315 6.2.1 Função resposta de frequência.. 315 6.2.2 Diagrama de Bode........... 317 6.2.3 Análise dos factores elementares... 320 6.2.4 Sistemas de fase mínima/ não mínima 335 6.2.5 Relação entre resposta ao escalão unitário e resposta de frequência............................. 337 6.2.6 Identificação de sistemas a partir da resposta de frequência experimental.................. 344 6.3 Resposta de Frequência de SLITs Discretos Causais 352 6.3.1 Função resposta de frequência. 352 6.3.2 Sistema de la ordem 354 6.3.3 Sistema de 2 a ordem 358 6.4 Sumário 363 Problemas............. 363 7 Análise de Sistemas Representados pelo Modelo de Estado 423 7.1 Introdução... 423 7.2 Representação de Estado: Sistemas Contínuos..... 423 7.2.1 Modelo de estado................. 423 7.2.2 Interpretação geométrica do modelo de estado. 427 7.2.3 Solução da equação de estado. 436 7.2.4 Cálculo da matriz de transição.... 440 7.2.5 Espaço de estados........... 449 7.2.6 Relação entre o modelo de estado e as representações entrada/ saída............. 455 7.3 Representação de Estado: Sistemas Discretos 462 7.3.1 Modelo de estado............ 462 7.3.2 Interpretação geométrica do modelo de estado. 464 7.3.3 Solução da equação de estado.......... 466
índice xi 7.3.4 Cálculo da matriz de transição... 1.3.5 Relação entre o modelo de estado e entrada/ saída 7.4 Sumário Problemas. as representações 469 474 480 480 Referências Bibliográficas 501 A Identidades Matemáticas Elementares A.l Trigonometria.... A.2 Números Complexos A.3 Integrais definidos A.4 Séries Geométricas. 503 503 504 506 506 B Expansão em Fracções Simples de Funções Racionais B.l Introdução. B.2 Transformada de Laplace inversa B.3 Transformada Z inversa... C Testes de Análise de Estabilidade C.l Introdução. C.2 Critério de Routh-Hurwitz. C.2.1 Teste de Hurwitz. C.2.2 Critério de Routh C.2.3 Casos singulares. C.2.4 Aplicação do critério de Routh-Hurwitz ao dimensionamento de parâmetros do sistema.................. C.2.5 Aplicação do critério de Routh-Hurwitz na análise de estabilidade de sistemas discretos C.3 Critério de Jury. C.3.1 Definição. C.3.2 Casos singulares 7 D Álgebra de Diagramas de Blocos \ E Resposta aos Problemas Índice Remissivo 510 516 519 523 525 526 526 529 533 539 605