Limites s CÁLCULO I Aula 11: Limites s e no... Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará
Limites s 1 Limites no 2 Limites s 3 4 5
Limites s Denição Seja f uma função denida no intervalo aberto (a, + ). Dizemos que L é o limite de f (x) quando x tende a + e escrevemos lim f (x) = L, x + se para todo ɛ > 0 existir um número real positivo N > a, tal que se x > N, então f (x) L < ɛ.
Limites s
Limites s Note que o gráco de f (x) se aproxima da reta y = L, o qual chamaremos de assíntota horizontal.
Limites s Note que o gráco de f (x) se aproxima da reta y = L, o qual chamaremos de assíntota horizontal. Observação O símbolo x + indica que a variável x cresce indenidamente através de valores positivos.
Limites s Denição Seja f uma função denida em algum intervalo (, a). Então lim f (x) = L x se para todo ɛ > 0 existir um número real negativo N < a tal que, se N < a, então f (x) L < ɛ.
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Limites s Calcule 1 lim x + x.
Limites no Limites s Calcule 1 lim x + x. x f (x) 10 0,1 100 0,01 1.000 0,001 10.000 0,0001 100.000 0,00001 1.000.000 0,000001
Limites s Intuitivamente, podemos dizer que: 1 lim x + x = 0.
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Teorema Limites no Limites s Suponhamos que lim f (x) = L 1 e lim g(x) = L 2. Então x + x + 1 lim x + [f (x) + g(x)] = L 1 + L 2 2 lim [f (x).g(x)] = L 1.L 2 x + [ ] f (x) 3 lim = L 1, desde que L 2 0. x + g(x) L 2 4 lim [f x + (x)]n = [L 1 ] n, onde n é um inteiro positivo. n f (x) = n L 1, onde n é um inteiro positivo. Se n for par, 5 lim x + supomos que L 1 > 0.
Observação As propriedades listadas anteriormente também são válidas se substituirmos x + por x. Limites s
Observação Limites no Limites s As propriedades listadas anteriormente também são válidas se substituirmos x + por x. Teorema Se n > 0 for um número racional, então lim x + 1 x n = 0. Se n > 0 for um número racional tal que x seja denida para todo ponto x, então 1 lim x x = 0. n
Limites s Calcule x 5 + x 4 + 1 lim x + 2x 5 + x + 1.
Limites s Calcule Calcule x 5 + x 4 + 1 lim x + 2x 5 + x + 1. lim ( x 2 + 1 x). x +
Limites s Calcule Calcule x 5 + x 4 + 1 lim x + 2x 5 + x + 1. lim ( x 2 + 1 x). x + Calcule lim sen x. x +
Limites s Proposição Seja f (x) = a x, com a > 0 e a 1. Então (a) Se a > 1, então (b) Se a > 1, então (c) Se 0 < a < 1, então (d) Se 0 < a < 1, então lim x + ax = + lim x ax = 0 lim x + ax = 0 lim x ax = +
Limites s Proposição Seja g(x) = log a x, com a > 0 e a 1. Então (e) Se a > 1, então (f) Se a > 1, então (g) Se 0 < a < 1, então (h) Se 0 < a < 1, então lim log a x = + x + lim log x 0 + a x = lim log a x = x + lim log x 0 + a x = +
Limites s Denição (Assíntota) A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se lim f (x) = L ou lim x f (x) = L x +
Limites s Denição (Assíntota) A reta y = L é chamada assíntota horizontal da curva y = f (x) se lim f (x) = L ou lim x f (x) = L x + A reta y = 1 é uma assíntota horizontal da curva y = 1 + 1 (x 2) 2.
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Limites s Determine a(s) assíntota(s) horizontal(is) da curva y = 3x 3 + 2x 1. 4x 3 2
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Limites s Denição (Limite innito) Sejam f uma função e a um número real, de modo que f esteja denida em alguma vizinhança restrita ou não de a. Então (i) dizemos que f (x) cresce ilimitadamente quando x tende ao número real a e escrevemos lim f (x) = + x a se para todo M > 0 existir um δ > 0, tal que: se 0 < x a < δ, então f (x) > M.
Limites s Denição (ii) dizemos que f (x) decresce ilimitadamente quando x tende ao número real a e escrevemos lim f (x) = x a se para todo M < 0 existir um δ > 0, tal que: se 0 < x a < δ, então f (x) < M.
Limites s A expressão lim f (x) = + x a é também lida como limite de f (x) quando x tende a a é +. Mas cuidado, isto não signica que + seja um número real, muito menos, que este limite exista. É tão somente uma notação para indicar que os valores da função crescem de forma ilimitada para valores de x próximo de a. Temos observações análogas para o caso lim f (x) =. x a
Limites s Considere a função f (x) = 3 (x 2) 2 Vamos analisar intuitivamente o comportamento da função, quando esta se aproxima de 2. Em outras palavras, queremos calcular: lim x 2 3 (x 2) 2.
Limites s x f (x) 3 3 2,5 12 2,25 48 2,1 300 2,01 30.000 2,001 3.000.000 2,0001 300.000.000 x f (x) 1 3 1,5 12 1,75 48 1,9 300 1,99 30.000 1,999 3.000.000 1,9999 300.000.000
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Limites s Mostre que lim x 0 1 x 2 = +.
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Limites s Teorema Se n é um número inteiro positivo qualquer, então: ( ) 1 (i) lim = x 0 + x n +. ( ) 1 (ii) lim = x 0 x n +, para n par. ( ) 1 (iii) =, para n ímpar. lim x 0 x n
Limites s Calcule os limites abaixo: 1 a) lim x 0 + b) lim x 0 x 5 x x 5
Limites s Denição (Assíntota Vertical) Se temos quaisquer das situações abaixo para uma função f : lim f (x) = ± lim x a f (x) = ± lim x a + f (x) = ±, x a então dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical da curva y = f (x).
Limites s Denição (Assíntota Vertical) Se temos quaisquer das situações abaixo para uma função f : lim f (x) = ± lim x a f (x) = ± lim x a + f (x) = ±, x a então dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical da curva y = f (x). Mostre que x = 2 é uma assíntota vertical da curva y = 1 + 1 (x 2) 2.
Limites s
Limites s Teorema Sejam f e g funções, tais que lim f (x) = + e lim g(x) = L. Então: x a x a (i) se L > 0, então lim[f (x) + g(x)] = + e lim[f (x).g(x)] = + x a x a (ii) se L < 0, então lim[f (x) + g(x)] = + e lim[f (x).g(x)] = x a x a
Limites s Teorema Seja f uma função, tal que lim x a f (x) = +. Então: (i) se lim g(x) = +, então lim[f (x) + g(x)] = + e x a x a [f (x).g(x)] = + lim x a (ii) se lim g(x) =, então lim[f (x) + g(x)] = indeterminação e x a x a [f (x).g(x)] = lim x a
Limites s Teorema Sejam f e g funções, tais que lim f (x) = e lim g(x) = L. Então: x a x a (i) se L > 0, então lim[f (x) + g(x)] = e lim[f (x).g(x)] = x a x a (ii) se L < 0, então lim[f (x) + g(x)] = e lim[f (x).g(x)] = + x a x a
Limites s Teorema Seja f uma função, tal que lim x a f (x) =. Então: (i) se lim g(x) = +, então lim[f (x) + g(x)] = indeterminação e x a x a [f (x).g(x)] = lim x a (ii) se lim g(x) =, então lim[f (x) + g(x)] = e x a x a [f (x).g(x)] = + lim x a
Limites s Calcule os limites: a) lim (3x + 2) x + b) lim (3x + 2) x
Limites s Calcule lim x 2. x +
Limites s Calcule lim x 2. x +
Teorema Limites no Limites s Sejam f e g funções, tais que lim x a f (x) = L (L 0) e lim x a g(x) = 0. Então: (i) L > 0 e g(x) 0 por valores maiores que 0 lim x a f (x) g(x) = +. (ii) L > 0 e g(x) 0 por valores menores que 0 lim x a f (x) g(x) =. (iii) L < 0 e g(x) 0 por valores maiores que 0 lim x a f (x) g(x) =. (iv) L < 0 e g(x) 0 por valores menores que 0 lim x a f (x) g(x) = +.
Limites s Observação Os resultados continuam válidos se x a for substituído por x a +, x a ou x ±.
Limites s Observação Os resultados continuam válidos se x a for substituído por x a +, x a ou x ±. Calcule os limites abaixo: x a) lim x 4 + x 4 x b) lim x 4 x 4
Limites s Calcule os limites abaixo: a) x 2 + x + 2 lim x 3 + x 2 2x 3 b) x 2 + x + 2 lim x 3 x 2 2x 3
Considere a função F (x) = f (x) + g(x). Se Limites no Limites s lim f (x) = + e lim x a g(x) = x a então temos uma indeterminação do tipo. Tratando-se de funções algébricas, para levantar a indeterminação, coloca-se o termo de maior potência em evidência.
Considere a função F (x) = f (x) + g(x). Se Limites no Limites s lim f (x) = + e lim x a g(x) = x a então temos uma indeterminação do tipo. Tratando-se de funções algébricas, para levantar a indeterminação, coloca-se o termo de maior potência em evidência. Calcule lim (x 4 3x + 2). x +
Limites s Teorema ( ) Suponha que f e g sejam deriváveis e g (x) 0 em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que: ou que Então lim f (x) = 0 e lim g(x) = 0 x a x a lim f (x) = ± e lim x a g(x) = ±. x a f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) se o limite do lado direito existir (ou for + ou ).
Observação A é válida também para os limites laterais e para os limites no innito. Limites s
Observação A é válida também para os limites laterais e para os limites no innito. Limites s Calcule x 3 8 lim x 2 x 2.
Observação A é válida também para os limites laterais e para os limites no innito. Limites s Calcule Calcule lim x 1 x 3 8 lim x 2 x 2. x 5 6x 3 + 8x 3. x 4 1
Limites s Calcule lim x 0 sen (ax). x
Limites s Calcule lim x 0 sen (ax). x Observação Algumas vezes é necessário aplicarmos várias vezes a Regra até eliminarmos a indeterminação, como no exemplo a seguir.
Limites s Calcule lim x 0 sen (ax). x Observação Algumas vezes é necessário aplicarmos várias vezes a Regra até eliminarmos a indeterminação, como no exemplo a seguir. Calcule lim x 1 x 4 x 3 3x 2 + 5x 2. x 3 3x 2 + 3x 1
Limites s Calcule tg (x) x lim. x 0 x 3
Limites s Calcule tg (x) x lim. x 0 x 3 Observação É importante vericar se o quociente de fato tem a forma 0 0 ou aplicarmos a regra, para não incorrermos em erro. antes de
Limites s Calcule tg (x) x lim. x 0 x 3 Observação É importante vericar se o quociente de fato tem a forma 0 0 ou aplicarmos a regra, para não incorrermos em erro. antes de Calcule lim x π sen (x) 1 cos(x).
Limites s Calcule lim x 0 ( ) 1 x 1. sen (x)
Limites s Calcule lim x 0 ( ) 1 x 1. sen (x) Calcule lim ln x + ( x x + 1 ).
Limites s Calcule Calcule lim ln x + ( x x + 1 ). lim x 0 ( ) 1 x 1. sen (x) Calcule lim x 0 + ( ) 1 x 1. 2 sen (x)
Limites s Calcule lim (sec(x) tg (x)). x π 2
Limites s Calcule lim (sec(x) tg (x)). x π 2 (Limite Trigonométrico Fundamental) Mostre que sen (x) lim x 0 x = 1.
Limites s Calcule lim (sec(x) tg (x)). x π 2 (Limite Trigonométrico Fundamental) Mostre que sen (x) lim x 0 x = 1.
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Limites s Figura: Gráco de uma Função f
Limites s podemos denir que assíntotas oblíquas são retas da forma y = mx + n, tais que lim [f (x) (mx + n)] = 0 x + ou lim [f (x) (mx + n)] = 0 x
Limites s Note que o número m deve ser nito e diferente de 0. Consideremos então, a equação dessas assíntotas como sendo y = mx + n, então podemos calcular m e n da seguinte forma: e n = m = f (x) lim x + x e m = f (x) lim x x lim [f (x) mx] e n = lim [f (x) mx] x + x
Limites s Determine as assíntotas oblíquas da função f (x) = x 3 x 2 + 1.
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Limites s Determine as assíntotas oblíquas de f (x) = x 2 x + 1.
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Limites s Determine assíntota oblíqua de f (x) = 3 x 3 x 2.
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Limites s Determine as assíntota oblíqua de f (x) = x 2 + 1.
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Na próxima aula... Limites no Limites s Extremos e Pontos Críticos de uma função;
Na próxima aula... Limites no Limites s Extremos e Pontos Críticos de uma função; Método do Valor Extremo;