LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Capítulo 4 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 4. Introdução O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de ite. Por eemplo, as definições de derivada e de integral definida, independente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando ites. Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de ite, estudando o comportamento de uma função y = f() nas proimidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio. Por eemplo, seja f() = 22 = (2 + )( ). Éclaro que Dom(f) = R {}. Estudaremosafunção nosvaloresde queficam próimosde, mas sem atingir. Para todo Dom(f) temos que f() = 2 +. Vamos construir uma tabela de valores de aproimando-se de, pela esquerda ( < ) e pela direita ( > ) e os correspondentes valores de f(): < f() 0 0.5 2 0.7 2.4 0.8 2.6 0.9 2.8 0.99 2.98 0.999 2.998 0.9999 2.9998 0.99999 2.99998 0.999999 2.999998 0.9999999 2.9999998 > f() 2 5.7 4.4.5 4.2 3.4.09 3.8.009 3.08.0009 3.008.00009 3.0008.000009 3.00008.0000009 3.000008.00000009 3.0000008 6

62 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Observando as tabelas, podemos verificar que: à medida que vai se aproimando de, os valores de f() vão aproimando-se de 3. A noção de proimidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer, y R é y. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser epressa por: se aproima-se dezero,então f() 3 tambémseaproimadezero;emoutraspalavras: paraque f() 3 sejapequenoénecessário que tambémsejapequeno. Onúmero 3échamadoitede f()quando estápróimo de. Noeemplo,temos f() 3 = 2 ; logo,adistânciade f()a3éigualaduasvezes a distância de a. É claro que quando aproima-se de, aproima-se de zero e consequentemente f() 3 também aproima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f() tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar suficientemente próimo de. Por eemplo, se desejarmos que f() 3 seja igual a 0,2, basta considerar = 0,; agora,sedesejarmosque f() 3 < 0,02, bastaconsiderar < 0,0. De um modo geral, considerando qualquer número real positivo ε (letra grega epsilon), tão pequeno quanto se deseje e definindo o número real δ (letra grega delta), δ = ε, teremos que 2 a distância de f() a 3 é menor que ε, desde que a distância de a seja menor que δ. Então paratodonúmerorealpositivo εeisteoutronúmerorealpositivo δ, quedependede ε,talque se 0 < < δ, então f() 3 = 2 < 2δ = ε. Note que todos os intervalos abertos quecontém intersectam R {} deformanão vazia. 3 Figura 4.: Definição 4.. Sejam f : A R uma função e b R tais que para todo intervalo aberto I, contendo b, tem-se I (A {b}) φ. O número real L é o ite de f() quando aproima-se de b quando para todo número ε > 0, eiste δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, se A e 0 < b < δ então f() L < ε. Anotação é: f() = L b A definição é equivalente a dizer: Paratodo ε > 0,eiste δ > 0talquese (b δ,b + δ) ( A {b} ),então f() (L ε,l + ε).

4.. INTRODUÇÃO 63 L+ ε L L- ε b- δ b b δ Figura 4.2: Observe queoite deumafunção y = f()numponto b, dependeapenas dosvalores que f assume nas proimidades de b, ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro b. Proposição 4.. Unicidade do ite Se b f() = L e b f() = L 2 ;(L,L 2 R),então L = L 2. Em outras palavras se o ite eiste (é um número real), ele é único. Para a prova veja o apêndice. Corolário 4.. Seasfunções f()eg() são tais que f() = g() eceto numponto b,então: desde que eista um dos ites. f() = g(), b b Esta propriedade nos permite "simplificar"antes de calcular o ite, como no primeiro eemplo. Eemplo 4.. [] Sejam f() = 22 e g() = 2 +. Logo, f() = g() se ; então, f() = g(), como jáfoiverificado. [2] Seja Calcule f(). f() = { + 5 se 2 se =. Observemos que f() = 2, mas o valor do ite da função quando tende a não depende dovalor dafunção noponto, pois f() = + 5se ; logo: f() = ( + 5) = 6.

64 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 6 Figura 4.3: Eemplo[2]. Proposição 4.2. Se f()e g(), eistem, então para todo α, β R:. [ α f() + β g() ] = α f() + β g(). 2. [ f()g() ] = [ f() ][ g() ]. f() 3. g() = f() g(), se g() 0. 4. [ f() ] n = [ f() ] n,se n N. 5. n f() = n f(), se f() 0 e n é qualquer natural, ou f() positivo, negativo ou nuloenéumnatural ímpar. 6. ln [ f() ] = ln [ f() ], se f() > 0. 7. Se h() = g() = L e eiste δ > 0 tal que h() f() g(), para 0 < a < δ, então f() = L. Segue diretamente da proposição 4.2: (a) Se P()éuma função polinomial, então: P() = P(a). (b) Se f() = P() éumafunção racional e a Dom(f), então: Q() f() = f(a).

4.. INTRODUÇÃO 65 Eemplo 4.2. Calcule os seguintes ites: [] 0 [0 6 3 5 + 2 4 + 3 + 5 + 0]. Nestecaso P() = 0 6 3 5 + 2 4 + 3 + 5 + 0; logo: [2] 2 + 2 4 9. 0 [06 3 5 + 2 4 + 3 + 5 + 0] = P() = P(0) = 0. 0 Como 2 ( 4 9) = 7 0, podemosaplicar aproposição4.2; então, 2 + 2 ( + 2) 4 9 = 2 2 (4 9) = 3 8 2 + 7 0 [3]. 2 2 Como ( 2) = 0, não podemosaplicar aproposição4.2; mas fatorandoonumerador: 2 4 7. 3 8 2 + 7 0 2 = ( )( 2)( 5) 2 = ( )( 5), para todo 2. Logo: 2 [4] Determineovalor de atal que 3 8 2 + 7 0 2 = 2 ( )( 5) = 3. eista. 2 3 2 + a + a + 3 2 + 2 Noteque 2 + 2 = ( + 2)( ). Dividindo 3 2 + a + a + 3por + 2; obtemos: 3 2 + a + a + 3 = ( + 2)(3 + a 6) + (5 a); logo,paraqueadivisão sejaeatadevemoster a = 5; então: 3 2 + a + a + 3 = 3( 2 + 5 + 6) = 3( + 2)( + 3) e 2 3 2 + a + a + 3 2 + 2 = 3 2 + 3 =. [5] 4 + 5 3. 4

66 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Como ( 4) = 0, não podemosaplicar diretamente a proposição 4.2; mas racionalizando 4 onumerador: + 5 3 + 5 + 3 =. 4 + 5 + 3 + 5 + 3 Logo: + 5 3 = = 4 4 4 + 5 + 3 6. 0.5 Figura4.4: Gráfico de f() = +5 4,pertode4. [6] 4 5. Paracalcular esteite façamos amudançadevariáveis = t 20 ; então: Se,então t ;logo: 4 5 = t5 t 4 = (t4 + t 3 + t 2 + t + )(t ) (t )(t 3 + t 2. + t + ) 4 t 4 + t 3 + t 2 + t + 5 = t t 3 + t 2 = 5 + t + 4. [7] Seja f()umafunção talque f() 2 ;então, 0 f() = 0. De fato. Pelaproposição4.2, ítem7, temos: 0 f() = 0, oqueimplica, 0 f() = 0. 4.2 Limites Laterais Sejam f uma função definida em um domínio D (que pode ser um intervalo ou uma reunião de intervalos).

4.2. LIMITES LATERAIS 67 Definição 4.2.. Seja a Rtalqueeistem b Re(a,b) Dom(f). Onúmeroreal Léoiteàdireitade f(), quando seaproima de a pela direita separa todo ε > 0, eiste δ > 0tal que f() L < ε, se a < < a + δ. Notação: f() = L + L a + Figura 4.5: Limite à direita. 2. Seja a R tal que eistem c R e (c,a) Dom(f). O número real L é o ite à esquerda de f(), quando se aproima de a pela esquerda se para todo ε > 0, eiste δ > 0 tal que f() L < ε, se a δ < < a. Notação: f() = L L a Figura 4.6: Limite à esquerda. Eemplo 4.3. [] Calcule: f() e f(), 2 + 2

68 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES se: 2 + se < 2 f() = 2 se = 2 2 + 9 se > 2. Para calcular estesites observemosque 2 + significa que fica pertode 2, para valores de maiores que 2 e 2 significa que fica perto de 2, para valores de menores que 2. Assim: f() = 2 2 (2 + ) = 5 e f() = 2 + 2 ( 2 + 9) = 5. 5 4 3 2 2 Figura4.7: Gráfico de f,pertode 2. [2] Calcule f()e f(), se: 0 + 0 se 0 f() = se = 0. Novamente, para calcular estesites observemosque 0 + significa que fica perto de 0, para valores maiores que 0 e 0 significa que fica perto de 0, para valores menores que 0. Primeiramente, escrevamos a função da seguinte maneira: f() = { se 0 se < 0. Assim f() = = e f() = ( ) =. 0 + 0 0 0

4.2. LIMITES LATERAIS 69-3 -2-2 3 - Figura4.8: Gráfico de f. [3] Calcule f()e f(),se: 2 + 2 Calculando diretamente: f() = { 2 4 + 6 se < 2 2 + 4 2 se 2 f() = 2 + 2 ( 2 + 4 2) = 2 e f() = 2 2 (2 4 + 6) = 2. 8 6 4 2 2 3 4 5 6 2 4 6 Figura4.9: Gráfico de f,pertode 2. Relação entre ite e ites laterais Teorema4.2. Seja f()umafunçãocomdomínio D nascondiçõesdasdefinições. Então f() = L se, esomentese, osites laterais eistem e: f() = f() = L. + Para aprova, vejaoapêndice.

70 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Teste para determinar quando não eiste um ite Se f() f() + ouseum dosites laterais nãoeiste,então f()não eiste. Eemplo 4.4. [] Calcule 2 f(),se: 2 + se < 2 f() = 2 se = 2 2 + 9 se > 2. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os ites laterais correspondentes. Do eemplo [] das páginas anteriores temos f() = 5e f() = 5. Peloteorema,temosque: 2 2 + f() = 5. 2 6 5 4 3 2 2 2 3 4 5 0 Figura4.0: Gráfico de f,pertode 2. [2] Determineovalor daconstante ctalque c f()eista,se: f() = { 2 2 se c se > c. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os ites laterais correspondentes. f() = = c e c + c f() = (2 c c 2 ) = 2 c 2. Pelo teorema, devemos ter f() = f();logo,resolvemosaequação c c c2 +c 2 = 0de + ondeobtemos c = ec= 2. Então,podemosdefinir: { { 2 2 se 2 2 se 2 f() = ou f() = se > se > 2.

4.3. LIMITES NO INFINITO 7 3 5 2 4 3 2 2 2 2 3 5 2 0 Figura4.: Gráficos de f para c = ec = 2, respectivamente. [3] Calcule f(),se: f() = { 2 se < 3 se. Utilizando o teorema anterior, basta calcular os ites laterais correspondentes: f() = 3 e + f() =. Logo, f()nãoeiste. [4] A função degrau unitário é definida como: { 0 se < c u c () = se c, onde c R. Logo, c u c() = 0e c + u c() = ; logo, c u c ()não eiste. 4.3 Limites no Infinito Definição 4.3.. Seja f : (a,+ ) R. Diz-se que: f() = L + quandopara todo ε > 0, eiste A > 0tal que f() L < εse > A. 2. Seja f : (,b) R. Diz-se que: f() = L quandopara todo ε > 0, eiste B > 0tal que f() L < ε se < B.

72 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Proposição4.3. Para todo númeronatural nepara b R {0}, tem-se: b. + n = 0. b 2. n = 0. Figura4.2: Gráficos de f() = b paradiferentes b e n. n Proposição 4.4. Se f()e g() eistem, então, para todo α, β R: ± ± [ ]. α f() + β g() = α f() + β g(), ± ± ± [ ] [ ][ ] 2. f()g() = f() g(), ± ± ± f() 3. ± g() = ± f() ± se g() 0. g(), ± Eemplo 4.5. [] Calcule + ( 3 3 + 5). Aplicando diretamente a proposição anterior: + ( 3 3 + 5) ( 3 ) = + + 3 5 = 0 + 5 = 5. +

4.3. LIMITES NO INFINITO 73 5 [2] Calcule + 2. Aplicando diretamente a proposição anterior: Figura4.3: Gráfico de f quando +. + 5 2 = 5 + 2 = 0. 4.3. Cálculo de Limites no Infinito de Funções Racionais Proposição 4.5. Seja f() = P() Q(), onde P() = a n n + a n n +... + a 0 e Q() = b m m + b m m +... + b 0 são polinômios de coeficientes reais de graus nem,respectivamente, isto é a n 0eb m 0. Então: De fato: P() ± Q() = a n b m P() Q() = a n n + a n n +... + a 0 se n = m 0 se n < m [ b m m + b m m = n an + a n +... + a 0 +... + b 0 n ] m [ b m + b m +... + b 0 m ]. Aplicando ite easpropriedadesdaproposição4.4,obtemosoresultado. Para n > m,vejao próimo parágrafo. Eemplo 4.6. 3 + [] Calcule + 4 + 5 3 + + 2. 3 + Como n < m,temos: + 4 + 5 3 + + 2 = 0.

74 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 2 + 3 [2] Calcule 3 + 2. 2 + 3 Como n = m,temos: 3 + 2 = 2 3. + [3] Calcule + 2 5. Neste problema, a função não é racional, mas utilizaremos a mesma idéia dos eercícios anteriores: + + 2 5 = ( + ) 2 + 2 5 = 2 + 2 + + 2 5 + [4] Calcule 2 5. = + 2 + 2 + 2 5 = =. Aparentemente este ite é análogo ao do eemplo[3]; mas devemos ter cuidado, pois,,significa que < 0; logo,consideramos 2 = : + 2 5 = + 5 2 =. 4.4 Limites Infinitos Seja f uma função definida num domínio D, que pode ser um intervalo ou uma reunião de intervalos. Seja a um ponto que não pertence necessariamente a D, mas tal que nas proimidades de a eistam pontos de D; em outras palavras, qualquer intervalo aberto que contem a intersecta D de forma não vazia. Definição 4.4.. Diz-se que f() = +,quando para todo A > 0,eiste δ > 0 tal que f() > A, se D e 0 < a < δ. 2. Diz-se que f() =,quandoparatodo B > 0,eiste δ > 0talque f() < B,se D e 0 < a < δ. Analogamente podemos definir ites laterais infinitos. Assim: Diz-se que f() = +, quando paratodoa > 0, eiste δ > 0 tal que f() > A se a δ < < a. Diz-se que f() =, quando para todo B > 0, eiste δ > 0 tal que f() < B se + a < < a + δ. Nãoédifícil ver queparatodonúmeronatural n,temos:

4.4. LIMITES INFINITOS 75. 0 + n = +. 2. 0 n = { + se népar se néímpar Proposição 4.6. Sejam f()eg() funçõestais que f() 0e g() = 0. Então f() f(). = + se > 0para valores de próimos de a. g() g() f() f() 2. = se < 0para valores de próimos de a. g() g() Eemplo 4.7. [] Calcule 3 2 ( ) 2. Como (3 2) = e ( ) 2 = 0, observando que se > 2, mas, então 3 3 2 > 0,aplicando oteorema,temos: ( ) 2 [2] Calcule 2 2 5 ( 2) 2. 3 2 ( ) 2 = +. Como (2 5) = e ( 2) 2 = 0, observando que se < 5, mas 2, então 2 2 2 5 < 0, aplicando oteorema,temos: ( 2) 2 2 2 5 ( 2) 2 =. Analogamente podemos definir outros tipos de ites. Como eercício, defina os seguintes ites: f() = +, f() = e f() = +, f() =. + + Corolário 4.3. Para funções racionais, temos: P() ± Q() = ± se n > m a n se n = m. b m 0 se n < m

76 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Eemplo 4.8. [ [] 5 + 3 3 + + ]. Como [ + 3 + + 2 + 4 + ] 5 = ; temos, [ 5 + 3 3 + + ] = [ + + 5 + 3 2 + 4 + ] 5 = + 5 = +. [ [2] 5 + 3 3 + + ]. Como [ + 3 2 + 4 + ] 5 = ; temos, [ 5 + 3 3 + + ] = [ 5 + 3 2 + 4 + ] 5 = 5 =. [ [3] 6 + 3 + ]. Como [ 6 + 3 + ] = 6 [ [4] + 5 + 4 + 5 3 + 2 ]. [ + 3 + ] 6 = ; temos, [ + 3 + 6 ] Como n > m,pelocorolário anterior: + [ = 6 = +. 5 ] + 4 + 5 3 + 2 = +. 4.5 Símbolos de Indeterminação Nas operações com ites, muitas vezes aparecem os símbolos:, 0,, 0 0, 00,, 0 chamados símbolos de indeterminação. Quando aparece um destes símbolos no cálculo de um ite, nada se pode dizer sobre este ite. Ele poderá eistir ou não, dependendo da epressão da qual se está calculando o ite. Eemplo 4.9. [] Se f() = + mas ( f() g() ) =. ( ) 2 e g() = ( ) 2, onde f e g sãodefinidasem R {}, então, f() = g() = +, [2] Se f() = + ( ) 2 e g() = ( ) 2, onde f e g são definidas em R {}, então, ( ) f() = g() = +,mas f() g() não eiste.

4.6. LIMITES FUNDAMENTAIS 77 4.6 Limites Fundamentais [] Primeiro ite fundamental: ± ( ) + Façamos uma tabelausandoafunção f() = ( + ) > 0 f() < 0 f() 0 2.59374 0 2 2.7048 0 3 2.7692 0 4 2.785 0 5 2.7827 0 2.86797 0 2 2.73200 0 3 2.7964 0 4 2.7842 0 5 2.7829 6 5 4 3 2 4 2 0 2 4 Figura4.4: Gráfico de f() = ( + ) para 0ey = e. É possível provar que: ± onde e 2.7828... éonúmero deeuler. ( ) + = e, A prova direta desta propriedade poderá ser encontrada na bibliografia intermediária ou avançada. [2] Segundo ite fundamental. Seja a R, a > 0, a, então: 0 (a ) = ln(a) Em particular, eéaúnica basedaeponencialtalque: 0 (e ) = ln(e) =

78 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Eemplo 4.0. ( ) [] Calcule +. Seja = 0 t ; se 0então t ± ;logo: ( ) ( + ) t = + = e. 0 t ± t ( b ),onde [2] Calcule + b éum númeroreal. ± Seja b = t,então: ± ( + b ) = [ t ± ( ),onde [3] Calcule + b é umnúmero real. ± + b Seja + b = t,então: ( + 2 [4] Calcule ± ± ( + ± + b ) +b,onde b éum númeroreal. ( + 2 a [5] Verifique que = ln(a). 0 ] ( ) b t + = e b. t ) ( ) t b = + = e. t ± t ) +b ( 3 ) ( 3 ) b = + + = e 3. ± ± Seja t = a ;então ln(a ) = ln(t+);logo ln(a) = ln(t+)e = temosque t 0e: a = 0 t 0 t ln(t + ) ln(a) = ln(a) t 0 a b [6] Calcule,onde a, b > 0ea,b. 0 a b 0 4.7 Assíntotas = 0 a + b ln(t + ). Quando 0 ln(a) = ln(a) t ln(t + ) ln(( + t) t ) = ln(a). = 0 (a b t 0 ) (a) = ln(a) ln(b) = ln. b Definição 4.5. A reta y = b é uma assíntota horizontal ao gráfico da função y = f() se pelo menos uma das seguintes afirmações é verdadeira: f() = b ou f() = b. +

4.7. ASSÍNTOTAS 79 Eemplo 4.. [] Esboce o gráfico da função logística: L(t) = Dom(L) = Reacurvapassapor (0, A + B e Ct onde A, B, C R. A ). Poroutrolado: + B L(t) = A; t + Logo, y = A éumaassíntotahorizontal. L(t) = 0;logo, y = 0éumaassíntotahorizontal. t No caso em que L = L(t) descreve o crescimento de uma população, o valor A é dito valor ite da população e corresponde ao número máimo de indivíduos que um ecossistema pode suportar. y Figura 4.5: Gráfico da função logística. [2] A função degompertzédadapor: N(t) = ca Rt, 0 < R <. Apliquemos logaritmo a ambos os lados dafunção de Gompertz: ln(n(t)) = ln(c) + ln(a) R t ; logo: t + Rt = 0 = N(t) = c, t + istoé, y = céumaassíntotahorizontalde N(t)

80 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Figura 4.6: Curva de Gompertz. Definição 4.6. A reta = a éumaassíntota vertical aográfico dafunção y = f()se pelo menosuma das seguintes afirmações é verdadeira: f() = ± + ou f() = ±. Em geral,seodom(f) = R,entãoográfico de f não possuiassíntotasverticais. 4.7. Esboço Aproimado de Funções Racionais Seja f() = P() talque a / Dom(f),istoé, Q(a) = 0; então: Q() Q() = ( a) n Q (), n > e Q (a) 0; analogamente, se P(a) = 0, então P() = ( a) m P (), m 0 e P (a) 0. Se m < n,fazendo k = n m,temos: onde f () = P () Q () f() = ( a) k f (), éumafunção definidaem a. Então f() =. ± Figura4.7: Gráficos de f aoredordoponto a, para k ímpar e k par e f (a) > 0.

4.7. ASSÍNTOTAS 8 Figura4.8: Gráficos de f ao redordoponto a,para k ímpar e k par e f (a) < 0. Logo, a função possui uma assíntota vertical em cada raiz do polinômio Q(). Eemplo 4.2. [] Esboceográfico de y = 2. Dom(f) = R {,} eacurva passapor (0,0). Poroutrolado: onde f () = f() = f (), + ; k = e f () > 0; então, f() = +, f() =, Analoga- + mente: onde f () = f() = + f (), ; k = ef ( ) > 0, então: f() = + e f() = + logo, = e= são assíntotasverticais. Poroutrolado, f() = 0;logo, y = 0éuma ± assíntota horizontal. 2 4 2 2 4 2 Figura4.9: Gráfico de y = 2.

82 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES [2] Esboceográficode y = 2 2. Dom(f) = R {, }eacurva passapor (0,0). Poroutrolado: f() = f (), onde f () = + ; k = e f () > 0; então, f() = +, f() =. Analoga- + mente: 2 f() = + f (), onde f () = 2 ; k = e f ( ) < 0; então, f() = e f() = + ; + logo = e = são assíntotasverticais. Por outro lado, f() = ; logo, y = é uma ± assíntota horizontal. 2 4 2 2 4 2 Figura4.20: gráfico de y = 2 2. 4.8 Continuidade A noção de continuidade em Matemática é a que utilizamos no dia a dia, isto é, onde não há interrupção ou, então, onde não eistem partes separadas umas das outras. Nos parágrafos anteriores, estudamos o comportamento de uma função y = f() para valores de próimos de um ponto a. Pode acontecer que o ite de f() quando tende para a eista, mas que f não seja definida em a; ou ainda, pode acontecer que o ite seja diferente de f(a). Estudaremos, agora, uma classe especial de funções, onde se verifica que: f() = f(a).

4.8. CONTINUIDADE 83 Definição4.7. Seja f umafunçãoea Dom(f),onde Dom(f)éumintervalo abertoouumareunião de intervalos abertos. f édita contínuaem a,se:. f()eiste. 2. f() = f(a). Se f não verifica qualquerdas condiçõesdadefinição, f éditadescontínuaem a. Eemplo 4.3. [] Considere: 2 se f() = se =. Noteque Dom(f) = R,mas f não écontínuaem. De fato, f() = ( + ) = 2 f(). Vejaodesenho: 2 Figura 4.2: Eemplo[]. Observe que se redefinirmos a função, fazendo f() = 2, a função será contínua em todos os pontos de R. Verifique este fato. [2] Seja: u c () = { se c 0 se < c. A função degrauunitário y = u c () nãoécontínuaem c, poisnãoeiste c u c ().

84 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES c Figura 4.22: Função degrau unitário. Intuitivamente, a continuidade de uma função em um ponto indica que o gráfico da função não apresenta saltos nesse ponto(veja o desenho anterior). [3] f() = 2 éumafunção contínuaemtodopontodeseudomínio. De fato f() = + se e 0 f() = 0 + = f( 0 ). [4] Seja 2 se f() = A + B se < < 3 2 se 3. Determine A e B tais que f sejaumafunção contínuaem R. Os pontos problemáticos do domínio de f são = e = 3. Utilizando a definição, f é contínua se: f() = + f() f() = f(), 3 3 + que é equivalente ao sistema: { A + B = 2 3A + B = 2; logo, A = eb =. Então: 2 se f() = se < < 3 2 se 3.

4.8. CONTINUIDADE 85 2 6 4 2 2 4 6 8 2 Figura4.23: Gráfico de f doeemplo[4]. A continuidadetambémpodeserepressaemfunção de εeδ. De fato, f() = f(a) significa que: para todo ε > 0 eiste δ > 0 tal que, se Dom(f) e a < δ, então f() f(a) < ε. Em outras palavras, f é contínua em a se, e somente se, para todo ε > 0, eiste δ > 0 tal que f() (f(a) ε,f(a) + ε)desdeque (a δ,a + δ) Dom(f). Proposição 4.7. Sejam f e g funçõescontínuasnoponto a. Então:. αf + β g são contínuasem a, para todo α, β R. 2. f g é contínuaem a. 3. f g écontínuaem a, se a Dom( f ). g As provas destas propriedades decorrem imediatamente das definições. Definição 4.8. Uma função f é dita contínua em A R se f é contínua em cada ponto de A. Se f é contínuaem A e B A,então, f écontínuaem B. Eemplo 4.4. [] Os polinômios são funções contínuas em R, pois são epressos por somas e produtos de funções contínuas em R. [2] As funções racionais são funções contínuas no seu domínio. [3] As funções eponenciais são funções contínuas em R. [4] As funções logarítmicas são funções contínuas em (0, + ). Proposição 4.8. Sejam f e g funçõestais que f() = b e g écontínuanoponto b. Então: ( ) ( g f () = g f() )

86 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES A prova segue das definições. Eemplo 4.5. Como aplicação direta desta propriedade temos: [] Afunção g() = e écontínuaem R;logo,seeiste f(),então: ef() = e f(). [2] Afunção g() = ln()écontínuaem (0,+ ); logo,se f() (0,+ ), então: [ 5 + 3 ] + [3] ln 2 + e 2 [4] [ = ln ( ) + = e = e 0 =. ln( f() ) = ln ( f() ). 5 + 3 ] + 2 + = ln ( 3). 2 Teorema 4.4. Sejam f e g funções tais que g f esteja bem definida. Se f é contínua no ponto a e g é contínuaem f(a), então g f écontínuaem a. Eemplo 4.6. []Afunção h() = 2 +2+ éumafunçãocontínuaem R,pois héacompostadasseguintes funções: f() = 2 + 2 + eg() = ; ambas funçõessãocontínuasem R. (Verifique!). [2] Afunção h() = e 2 +5+2 écontínua. (Verifique!). O teorema seguinte estabelece que, com hipóteses adequadas, uma função f, definida num intervalo fechado [a,b], assume todos os valores entre f(a) e f(b); em outras palavras, para que f passe de f(a) a f(b) tem que passar por todos os valores intermediários. A definição anterior de continuidade foi feita considerando como domínios intervalos abertos ou reunião de intervalos abertos; então necessitamos da seguinte definição: Definição 4.9. Seja f : [a,b] R; f écontínuaem [a,b] se:. f écontínuaem (a,b). 2. f()eiste e f() = f(a). + + 3. f()eiste e f() = f(b). b b As condições 2 e 3, são chamadas continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectivamente.

4.8. CONTINUIDADE 87 Teorema 4.5. (dovalorintermediário) Se f : [a,b] R éumafunçãocontínuaem [a,b] e f(a) < d < f(b) ou f(b) < d < f(a), então eiste c (a,b) tal que f(c) = d. Para aprova, veja[ta] ou [?]. Eemplo 4.7. Seja f : [,] Rtal que f() = 3 4 + + 2; então f assumeovalor 3 2. De fato f é contínua e 2 = f( ) < 3 2 < f() = 3 2; logo, do teorema, temos que eiste c (,) talque f(c) = 3 2..5.0 0.5.0 0.5 0.5.0 Figura 4.24: Corolário 4.6. Seja f : [a,b] R uma função contínua em [a,b]. Se f(a) e f(b) tem sinais opostos, ou seja f(a)f(b) < 0,então eiste c (a,b) tal que f(c) = 0. a c c c b Figura 4.25: Aplicações Este resultado pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar. De fato, seja f() = n + a n +... + a n + a n

88 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES umafunção polinomial degrau nímpar, a i R. Para os 0, escrevemos: [ f() = n + a +... + a ] n n. [ a Como + ± +... + a n ] = ; então, n f() = + e f() =, + pois, néímpar. Logo,eistem < 2 taisque f( ) < 0ef( 2 ) > 0. f écontínuanointervalo [, 2 ]; pelocorolário, eiste c (, 2 )talque f(c) = 0. Se népar,aconclusão é falsa. Opolinômio f() = 2 + nãopossuiraízesreais. Eemplo 4.8. [] Aequação 3 4 + 2 = 0possui 3 raízesreais distintas. De fato, a função f() = 3 4 + 2 é contínua em R; logo, é contínua em qualquer intervalo fechado. Considere: 2 f( ) f( 2 ) Conclusão -3-2 -26 Eiste c ( 3, 2) tal que f(c ) = 0. 0-2 Eiste c (0,) talque f(c 2 ) = 0. 2-2 Eiste c 3 (,2) talque f(c 3 ) = 0. 2 2 2 Figura 4.26: Eemplo[] [2] A equação 2 ln( 2 + ) + 3 log 6 (e ) 20 no intervalo [, 2]. = 0 possui pelo menos 4 raízes reais distintas De fato,afunção f() = 2 ln( 2 + ) + 3 log 6 (e ) écontínuaem [,2] e 20 f( ) 0.26, f( 0.5) 0.072, f(0) = 0.05, f(0.5) 0.23 e f(2) 2.542; então:

4.8. CONTINUIDADE 89 2 f( ) f( 2 ) Conclusão 0.5 0.09 Eiste c (, 0.5) talque f(c ) = 0. 0.5 0 0.003 Eiste c ( 0.5,0) talque f(c 2 ) = 0. 0 0.5 0.0 Eiste c 3 (0,0.5) tal que f(c 3 ) = 0. 0.5 2 0.586 Eiste c 4 (0.5,2) tal que f(c 4 ) = 0. 2 Figura 4.27: Eemplo[2] O seguinte algoritmo serve para determinar aproimadamente as raízes de uma equação, utilizando o corolário: Seja f contínuaem [a,b]. i) Se f(a)f(b) < 0, então,eistepelomenosum c (a,b) talque f(c) = 0. ii) Considere: m = a + b 2 ; se f(m ) = 0, achamos araiz. Caso contrário, f(a)f(m ) < 0ou f(m )f(b) < 0. iii) Se f(a)f(m ) < 0, então, f() = 0temsolução em [a,m ]. Considere: m 2 = a + m ; 2 se f(m 2 ) = 0, achamos araiz. Caso contrário f(a)f(m 2 ) < 0 ou f(m 2 )f(m ) < 0. iv) Se f(m 2 )f(m ) < 0, então, f() = 0temsolução em [m 2,m ]. Considere: m 3 = m + m 2 ; 2 se f(m 3 ) = 0, achamos araiz. Caso contrário f(m 3 )f(m 2 ) < 0ou f(m 3 )f(m ) < 0. Continuando obtemos m n tal que f(c) f(m n ) é menor que a metade do comprimento do último intervalo.

90 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Eemplo 4.9. Noeemplo[] temos f() = 3 4 + 2. i) f()f(2) < 0; seja m = 3 2, como f(m ) 0 e f(m )f(2) < 0, então, procuramos a solução nointervalo [m,2]; seja: m 2 = m + 2 = 7 2 4. ii)como f(m 2 ) 0ef(m )f(m 2 ) < 0,então,procuramosasoluçãonointervalo [m,m 2 ];seja: m 3 = m + m 2 2 = 3 8. Assim, continuando podemos, por eemplo, obter m 4 = 27445 6384 =.67509 nointervalo [.67504,.6757] etalque f(m 4 ) = 0.0000928.

4.9. EXERCÍCIOS 9 4.9 Eercícios. Calcule os seguintes ites usando tabelas: (a) (3 8) (b) (3 2) (c) 5 + 2 (d) 4 2 + 3 (e) 2 + (f) 3 2 2 + 5 4 ( (g) 2 2 ) 0 000 (h) ( + 2) 2 e 2 (i) 0 2 + (j) 0 3 2 + + 2 (k) ( 2 ) 2. Verifique se são corretas as seguintes afirmações: (a) 2 + 6 2 2 + 6 = + 3 (b) = ( + 3) 2 2 2 3. Calcule os seguintes ites: (a) 4 5 + 9 + 7 3 6 + 3 + 3 + 3 2 9 2 (b) 2 3 6 2 9 (c) 3 2 3 2 2 3 + (d) 2 a 2 (e) 0 2 + 2a + a 2 6 + 2 (f) 0 0 7 2 2 (g) 2 2 2 (h) h 0 (t + h) 2 t 2 h 4 (i) 3 2 4 + 8 3 (j) 2 2 2 (k) (l) 0 + 6 2 + 3 + 3 9 + 5 + 4 2 3 + 4 2 (m) 0 2 3 (n) 7 2 49 4 + 3 (o) 2 (p) 2 + 2 + 2 a (q) 2 a 2 a + a (r) 2 a 2 (s) 2 2 2 + 5 7 3 + 8 (t) 2 + 2

92 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 4. Verifique se os seguintes ites eistem: 3 (a) (b) 3 3 2 3 + 2 (c) 3 6 2 + 6 5 (d) 5 2 5 2 + 3 4 (e) 4 3 + 4 2 3 2 (f) 8 8 3 2 (g) b 0 + a 5. Calcule os seguintes ites no infinito: 2 3 + 5 + (a) + 4 + 5 3 + 3 3 4 2 (b) + 8 + 3 + 4 2 2 + 3 (c) 3 2 + + (d) + 2 + 3 + (e) + (f) (g) + 2 + 3 + 2 2 + 3 + 2 + 3 2 + 3 (h) ( 2 + ) + 3 (i) 2 + 3 3 (j) 3 + 2 + 2 + + (k) + ( + + 3) 5 + (l) + 6 + (m) + (n) + (o) + (p) + (q) + (r) + (s) + (t) + 3 + + 3 9 + 4 + 2 3 2 3 + 5 2 2 2 + 3 3 + 3 2 + 8 2 + 4 2 4 + 3 3 4 + + 4 5 6. Calcule os seguintes ites infinitos: 3 + 3 + (a) + 2 2 + + (b) 2 + 2 + 3 2 4 (c) + 3 2 2 + (d) + (5 4 + 2 5 ) 5 3 6 + (e) 6 2 + + (f) m + 5 (g) 3 + 3

4.9. EXERCÍCIOS 93 2 + (h) 0 + 2 + 3 (i) + 2 2 + 3 (j) 2 2 3 (k) 3 + 2 6 + 9 2 4 (l) 2 + 2 4 + 4 ln() (m) 0 + (n) 0 ln( ) 2 (o) 2 + 4 9 2 3 (p) 0 + (q) + + (r) 3 5 3 5 7. Se f() = 3 5 e g() = 2 2 3,calcule: (a) (f + g)() (b) (g f)() (c) (g f)() (f ) (d) () g (g ) (e) () f (f) (f f)() (g) (f g)() 2 (h) (g f)() 2 (i) (f g f)() 3 2 (j) 2 ln( f() ) f() f(a) f(t + a) f(a) 8. Calcule e, se: a t 0 t (a) f() = 2, a = 2 (b) f() = 2 +, a = 2 (c) f() = 3 2, a = 0 (d) f() = 2, a = 2 (e) f() =, a = (f) f() = ( ), a = (g) f() = ( 3) 2, a = (h) f() = ln(), a = (i) f() = e 2, a = 0 9. O custo em u.m.(unidades monetárias) para remover % dos detritos tóicos despejados numaterro édadopor: C() = 0.8 00, para 0 < < 00. (a) Calcule 00 S(). (b) Interprete o resultado obtido.

94 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 0. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo bairro, após tdias édadopor: L(t) = 00000 + 9900e 0.8t. (a) Determine a quantidade máima de indivíduos atingidos pela doença. (b) Esboceográficode L.. Esboce o gráfico das seguintes funções: (a) y = ( + )( 3 ) (b) y = ( + )( 3 ) (c) y = ( )( 3 + ) (d) y = ( )( 3 + ) (e) y = ( 3)( + 2)( 2 + ) (f) y = 2 ( 3)( + 2)( 2 ) + 2. Use a continuidade da função para calcular o seguinte ite: 4 + 3. Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados: 2 se 0 (a) f() =,no ponto = 0. L se = 0 2 9 se 3 (b) f() = 3, noponto = 3. L se = 3 { + 2L se (c) f() = L 2, noponto =. se < { 4 3 se < 0 (d) f() =,noponto = 0. 2L + se 0 e se 0 (e) f() =, noponto = 0. L se = 0 { 4 + 3 se (f) f() = 9 L 2, noponto =. se > 4. Verifique se as seguintes funções são contínuas.

4.9. EXERCÍCIOS 95 2 5 + 6 (b) f() = 2 2, 3 5 + 6 2 < = 2 (d) f() = ln(2 2 ) 9 = 3 > + 5 (22 + 3) (c) f() = 3 (e) f() = 6 5 < < 3 = 3 3 5. Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real: (a) 3 + 2 4 5 = 0 (b) 2 + 2 = 0 (c) 5 3 + 2 = 0 (d) 7 + 5 + = 0

96 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES