Transformada Z Transformada Z 2 Transformada Z - TZ Processamento Digital de Sinais É uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) Útil para representação e análise de sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) Definição: Seja uma sequência x[n]. Sua TZ é definida por: Notas de Aula Transformada Z E tem-se o par transformado: x[n] x[n]z n Z X(z) z é uma variável complexa, normalmente representada em coordenadas polares: z = re jω E se r =, z = e jω, e: Ricardo Tokio Higuti x[n]e jωn = X(e jω ) Ou seja, (em determinados casos, como se verá adiante) a DTFT de x[n] pode ser obtida a partir da TZ calculada em z = e jω, que define uma circunferência de raio unitário (CRU) no plano z complexo. Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 989/999.
Transformada Z 3 Convergência da TZ Num caso mais geral, a variável z pode assumir um valor complexo qualquer: z = re jω. Sua TZ fica: x[n](re jω ) n = (x[n]r n )e jωn Ou seja, tem-se a DTFT da sequência x[n] multiplicada pela sequência exponencial r n. Pode-se notar que a DTFT dessa nova sequência pode convergir ou não, dependendo da sequência x[n], do valor de r e do intervalo de n considerado. A partir disso define-se a região de convergência da TZ. Região de Convergência (RC) Como viu-se anteriormente, para ter-se convergência absoluta da DTFT de uma sequência, esta deve obedecer a: X x[n]r n < Num caso mais geral, a TZ deve convergir, logo: X x[n]z n = x[n] z n < Assim, se para um determinado valor de z = z a somatória acima converge, então z faz parte da região de convergência da TZ de x[n]. O conjunto de valores de z para os quais a TZ converge é chamada de Região de Convergência (RC). Transformada Z 4 Região de Convergência da TZ Se z = re jω 0 faz parte da RC, então qualquer valor z que tenha magnitude r também fará parte da RC, definindo regiões concêntricas no plano complexo z. Se z = fizer parte da RC, então tem-se que: X x[n] < ou seja, a DTFT da sequência converge. Por outro lado, se z = não fizer parte da RC, então a DTFT não converge de forma absoluta, o que não significa que a DTFT não exista. Observações: A TZ é uma série de Laurent: é uma função analítica dentro da RC, ou seja, a TZ e todas as suas derivadas são funções contínuas da variável z. Não é estritamente correto dizer que a DTFT é a TZ calculada sobre a CRU, pois isso não é válido para todas as sequências A TZ é útil quando pode ser expressa em forma fechada, como uma relação de polinômios em z: P (z) Q(z) podendo-se relacionar com os chamados pólos e zeros de X(z).
Transformada Z 5 Exemplo sequência unilateral à direita ou sequência causal: x[n] = 0 para n < 0. Solução: Para convergência, é necessário que: o que é alcançado quando: ou seja, a RC é z > a, e a TZ é: n=0 x[n] = a n u[n] a n u[n]z n X = (az ) n n=0 X X(z) az n <, n=0 az <, ou z > a X (az ) n = az = z z a, E há um pólo em z = a e um zero em z = 0. z > a Transformada Z 6 Exemplo 2 sequência unilateral à esquerda ou sequência não-causal: x[n] = 0 para n > 0. Solução: x[n] = a n u[ n ] a n u[ n ]z n = X = a n z n X = (a z) n n= Para convergência, é necessário que: ou seja, a RC é z < a, e a TZ é: n= a z <, ou z < a a z a z = az = z z a, X a n z n z < a Nota-se que o resultado é o mesmo do caso anterior, mas com uma RC diferente. Uma determinada sequência é unicamente determinada por sua transformada z E sua região de convergência.
Transformada Z 7 Transformada Z 8 Exemplo 3 Soma de duas sequências unilaterais à direita x[n] = (/2) n u[n] + ( /3) n u[n] Cada sequência tem uma TZ e uma RC: (/2) n u[n] ( /3) n u[n] Z (/2)z, z > /2 Z ( /3)z, z > /3 Como a TZ é uma operação linear, a TZ da soma das duas sequências é a soma das TZ. No caso, as RC devem valer para ambas as transformadas: (/2)z + ( /3)z, z > /2 Exemplo 4 Sequência bilateral: pelo menos uma amostra diferente de zero para n < 0 e pelo menos uma amostra diferente de zero para n > 0. x[n] = ( /3) n u[n] (/2) n u[ n ] Cada sequência tem uma TZ e uma RC: ( /3) n u[n] (/2) n u[ n ] Z ( /3)z, z > /3 Z (/2)z, z < /2 A RC é a intersecção das duas regiões, formando um anel no plano z: (/2)z + ( /3)z, /3 < z < /2
Transformada Z 9 Exemplo 5 sequência de duração finita: Neste caso: x[n] = N X n=0 A RC neste caso deve ser tal que N X Pólos: z = 0, de ordem N a n, n = 0..N 0, caso contrário a n z n = N X (az ) n n=0 = (az ) N = z N a N az z N z a n=0 Zeros: z k = ae j(2πk/n), k =..N az n <, ou a < e z 6= 0. Transformada Z 0 Propriedades da RC Por meio dos exemplos, pode-se tirar algumas conclusões a respeito da RC:. No caso geral, a RC é um disco no plano z, centrado na origem. 2. A DTFT de x[n] converge de forma absoluta se e somente se a CRU fizer parte da RC. 3. A RC não pode conter pólos. 4. Se x[n] é de duração finita, a RC é todo o plano z, exceto z = 0 e/ou z =. 5. Se x[n] é uma sequência causal, a RC é externa ao pólo de maior magnitude. 6. Se x[n] é uma sequência não-causal, a RC é interna ao pólo de menor magnitude. 7. Se x[n] é uma sequência bilateral, a RC é um anel, delimitado por pólos. 8. A RC deve ser uma região conexa.
Transformada Z Região de Convergência Transformada Z 2 TZ Inversa Sequência causal duração finita -2 0 2 n não-causal duração finita -2 0 2 n bilateral duração finita -2 0 2 n Região de Convergência z > 0 (pólos na origem) z < (pólos no inf.) 0 < z < (pólos em zero e infinito). Por inspeção, usando tabelas 2. Expansão em série de potências A partir da definição da TZ: x[n]z n = + x[ 2]z 2 + x[ ]z + x[0] + x[]z + x[2]z 2 + 3. Expansão em frações parciais Quando a TZ for escrita em termos de uma fração de polinômios em z, podese fazer a expansão em frações parciais: MX k=0 NX k=0 b k z k a k z k = Y M b 0 k= Y N a 0 k= ( c k z ) ( d k z ) na qual c k s são os zeros e d k s são os pólos de X(z). Caso : M < N e todos os pólos de primeira ordem. causal duração infinita... -2 0 2 n r z > r (pólo de maior magnitude) com Neste caso, pode-se escrever: N X k= A k d k z... não-causal duração infinita r z < r (pólo de menor magnitude) A k = ( d k z )X(z) z =d k -2 0 2 n...... bilateral duração infinita r2 r r < z < r2-2 0 2 n
Transformada Z 3 TZ Inversa Caso 2: M N e todos os pólos de primeira ordem. Neste caso, deve-se primeiro fazer uma divisão polinomial, de forma que: P (z) Q(z) = M N X r=0 B r z r + R(z) Q(z) e a ordem de R(z) é menor que N recaindo-se no Caso. A expansão completa fica: com M N X r=0 B r z r + N X k= A k = ( d k z ) R(z) Q(z) A k d k z z =d k Transformada Z 4 TZ Inversa Caso 3: M N e um pólo em z = d i com multiplicidade s. Neste caso, pode-se escrever: na qual M N X C m = r=0 B r z r + (s m)!( d i ) s m N X k=, k6=i A k ( d k z ) + sx d s m m= dw s m[( d iw) s X(w )] C m ( d i z ) m w=d i
Transformada Z 5 TZ Inversa - Exercícios Determinar a sequência x[n] cuja TZ é dada por:. 4z 5 + z 7, z > 0 2. z 2 + z 4, 0 < z < 3. + 3 2 z z 2, z > 2 4. + 3 2 z z 2, 2 < z < 2 5. + 2z + z 2 3 2 z + 2z 2, z > 6. z 2z 2 7 2 z 2z 2, z < 2 + z 2 7. z + z > 2z 2, 2 + z 2 8. z + 4 z 2, z < 2 Calcule a TZ de x[n] = a n u[ n] Transformada Z 6 TZ Inversa - Exemplo Determinar a sequência x[n] cuja TZ é dada por: + 2z + z 2 3 2 z + 2 z 2 = ( + z ) 2 ( 2 z )( z ), z > Como M = N = 2, deve-se fazer a divisão polinomial: B 0 + D(z) ( 2 z )( z ) = 2 + 5z ( 2 z )( z ) Fazendo a expansão em frações parciais: em que 2 + A = 5z z A 2 z + A 2 z = 9 z=/2 = 9 A 2 = 5z 2 z = 4 z= /2 = 8 Calcule a TZ de x[n] = (a n u[n]) u[n] Logo, Como: Fica-se com: 2 + (/2) n u[n] u[n] 9 + 8 2 z z, z > 2δ[n] Z 2 Z (/2)z, z > /2 Z z, z > x[n] = 2δ[n] 9(/2) n u[n] + 8u[n]
Transformada Z 7 TZ Inversa - Definição Seja a TZ de uma sequência x[n], e sua RC: k= x[k]z k, Multiplicando ambos os lados por z n e integrando por um contorno fechado C no plano z, dentro da RC e englobando-se a origem, fica-se com: I C X(z)zn dz = I X C k= R x x[k]z n k dz Como a série converge dentro da RC, pode-se trocar a ordem de integração com a somatória, ficando-se com: I C X(z)zn dz = k= Usando o teorema de integral de Cauchy: I 2πj C zn k dz = I x[k] C zn k dz, k = n 0, k 6= n em que C é um contorno que engloba a origem. Fica-se então com: x[n] = I 2πj C X(z)zn dz Caso a RC contenha o CRU, então pode-se escolher o caminho z = e jω, e: x[n] = Z π 2π π X(ejω )e jωn dω Transformada Z 8 TZ Inversa A integral de linha é mais facilmente calculada usando o teorema de resíduos de Cauchy: x[n] = I 2πj C X(z)zn dz = P [Resíduos de X(z)z n calculados nos pólos no interior de C] Se X(z)z n é uma função racional de z: X(z)z n = Ψ(z) (z d 0 ) s em que X(z)z n tem s pólos em z = d 0 e Ψ(z) não tem nenhum pólo em z = d 0. O resíduo de X(z)z n em z = d 0 é dado por: Res[X(z)z n em z = d 0 ] = (s )! ds Ψ(z) dz s Em particular, se o pólo é de primeira ordem (s = ), Res[X(z)z n em z = d 0 ] = Ψ(d 0 ) z=d 0
Transformada Z 9 Alguns Pares de Transformadas Transformada Z 20 Propriedades da TZ x[n] X(z) R x δ[n] Todo z δ[n n 0 ] z n0 Todo z exceto z = 0 ou Propriedade Sequência TZ RC Linearidade ax[n] + by[n] ax(z) + by (z) R x R y Atraso no tempo x[n n d ] z n d X(z) Rx, exceto z = 0 ou ± a n u[n] a n u[ n ] na n u[n] na n u[ n ] ( a n, 0 n N 0, c.c. az z > a az z < a az ( az ) 2 z > a az ( az ) 2 z < a a N z N az z > 0 Escalonamento em z z n 0 x[n] X(z/z 0 ) z 0 R x Diferenciação em z nx[n] z dx(z) dz Teor. valor inicial x[n] = 0, n < 0 lim z x[0] R x, exceto z = 0 ou ± Convolução no tempo y[n] = x[n] h[n] Y (z) = X(z) H(z) R y R x R h Modulação v[n] = x[n] w[n] V (z) = I X(v)H(z/v)dv j2π C Correlação cruzada r 2 [m] = Teor. Parseval X X R v R x R h x[n]y[n m] R 2 (z) = X(z) Y (z ) R x R y x[n]y [n] = I X(v)Y (/v )v dv j2π C
Transformada Z 2 Calcule a TZ da sequência x[n] = (cos ω 0 n) u[n] Dicas:. Escrever cos ω 0 n usando a identidade de Euler 2. Usar propriedade de escalonamento em z 3. Usar propriedade de linearidade Resolução:. 2. x[n] = ejω 0n 2 e jω0n u[n] + u[n] 2 u[n] z, RC: z > Transformada Z 22 Calcule a TZ inversa de log( + az ), com RC z > a. Calculando-se a derivada de X(z), fica-se com: dx(z) dz Reescrevendo-se da forma: z dx(z) dz = az A TZ inversa de X (z) é: = az 2, z > a + az ( a)z = az X (z), x [n] = ( a) n u[n] z > a Usando-se agora a propriedade de atraso no tempo, juntamente com a propriedade de diferenciação em z, fica-se com: nx[n] = ax [n ] = a( ) n u[n ] 3. e jω 0n u[n] e jω 0n u[n], RC: z > e jω 0 z, RC: z > e jω 0 z 2 e + jω 0 z 2 e jω 0 z Logo: x[n] = ( ) n an u[n ] n = 2 (e jω 0 + e jω 0 )z 2 ( e jω 0 z )( e jω 0 z ) = z cos ω 0 2z cos ω 0 + z 2, RC: z >
Transformada Z 23 Calcule a convolução entre as sequências: x [n] = {, 2,, 2}, para 0 n 3 Transformada Z 24 Calcule a TZ de um trem de pulsos periódico e causal: X p N [n] = δ[n kn] k=0 x 2 [n] = u[n] u[n 3] Fazendo-se a convolução linear entre as sequências, fica-se com o resultado: 4 3.5 Solução:...... 0 N 2N n 3 2.5 x[n]z n 2.5 X = z nn n=0 0.5 0 2 0 2 3 4 5 6 7 amostra n =, RC: z > z N Utilizando-se agora a propriedade da convolução, tem-se que a TZ é a multiplicação entre as transformadas: x 3 [n] = x [n] x 2 [n] X 3 (z) = X (z) X 2 (z) As TZ das sequências x [n] e x 2 [n] são: X (z) = + 2z z 2 + 2z 3, z 6= 0 X 2 (z) = + z + z 2, z 6= 0 Fazendo-se a multiplicação, fica-se com: X 3 (z) = + 3z + 2z 2 + 3z 3 + z 4 + 2z 5, z 6= 0 Portanto: x 3 [n] = {, 3, 2, 3,, 2}, para 0 n 5
Transformada Z 25 Calcule a TZ do seguinte sinal periódico e causal:... 2 3 0 5 0 5 O sinal pode ser escrito como a convolução entre um sinal de duração finita, igual a um período do sinal periódico, com o pulso p N [n] do exemplo anterior: em que: x[n] = x [n] p N [n] x [n] = {0,, 2, 3, 2, }, para 0 n 5 e X (z) = z + 2z 2 + 3z 3 + 2z 4 + z 5, com RC: z 6= 0... n Transformada Z 26 Uma operação utilizada no aumento da taxa de amostragem de sinais é a inserção de zeros entre amostras do sinal. Seja x[n] um sinal que se deseja aumentar a taxa de amostragem. A partir deste sinal, o chamado interpolador com fator L introduz (L ) zeros entre amostras de x[n], produzindo o sinal y[n]: y[n] = x n L! n = 0, ±L, ±2L,... 0 caso contrário Calcule a TZ de y[n] em função de X(z). Y (z) = = = X(z L ) y[n]z n x[n]z nl Se X(z) tem RC: a < z < b, então Y (z) irá convergir para a < z L < b A TZ de x[n] é igual à multiplicação entre as TZs (com N = 6 no trem de impulsos): X (z) P N (z) = z + 2z 2 + 3z 3 + 2z 4 + z 5 z 6 Como a RC de X (z) é z 6= 0 e a RC de P 6 (z) é z >, a RC de X(z) é z >. ou a /L < z < b /L
Transformada Z 27 Calcule a TZ inversa de: Y (z) = a 0 z 0, RC: z > a Fazendo-se a divisão polinomial e utilizando potências negativas de z, pois a sequência é causal, chega-se facilmente a: da qual pode tirar a sequência y[n]. Y (z) = + a 0 z 0 + a 20 z 20 +... a 0 a 20... 0 0 20 30 Resolvendo-se por outro método: chamando-se Nota-se que Pelo resultado do exercício anterior: Como y[n] = x n 0 chega-se ao resultado desejado. y[n] = a 0 z, RC: z > a 0 Y (z) = X(z 0 )! para n = 0, ±0, ±20,... 0 caso contrário x[n] = a 0n u[n] a n para n = 0, ±0, ±20,... 0 caso contrário n Transformada Z 28 Transformada z utilizando a integral de linha: calcule a TZ inversa, por meio da integral de linha. Usando a definição, a sequência x[n] é: az, z > a x[n] = I 2πj C X(z)zn dz = I z n 2πj C az dz = I z n 2πj C z a dz em que C é um círculo de raio maior que a. Para n 0, há apenas um pólo em z = a no interior de C, e portanto os resíduos de X(z)z n calculados em z = a são iguais a a n : x[n] = a n, para n 0 Para n < 0, há outros pólos na origem, além do pólo em z = a. Para n = : Res Res z(z a) em z = a z(z a) em z = 0 = " = Logo, x[ ] = 0. Para n = 2: Res Res " z # z=a z a z 2 (z a) em z = a = a 2 z 2 (z a) em z = 0 = # = a z=0 d[(z a) ] dz = a z=0 = (z a) 2 z=0 = a 2 E x[ 2] = 0, e assim por diante, resultando que x[n] = 0 para n < 0. Portanto: x[n] = a n u[n]