Cálculo Diferencial em

Cálculo Diferencial em Definição de Derivada Seja f uma função real de variável real definida num intervalo aberto que contém c. Chama-se derivada de f em c a caso este limite eista. f c lim ffc c, c Esta definição é equivalente a f c lim fchfc h h0 e a f c lim fcfc 0 c incremento de y f fc fc incremento de y y fcfc razão incremental Diz-se que: f é derivável em c, se f tem derivada (finita ou infinita) em c; f é diferenciável em c, se f tem derivada finita em c; f é diferenciável no intervalo abertoa, b, se f for diferenciável em todos os pontos de a,b. Notações: f ; dy d ; y ; df d ; D f com y f. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 1

Se f é diferenciável em c: Interpretação Geométrica a recta que passa por c, fc e tem declive m é a recta tangente ao gráfico de f no pontoc, fc e é definida por: y fc f c c; a recta normal ao gráfico de f no pontoc, fc é a recta perpendicular à recta tangente nesse ponto e é definida por: se f c 0, y fc 1 f c se f c 0 c. c, Observações: Se f c 0, a recta tangente ao gráfico de f nesse ponto é horizontal e a recta normal é vertical. Se f c ou f c, a recta tangente ao gráfico de f nesse ponto é vertical e a recta normal é horizontal. Se f c é infinito sem sinal determinado, não eiste recta tangente nem recta normal ao gráfico de f nesse ponto. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 2

f 3 y 1 0.5-1 -0.5 0 0 0.5 1 f 0 lim 3 0 0 0 0-0.5-1 g 3 y 1 0.5-1 -0.5 0 0 0.5 1 g 0 lim 3 0 0 0-0.5-1 h 3 2 y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 h 0 lim 3 2 0 0 0-1 -0.5 0 0.5 1 Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 3

Interpretação geométrica dos limites notáveis: f sen f 0 lim sen 1 0 g e g 0 lim e 1 1 0 h ln 1 h 0 lim ln1 1 0 Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 4

Aplicações à Física Considere-se um ponto móvel sobre um eio e st posição do ponto em cada instante t. Sendo t 0 e t dois instantes distintos (com t 0 t), st st 0 tt 0 espaço percorrido tempo gasto representa a velocidade média no intervalo de tempot 0, t. vt 0 lim stst 0 tt tt 0 s t 0 derivada de st em t 0 0 representa a velocidade instantânea no instante t 0. Analogamente, sendo t 0 t, vt vt 0 tt 0 representa a aceleração média no intervalo de tempot 0, t., at 0 lim vtvt 0 tt tt 0 v t 0 derivada de vt em t 0 0 representa a aceleração instantânea no instante t 0. Observação: ffc c - A razão incremental,, representa a taa de variação média da função f no intervalo de etremos e c. - A derivada de f em c, f c lim ffc c c variação instantânea da função f em c., representa a taa de Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 5

Derivadas laterais de f em c: Derivadas Laterais Se D f contém um intervaloc,c, com 0, caso eista f e c lim ffc c c derivada à esquerda de f em c. Se D f contém um intervaloc, c, com 0, caso eista f d c lim ffc c derivada à direita de f em c. c Proposição Uma função definida num intervalo aberto que contém c é derivável em c sse eistem, e são iguais, as derivadas laterais de f em c. Observação: Se f e c f d c, então f não é derivável em c e o gráfico de f não tem recta tangente no ponto c, fc. f diz-se derivável no intervaloa, b (subconjunto de D f ) se for derivável em todos os pontos do intervaloa, b e eistirem f d a e f e b; f diz-se diferenciável no intervaloa, b (contido em D f ) se for diferenciável em todos os pontos do intervalo a, b e eistirem e forem finitas f d a e f e b. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 6

Diferenciabilidade e continuidade Proposição Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c. Observação: O contra-recíproco é verdadeiro, isto é se f não é contínua em c, então f não é diferenciável em c. O recíproco não é verdadeiro, isto é f contínua em c não implica f diferenciável em c. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 7

Regras de derivação Propriedades das operações Se f e g são funções diferenciáveis em a e k, então fg, fg, kf e fg também são diferenciáveis em a e: fg a f a g a; fg a f a g a; kf a kf a, com k ; fg a f aga fag a; Se ga 0, então f g é diferenciável em a e f g a f agafag a g 2 a. Teorema (Derivada da Função Composta) Sejam g diferenciável em a e f diferenciável em ga. Então fg é diferenciável em a e fog a f gag a. Teorema (Derivação da função inversa) Seja f : I uma função estritamente monótona e contínua em I. Se f é diferenciável em a I e f a 0, então f 1 é diferenciável em fa e f 1 fa 1 f a. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 8

Tabela de Derivadas Sendo u e v funções diferenciáveis, k e a constantes reais, k 0; ku ku ; u u 1 u, ; n u u n n u n1 n resulta do anterior, 1 n ; e u u e u ; a u a u u lna, a 0 resulta do anterior, a u e ulna ; u v u v v lnu vu v1 u ; lnu u u ; log a u u, a 0 resulta do anterior, log ulna a u lnu lna senu u cosu; cosu u sen u; tgu u sec 2 1 u recorde que sec u cosu ; cotgu u cosec 2 1 u recorde que cosec u sen u ; sec u u 1 sec utgu resulta de sec u cosu ; cosec u u 1 cosec u cotg u resulta de cosec u sen u ; arcsen u u ; 1u 2 arccosu u ; 1u 2 arctgu u ; 1u 2 arccotgu u. 1u 2 Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 9

Diferencial Seja f : I a, b uma função diferenciável em a, b e tal que a, b. Chama-se acréscimo ou incremento da variável f f f acréscimo ou incremento da função f, correspondente ao acréscimo Interpretação geométrica: f(+ ) f() f y=f() α f () 0 + Seja f diferenciável em. Para valores de pequenos, tem-se f f f f f. A este processo chama-se linearização de f, em torno de. Consiste em aproimar o valor da função em, para pequeno, pelo valor da ordenada do correspondente ponto da recta tangente ao gráfico de f em,f. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 10

Definição Chama-se diferencial de f em relativamente ao acréscimo, ao produto f e escreve-se d f f ou df f ou df f d. Nota: Em resumo, para uma variação, f é o valor eacto de f f f f é o valor eacto da variação de f f f é um valor aproimado de f df f é um valor aproimado da variação de f Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 11

Teoremas Fundamentais Teorema Sejam f : I a,b uma função diferenciável em a, b e c a,b. Se fc é etremo relativo de f, então f c 0. Observação 1: O teorema só se aplica a pontos interiores do intervalo. Observação 2: O recíproco não é verdadeiro - a derivada de uma função pode ser nula num ponto sem que a função tenha um etremo no ponto. Teorema de Rolle Seja f uma função contínua ema, b e diferenciável ema,b. Se fa fb, então eiste c a, b tal que f c 0. Corolário 1 Entre dois zeros de uma função diferenciável num intervalo há pelo menos um zero da sua derivada. Corolário 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função não pode haver mais do que um zero da função. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 12

Teorema de Lagrange Se f é uma função contínua ema,b e diferenciável ema, b, então eiste pelo menos um c a,b tal que f c fb fa ba. Corolário 1 Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange: se f 0, a, b, se se então f é constante no intervalo a, b; f 0, a, b, então f é estritamente crescente no intervalo a,b; f 0, a, b, então f é estritamente decrescente no intervalo a, b. Corolário 2 Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange, f é crescente ema, b sse f 0, a, b, f é decrescente ema,b sse f 0, a, b. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 13

Teorema de Cauchy Se f e g são funções contínuas ema, b e diferenciáveis em a, b, com g 0, a,b, então eiste pelo menos um c a, b tal que fb fa gb ga f c g c. Aplicação a indeterminações do tipo 0 0 ou Corolário (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas funções diferenciáveis ema,b (com a e b finitos ou infinitos) tais que: g 0, a, b; lim f lim g 0 a a a lim f lim g. a ou Então, se eistir lim f, também eiste lim f a g a g limites são iguais. e estes dois Observação: Os símbolos 0 0 0 representam indeterminações. 0 0 1 0 Para aplicar a regra de Cauchy é necessário ter ou transformar a indeterminação eistente numa indeterminação do tipo 0 0 ou. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 14

Derivadas de ordem superior à primeira Seja f : D f uma função diferenciável em a. Se a função derivada de f, f, for diferenciável em a, diz-se que f é duas vezes diferenciável em a e a derivada de f designa-se por segunda derivada de f no ponto a e representa-se por f a, f 2 a, d 2 f a ou 2 d D2 fa. Tem-se f a f a lim f f a a a A derivada de ordem n da função f define-se, por recorrência, do seguinte modo: f 0 a fa, f n a f n1 a, com n. Diz-se que f é n vezes diferenciável no ponto a se eistir e for finita a derivada f n a (o que obriga a que a função e todas as suas derivadas de ordem menor que n sejam diferenciáveis em a. Tem-se assim f n a f n1 a lim fn1 f n1 a a a Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 15

Observação: Para justificar, rigorosamente, a generalidade das propriedades das derivadas de ordem n é necessário recorrer ao seguinte resultado: Princípio de Indução finita Seja Pn uma condição na variável natural n tal que: P1 é verdadeira; para qualquer n, se Pn é verdadeira, então Pn1 é verdadeira. Então Pn é verdadeira para qualquer n. Observação: Diz-se que uma função f é continuamente diferenciável ou de classe C 1 se f for diferenciável e, além disso, a sua derivada for contínua. Se, para algum k, f for k vezes diferenciável e, além disso, f k for uma função contínua, diz-se que f é de classe C k. Se uma função f tiver derivadas contínuas de todas as ordens, diz-se que f de classe C. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 16

Polinómio de Taylor e Fórmula de Taylor Objectivo: Aproimar uma função dada (perto dum ponto) por funções polinomiais. Suponhamos que as derivadas de f, até à ordem n, eistem e são finitas em a. Chama-se polinómio de Taylor de ordem n de f, em a, (ou polinómio de Taylor de ordem n em potências de a) a P n fa f a a f a 2! a 2 f n a n! a n. Chama-se polinómio de Mac-Laurin de ordem n de f (ou polinómio de Mac-Lauirn de ordem n em potências de ) ao polinómio de Taylor de ordem n de f, para a 0, isto é, a P n f0 f 0 f 0 2! 2 f n 0 n! n. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 17

Teorema (Fórmula de Taylor de ordem n de f em a): Seja f uma função definida num intervalo aberto I, contínua e n vezes diferenciável no ponto a I. Então, para qualquer I, f fa f a a f a 2! a 2 f a 3! a 3... f n a n! a n R n onde R n verifica a condição lim a R n a n 0. (Se a 0, chama-se fórmula de Mac-Laurin.) Chama-se resto de ordem n da Fórmula de Taylor de f em a à função R n. Chama-se erro associado à aproimação de f por P n a R n f P n. Observação: Há várias epressões para R n, entre as quais a do resto de Lagrange de ordem n: R n fn1 n1! an1, para algumno intervalo aberto de etremos a e. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 18

Monotonia e etremos Monotonia Recorde-se o corolário do teorema de Lagrange Corolário Seja f é uma função contínua ema, b e diferenciável ema,b: se f 0, a, b, se se então f é constante no intervalo a, b; f 0, a, b, então f é estritamente crescente no intervalo a,b; f 0, a, b, então f é estritamente decrescente no intervalo a, b. Etremos Chamam-se pontos de estacionaridade de uma função f aos pontos em que a sua derivada é nula. Um ponto de estacionaridade pode não ser um etremo de f. Recorde-se que, sendo f uma função diferenciável em a, se f tem um etremo em a então f a 0. Para esclarecer se um ponto de estacionaridade é ou não um etremo da função podem-se analisar as derivadas da função: Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 19

Proposição Sendo a um valor tal que f a 0, tem-se que: se f 0,,a e f 0, a,, para algum a e algum a, então fa é um máimo relativo; se f 0,, a e f 0, a,, para algum a e algum a, então fa é um mínimo relativo. Nota: As condições anteriores garantem a eistência de etremo de f mesmo que f não tenha derivada em a. Proposição Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n 2, tal que a derivada de ordem n é a primeira derivada não nula de f em a, isto é: f a f a... f n1 a 0 e f n a 0. Então: se n é ímpar, fa não é etremo de f. se n é par, fa é um máimo relativo, se f n a 0; mínimo relativo, se f n a 0. Corolário Seja f uma função que admite segunda derivada contínua numa vizinhança de um ponto de estacionaridade a: se f a 0, então fa é um máimo; se f a 0, então fa é um mínimo. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 20

Concavidades Concavidades e Pontos de infleão Diz-se que f, diferenciável no intervalo a,b, tem a concavidade voltada para cima em a, b se, para qualquer a, b, o gráfico de f está acima da recta tangente ao gráfico em, f. Diz-se que f, diferenciável no intervalo a,b, tem a concavidade voltada para baio em a, b se, para qualquer a, b, o gráfico de f está abaio da recta tangente ao gráfico em, f. Corolário Seja f com segunda derivada no intervalo aberto I: se f a 0, I, então f tem concavidade voltada para cima; se f a 0, I, então f tem concavidade voltada para baio. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 21

Pontos de infleão Um ponto onde ocorra uma mudança de concavidade do gráfico de f diz-se um ponto de infleão de f. Proposição Seja a um valor tal que f a 0. Se f 0,, a e f 0, a, ou f 0,, a e f 0, a,, para algum a e algum a, então fa é um ponto de infleão. Proposição Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n 3, tal que a derivada de ordem n é a primeira derivada não nula de f em a, isto é f a f a... f n1 a 0 e f n a 0. Então: se n é ímpar, a é um ponto de infleão de f. a concavidade voltada para cima, se n é par, f tem se f n a 0; a concavidade voltada para baio, se f n a 0.. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 22

Assímptotas Seja f uma função real de variável real. Assímptotas verticais A recta a é uma assímptota vertical de f se lim f ou a Assímptotas não verticais lim f. a A recta y b é uma assímptota horizontal de f se lim f b ou lim f b. A recta de equação y m b é uma assímptota não vertical de f se lim f m b 0 ou lim f m b 0. Se m 0, a assímptota é horizontal. Se m 0, a recta é uma assímptota oblíqua de f. Proposição: A recta de equação y m b não vertical de f, sse é uma assímptota lim f m lim f m b ou lim f m lim f m b. Observação: Se f tem uma assímptota horizontal quando (respectivamente ), então f não tem assímptota oblíqua quando (respectivamente ). Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 23

Estudo de uma função e esboço do gráfico Pontos fundamentais (em geral) para esboçar o gráfico de f : domínio; pontos de descontinuidade e assímptotas verticais; intersecção com os eios / zeros de f; sinal de f; paridade de f (simetrias); intervalos de monotonia e etremos; concavidades e pontos de infleão; assímptotas não verticais. Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 24