DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS

DECivil Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura DISCIPINA DE ESTRUTURAS METÁICAS Análise Plástica de Estruturas Francisco Virtuoso 2008/09

INDÍCE 1. Esforço axial e flexão em regime elástico. Revisão dos conceitos fundamentais.... 2 2. Esforço axial e flexão em regime elasto-plástico. Revisão dos conceitos fundamentais... 5 2.1. Momento de cedência e momento plástico... 5 2.2. Relações momentos curvaturas... 10 2.3. Conceito de rótula plástica... 11 2.4. Análise elasto-plástica... 14 3. Análise plástica limite... 17 3.1. Introdução... 17 3.2. Mecanismos globais e locais. Mecanismos múltiplos... 17 3.2.1 Número de rótulas necessário para a formação de um mecanismo... 17 3.2.2 Mecanismo global ou completo... 18 3.2.3 Mecanismo local ou parcial... 19 3.2.4 Mecanismos múltiplos... 20 3.3. Teoremas da análise plástica limite... 22 3.4. Exemplos de aplicação dos teoremas estático e cinemático... 26 3.4.1 Exemplos de cálculo plástico de vigas contínuas... 26 3.4.2 Cálculo plástico de estruturas sujeitas a cargas distribuídas... 31 3.4.3 Exemplos de cálculo plástico de pórticos... 34 3.4.4 Consideração da interacção entre o esforço axial e o momento flector no cálculo plástico de pórticos... 39 3.5. Carregamentos paramétricos... 42 3.6. Conceito de redistribuição de esforços... 46 4. Referências... 49 5. Bibliografia complementar... 49 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 1

1. ESFORÇO AXIA E FEXÃO EM REGIME EÁSTICO. REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS. As diferentes teorias da flexão baseiam-se, em geral, na hipótese de conservação das secções planas, vulgarmente designada por hipótese de Bernoulli. De acordo com esta hipótese admite-se que as secções de uma viga, perpendiculares ao seu eixo antes de este sofrer uma deformação, permanecem planas e perpendiculares ao eixo da peça após a sua deformação. Considere-se uma peça linear em que o seu eixo longitudinal coincide com o centro de gravidade das secções transversais. De acordo com a hipótese de conservação das secções planas é possível relacionar a extensão de uma fibra paralela ao eixo da peça com o raio de curvatura associado à deformação daquele eixo. Considerem-se as duas secções transversais representadas na figura 1, A-A e B-B, afastadas entre si de um comprimento infinitesimal dx. Figura 1 Deformação de uma peça linear por flexão Na figura 1 representa-se também a deformação do troço infinitesimal de viga quando sujeito a um momento flector constante M. Como não existe nenhum esforço axial aplicado a variação do comprimento do eixo é nula, pelo que todas as extensões são devidas ao momento flector. Tendo em consideração a cinemática do problema tem-se que a extensão de uma fibra genérica definida pela coordenada z é dada por xx (z) = ds - ds 0 ds 0 = (R + z) d - Rd Rd = z R (1) Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 2

Por simplificação de notação, e a menos de situações particulares explicitamente indicadas, considera-se neste texto xx (z) =. Se o comportamento do material for elástico linear tem-se que = E (2) em que E representa o módulo de elasticidade e a tensão normal. Realce-se que à semelhança da simplificação adoptada para as extensões, representa na realidade xx (z) uma vez que se refere à tensão segundo o eixo x e é variável ao longo da altura da secção, sendo por isso dependente do eixo z. A distribuição de tensões na secção tem de ser estaticamente equivalente ao momento flector aplicado, tendo-se assim M = z da (3) A Tendo em conta a relação de elasticidade, dada pela equação 2, e a relação de compatibilidade entre as extensões e o raio de curvatura R definida na equação 1, pode escrever-se M = E z da = A A E 1 R z2 da = E R z 2 da = E R (4) em que = A z 2 da representa o momento de inércia da secção em relação ao eixo y. Frequentemente utiliza-se a curvatura, = 1/R, em vez do raio de curvatura, podendo escrever-se a relação entre o momento e a curvatura M = E (5) Refira-se que, de uma forma geral, quer o momento flector M quer a curvatura são variáveis ao longo do eixo da peça. No caso do esforço axial a extensão axial 0 é constante na secção transversal, tendo-se a seguinte relação com o esforço axial N N = EA 0 (6) A partir do esforço axial N e do momento flector M, e tendo em consideração as características mecânicas da secção transversal, é possível obter as tensões normais na secção transversal, as quais são dadas por Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 3

= N + M = N A + Mz (7) em que N e M representam as parcelas de tensão associadas ao esforço axial e ao momento flector, respectivamente. Na figura 2 representa-se para um caso genérico a distribuição de tensões normais de uma secção solicitada em flexão composta. Figura 2 Tensões normais numa secção solicitada em flexão composta No caso mais geral da secção estar sujeita a flexão composta desviada as tensões normais são dadas por = N + My + Mz = N A + M yz y - M zy z (8) Na figura 3 representam-se os diagramas de tensões devidos a cada um dos esforços actuantes numa secção solicitada em flexão composta desviada. Figura 3 Tensões normais numa secção solicitada em flexão composta desviada Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 4

2. ESFORÇO AXIA E FEXÃO EM REGIME EASTO-PÁSTICO. REVISÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2.1. Momento de cedência e momento plástico Alguns materiais estruturais, dos quais o mais importante é o aço, apresentam um comportamento caracterizado por um patamar de cedência associado a uma tensão normal designada por tensão de cedência. Na figura 4 representa-se o diagrama tipo da relação tensões-extensões que se obtém num ensaio experimental dum provete de aço e em que são evidentes a existência do referido patamar de cedência. A tensão de cedência associada a este patamar é representada por f y. Figura 4 Diagrama tensões-extensões de um provete de aço Para efeitos de análise de estruturas o diagrama tensões-extensões ( ) do aço pode ser aproximado por uma diagrama simplificado, constituído unicamente pelo troço elástico linear, desde a origem até se atingir a tensão de cedência, e por um patamar de tensão constante e igual à tensão de cedência. No caso dos aços as tensões de cedência em compressão e tracção são iguais pelo que se adopta a relação tensões-extensões indicada na figura 5, que se designa por relação tensões-extensões elasto-plástica. As relações entre esforços e deformações e entre os esforços e tensões obtidas para os materiais elásticos lineares são válidas para os materiais elasto-plásticos desde que a tensão máxima na secção não ultrapasse, em valor absoluto, a tensão de cedência. Definem-se assim os esforços de cedência de uma secção como sendo aqueles para os quais o máximo valor absoluto da tensão é igual à tensão de cedência. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 5

Figura 5 Relação tensões-extensões elasto-plástica Para o caso particular de uma secção sujeita apenas a um momento flector define-se o momento de cedência M c como momento para o qual a tensão máxima é igual à tensão de cedência, tendo-se max = M z max = f y M c = ou, definindo o módulo de flexão elástico W el = z max f y (9) z max, M c = W el f y (10) Refira-se que no caso geral uma secção tem dois momentos de cedência, cada um dos quais associados ao respectivo eixo principal de inércia, sendo dados por M c.y = W el.y f y com W el.y = y z max (11) M c.z = W el.z f y com W el.z = z y max (12) Se o momento flector aplicado for superior ao momento de cedência as fibras da secção vão plastificando, começando pelas mais afastadas da linha neutra, sendo essa plastificação progressiva até que a secção esteja totalmente plástica. Considere-se por exemplo uma secção rectangular, conforme se representa na figura 6, na qual se representam também os diagramas de tensões e de extensões para valores variáveis do momento flector. Nos diagramas apresentados na figura 6 considera-se a variação do momento desde zero até ao momento plástico M pl, momento para o qual a secção está toda plastificada, passando pelo momento de cedência M c, momento para o qual se inicia a cedência da secção. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 6

Conforme já se referiu (equação 10) o momento de cedência é dado por M c = W el f y pelo que no caso da secção rectangular se tem W el = z max = bh3 2 12 h = bh2 6 M c = bh2 6 f y (13) Figura 6 Variação dos diagramas de tensões e extensões com o momento flector A distribuição de tensões na secção tem de ser estaticamente equivalente aos esforços aplicados pelo que N = da (14) M = z da (15) Como o esforço axial é nulo e designando por A C e A T as áreas das parcelas de secção em que a tensão de cedência é de compressão e tracção, respectivamente, tem-se N = da = A C (- f y ) + A T f y = 0 A C = A T (16) ou seja, para o momento plástico a linha neutra, designada por linha neutra plástica, divide a secção em duas áreas iguais. Conforme se representa na figura 7, no caso de uma secção rectangular a linha neutra plástica passa no centro de gravidade da secção, tendo-se: Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 7

N = 0 C = T = bh 2 f y (17) Em que C e T representam as resultantes da tensões de compressão e tracção, respectivamente. O momento plástico corresponde à resultante em termos de momento das tensões na secção, ou seja M = M pl M pl = z da = C h 4 + T h 4 = 2 x bh 2 f y h 4 = bh2 4 f y (18) Figura 7 Diagrama de tensões associado ao momento plástico numa secção rectangular Por analogia com o módulo de flexão elástico o factor que relaciona a tensão de cedência f y com o momento plástico M pl designa-se por módulo de flexão plástico W pl, ou seja, M pl = W pl f y (19) No caso da secção rectangular o módulo de flexão plástico é dado por W pl = bh2 4 (20) No caso mais geral da secção não ter simetria em relação ao eixo de flexão, como se ilustra na figura 8, a linha neutra plástica não coincide com a linha neutra elástica. Conforme já se referiu a linha neutra plástica divide a secção em duas áreas iguais ou seja A C = A T. Assim, no caso geral, o momento plástico M pl é dado por M pl = z da = - f y z da + AC f y z da = (S C + S T ) f y (21) AT ou M pl = W pl f y com W pl = S C + S T (22) em que S C e S T representam os valores absolutos dos momentos estáticos das áreas A C e A T, respectivamente. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 8

Figura 8 - Diagrama de tensões associado ao momento plástico numa secção não simétrica em relação ao eixo de flexão O quociente entre os momentos plástico e de cedência, ou, o que é equivalente, o quociente entre os módulos de flexão plástico e elástico, designa-se por factor de forma f, ou seja f = M pl M c = W pl W el (23) No caso de uma secção rectangular tem-se bh 2 f = W pl 4 W = el bh 2 = 1,50 (24) 6 Na tabela 1 indicam-se os valores dos factores de forma para diferentes geometrias de secções transversais, salientando-se, pela sua importância no projecto de estruturas metálicas, o caso das secções em ou H. Tabela 1 Exemplo de factores de forma para diferentes secções Secção Rectangular Circular maciça ou H (*) Tubular rectangular Tubular circular Factor de forma 1,5 1,70 1,10 a 1,15 1,10 a 1,20 1,27 * flexão em torno do eixo paralelos aos banzos Exemplo 2.1: Cálculo do factor de forma da secção de um perfil HEA300 Wel.y 3 = 1260 cm W pl.y = 1382 cm eixo yy 3 f = 1382 1260 = 1,10 Wel.z 3 = 420,6 cm W pl.z = 641,2 cm eixo zz 3 f = 641,2 420,6 = 1,52 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 9

2.2. Relações momentos curvaturas No caso de uma secção rectangular e com base nos diagramas de tensões e extensões indicados na figura 6, é possível obter a relação momentos curvaturas que se representa na figura 9 e que se indica por (M - ) exacta. Figura 9 Relação momentos curvaturas exacta e aproximada Enquanto o momento flector for inferior ao momento de cedência a relação momentos curvaturas é caracterizada por um troço com um declive igual à rigidez de flexão elástica da secção E. Quando o momento aplicado é superior ao momento de cedência a rigidez da secção depende apenas da zona não plastificada, caracterizada pela variável a (ver figura 6). Neste caso tem-se que o momento flector e a curvatura são definidos em função de a por M = b h - a 2 h 2 - h - a 4 x 2 + ba2 6 f y = b 3h2 - a 2 12 f y = M c 3 2-1 2 a h 2 (25) = 2 y a = 2 f y E a = h c a com c = 2 f y E h (26) em que c representa a curvatura de cedência da secção. Com base nas equações 25 e 26 é possível escrever o momento em função da curvatura obtendo-se M = M c x 3 2-1 2 c 2 para c (27) Como se representa na figura 9 verifica-se que, quando / c cresce e tende para, o valor de M tende assimptoticamente para o valor do momento plástico M pl. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 10

A relação momentos curvaturas pode ser aproximada por um diagrama bilinear, definido pelos troços correspondentes à rigidez elástica e ao momento constante e igual ao momento plástico, o qual se representa também na figura 9. Este diagrama é semelhante ao diagrama tensões-extensões de um material elasto-plástico, designando-se por relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita uma vez que no primeiro troço se admite um comportamento elástico e no segundo troço um comportamento plástico. No caso de secções com outras geometrias as relações momentos curvaturas são semelhantes às de secções rectangulares, diferindo apenas para curvaturas superiores à curvaturas de cedência c. Na figura 10 representam-se num diagrama ( / c; M/M c ) as relações momentos curvaturas para um conjunto de secções com diferentes geometrias, sendo visível que, para curvaturas grandes, as diferentes curvas reflectem o valor do factor de forma das secções. Figura 10 - Relações momentos curvaturas para secções com diferentes geometrias Refira-se que a aproximação das relações momentos curvaturas através de um diagrama elasto-plástico anteriormente apresentada para as secções rectangulares é também adoptada para as secções com outras geometrias. 2.3. Conceito de rótula plástica Conforme se verificou ao analisar a secção rectangular, quando o momento flector aumenta entre o momento de cedência e o momento plástico vão também aumentando as zonas de secção que estão plastificadas. Na figura 11 representa-se um troço de uma viga onde existe um máximo do momento flector. Na mesma figura representa-se Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 11

também o diagrama de momentos flectores e de curvaturas na zona envolvente da secção onde o momento flector é máximo. Figura 11 Variação das zonas plastificadas na proximidade de uma secção submetida ao momento plástico Conforme se pode verificar da figura 11 quando o momento flector atinge o valor do momento plástico numa secção fica também definida a zona plastificada da viga, nomeadamente o comprimento afectado pela plastificação. Este comprimento designa-se por comprimento de rótula plástica, p, e depende da variação do diagrama de momentos ao longo do eixo e da relação entre o momento plástico M pl e o momento de cedência M c, ou seja, do factor de forma. Exemplo 2.2: Considere-se uma viga simplesmente apoiada com uma secção rectangular e sujeita a uma carga concentrada a 1/2 vão representada na figura 12. Quando o momento máximo for igual ao momento plástico da secção obtém-se a carga última da estrutura. O comprimento da rótula plástica é definido pela zona plastificada entre as duas secções em que o momento é igual ao momento de cedência, tendo-se M pl = M c - p = - M c p M p = pl ( 1-1 f ) Tratando-se de uma secção rectangular tem-se f = 1,50, ou seja, p = 1 3 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 12

Figura 12 Exemplo de cálculo do comprimento da rótula plástica Refira-se que a forma e o comprimento da zona plastificada são função da relação momentos curvaturas exacta. Na figura 9 representa-se uma relação momentos curvaturas, designada por aproximada, a qual corresponde a admitir um comportamento elasto-plástico perfeito para a secção. Com efeito a relação momentos curvaturas aproximada é constituída unicamente pelo troço elástico linear, caracterizado por um declive igual à rigidez de flexão elástica da secção E, o qual é válido até se atingir um patamar de momento constante e igual ao momento plástico M pl. Ao adoptar-se uma relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita elimina-se a transição entre o fim do comportamento elástico, correspondente ao momento de cedência, e o momento plástico. Assim ao adoptar-se a relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita admite-se para as secções um comportamento elástico, se o momento for inferior ao momento plástico, ou um comportamento perfeitamente plástico, se o momento for igual ao momento plástico. No diagrama de curvaturas da figura 11 representa-se a tracejado as curvaturas correspondentes à relação (M- ) aproximada. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 13

2.4. Análise elasto-plástica Com base na relação momentos curvaturas elasto-plástica perfeita é possível efectuar uma análise em que se considere a existência de deformações plásticas apenas nas secções das rótulas plásticas, ou seja, nas secções em que o momento flector é igual ao momento plástico, enquanto que para as restantes secções se admite um comportamento elástico. Refira-se que ao concentrarem-se as deformações plásticas apenas na secção em que o momento é máximo, e uma vez que a zona plastificada tem um comprimento infinitesimal, deixa de fazer sentido que a relação momento deformação não linear seja referida às curvaturas, passando a ser referida a uma rotação numa rótula, localizada numa secção, e que se pretende que represente os efeitos de plasticidade em toda a rótula plástica real. Ao se concentrarem numa rótula plástica todos os efeitos não lineares utiliza-se para essa rótula a relação momentos rotações indicada na figura 13. Figura 13 Relação momento rotação numa rótula plástica Tem-se assim que as rótulas plásticas têm um comportamento rígido-plástico uma vez que as suas rotações são nulas enquanto o momento flector for inferior, em valor absoluto, ao momento plástico, e são indeterminadas quando o momento flector for igual ao momento plástico. Estas análises designam-se por análises elasto-plásticas incrementais, sendo incrementais porque, no caso geral de uma estrutura hiperstática, têm de se determinar os sucessivos incrementos de carga necessários para a formação de uma nova rótula plástica. Após a formação de uma rótula plástica, e para o incremento seguinte, o sistema estático tem de ser alterado através da introdução de uma rótula na secção em que se formou a rótula plástica. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 14

Exemplo 2.3: Considere-se a viga encastrada apoiada indicada na figura 14a sujeita a uma carga concentrada a 1/2 vão e admita-se para as secções das rótulas plásticas a relação momentos rotações rígido-plástica indicada também na figura 14b. Figura 14 Análise elasto-plástica de uma viga encastrada apoiada Na figura 14c representa-se a solução do problema admitindo um comportamento elástico linear. Este diagrama é válido até à carga P 1 para a qual se forma a 1ª rótula plástica, o que ocorre quando o momento máximo na secção A for igual ao momento plástico, ou seja M A1 = 3P 1 16 P 1 = 16 3 M pl Para esta carga o deslocamento no ponto B é calculado com base no comportamento elástico linear de uma viga encastrada apoiada tendo-se δ B1 = 7 16 768 3 M pl 2 EI = 7 M pl 2 144 EI Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 15

Para incrementos de cargas superiores a P 1 a secção A comporta-se como uma rótula uma vez que o incremento do momento é nulo quando a rotação aumenta. Assim, para os incrementos da carga, a estrutura comporta-se como uma viga simplesmente apoiada, conforme se representa na figura 14e. Este modelo é válido até se formar a 2ª rótula plástica, a qual vai ocorrer na secção B. Para se determinar o máximo incremento de carga P 2 basta impor que o momento total na secção B seja igual ao momento plástico, ou seja: M B = M B1 + M B2 = 5 6 M pl + P 2 4 = M pl P 2 = 2 M pl 3 O acréscimo de deslocamento do ponto B é dado por B2 = 2 M pl 2 3 48 EI = 2 M pl 2 144 EI No fim do 2º incremento o valor do parâmetro de carga total P 2 é dado por P 2 = P 1 + P 2 = 16 3 M pl + 2 M pl 3 = 6M pl Este valor do parâmetro de carga designa-se por carga última P u = P 2. Com efeito, e uma vez que a estrutura é hiperstática do 1º grau, a ocorrência de duas rótulas plásticas transforma a estrutura num mecanismo pelo que não é possível aumentar mais a carga aplicada. Somando o diagrama de momentos correspondente a P 1, calculado para uma viga encastrada apoiada com o diagrama de momentos correspondente a P 2, calculado numa viga simplesmente apoiada, obtém-se o diagrama de momentos associado a P 2, o qual está representado na figura 14f. No fim do 2º incremento de carga o deslocamento no ponto B, B2, tem também de ser calculado somando o deslocamento devido à carga P 1, calculado para a viga encastrada apoiada, e o deslocamento devido a P 2, calculado numa viga simplesmente apoiada, tendo-se B2 = B1 + B2 = ( 7 144 + 2 144 ) M pl 2 EI = 9 M pl 2 144 EI Com base nos resultados apresentados é pode obter-se a relação carga deslocamento representada na figura 14g, verificando-se que, após a formação da 1ª rótula plástica existe uma redução da rigidez, e que, após a formação da 2ª rótula plástica a rigidez é nula. A análise da relação carga-deslocamento permite ainda verificar que após a ocorrência da 1ª rótula plástica ainda foi possível aumentar a carga de 12.5%, o que corresponde, neste caso, ao aumento da capacidade da viga até à formação de um mecanismo plástico. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 16

3. ANÁISE PÁSTICA IMITE 3.1. Introdução O objectivo de análise plástica limite é obter a carga última da estrutura e a correspondente distribuição de esforços sem ter de efectuar uma análise incremental, como na análise elasto-plástica. De outra forma, na análise plástica limite pretende identificar-se as secções em que se formam as rótulas plásticas, associadas à formação de um mecanismo de colapso, sem ter de efectuar uma análise incremental e sem ter de identificar a formação das sucessivas rótulas plásticas. Para efectuar uma análise plástica limite introduzem-se as seguintes hipóteses relativamente ao comportamento mecânico do material e das secções: Hipótese 1 Admite-se que as deformações plásticas se concentram nas secções em que ocorrem rótulas plásticas e que estas rótulas apresentam um comportamento rígido-plástico conforme se representa na figura 15. Hipótese 2 Desprezam-se as deformações elásticas ao longo das barras, ou seja, os troços de barra entre rótulas plásticas comportam-se como barras rígidas. Figura 15 Relação momentos rotações rígido-plástica 3.2. Mecanismos globais e locais. Mecanismos múltiplos 3.2.1 Número de rótulas necessário para a formação de um mecanismo O valor da carga última de uma estrutura está associado à formação de um mecanismo de colapso que impede a estrutura de suportar incrementos de carga. No caso geral, e designando por o grau de hiperstaticidade, a existência de um mecanismo de colapso obriga à formação de ( +1) rótulas plásticas. Note-se que a existência de rótulas Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 17

plásticas transforma a estrutura numa estrutura isostática, sendo necessária a criação de uma rótula adicional para que se forme um mecanismo. 3.2.2 Mecanismo global ou completo Designa-se um mecanismo por global ou completo quando esse mecanismo envolve a formação de ( +1) rótulas plásticas. Num mecanismo global a existência de ( +1) rótulas plásticas permite definir o momento flector em igual número de secções. O conhecimento do momento flector nestas ( +1) secções permite determinar a distribuição de esforços na estrutura, que é vezes hiperstática, e ainda o valor do parâmetro de carga associado. Pode assim dizer-se que num mecanismo global a distribuição de esforços é totalmente determinada e que a análise do equilíbrio da estrutura permite obter o valor do parâmetro da carga associado. Exemplo 3.1: Considere-se a viga encastrada apoiada representada na figura 16a. Figura 16 Análise plástica de uma viga encastrada-apoiada A estrutura é uma vez hiperstática, ou seja, = 1. Para que se forme um mecanismo completo são necessárias 2 rótulas plásticas. Tendo em consideração a forma do diagrama de momentos flectores devido à carga concentrada aplicada, e em particular as secções em que os momentos são máximos, admite-se que as rótulas plásticas se vão formar nas secções A e B. Define-se assim o mecanismo indicado na figura 16b. Nas secções em que se formam rótulas plásticas o momento flector é igual ao momento plástico, o que permite obter o diagrama indicado na figura 16c. O conhecimento do momento flector permite levantar a hiperstaticidade da estrutura ( = 1), permitindo ainda obter, por equilíbrio, o valor do parâmetro de carga P u, tendo-se P u 4 = 3 2 M pl P u = 6 M pl Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 18

Este valor é igual ao valor obtido anteriormente através de uma análise elasto-plástica incremental. Refira-se que, ao contrário do que sucede numa análise elasto-plástica, a deformada da estrutura não fica determinada, ficando apenas identificado o mecanismo de colapso definido através da localização das rótulas plásticas. 3.2.3 Mecanismo local ou parcial Em determinadas situações, de uma forma geral tanto mais frequentes quanto maior o grau de hiperstaticidade de estrutura, a formação de um mecanismo pode envolver a formação de rótulas plásticas em número inferior a ( +1). Neste caso o mecanismo designa-se por local ou parcial uma vez que o mecanismo de colapso afecta apenas uma parte da estrutura, exigindo a formação de rótulas em número inferior às existentes num mecanismo global. Numa análise plástica limite a distribuição de esforços no colapso é obtida a partir do conhecimento da existência do momento plástico nas secções em que se formam rótulas plásticas. No caso de um mecanismo local, como as rótulas plásticas são em número inferior a ( +1), a distribuição de esforços no colapso apenas é definida na zona envolvente do mecanismo associado às rótulas plásticas, sendo indeterminada na restante parte da estrutura. Embora o mecanismo envolva apenas uma zona local, à semelhança do que acontece num mecanismo global, a carga última pode ser obtida através da análise do equilíbrio da estrutura. Exemplo 3.2: Considere-se a viga representada na figura 17. A estrutura é 2 vezes hiperstática, ou seja = 2. Um mecanismo completo envolve a formação de + 1 = 3 rótulas plásticas. O mecanismo indicado na figura 17b envolve apenas 2 rótulas plásticas, pelo que se trata de um mecanismo local. Na zona do mecanismo o diagrama de esforços é totalmente determinado a partir da atribuição do valor do momento plástico nas secções B e C em que ocorrem as rótulas plásticas. Do equilíbrio da estrutura na zona do mecanismo é possível determinar o valor do parâmetro de carga associado ao mecanismo, tendo-se P u 4 = 3 M pl 2 P u = 6 M pl Finalmente pode observar-se que na zona entre as secções A e B o diagrama de esforços é indeterminado não tendo a existência de um mecanismo local permitindo determinar o diagrama de esforços em toda a estrutura. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 19

Figura 17 Análise plástica de uma viga com um mecanismo local 3.2.4 Mecanismos múltiplos Embora correspondam a situações pouco frequentes, a ocorrência de condições particulares da estrutura e do carregamento aplicado podem conduzir a que no colapso exista um número de rótulas plásticas em número superior a ( +1), ou seja, às necessárias para se formar um mecanismo global. Nestes casos, o mecanismo designa-se por múltiplo uma vez que, para o mesmo valor do parâmetro de carga último, pode existir mais do que um mecanismo de colapso. Refira-se que a existência de mais do que ( +1) rótulas plásticas conduz a que o parâmetro de carga último e o diagrama de esforços associado sejam totalmente determinados. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 20

Exemplo 3.3: Considere-se a viga representada na figura 18 Figura 18 Análise plástica de uma viga com um mecanismo múltiplo Tem-se neste caso que a estrutura é uma vez hiperstática ou seja, = 1. A formação de um mecanismo completo envolve + 1 = 2 rótulas plásticas, podendo identificar-se os dois mecanismos representados nas figuras 18b1 e b2. Devido à simetria da estrutura e do carregamento verifica-se que ambos os mecanismos estão associados ao mesmo diagrama de esforços, indicado na figura 18c e ao mesmo parâmetro de carga último que se obtém do equilíbrio, tendo-se P u 4 = 3 M pl 2 P u = 6 M pl Verifica-se que se está perante um mecanismo múltiplo uma vez que, para o mesmo valor do parâmetro de carga de colapso, foi possível identificar dois mecanismos independentes. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 21

3.3. Teoremas da análise plástica limite A análise plástica limite baseia-se na aplicação de dois teoremas, designados por teorema estático e cinemático, os quais permitem obter limites inferiores e superiores da carga de colapso, respectivamente. A aplicação simultânea daqueles dois teoremas dá origem a um terceiro teorema, designado por teorema de unicidade, cuja aplicação permite identificar de forma exacta o parâmetro de carga último da estrutura. Antes de se enunciarem os teoremas de análise plástica limite considere-se ainda como hipótese que os carregamentos são proporcionais a uma parâmetro de carga, designando-se o parâmetro de carga de colapso ou último por u. Na análise de estruturas, e de uma forma geral, é necessário ter em consideração as condições de equilíbrio e de compatibilidade, assim como as relações constitutivas. Conforme já se referiu na análise plástica limite não se consideram as deformações elásticas dos elementos, considerando-se apenas as deformações plásticas concentradas nas rótulas plásticas, definidas através da relação rígido-plástica representada na figura 15, e considerando que os troços de vigas entre rótulas se comportam como barras rígidas. Na figura 19 apresentam-se de forma esquemática as relações constitutivas rígido-plásticas decompostas nas condições de plasticidade e nas condições de paridade. As condições de plasticidade consistem em estabelecer-se que em qualquer secção o momento flector não pode, em valor absoluto, ser maior do que o momento plástico, ou seja: Condições de plasticidade: M M pl -M pl M +M pl A condição de paridade estabelece que a rotação relativa numa rótula plástica ou é nula ou, sendo diferente de zero, tem de ter o mesmo sinal que o momento plástico nessa secção. É assim possível escrever: Condições de paridade: M = +M pl pl 0 M = -M pl pl 0 Refira-se que as condições de plasticidade e de paridade são uma consequência directa da relação momentos rotações admitida para as rótulas plásticas numa análise rígidoplástica. A verificação simultânea das condições de equilíbrio e das condições de plasticidade constituem as condições de admissibilidade estática. Assim, diz-se que uma distribuição Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 22

de esforços numa estrutura é estaticamente admissível se verificar as condições de equilíbrio e se, simultaneamente, o valor absoluto do momento não ultrapassar o momento plástico. Equilíbrio Relações constitutivas (rígido-plásticas) Compatibilidade Condições de plasticidade -M pl M +M pl Condições de paridade M =+M pl pl 0 M = -M pl pl 0 Admissibilidade estática Admissibilidade cinemática TEOREMA ESTÁTICO Permite obter um limite inferior i, minorante de u u = max( i ) TEOREMA CINEMÁTICO Permite obter um limite superior s, majorante de u u = min( s ) TEOREMA DA UNICIDADE i = s = u Figura 19 Equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas e sua relação com os teoremas da análise plástica limite A verificação simultânea das condições de compatibilidade e das condições de paridade constituem as condições de admissibilidade cinemática. No caso de uma análise plástica limite, em que se admite que as barras se comportam como barras rígidas e as rótulas plásticas como rígido-plásticas, diz-se que um mecanismo é cinematicamente admissível se verificar as condições de compatibilidade entre deslocamentos e rotações, nomeadamente as das rótulas plásticas, e se, simultaneamente, os valores dos momentos plásticos atribuídos às secções onde se localizam as rótulas plásticas tiverem o mesmo sinal da rotação nessa rótula associada ao mecanismo considerado. Estabelecidas as condições de admissibilidade estática e cinemática é agora possível enunciar os teoremas de análise plástica limite: Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 23

Teorema estático - A uma distribuição de esforços estaticamente admissível corresponde um parâmetro de carga i tal que i u, ou seja, i é um minorante do parâmetro de carga último u. Teorema cinemático - A um mecanismo cinematicamente admissível corresponde um parâmetro de carga s tal que u s, ou seja, s é um majorante do parâmetro de carga último u. Teorema da unicidade (resultante da aplicação simultânea dos teoremas estático e cinemático) - Se numa estrutura for possível definir um conjunto de rótulas plásticas às quais corresponde uma distribuição de esforços estaticamente admissível, a que corresponde um parâmetro de carga i, e um mecanismo cinematicamente admissível, a que corresponde um parâmetro de carga s, então i = s = u. Saliente-se que se a um conjunto de rótulas plásticas estão associados uma distribuição de esforços estaticamente admissível e um mecanismo cinematicamente admissível então verificam-se simultaneamente as condições de equilíbrio, de compatibilidade e de plasticidade (que constituem neste caso as relações constitutivas). A aplicação do teorema estático a diferentes distribuições de esforços estaticamente admissíveis permite obter um conjunto de minorantes do parâmetro de carga último u. Se a análise for efectuada de forma exaustiva, isto é, se forem analisadas todas as distribuições de esforços estaticamente admissíveis, o valor do parâmetro de carga último será igual ao maior dos minorantes i. De forma complementar a aplicação do teorema cinemático a diferentes mecanismos cinematicamente admissíveis permite obter um conjunto de majorantes do parâmetro de carga último u. Se a análise for efectuada de forma exaustiva, ou seja, considerando todos os mecanismos cinematicamente admissíveis, o valor do parâmetro de carga último será igual ao menor dos majorantes s. A aplicação do teorema estático ou do teorema cinemático em conjunto com o teorema da unicidade permite evitar a análise exaustiva de todas as distribuições de esforços estaticamente admissíveis ou de todos os mecanismos cinematicamente admissíveis. Nestas situações a aplicação dos teoremas de análise plástica limite pode consistir na utilização de um dos teoremas fundamentais, estático ou cinemático, na determinação do parâmetro de carga associado, i ou s, e finalmente na aplicação do teorema de unicidade para verificar se o parâmetro obtido é efectivamente o parâmetro de carga último u. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 24

Assim na aplicação do teorema estático em conjunto com o teorema da unicidade é necessário definir um diagrama de esforços estaticamente admissível. A esse diagrama corresponde um parâmetro de carga i u. Associando as rótulas plásticas às secções em que o momento flector é igual ao momento plástico é possível definir um mecanismo. A verificação da admissibilidade cinemática - condições de compatibilidade e de paridade desse mecanismo - permitirá, por aplicação do teorema de unicidade, confirmar ou não que se trata do mecanismo de colapso. Na aplicação do teorema cinemático em conjunto com o teorema da unicidade começa por definir-se um mecanismo cinematicamente admissível, atribuindo a cada rótula plástica um momento com sinal de acordo com a rotação, obedecendo à condição de paridade. O parâmetro de carga s pode ser determinado através da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais - PTV - e corresponde a um limite superior do parâmetro de carga último, ou seja, u s. Atribuindo às secções onde se arbitraram as rótulas plásticas momentos flectores iguais aos momentos plásticos obtém-se uma distribuição de esforços na estrutura. A verificação da admissibilidade estática dessa distribuição de esforços permite confirmar, ou não, por aplicação do teorema de unicidade, que se trata do mecanismo de colapso. Na aplicação do teorema cinemático, e conforme se ilustra nos exemplos que a seguir se apresentam, a determinação do parâmetro de carga associado a um mecanismo cinematicamente admissível pode ser efectuada recorrendo à aplicação do princípio dos trabalhos virtuais (PTV), igualando o trabalho das forças exteriores, W, à energia de deformação da estrutura, U. De acordo com as hipóteses indicadas em 3.1 as únicas deformações que se consideram são as deformações plásticas nas secções das rótulas plásticas, pelo que a energia de deformação será a associada às rotações destas rótulas. A energia de deformação associada às rótulas plásticas é dada pelo produto entre os momentos plásticos e as rotações, sendo positiva a contribuição de todas as rótulas plásticas uma vez que, por aplicação das condições de paridade, o momento plástico e a rotação correspondente têm sempre o mesmo sinal. O trabalho das forças exteriores será o que resulta dos deslocamentos dos mecanismos de barras rígidas associados à formação das rótulas plásticas. No caso das estruturas que se têm vindo a analisar as forças exteriores são as cargas aplicadas, concentradas ou distribuídas, e os momentos aplicados. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 25

3.4. Exemplos de aplicação dos teoremas estático e cinemático 3.4.1 Exemplos de cálculo plástico de vigas contínuas Exemplo 3.4. Para ilustrar a aplicação dos teoremas da análise plástica limite apresenta-se neste exemplo a resolução do mesmo problema de duas forma distintas: a resolução apresentada na parte da esquerda (figuras 20a e c) corresponde à aplicação do teorema estático e do teorema da unicidade; na parte da direita (figuras 20b e d) apresenta-se a resolução do mesmo exemplo por aplicação do teorema cinemático e do teorema da unicidade. TEOREMA ESTÁTICO TEOREMA CINEMÁTICO Figura 20a Equilíbrio M B = - M pl 2 + i 4 = M pl Figura 20b Compatibilidade B = 2 i = 6M pl W = s 2 U = M pl + M pl 2 = 3M pl PTV W = U s = 6M pl Mecanismo correspondente Distribuição de esforços correspondente Figura 20c O mecanismo é cinematicamente admissível pois é compatível e verifica as condições de paridade, pelo que, de acordo com o teorema da unicidade u = i Figura 20d A distribuição de esforços é estaticamente admissível pois é equilibrada e verifica as condições de plasticidade, pelo que, de acordo com o teorema da unicidade u = s Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 26

Exemplo 3.5. Considere-se a viga biencastrada representada na figura 21a. Tendo em conta apenas as reacções verticais e os momentos flectores nos apoios a estrutura tem um grau de hiperstaticidade = 2 pelo que são necessárias três rótulas plásticas para formar um mecanismo completo. Admita-se o mecanismo com rótulas plásticas nas secções A, B e E representado na figura 21b. Designem-se por as rotações nas deferentes rótulas plásticas e por os deslocamentos verticais das secções carregas. Por compatibilidade tem-se: 1 3 ; 2 4 3 ; B = 4 ; C = 3 2 ; D = 3 4 Figura 21a Figura 21b Por aplicação do PTV obtém-se W = U = M pl 4 + 3 2 + 3 4 = 2 + 4 3 + 3 = 8 3 M pl PTV W = U s = 16 M pl 3 Na figura 21c representa-se o diagrama de esforços para este parâmetro de carga. O diagrama de esforços é estaticamente determinado porque nas secções das rótulas plásticas o momento é igual ao momento plástico, positivo ou negativo, consoante a rotação da rótula. Os momentos indicados para as secções C e D são obtidos do equilíbrio da estrutura, sendo também indicados na figura 21c tendo-se: M B = M pl (por simetria) M C = M pl + 16 3 M pl 8 = 5 3 M pl > M pl Como o momento na secção C é superior a M pl a distribuição de esforços não é estaticamente admissível pelo que o parâmetro de carga s = 16 M pl 3 não é o parâmetro de carga último. Com base no diagrama de esforços da figura 21c pode obter-se uma distribuição de esforços estaticamente admissível considerando um parâmetro de carga Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 27

i = 3 5 16 3 M pl = 16 5 M pl Note-se que este parâmetro de carga foi obtido do valor de s, calculado anteriormente, multiplicado pelo factor 3/5 que é o necessário para que M C = M pl, repondo assim a verificação da admissibilidade estática. Na figura 21d representa-se o diagrama de momentos correspondente a i = 16 M pl 5. Figura 21c Figura 21d Da análise dos resultados obtidos conclui-se que o mecanismo considerado não é o mecanismo de colapso. Relativamente às cargas de colapso determinou-se um limite superior e um limite inferior pelo que se pode escrever 16 5 M pl u 16 3 M pl Como o mecanismo anterior não permitiu obter o mecanismo de colapso, uma vez que a condição de plasticidade não era verificada na secção C, ensaie-se um novo mecanismo, representado na figura 21e, com rótulas plásticas nas secções A, C e E. Figura 21e Figura 21f Por compatibilidade tem-se: A ; E ; C 2 ; B = D = 4 ; C = 2 Por aplicação do teorema cinemático obtém-se para este mecanismo W = ( 4 + 2 + 4 ) = U = M pl ( + 2 + ) = 4M pl PTV W = U s = 4M pl Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 28

Na figura 21f representa-se o digrama de momentos flectores definido pelos momentos plásticos nas secções da rótulas plásticas, sendo o seu sinal definido pela rotação das rótulas, e em equilíbrio com o parâmetro de carga calculado, o que conduz a M B = M D = -M pl + 6M pl 4 = M pl 2 Este diagrama é estaticamente admissível, pois para além de equilibrado verifica as condições de plasticidade em todas as secções, pelo que se tem i = s = u = 4M pl Saliente-se que este valor está compreendido entre os limites determinados na análise do primeiro mecanismo. O mecanismo de colapso está representado na figura 21e, sendo definido por rótulas plásticas nas secções A, C e E. O diagrama de momentos flectores no colapso é o representado na figura 21f com M B = M D = M pl 2. Exemplo 3.6. Na figura 22a representa-se uma viga contínua de três tramos, sendo o carregamento constituído por duas forças concentradas aplicadas a meio dos dois primeiros vãos. A estrutura tem um grau de hiperstaticidade = 2 pelo que são necessárias + 1 = 3 rótulas plásticas para formar um mecanismo global. Figura 22a Considere-se o mecanismo parcial, representado na figura 22b, definido por rótulas plásticas nas secções B e C. Por compatibilidade tem-se: B = 2 Figura 22b Figura 22c Por aplicação do teorema cinemático obtém-se para este mecanismo W = 2 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 29

U = M pl ( 2 + ) = 3M pl PTV W = U s = 6M pl Na figura 22c representa-se o diagrama de momentos flectores correspondente ao mecanismo adoptado, para o qual nas secções das rótulas plásticas o momento é igual ao momento plástico. O mecanismo adoptado é um mecanismo parcial uma vez que mobiliza apenas duas rótulas plásticas, número inferior às três rótulas necessárias para formar um mecanismo global, pelo que o diagrama de esforços não é totalmente determinado. Tem-se assim que os valores dos momentos M D e M E não são conhecidos, existindo para o seu cálculo apenas uma informação adicional que é o valor do parâmetro de carga já determinado. Para verificar se o parâmetro de carga calculado é o parâmetro de carga de colapso u da estrutura é necessário analisar a possibilidade de se encontrar uma distribuição de momentos estaticamente admissível, isto é, que verifique o equilíbrio e as condições de plasticidade. Para avaliar esta possibilidade considere-se M E = -M pl, ou seja, admita-se que o momento na secção E tem o máximo valor negativo possível. Fixado o valor de M E, e como o parâmetro de carga é conhecido, pode determinar-se o momento na secção D obtendo-se por equilíbrio M D = -M pl + 2 6M pl 4 = 2M pl Verifica-se que para s = 6M pl não é possível obter uma distribuição de momentos estaticamente admissível. Saliente-se que o valor de M E foi admitido igual a -M pl pois um valor mais negativo violaria a condição de plasticidade na secção E, enquanto que a um valor menos negativo corresponderia na secção D um momento maior do que 2M pl. Tendo em consideração que para M E = -M pl se tem M D = 2M pl pode calcular-se um valor do parâmetro de carga a que corresponda um diagrama de momentos estaticamente admissível, que por aplicação do teorema estático será um limite inferior do parâmetro de carga de colapso, tendo-se: i = 1 2 6M pl = 3M pl pelo que do primeiro mecanismo considerado se pode concluir que 3M pl u 6M pl Considere-se agora o mecanismo global, representado na figura 22d, definido por rótulas plásticas nas secções C, D e E. Por compatibilidade tem-se: D = 2 Por aplicação do teorema cinemático obtém-se para este mecanismo W = 2 2 = U = M pl ( + 2 + ) = 4M pl Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 30

PTV W = U s = 4M pl Na figura 22e representa-se o diagrama de momentos flectores correspondente ao mecanismo adoptado, para o qual nas secções das rótulas plásticas o momento é igual ao momento plástico. Como o mecanismo adoptado é um mecanismo global o diagrama de esforços é totalmente determinado, sendo o momento na secção B determinado com base em considerações de equilibro, tendo-se M B = - M pl 2 + 4M pl 4 = M pl 2 < M pl Figura 22d Figura 22e Verifica-se que para s = 4M pl tem se obteve um diagrama de momentos estaticamente admissível pelo que se i = s = u = 4M pl sendo o mecanismo de colapso o indicado na figura 22d e a correspondente distribuição de esforços a representada na figura 22e com o valor de M B = M pl. 3.4.2 Cálculo plástico de estruturas sujeitas a cargas distribuídas Os teoremas da análise plástica limite podem também ser aplicados com toda a generalidade aos casos em que existam cargas distribuídas aplicadas. Por comparação com os problemas em que apenas existem cargas concentradas, em que, devido ao carácter poligonal dos diagramas de momentos flectores, as secções onde se podem formar rótulas plásticas estão previamente definidas, os problemas com cargas distribuídas exigem um esforço adicional uma vez que, no caso geral, não é possível identificar previamente a localização das rótulas plásticas. Nos exemplos que se apresentam em seguida ilustra-se a aplicação dos teoremas da análise plástica limite a problemas com cargas distribuídas, em particular no que respeita ao cálculo do trabalho das forças exteriores, para aplicação do PTV na determinação do parâmetro de carga associado a cada mecanismo, e à determinação da localização das secções das rótulas plásticas. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 31

Para ilustrar o cálculo do trabalho das forças exteriores no caso de existirem cargas distribuídas considere-se o troço de uma barra representado na figura 23. O trabalho das forças exteriores aplicadas no comprimento infinitesimal dx é dado por dw = w(x) p(x) dx (28) Figura 23 Barra sujeita a uma carga distribuída O trabalho das forças exteriores aplicadas à barra é obtido por integração de dw ao longo do comprimento, tendo-se W = dw = w(x) p(x) dx (29) o o Se a carga distribuída for constante, ou seja p(x) = cte = p, tem-se que W = p w(x) dx = p A (30) o em que A representa a área descrita pelo comprimento carregado da barra no movimento associado ao mecanismo. Exemplo 3.7. Considere-se a viga biencastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuída representada na figura 24a. Figura 24a Para a aplicação do teorema cinemático é necessário definir a localização das três rótulas plásticas exigidas para a formação de um mecanismo global. Tendo em consideração as características de simetria da estrutura e do carregamento conclui-se que as rótulas plásticas se localizam nas secções dos apoios e na secção de meio vão, dando origem ao mecanismo representado na figura 25b. O parâmetro de carga associado ao mecanismo definido pode ser obtido por aplicação do PTV, tendo-se Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 32

W = p A = p 1 2 2 = p2 4 U = M pl ( + 2 + ) = 4M pl PTV W = U p s = 16M pl 2 Saliente-se que o trabalho das forças distribuídas foi obtido recorrendo à equação 30, ou seja, resulta do produto da carga p, constante, pela área A descrita pelo comprimento carregado da barra. Atribuindo às secções das rótulas plásticas os momentos plásticos com o sinal necessário à verificação das condições de paridade obtém-se o diagrama de momentos flectores indicado na figura 24c o qual é estaticamente admissível, pelo que se tem p i = p s = p u = 16M pl 2 Figura 24b Figura 24c Exemplo 3.8. Considere-se a viga encastrada-apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída representada na figura 25a. Figura 25a A formação de um mecanismo global exige a formação de duas rótulas plásticas. Tendo em consideração as características da estrutura e do carregamento uma das rótulas plásticas localizar-se-á na secção do encastramento. A localização da segunda rótula, necessária à formação de um mecanismo, não é conhecida pelo que será definida em função da variável a de acordo com o representado na figura 24b. A compatibilidade entre os deslocamentos e as rotações conduz a = (- a) = a 1 1 = - a a Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 33

Figura 25b Figura 25c Da aplicação do PTV tem-se W = p A = p 1 2 = p 2 ( a) + + 1 = ( 2 + - a ) a U = M pl ( ) M pl = + a a M pl PTV W = U p s = 2 + a a( - a) M pl = 2 1 + 2 (1 - ) M pl com = a O valor de p s é uma função de sendo um majorante de p u uma vez que foi obtido por aplicação do teorema cinemático. O parâmetro de carga de colapso p u corresponde ao menor dos valores de p s, pelo que se tem dp d = 0 (1 - ) (1 + )(1 2 ) = 0 2 + 2-1 = 0 = -1 ± 2 = 0.414 A solução do problema da localização da rótula plástica no vão da viga corresponde a a = ( 2 1) = 0.414 a que corresponde uma carga última de p u = (3 + 2 2) M pl 2 = 11,656 M pl 2 Na figura 25c representa-se o diagrama de esforços correspondente a este parâmetro de carga verificando-se que é estaticamente admissível, permitindo assim confirmar, por aplicação do teorema da unicidade, que o parâmetro de carga determinado é o de colapso. 3.4.3 Exemplos de cálculo plástico de pórticos Nos exemplos que se apresentam para o cálculo plástico de pórticos admite-se como hipótese que as secções apenas plastificam por flexão e que se pode desprezar o efeito do esforço axial na redução do momento flector plástico das secções. Exemplo 3.9. Considere-se o pórtico representado na figura 26a. A estrutura tem um grau de hiperstaticidade = 3 pelo que são necessárias quatro rótulas plásticas para formar um mecanismo global. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 34

Mecanismo 1 Admita-se o mecanismo associado à existência de rótulas na base e no topo dos montantes, usualmente designado por mecanismo de sway, representado na figura 26b. A aplicação do teorema cinemático conduz a Compatibilidade H = h = 2 3 W = H H = 2 3 U = M pl ( + + + ) = 4M pl PTV W = U s = 6M pl Figura 26a Da análise do diagrama de momentos flectores representado na figura 26c, e tendo em consideração o equilíbrio com as cargas aplicadas, obtém-se M C = 3M pl > M pl donde se conclui que o mecanismo arbitrado não é o mecanismo de colapso, tendo-se 3M pl u 6M pl Figura 26b Figura 26c Mecanismo 2 Admita-se agora o mecanismo associado à existência de rótulas nas extremidades e a meio vão da travessa (secções B, C e D) representado na figura 26d. Trata-se de um mecanismo parcial pois apenas exige a existência de três rótulas plásticas. A aplicação do teorema cinemático conduz a Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 35

Compatibilidade V = 2 W = V V = 2 2 = U = M pl ( + 2 + ) = 4M pl PTV W = U s = 4M pl Neste caso o diagrama de momentos flectores é indeterminado pois o mecanismo em análise é parcial, não permitindo definir o momento plástico num número suficiente de secções. Da análise do diagrama de momentos representado na figura 26e, e tendo como objectivo tentar maximizar o parâmetro de carga que é possível equilibrar, admita-se que no montante AB o momento flector é constante e igual a M pl. Esta hipótese permite calcular o momento na secção E recorrendo ao equilíbrio da estrutura obtendo-se M E = -M pl + 2 3 = 5 3 M pl > M pl donde se conclui que o mecanismo arbitrado não é o mecanismo de colapso, tendo-se 12 5 M pl u 4 M pl Figura 26d Figura 26e Mecanismo 3 Analise-se finalmente o mecanismo associado à existência de rótulas na base dos montantes (A e E) e nas secções C e D representado na figura 26f. Trata-se de um mecanismo global pois corresponde à existência de quatro rótulas plásticas. A aplicação do teorema cinemático conduz a Compatibilidade 1 = ; HB = HD 3 = 1 = HD = 3 h = 2 h 3 = 2 = VC = 2 HB = 2 3 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 36

W = H HB + V VC = 5 3 U = M pl ( 1 + ( 1 + 2 ) + ( 2 + 3 ) + 3 ) = 6M pl PTV W = U s = 18 5 M pl = 3,6M pl Em função da localização das rótulas e do sinal da respectiva rotação o valor diagrama de momentos flectores está definido nas secções A, C, D e E. O momento da secção B determina-se por equilíbrio, tendose M B - M pl 2 + 2 s 4 = M pl M B = - 3 5 M pl > - M pl ( M B < M pl ) pelo que o diagrama de momentos é estaticamente admissível. Conclui-se assim que i = s = u = 3,6M pl sendo o mecanismo de colapso o indicado na figura 26f e a correspondente distribuição de esforços a representada na figura 26g com o valor de M B = - 3 5 M pl. Figura 26f Figura 26g Nos casos mais correntes o momento plástico não é igual em todas as barras o que deve ser tido em consideração na avaliação da capacidade plástica da estrutura. Quando uma rótula plástica se localiza na junção entre duas barras com momentos plásticos diferentes deve considerar-se que a rótula plástica se forma na extremidade da barra com o menor daqueles momentos. A existência de dois momentos plásticos diferentes nas secções adjacentes ao nó de ligação das duas barras dever ser tida em consideração quer na aplicação do PTV, para determinar o valor do parâmetro de carga associado a um Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 37

mecanismo, quer na verificação da admissibilidade estática, para a aplicação do teorema estático. Exemplo 3.10. Considere-se o pórtico representado na figura 27a. Note-se que esta estrutura e o seu carregamento são idênticos aos do exemplo 3.9 com a única diferença de o momento plástico da travessa ser dado por M pl.travessa = 2M pl, mantendo-se o momento plástico dos montantes, ou seja, M pl.montantes = M pl. Para o mecanismo 3 analisado no exemplo 3.7, com rótulas plásticas em A, C, D e E, representado na figura 27b, as equações de compatibilidade são as mesmas que foram apresentadas anteriormente. Por aplicação do PTV tem-se W = H HB + V VC = 5 3 U = M pl 1 + 2 M pl ( 1 + 2 ) + M pl ( 2 + 3 ) + M pl 3 = 8M pl PTV W = U s = 24 5 M pl = 4,8M pl Figura 27a Em função da localização das rótulas e do sinal da respectiva rotação o valor diagrama de momentos flectores está definido nas secções A, C, D e E. O momento da secção B determina-se por equilíbrio tendo-se M B - M pl 2 + 2 s 4 = 2M pl M B = 1 5 M pl <M pl pelo que o diagrama de momentos é estaticamente admissível. Conclui-se assim que i = s = u = 4,8M pl sendo o mecanismo de colapso o indicado na figura 27b e a correspondente distribuição de esforços a representada na figura 27c com o valor de M B = 1 5 M pl. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 38

Figura 27b Figura 27c 3.4.4 Consideração da interacção entre o esforço axial e o momento flector no cálculo plástico de pórticos Nos exemplos apresentados na secção 3.4.3 não se considerou o efeito do esforço axial na redução do momento de plastificação das secções e a consequente redução da carga de colapso plástico da estrutura. Na figura 28 representa-se, a título de exemplo, o diagrama de interacção plástica entre o momento flector e o esforço axial de uma secção rectangular, sabendo-se que no caso de outras secções os diagramas são qualitativamente semelhantes, variando apenas em função das características geométricas das secções. Figura 28 Diagrama de interacção M-N de uma secção rectangular As soluções exactas, tendo em consideração a interacção entre o momento flector e o esforço axial, não podem ser obtidas de forma tão simples como as apresentadas anteriormente. Para obter as soluções exactas consultem-se os textos de Massonet [1] e Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 39

Horne [2]. Da análise das soluções de problemas em que se considera a interacção M-N verifica-se que a distribuição de esforços axiais nas estruturas é pouco dependente daquela interacção. Assim a interacção M-N das secções pode ser considerada de forma aproximada adoptando a seguinte metodologia: 1 - Determina-se o parâmetro de carga, o mecanismo de colapso e as distribuições de esforços considerando que os momentos plásticos das secções não dependem dos esforços axiais. 2 - Para as secções das rótulas plásticas determinam-se os valores dos momentos de plastificação em função dos níveis de esforço axial obtidos em 1. Admitindo que o mecanismo de colapso é o determinado no ponto 1 determina-se um valor aproximado do parâmetro de carga, tendo em consideração o efeito dos esforços axiais, assim como as distribuições de esforços correspondentes. Refira-se que a metodologia apresentada não garante a verificação da admissibilidade estática da distribuição de esforços uma vez que a distribuição de esforços axiais considerada na determinação dos momentos de plastificação não é, em geral, a mesma que corresponde ao parâmetro de carga final Exemplo 3.11. Considere-se a estrutura e o carregamento apresentados no exemplo 3.9. Considere-se ainda que o diagrama de interacção M-N é o representado na figura 28 para uma secção rectangular. Da solução obtida no exemplo 3.9 verifica-se que os esforços axiais nas barras são os indicados no quadro 2. Neste quadro indicam-se também os valores dos momentos de plastificação correspondentes aos níveis de esforço axial em cada uma das barras, admitindo-se que N pl = 20 M pl. Quadro 2 Esforços axiais e momentos de plastificação nas barras Barra N N/N pl M/M pl 1 (AB) 3,2 M pl 2 (BD) 3,0 M pl 3 (DE) 4,0 M pl 0,16 0,917 0,15 0,922 0,20 0,894 Tendo em consideração os valores dos momentos de plastificação obtidos em função dos níveis de esforço axial em cada secção tem-se, para o mesmo mecanismo de colapso obtido no exemplo 3.7, W = H HB + V VC = 5 3 = 1,667 U = 0,917M pl 1 + 0,922M pl ( 1 + 2 ) + 0,894M pl ( 2 + 3 ) + 0,894M pl 3 = 5,443M pl PTV W = U s = 3,265M pl Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 40

Em função da localização das rótulas e do sinal da respectiva rotação o valor diagrama de momentos flectores está definido nas secções A, C, D e E. O momento da secção B determina-se por equilíbrio, tendose M B - 0,894M pl 2 + 2 s 4 = 0,922M pl M B = -0,527M pl <M pl Na figura 29a representa-se o mecanismo de colapso sendo a correspondente distribuição de esforços a representada na figura 29b. Saliente-se que os momentos de plastificação não são, em geral, iguais nas duas barras adjacentes a um nó, sendo nestes casos necessário considerar que a rótula plástica se localiza na barra com menor momento de plastificação. Para o exemplo em análise esta situação ocorre no nó D, verificando-se que o momento de plastificação é menor na barra DE, pelo que é nesta barra que se considera a rótula plástica. Figura 29a Figura 29b O diagrama de momentos flectores apresentado na figura 29b é estaticamente admissível uma vez que equilibra as cargas aplicadas e verifica as condições de plasticidade, mesmo tendo em consideração a interacção M-N, pelo que o parâmetro de carga obtido ( u 3,265M pl ) é um valor aproximado por defeito do parâmetro de carga de colapso. Relembre-se que esta solução é aproximada uma vez que os momentos de plastificação em cada secção foram obtidos com uma distribuição de esforços axiais que não corresponde ao parâmetro de carga final. Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 41

3.5. Carregamentos paramétricos Analisou-se anteriormente a determinação do parâmetro de carga último quando o carregamento depende apenas de um único parâmetro de carga. Em determinadas condições pode tornar-se útil avaliar a capacidade última de estrutura em função de mais do que um parâmetro de carga, sendo possível definir as relações entre os parâmetros de carga associadas a cada mecanismo e avaliar, para uma dada relação entre os parâmetros de carga, qual o mecanismo condicionante e o valor do parâmetro de carga último associado. Exemplo 3.12. Para ilustrar uma situação em que existe mais do que um parâmetro de carga considere-se a viga do exemplo 3.6, apresentado anteriormente, mas com um carregamento em função de dois parâmetros de carga independentes 1 e 2, como se representa na figura 30a. Figura 30a - Viga contínua sujeita a um carregamento em função de dois parâmetros de carga independentes 1 e 2 Considerando o mecanismo representado na figura 30b, com rótulas plásticas em A, B e C, obtém-se, por aplicação do teorema cinemático, 1 = 6M pl /. Da análise do diagrama de momentos flectores apresentado na figura 30c, e para que a distribuição de esforços seja estaticamente admissível, é necessário que 2M pl 2 4 2 8M pl Figura 30b Figura 30c Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 42

Considerando agora um segundo mecanismo com rótulas plásticas em C, D e E, representado na figura 30d, obtém-se da aplicação do teorema cinemático 2 = 4M pl /. Da análise do diagrama de momentos flectores apresentado na figura 30e, e para que a distribuição de esforços seja estaticamente admissível, é necessário que 1 4 3 2 M pl 1 6M pl Figura 30d Figura 30e As condições que se obtiveram da análise dos dois mecanismos anteriores permitem obter o diagrama de interacção entre 1 e 2 representado na figura 30f. Da análise deste diagrama é possível saber quais os valores limites de 1 e 2 que tornam condicionantes os mecanismos 1 e 2 analisados. Conhecida a relação entre 1 e 2 é também possível, e com recurso ao mesmo diagrama, determinar qual o mecanismo condicionante e qual o parâmetro de carga associado. Figura 30f Considere-se novamente o exemplo 3.6. Tem-se neste exemplo que 2 = 2 1 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 43

Representando esta recta no diagrama de interacção entre 1 e 2 é possível verificar o resultado obtido no exemplo 3.6, ou seja, que o mecanismo condicionante é o que envolve a formação de rótulas plásticas em C, D e E, e que 2 = 2 1 = 2 = 8M pl, ou seja, = 4M pl. Exemplo 3.13. Considere-se o pórtico do exemplo 3.9, apresentado anteriormente, mas com as cargas função de dois parâmetros de carga independentes 1 e 2, como se representa na figura 31a. Figura 31a Mecanismo 1 - Na figura 31b representa-se o mecanismo correspondente à existência de rótulas plásticas nas secções A, B, D e E. Da aplicação do teorema cinemático obtém-se 2 = 6M pl. Da análise do diagrama de esforços apresentado na figura 30c, e de forma a garantir a admissibilidade estática, tem-se que 1 4 M pl 1 4M pl Figura 31b Figura 31c Mecanismo 2 - Na figura 31d representa-se o mecanismo correspondente à existência de rótulas plásticas nas secções B, C e D. Da aplicação do teorema cinemático obtém-se 1 = 8M pl. Da análise do diagrama de esforços apresentado na figura 31e, e de forma a garantir a admissibilidade estática, tem-se 2 M pl h 2 3M pl Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 44

Figura 31d Figura 31e Mecanismo 3 - Na figura 31f representa-se o mecanismo correspondente à existência de rótulas plásticas nas secções A, C, D e E.. Da análise do diagrama de esforços apresentado na figura 31g, e de forma a garantir a admissibilidade estática, tem-se 1 4 + M B - M pl 2 = M pl 2 = 3M pl + -M pl - M B h Figura 31f Figura 31g Tendo em conta que h=2/3 e eliminando M B destas duas equações obtém-se 2 = 9M pl - 3 4 1 A verificação da admissibilidade estática obriga a que M pl M B M pl pelo que os limites desta última equação são Se M B = -M pl 1 = 8M pl ; 2 = 3M pl Se M B = M pl 1 = 4M pl ; 2 = 6M pl As condições que se obtiveram da análise dos mecanismos permitem obter o diagrama de interacção entre 1 e 2 representado na figura 31h. Da análise deste diagrama é possível saber quais os valores limites de 1 e 2 que tornam condicionantes cada um dos mecanismos considerados. Conhecida a relação entre 1 e 2 é também possível, e com recurso ao mesmo diagrama, determinar qual o mecanismo condicionante e qual o Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 45

parâmetro de carga associado, deixando-se como exercício complementar obter a solução do problema do exemplo 3.9 com base no diagrama de interacção representado na figura 31h. Figura 31h 3.6. Conceito de redistribuição de esforços A aplicação de análise plástica limite permite obter uma distribuição de esforços no colapso. Esta distribuição é, em geral, diferente da distribuição de esforços obtida para o mesmo parâmetro da carga, mas através de uma análise elástica linear, e que serve frequentemente como referência no dimensionamento e verificação de segurança das estruturas. A diferença entre os diagramas de esforços obtidos, para um mesmo parâmetro de carga, através de análises elástica e plástica constitui um diagrama de esforços autoequilibrados, assim designado porque, embora diferente de zero, não equilibra nenhuma carga exterior, sendo frequentemente designado por diagrama de redistribuição de esforços. Com efeito, este diagrama autoequilibrado pode ser entendido como a redistribuição a introduzir nos diagramas de esforços obtidos através de uma análise elástica de forma a obter o diagrama obtido numa análise plástica. Exemplo 3.14. Na figura 32 representa-se a viga encastrada-apoiada submetida a uma carga concentrada a 1/2 vão estudada no exemplo 3.4. Com base numa análise plástica obtém-se um parâmetro de carga último u = 6M pl e a respectiva distribuição de momentos flectores. Para o mesmo parâmetro de carga obtém-se a distribuição de momentos com base numa análise elástica linear. A diferença entre os dois diagramas representa a redistribuição de esforços que é necessário introduzir para passar do diagrama obtido com uma Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 46

análise elástica para o diagrama obtido com uma análise plástica. Verifica-se que o diagrama de redistribuição de esforços é autoequilibrado, uma vez que não equilibra nenhuma carga exterior. Figura 32 Redistribuição de esforços numa viga encastrada apoiada Exemplo 3.15. De forma semelhante ao efectuado para o exemplo 3.12 representa-se na figura 33 a distribuição dos momentos flectores para a carga de colapso plástico da viga contínua do exemplo 3.6. São representados os diagramas obtidos através de uma análise plástica, de uma análise elástica linear e a redistribuição de esforços correspondente. Figura 33 Redistribuição de esforços numa viga contínua Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 47

Exemplo 3.16 De forma semelhante ao efectuado nos dois exemplos anteriores representa-se na figura 34 a distribuição dos momentos flectores para a carga de colapso do pórtico analisado no exemplo 3.9. São representados os diagramas obtidos através de uma análise plástica, de uma análise elástica linear e a redistribuição de esforços correspondente. Figura 34 Redistribuição de esforços num pórtico Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 48

4. REFERÊNCIAS [1] Massonet, Ch. y Save, M. Calcul Plastique des Contructions, Vol I. Centre Belgio uxenbourgeois d'informatión de l'acier (A.S.B..) 2ª Edición. Bruxelles, 1967. [2] Horne, M. R; Plastic Theory of Structures; Pergamon Press; 1979. 5. BIBIOGRAFIA COMPEMENTAR Davies, J. M. & Brown, B. A.; Plastic Design to BS 5950. The Steel Construction Institute; Blackwell Science; 1996. Manfred A. Hirt, Rolf Bez, Alain Nussbaumer; Construction métallique: notions fondamentales et méthodes de dimensionnement (TGC volume 10), Press Polytechniques et Universitaires Romandes, 2005 Estruturas Metálicas Análise plástica de estruturas 49