Capítulo Estatístca Descrtva Contnuação Prof. Fabríco Macel Gomes
Problema Uma peça após fundda sob pressão a alta temperatura recebe um furo com dâmetro especfcado em 1,00 mm e tolerânca de 0,5 mm: (11,75 1,5) Deseja-se DESCREVER as seguntes Varáves de Resposta: X: número de defetos por peça fundda Y: dâmetro do furo Para tanto, coletou-se dados de uma Amostra de 5 peças
Coleta de Dados Peça X : número de defetos Y : dâmetro do Furo (mm) Peça X : número de defetos Y : dâmetro do Furo (mm) 1 1,1 14 0 11,99 0 11,73 15 1,7 3 1 11,94 16 1 1,11 4 11,86 17 6 11,80 5 1 1,31 18 3 1,0 6 0 1,10 19 0 1,3 7 1 1,19 0 1 1,08 8 0 11,78 1 0 11,88 9 1,0 1 11,76 10 1 1,05 3 1,05 11 1 11,81 4 0 1,07 1 3 1,00 5 0 1,0 13 1 1,34
VARIÁVEL X : Número de Defetos por Peça Tabela de Dstrbução de freqüêncas: f frequênca ' p Ordem X (absoluta) (relatva) 1 0 8 3% 1 9 36% 3 5 0% 4 3 8% 5 4 0 0% 6 5 0 0% 7 6 1 4% total 5 100%
frequênca VARIÁVEL X : Número de Defetos por Peça DIAGRAMA DE BARRAS (Varável Dscreta) 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 defetos por peça
VARIÁVEL Y : Dâmetro de Furo (mm) Número de classes: k n (ntero) Ampltude da Amostra: R X max X mn Ampltude das classes: Exemplo da Fundção: h R k População: Total de peças produzdas Tamanho da Amostra: n = 5 peças Varável Y: dâmetro do furo (mm)
VARIÁVEL Y : Dâmetro de Furo (mm) Ampltude da amostra: R Y max Y mn 1,34 11,73 0,61 Número de classes: k n 5 5 Ampltude das classes: h R k 0, 61 5 01, h = 0,13
VARIÁVEL Y : Dâmetro de Furo (mm) Tabela de Dstrbução de freqüêncas: classe Dâmetro do Furo Valor médo Y frequênca 1 11,705 até 11,835 11,77 5 0% 11,835 até 11,965 11,90 3 1% 3 11,965 até 1,095 1,03 7 8% 4 1,095 até 1,5 1,16 6 4% 5 1,5 até 1,355 1,9 4 16% total 5 100% f ' p
VARIÁVEL Y : Dâmetro de Furo (mm) frequênca HISTOGRAMA (Varável Contínua) 8 7 6 5 4 3 1 0 11,77 11,90 1,03 1,16 1,9 Dâmetro do Furo (mm)
VARIÁVEL: Categora do Dâmetro de Furo Dstrbução de freqüênca: frequênca classe Dâmetro do Furo Categora absoluta relatva 1 < 11,75 11,75 até 1,5 3 > 1,5 abaxo da especfcação 1 4% dentro da especfcação 1 84% Acma da especfcação 3 1% total 5 100%
VARIÁVEL: Categora do Dâmetro de Furo Dâmetro Abaxo da Especfcação Dâmetro Dentro da Especfcação Dâmetro Acma da Especfcação
Meddas de Posção Méda Medana Quartl Decl Percentl Moda
Méda da População (Varável X): E(X) X N 1 x N X : -ésmo valor da Varável X N : tamanho da População X é um PARÂMETRO, sto é, um DETERMINADO NÚMERO, pos consdera TODOS os possíves valores da População
Méda da Amostra ou Méda Amostral: X X N 1 x X : -ésmo valor de uma Amostra da Varável X n : tamanho da Amostra n X é uma VARIÁVEL, pos depende dos valores de cada Amostra
Méda da Amostra ou Méda Amostral: X Dados em Tabela de freqüênca dos valores de uma dada Amostra da Varável X k 1 ' k 1 p x n f x X tamanhodaamostra : f n k 1 frequêncarelatva : n f p ' f : freqüênca do valor X
Méda da Amostra ou Méda Amostral: X Dados em Tabela de freqüênca das classes de uma dada Amostra da Varável X X k 1 x n f x : valor médo da classe f : freqüênca da classe k : número de classes
Méda Amostral: Exemplo da Fundção Varável X: número de defetos por peça Tabela de Dstrbução de freqüênca dos Valores Ordem Número de Defetos X frequênca f X f 1 0 8 0 1 9 9 3 5 10 4 3 6 5 4 0 0 6 5 0 0 7 6 1 6 total 5 31 X k 1 X n f 31 5 1,4
Méda Amostral: Exemplo da Fundção Varável Y: dâmetro do furo (mm) Tabela de Dstrbução de freqüênca das Classes Classe Dâmetro do Furo frequênca Y f 1 11,705 até 11,835 11,77 5 58,85 11,835 até 11,965 11,90 3 35,7 3 11,965 até 1,095 1,03 7 84,1 4 1,095 até 1,5 1,16 6 7,96 5 1,5 até 1,355 1,9 4 49,16 Y f total 5 300,88 Y k 1 Y n f 300,88 5 1,04
Medana: md Idéa: dvdr em partes um conjunto ordenado de valores 1 - Tabela com n valores ordenados: n: ímpar md = valor de ordem (n + 1)/ Exemplo: ordem 1 3 4 5 6 7 8 9 valor 35 36 37 38 40 40 41 43 46 n = 9 (n+1)/ = 5 valor de ordem 5 = 40 md = 40
Medana: md Idéa: dvdr em partes um conjunto ordenado de valores 1 - Tabela com n valores ordenados: n: par md = valor médo entre o de ordem n/ e o de ordem n/+1 Exemplo: ordem 1 3 4 5 6 7 8 valor 1 14 14 15 16 16 17 0 n = 8 valor de ordem n/ = 15 valor de ordem(n/) + 1 = 16 md 15 16 15,5
Medana: md Tabela de Dstrbução em classes de freqüêncas: md L md n F f md md h onde: L md : lmte nferor da classe que contém a medana n : tamanho da Amostra F <md : frequênca acumulada das classes anterores à classe que contém a medana f md : freqüênca da classe que contém a medana h : ampltude das classes
Medana: md Exemplo da Fundção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) Lmtes Reas classe Lm. nf. Lm. sup. frequênca absoluta f Acumulada F 1 11,705 11,835 5 5 11,835 11,965 3 8 3 11,965 1,095 7 15 4 1,095 1,5 6 1 5 1,5 1,355 4 5
Medana: md md L md n F f md md h md 11,965 5 8 7 0,13 1,04
Quartl: Q Idéa: dvdr em 4 partes um conjunto ordenado de valores numércos 0% 5% 50% 75% 100% Q 1 Q =md Q 3 Q 1 : Prmero Quartl Q : Segundo Quartl = Medana Q 3 : Tercero Quartl
ordem X 1 0 0 Exemplo da Fundção: Varável X: número de defetos por peça 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 Q 1 = 0 (prmero quartl) 9 1 10 1 11 1 1 1 13 1 14 1 Q = 1 (segundo quartl) 15 1 16 1 17 1 18 19 0 1 3 3 4 3 5 6 Q 3 = (tercero quartl)
peça Y 1 11,73 11,76 Exemplo da Fundção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) 3 11,78 4 11,80 5 11,81 6 11,86 7 11,88 Q 1 = 11,88 (prmero quartl) 8 11,94 9 11,99 10 1,00 11 1,0 1 1,05 13 1,05 14 1,07 Q = 1,05 (segundo quartl) 15 1,08 16 1,10 17 1,11 18 1,19 19 1,0 0 1,0 1 1,1 1,3 3 1,7 4 1,31 5 1,34 Q 3 = 1,0 (tercero quartl)
Quartl: Q Dstrbução em classes de freqüêncas: Q L Q n F 4 f Q Q h onde: L Q : lmte nferor da classe que contém o -ésmo Quartl n: tamanho da Amostra F <Q : frequênca acumulada das classes anterores à classe que contém o -ésmo Quartl; f Q : freqüênca da classe que contém o -ésmo Quartl; H : ampltude das classes
Quartl: Q Exemplo da Fundção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) Lmtes Reas classe Lm. nf. Lm. sup. frequênca absoluta f Acumulada F 1 11,705 11,835 5 5 11,835 11,965 3 8 3 11,965 1,095 7 15 4 1,095 1,5 6 1 5 1,5 1,355 4 5 Q 1 = valor de ordem 7 (5/4) classe Q = valor de ordem 13 (50/4) classe 3 Q 3 = valor de ordem 19 (75/4) classe 4
Quartl: Q Q L Q n F 4 f Q Q h Q1 11,835 1 5 4 3 5 0,13 11,89 Analogamente: Q =1,05 Q 3 =1,18
Box-Plot PE: Ponto Extremo (outler) BS: Barrera Superor = Q 1,5 ( Q Q ) 3 3 1 PS: Ponto Adjacente Superor Q 3 : Tercero Quartl Q : Segundo Quartl = Medana Q 1 : Prmero Quartl PI: Ponto Adjacente Inferor BI: Barrera Inferor = Q 1,5 ( Q Q ) 1 3 1 PE: Pontos Extremos (outlers)
Box-Plot Exemplo da Fundção: Varável X: número de defetos por peça X 17 = 6 Ponto Extremo (outler) BS = 5 BS Q 1,5 ( Q Q 3 3 1 ) BS 1,5 ( 0) 5 PS = 3 Q 3 = Q = 1 Q 1 = 0 PI = 0 (sem bgode nferor) BI Q1 1,5 ( Q3 Q1 ) BI = -3 BI 0 1,5 ( 0) 3
Box-Plot Exemplo da Fundção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) BS = 1,68 BS Q 1,5 ( Q Q ) 3 3 1 BS 1,0 1,5 ( 1,0 11,88) 1,68 PS = 1,34 Q 3 = 1,0 Q = 1,05 Q 1 = 11,88 PI = 11,73 BI = 11,40 BI Q1 1,5 ( Q3 Q1 ) BI 11,88 1,5 ( 1,0 11,88 11,40)
Decl Idéa: Dvdr o conjunto de dados em 10 partes guas 0% 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D 5 = medana
Percentl Idéa: Dvdr o conjunto de dados em 100 partes guas 0% 1% % 3% 50% 97% 98% 99% 100% P 1 P P 3 P 50 =md P 97 P 98 P 99
Moda: mo Valor de máxma freqüênca dentro de um conjunto de dados Dados em Tabela de frequênca dos valores Exemplo da Fundção: Varável X: número de defetos por peça frequênca f ' p Ordem X (absoluta) (relatva) 1 0 8 3% 1 9 36% 3 5 0% 4 3 8% 5 4 0 0% 6 5 0 0% 7 6 1 4% total 5 100% mo = 1
Moda: mo Dados em Tabelas de frequênca das classes Classe Modal: aquela(s) de maor freqüênca mo L d 1 d 1 d h L : lmte nferor da classe modal d 1 : dferença entre a freqüênca da classe modal e a medatamente anteror d : dferença entre a freqüênca da classe modal e a da medatamente segunte h : ampltude das classes
Moda: mo Dados em Tabelas de freqüênca das classes Exemplo da Fundção:Varável Y: dâmetro do furo (mm) Lmtes Reas classe Lm. nf. Lm. sup. f frequênca absoluta Acumulada F 1 11,705 11,835 5 5 11,835 11,965 3 8 3 11,965 1,095 7 15 4 1,095 1,5 6 1 5 1,5 1,355 4 5
Moda: mo mo L d 1 d 1 d h d 1 d 7 3 4 7 6 1 mo 11,965 4 4 1 0,13 1,07
Meddas de Dspersão Varânca Desvo padrão Coefcente de Varação Ampltude
Varânca da População: Var X X N 1 X N x X : -ésmo valor da Varável X x : Méda da População N : tamanho da População X é um PARÂMETRO, sto é, um DETERMINADO NÚMERO, pos consdera TODOS os possíves valores da População
Varânca da Amostra ou Varânca Amostral: s X S X N 1 X n 1 X X : -ésmo valor de uma Amostra da Varável X n : tamanho da Amostra S X é uma VARIÁVEL, pos depende dos valores de cada Amostra
Varânca Amostral n - 1 f x) (x S n 1 X 1 n n / ) f x ( f x S n 1 n 1 X equvalente
Varânca Amostral Exemplo da Fundção X: número de defetos por peça X f X f X f 1 0 8 0 0 1 9 9 9 3 5 10 0 4 3 6 18 5 4 0 0 0 6 5 0 0 0 7 6 1 6 36 total 5 31 83 s X 83 ( 31) 5 1 5 1,86
Varânca Amostral Exemplo da Fundção Y: dâmetro do furo (mm) Y f Y f Y f 1 11,77 5 58,85 69,66 11,90 3 35,7 44,83 3 1,03 7 84,1 1013,05 4 1,16 6 7,96 887,19 5 1,9 4 49,16 604,18 total 5 300,88 361,91 s Y 361,91 ( 300,88) 5 1 5 0,03
Desvo Padrão População: X X Amostra: s s x x Emprcamente: s 1 x s x c onde c: n 3 4 5 7 10 1 15 0 5 50 100 >100 c 0,7979 0,886 0,913 0,9400 0,9594 0,977 0,9776 0,983 0,9869 0,9896 0,9949 0,9975 1,0000
Desvo Padrão Exemplo da Fundção n = 5 c = 0,9896 X: número de defetos por peça s X 1,86 s X 1 0,9896 1,86 1,38 Y: dâmetro do furo (mm) s Y 0,03 s Y 1 0,9896 0,03 0,181
Coefcente de Varação: CV Idéa: relação entre Desvo padrão e Méda (%) População: Amostra: CV(X) X X 100 CV(X) s x x 100 Regra empírca: CV < 5% dspersão baxa 5% < CV < 30% dspersão moderada 30% < CV < 50% dspersão alta CV > 50% dspersão muto alta
Coefcente de Varação: CV Exemplo da Fundção: X: número de defetos por peça cv 1,38 1,4 X 111,3 % dspersão muto alta Y: dâmetro do furo cv 0,181 1,04 Y 1,5 % dspersão muto baxa
Ampltude: R(X) (R X) X máx X mn Exemplo da Fundção: X: número de defetos por peça X máx = 6 X mín = 0 R(X) = 6 0 = 6 Y: dâmetro do furo (mm) Y máx = 1,34 R(Y) = 1,34-11,73 = 0,61 Y mín = 11,73
Ampltude: R(X) Relação Empírca (útl para verfcação de erros grosseros): R/ 6 s R/3 Exemplo da Fundção: X: número de defetos por peça R(X) = 6 S X = 1,38 6 / 6 s 6 / 3 1 S X OK! Y: dâmetro do furo (mm) R(Y) = 0,61 S Y = 0,181 0,61/ 6 s 0,61/ 3 0,10 s 0,03 OK!