Equações Diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAS Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando cientistas físicos ou cientistas sociais usam cálculo, muitas vezes o fazem para analisar uma equação diferencial que tenho surgido no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estejam estudando. Embora seja quase impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial, veremos que as abordagens gráficas e numéricas fornecem a informação necessária. 2

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Um modelo matemático é uma descrição matemática de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, entre outros. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre um comportamento futuro. Um bom modelo simplifica a realidade o bastante para permitir cálculos matemáticos, mantendo, porém, uma precisão suficiente para conclusões apreciáveis. É importante entender as limitações do modelo. A palavra final está com a Mãe Natureza. 3

MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O modelo matemático frequentemente tem o formato de uma equação diferencial, isto é, uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso não surpreende, porque em um problema real normalmente notamos que as mudanças ocorrem e queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. 4

APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL MODELO DE MALTHUS Problemas populacionais nos levam às perguntas: 1. Qual será a população de certo local ou ambiente em alguns anos? 2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou de ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies? Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionadas com este problema, consideramos o modelo de Malthus que é um modelo de crescimento exponencial, em que baseia-se na premissa de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. É razoável presumir isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças). t = tempo variável independente P = número de indivíduos da população (variável dependente) A taxa de crescimento da população é a derivada dp dt. 5

APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL MODELO DE MALTHUS Assim a equação que descreve a taxa de crescimento da população, que é proporcional ao tamanho da população, é dada por: dp dt = kp onde k é a constante de proporcionalidade. Esta é uma EDO linear cuja solução é dada por: P t = P o e kt onde P 0 é a população inicial, P 0 = P 0. Portanto, 1. Se k > 0, a população cresce e continua a expandir para +. 2. Se k < 0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras será extinta. Observação: A longo prazo, k > 0 pode não ser adequado: o ambiente tem limitações, e o crescimento populacional é eventualmente inibido pela falta de recursos essenciais. 6

APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL 7

ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 10

ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Problemas de Diluição Exemplo: Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. No instante t = 0, começa-se a deitar (derramar) no tanque água pura à taxa de 5 litros por minuto, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. 16

ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Circuitos Elétricos A equação básica que rege a quantidade de corrente I(em ampères) em um circuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é di dt + R L I = E L 17

ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Circuitos Elétricos Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz E, e sem indutância (Fig. II), ligados em série. A equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é dq dt + 1 RC q = E R 18

ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Circuitos Elétricos Exemplo: Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t. 19

Exercícios de Aplicações 1. Um corpo à temperatura de 50 F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100 F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de 60 F, determine: a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75 F; R: 15,4 min. b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 79,5 F. 2. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0 F e após 20 min é 15 F, determine a temperatura inicial. R: 30 F. 3. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama de sal. No instante t=0, adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa. Determine: a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t; R: Q t = 100 99e 0,03t a) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal. R:0,338 min 20