COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA LUIZ DE QUEIROZ COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS Josiane Rodrigues Lilian Emerick Fernandes 2009

INTRODUÇÃO Comparação entre médias de tratamentos ou dos níveis de um fator de tratamentos; Hipóteses: Teste F Necessidade de continuar a análise estatística dos dados;

Níveis do fator são quantitativos: análise de regressão; Níveis do fator são qualitativos: comparações múltiplas;

COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS A técnica de comparações múltiplas permite testar hipóteses do tipo: onde: é a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator, com i = 1,..., I; é o número de repetições referente ao i-ésimo nível do fator ou tratamento, podendo = J para todo i; é o coeficiente associado a ou negativos; Impondo a restrição de que denomina-se contraste., podendo assumir valores positivos, a função linear Y

Um estimador não tendencioso de Y é cuja estimativa é dada por tal que:

Como Sob a hipótese de que

Se é um contraste quando com cuja a estimativa é obtida através de:

MÉTODO DOS CONTRASTES ORTOGONAIS APLICAÇÃO DO TESTE F O método dos contrastes ortogonais consiste em: Definir um conjunto de (I -1) contrastes ortogonais, representados por Y(h), com h = 1,,(I -1). Obs.: Define-se que dois contrastes: e para

Decompor os (I - 1) graus de liberdade associado à SQTratamentos, em (I - 1) componentes com um grau de liberdade, referente a soma de quadrados devido a Y(h), representada por SQY(h), de tal forma que: onde:

Seja um estimador não viezado de, cuja estimativa é dada por: tal que e independentes. Se para todo i = 1,,I então:

E a soma dos quadrados para Y(h) é: como, então:

Este método permite testar as seguintes hipóteses: através da aplicação do teste F (Snedecor), da seguinte maneira: Assim, pelo teste F, rejeita-se H 0, ao nível α de significância, quando F h F (α,1,n) onde n é o número de graus de liberdade do resíduo.

Exemplo - teste F Os dados apresentados a seguir referem-se ao enchimento de latas por seis máquinas, obtidos de um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualisado. A B C D E F 11,95 12.18 12,16 12,25 12,1 12,24 12 12,11 12,15 12,3 12,04 12.5 12,25 12,30 12,08 12,1 12,02 12,69 12,10 12,5 12,1 12,25 12,02 12,33 Testemos o seguinte conjunto de contrates:

Que podem ser escritas da seguinte maneira: As suas estimativas são obtidas de: h 1-0,55 2-0,79 3-0,55 4-0,41 Hipóteses: 5-1,58 Temos que:

Assim: Análise de Variância com Aplicação de Contrastes Ortogonais para as Maquinas Causas de Variação h SQY(h) 1 0,006 2 0,078 3 0,0189 4 0,021 5 0,312 GL SQ QM F Y(1) 1 0,006 0,390 Y(2) 1 0,078 4,844 Y(3) 1 0,0189 1,174 Y(4) 1 0,021 1,304 Y(5) 1 0,312 19,379 Maquinas 5 0.439 Resíduo 18 0,289 0,0161 Como não há evidências para aceitar e e concluindo-se que: De e de

APLICAÇÃO DO TESTE T Este método é recomendado, também, quando se deseja testar: para h = 1,,(I - 1). E, ainda, os contrastes de interesse devem ser ortogonais. Um estimador não tendencioso de é: e independentes.

Além disso: Para o caso de para todo i, então: A estatística do teste é: Que segue distribuição t de Student com n graus de liberdade.

Se, rejeita-se H 0, ao nível α de significância, e concluise que o valor obtido para é significativo.

Exemplo - teste T Consideremos o conjunto de contrastes do exemplo do teste F. Vamos testar as hipóteses: Pela aplicação do teste t: h 1 0.63 2 2.20 3 1.08 4 1.14 5 4.41 Como, não há evidências para aceitar e e conclui-se que: De e de

MÉTODO DE SCHEFFÉ O Método de Scheffé, utilizado para testar contrastes, mesmo que estabelecidos a posteriori deve ser aplicado apenas nos casos em que o valor de F for significativo. É indicado para testar as hipóteses: Onde:

Um estimador não tendencioso de Y é: Onde é um estimador não tendencioso de e independentes. Temos que: Para o caso de para todo i, então:

Os intervalos de confiança para todos os contrastes Y, com coeficiente de confiança 100(1- α)%, são obtidos de: Quando para todo i, então: Rejeita-se H 0, ao nível α de significância quando

Exemplo - teste de Scheffé Um experimento completamente casualisado foi conduzido para investigar o efeito da vitamina b12 e antibióticos na alimentação de suínos. A resposta foi a média de ganho de peso diário. Antibióticos Sejam os contrastes e as hipóteses a serem testadas são: A tabela de análise de variância é: Vitamina B12 0 5 1,30 1,26 0 1,19 1,21 1,08 1,19 1,05 1,52 40 1,00 1,56 1,05 1,55 Causas de Variação GL SQ QM F p-valor Antibiotico 1 0.020833 0.020833 5.6818 0.0442922 Vitamina 1 0.218700 0.218700 59.6455 0.00005622 Antibiotico:Vitamina 1 0.172800 0.172800 47.1273 0.0001290 Residuo 8 0.029333 0.003667

, Para o primeiro contraste temos que: Assim, um intervalo de confiança para Y é: E, portanto: Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para rejeitar, ou seja, não se identificou diferença entre o tratamento sem antibiótico dentre os tratamentos com ou sem vitamina.

Para o segundo contraste temos que: Assim, um intervalo de confiança para Y é: E, portanto: Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para aceitar, ou seja, se identificou diferença entre o tratamento com antibiótico dentre os tratamentos com ou sem vitamina.

Para o terceiro contraste temos que: Assim, um intervalo de confiança para Y é: E, portanto: Então, a um nível de significância de 5%, não há evidências para rejeitar, ou seja, não se identificou diferença entre o tratamento sem antibiótico e sem vitamina com o tratamento com antibiótico e sem vitamina.

Portanto, a combinação do tratamento com antibiótico e do tratamento com vitamina foi o que produziu melhores resultados.

MÉTODO DE TUKEY I( I 1) É recomendado quando se deseja testar todos os contrastes 2 do tipo Y, para 1 i i' I, cujas hipóteses são: i i' H 0 : i i ' 0 ou H 0 : i i' H a : ' 0 i i ou Ha : i i' Considerando um estimador não tendencioso de, tal que e independentes, demostra-se que : 1 1 P[[( yi yi' ) q(,1, n) Vˆ( yi yi' )] i i' [( yi yi' ) q(,1, n) Vˆ( yi yi' )]] 1 2 2 para os I( I 1) 2 contrastes.

Onde é a amplitude total estudentizada, encontrada na tabela de Tukey, com nível α de significância, I médias envolvidas e n graus de liberdade associado a Vˆ( ). y i y i' A diferença mínima significativa (DMS) obtida para o teste, ao nível α de significância é: Rejeita-se H 0, ao nível α de significância, quando Yˆ y i y i' DMS

Exemplo - Teste de Tukey Os dados apresentados a seguir referem-se a produção (Kg/100 m 2 ), de 4 variedades de milho, obtidos de um experimento instalado segundo o delineamento em blocos ao acaso. Fazendo a análise de variância: Causas de variação Variedade Blocos A B C D Totais I 34 26 37 23 120 II 26 37 45 28 136 III 33 42 39 30 144 IV 36 34 41 37 148 V 31 36 53 32 152 Totais 160 175 215 150 700 GL SQ QM F p-valor Blocos 4 160 40 Variedades 3 490 163,33 6,5333 0.007219 Resíduo 12 300 25 Como p-valor é significativo a um nível de 5%, temos, pelo teste de Tukey:

Tratamento Média Fazendo a diferença entre as médias dos tratamentos vem que: Médias comparadas A 32 B 35 C 43 D 30 Assim, temos que as médias dos tratamentos A e D são significativamente diferentes da média do tratamento C a um nível de significância de 5%. Ou seja, a variedade C é a mais produtiva. Diferença entre as médias A-D 2 B-D 5 C-D 13 B-A 3 C-A 11 C-B 8

MÉTODO DE DUNCAN É indicado para testar qualquer contraste entre duas médias de tratamentos, ou seja: H H a 0 : i i ' 0 : ' 0 i i ou ou H Ha 0 : i i' : i i' Leva em consideração o número de médias ordenadas em ordem crescente ou decrescente e abrangidas pelo contraste, representado por k.

A diferença mínima significativa (D k ) obtida para o teste, ao nível α de significância é: onde é a amplitude total estudentizada, a nível de proteção α, para k médias abrangidas e n graus de liberdade associado ao QMResíduo, obtida nas tabelas do teste de Duncan. Rejeita-se H 0, ao nível α de significância quando Onde e são estimadores não tendenciosos de i e respectivamente, além de serem independentes. i '

Exemplo - teste de Duncan Consideremos os dados apresentados na tabela abaixo, para comparar o efeito de cinco drogas na diminuição da pressão arterial: A B C D E Controle 25 10 18 23 11 8 17-2 8 29 23-6 27 12 4 25 5 6 21 4 14 35 17 0 15 16 6 33 9 2 Para fazer esse experimento um médico tomou 30 pacientes e dividiu-os ao acaso em seis grupos: o grupo controle recebeu um placebo e os outros grupos receberam, cada um, uma das drogas. Os valores apresentados na tabela são a diminuição da pressão arterial, dada pela diferença entre a pressão arterial no início e no fim do experimento.

Os dados da tabela foram submetidos à análise de variância: Causas de Variação GL SQ QM F p-valor Tratamentos 5 2354,17 470,83 13,08 0.000003318 Resíduo 24 864,00 36,00 Total 29 3218,17 Temos que p-valor é menor que 0,05 (nível de significância). A ordem dos tratamentos, segundo a grandeza das médias apresentadas é: Controle B C E A D (2) (8) (10) (13) (21) (29) Para comparar a média do controle com a média do tratamento D temos: D k 36 3,276 8,79 5 Como 2 29 27, então a média de D é significantemente maior que a média do controle ao nível de 5%.

Podem ser feitas agora as comparações entre controle e A, e entre B e D: D k 36 3,226 8,66 5 Como 2 21 19 e 8 29 21, então a média de A é significantemente maior que a média do controle, e a média de D também é significantemente maior que a média de B. Podem ser testadas agora as diferenças de médias entre controle e E, entre B e A e entre C e D: D k 36 3,160 8,48 5 As diferenças de médias entre controle e E(11), entre B e A(13) e entre C e D(19) são todas significantes ao nível de 5%.

Podem ser então comparadas as médias de tratamentos correspondendo a intervalos que abrangem três médias. Nesse caso: As diferenças de médias entre controle e C(8), e entre B e E(5) não são significantes. Esses resultados são indicados sublinhando os respectivos intervalos: Controle B C E A D

As diferenças de médias entre C e A(11) e entre E e D(16) são significantes. Para comparar médias duas a duas calcula-se: D k 36 2,919 7,83 5 que pode ser utilizada para comparar E com A e A com D. As diferenças entre médias são, nos dois casos, iguais a 8, e são, portanto, significantes. O resultado final da aplicação do teste de Duncan é representado da seguinte maneira: Controle B C E A D

MÉTODO DE DUNNETT Este método é recomendado quando se deseja testar um contraste do tipo: c Y Onde: é a média populacional do tratamento testemunha ou controle e i é a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator. As hipóteses são do tipo: c i H H 0 a : c i 0 : 0 c i Para i = 1,, p; sendo p o número de tratamentos excluindo o controle ou a testemunha.

Para a totalidade dos contrastes Y tem-se: P[[ Yˆ t ˆ ( ; p, n) Vˆ( Yˆ)] Y [ Y t( ; p, n) Vˆ( Yˆ)]] 1 Onde: sendo e estimadores não tendenciosos de e respectivamente, além de serem independentes. associadas a n graus de liberdade. Rejeita-se H 0, ao nível α de significância quando: onde é obtido nas tabelas do teste de Dunnett.

Exemplo - teste de Dunnett Suponhamos que queremos comparar, no mesmo exemplo do teste de Duncan, as médias dos tratamentos apenas com a média do controle. A análise de variância está, mais uma vez, apresentada na tabela abaixo: Causas de Variação GL SQ QM F p-valor Tratamentos 5 2354,17 470,83 13,08 0.000003318 Resíduo 24 864,00 36,00 Total 29 3218,17 Temos que p-valor é menor que 0,05 (nível de significância). As médias dos grupos tratados podem ser comparadas com a média do grupo controle através do teste de Dunnett. Para isso, temos que : 72 72 t(, p, n) Vˆ( Yˆ) t(0.05,5,24) 2,70 10,25 5 5

As médias dos grupos tratados e a média do grupo controle estão apresentados na tabela abaixo: Fazendo os valores absolutos das diferenças entre as médias dos grupos tratados e a média do grupo controle: Controle e A: Controle e B: Controle e C: Controle e D: Controle e E: 2 21 19 2 8 6 2 10 8 2 29 27 2 13 11 Tratamento Média A 21 B 8 C 10 D 29 E 13 Controle 2 Temos que as médias dos tratamentos A, D e E diferem, a um nível de significância de 5%, da média do grupo do controle. Assim, podemos concluir que os tratamentos A, D e E apresentaram, em média, resultados melhores que o do controle.

Bibliografia NOGUEIRA, M. C. S., Experimentação Agronômica I conceitos, planejamentos e análise estatística. Piracicaba. São Paulo. 2007. PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental, Livraria Nobel. São Paulo. São Paulo. 1990. VIEIRA, Sonia. Estatística Experimental.- 2ª ed. ATLAS São Paulo. São Paulo. 1999