Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz

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1 0 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Uma revisão da análise de experimentos unifatoriais com tratamentos de natureza quantitativa: Comparações Múltiplas ou Análise de Regressão? Josiane Rodrigues Dissertação apresentada para obtenção do título de mestre em Ciências. Área de concentração: Estatística e Experimentação Agronômica Piracicaba 2011

2 1 Josiane Rodrigues Licenciada em Matemática Uma revisão da análise de experimentos unifatoriais com tratamentos de natureza quantitativa: Comparações Múltiplas ou Análise de Regressão? Orientadora: Prof.ª Dra. SÔNIA MARIA DE STEFANO PIEDADE Dissertação apresentada para obtenção do título de mestre em Ciências. Área de concentração: Estatística e Experimentação Agronômica Piracicaba 2011

3 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação DIVISÃO DE BIBLIOTECA - ESALQ/USP Rodrigues, Josiane Uma revisão da análise de experimentos unifatoriais com tratamentos de natureza quantitativa: Comparações Múltiplas ou Análise de Regressão? / Josiane Rodrigues. - - Piracicaba, p. : il. Dissertação (Mestrado) - - Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Bibliografia. 1. Análise estatística de dados 2. Análise de regressão e de correlação 3. Análise de variância 4. Comparações múltiplas 5. Delineamento experimental I. Título CDD R696r Permitida a cópia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte O autor

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5 3 Dedico este trabalho primeiramente a Deus, meu querido Amigo de todos os momentos, minha fonte de vida e sabedoria. Aos meus pais, pelo amor incondicional e pela paciência. Ao meu namorado, pela constante companhia, carinho e apoio. À minha querida irmã, pelo companheirismo e amizade, e também aos meus avós, pelo exemplo de coragem, simplicidade e persistência.

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7 5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por me iluminar pelos caminhos da vida, fazendo-se presente com seus dons em todos os momentos dessa trajetória, fossem eles de alegria ou tribulação, tornando possível a realização de mais um sonho, de mais uma etapa de minha vida pessoal e profissional. Aos meus pais Sônia e Antonio, pelo amor que sempre cultivaram por mim, por terem feito tudo o que estava ao seu alcance para me oferecer a oportunidade de aprimorar meus conhecimentos, ir em busca de meus ideais, acreditando em meus sonhos e me respeitando em minhas decisões. Pelo referencial que foram e continuam sendo para mim, pelo exemplo de honestidade e fé. Aos meus queridos avós que pela graça de Deus estão ao meu lado: Dalva, Gilda e Osvaldo. Pelo exemplo de simplicidade e perseverança que representam para mim. Pelas palavras sábias e amigas, pelos momentos de alegria, pelos conselhos que sempre me proporcionam e, principalmente, pela amizade. Também agradeço ao meu avô Antonio, que vive agora na presença de Deus, e que onde quer que esteja, tenho a certeza de que olha por mim. Pelos momentos inesquecíveis de minha infância que me proporcionou, pelo coração enorme, pelo amor terno de avô. Suas netas jamais se esquecerão de ti. Agradeço também ao meu namorado Emanuel, pela constante presença em todos os momentos, especialmente nas dificuldades. Pelo seu apoio, carinho e paciência. Obrigada por acreditar em meus sonhos e por me ajudar a construí-los. Melhor companhia em todos esses anos, não poderia encontrar. À minha querida irmã Cristiane, e, além de irmã, melhor amiga. Obrigada pela amizade, pela companhia constante. Obrigada mesmo que por inconscientemente, me incentivar. Quem encontrou um amigo, encontrou um tesouro. Eis aí o meu tesouro: a sua eterna amizade. A todos os familiares que torceram e acreditaram na conclusão de mais uma etapa, meus sinceros agradecimentos. Aos amigos da turma de mestrado, pelas agradáveis lembranças que ficarão guardadas eternamente.

8 6 Aos meus professores, em especial minha orientadora Sônia, pelas aulas, explicações, incentivos. Obrigada por tudo que me ensinaram, me auxiliando em minha formação técnica e profissional, tornando possível a realização deste trabalho. Aos funcionários do Departamento de Ciências Exatas, pelo apoio, atenção e, principalmente, pela amizade. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, pelo apoio financeiro durante o desenvolvimento deste trabalho. Sem cada um de vocês, este sonho não seria possível.

9 7 Eu procuro por mim. Eu procuro por tudo que é meu e que em mim se esconde. Eu procuro por um saber que ainda não sei, mas que de alguma forma já sabe em mim. Eu sou assim... processo constante de vir a ser. O que sou e ainda serei são verbos que se conjugam sob áurea de um mistério fascinante. Eu me recebo de Deus e a Ele me devolvo. Movimento que não termina, porque terminar é o mesmo que deixar de ser. Eu sou o que sou na medida em que me permito ser. E quando não sou é porque o ser eu não soube escolher. Fábio de Melo

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11 9 SUMÁRIO RESUMO...11 ABSTRACT INTRODUÇÃO REVISÃO DE LITERATURA Considerações gerais O uso da Regressão na Análise de Variância Regressão Linear Coeficiente de Correlação de Pearson O Método dos Polinômios Ortogonais Um exemplo da Regressão Polinomial aplicada a dados sem repetição Procedimentos de Comparação de Médias Método dos Contrastes Ortogonais Aplicação do Teste F Aplicação do Teste T Método de Scheffé Método de Bonferroni Método de Duncan Teste de Tukey Método de Dunnett DESENVOLVIMENTO Artigos relevantes Exemplificação das categorias de classificação Experimentos unifatoriais com tratamentos de natureza quantitativa Experimentos fatoriais Experimentos com tratamentos qualitativos estruturados Compreensão dos autores Análise dos dados Experimento I Aplicação do Método dos Polinômios Ortogonais na Análise de Variância...85

12 Aplicação de um Teste de Comparação Múltipla Experimento II Aplicação do Método dos Polinômios Ortogonais na Análise de Variância Aplicação de um Teste de Comparação Múltipla Comparação dos resultados CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS ANEXOS

13 11 RESUMO Uma revisão da análise de experimentos unifatoriais com tratamentos de natureza quantitativa: Comparações Múltiplas ou Análise de Regressão? O presente trabalho teve por objetivo fazer uma reflexão acerca do uso de testes de comparações múltiplas e da análise de regressão no estudo de experimentos unifatoriais cujos tratamentos são níveis de um fator quantitativo, para comparar os resultados e informações que são trazidas por cada uma dessas análises, verificando suas eventuais vantagens e limitações. De acordo com os objetivos propostos pelo presente trabalho, foi feita, depois de realizada a revisão bibliográfica sobre a análise de regressão e alguns dos testes de comparação de médias, um levantamento acerca de artigos cujo objetivo principal era o de fazer uma investigação de trabalhos publicados em jornais, revistas ou periódicos nos quais se utilizou algum procedimento de comparação de médias verificando assim a adequação desses testes às análises estatísticas realizadas. Essa revisão demonstrou que um número significativo de pesquisadores utiliza de procedimentos de comparações múltiplas em análises estatísticas de experimentos unifatoriais nos quais os tratamentos envolvidos são níveis de um fator quantitativo, o que é considerado por alguns como um procedimento inadequado. Assim sendo, foram analisados também dados de experimentos unifatoriais com tratamentos dessa ordem, que foram submetidos a uma análise de regressão e também a um procedimento de comparação múltipla das médias, com o objetivo de verificar quais as vantagens e limitações de cada um desses procedimentos na análise do experimento em questão. Nessa comparação ficou claro que o uso de procedimentos de comparações múltiplas na análise de experimentos unifatoriais envolvendo tratamentos quantitativos pode resultar na redução de informações e também da eficiência dos resultados, quando procedimentos mais apropriados, nesse caso, a análise de regressão, estão disponíveis para analisar dados dessa natureza. Palavras-chave: Experimentos unifatoriais; Tratamentos quantitativos; Testes de comparações múltiplas; Análise de regressão; Interpretação dos resultados do experimento

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15 13 ABSTRACT A review of the analysis of unifactorial experiments with quantitative treatments: Multiple Comparisons or Regression Analysis? The present work had like purpose to make a reflection about the use of multiple comparison tests and of the regression analysis on learning of unifactorial experiments whose treatments are levels of a quantitative factor, to compare the results and information are brought for each one of the analysis, verifying the eventual advantages and limitations of them. According to the purposes of the present work, was realized, later the bibliographical revision about regression analysis and some of the mean comparison tests was done, a survey about articles whose principal aim was to make a raising of works published at newspapers, magazines or periodicals where was used some mean comparison procedure verifying the adaptation of these tests to the statistical analysis realized. This revision demonstrated that a revealing number of searchers use multiple comparison procedures at analysis of unifactorial experiments whose treatments involved are levels of a quantitative factor, what is considered for some searchers like an inadequate procedure. Of this way, the data of unifactorial experiments, whose treatments were levels of a quantitative factor, were analyzed too, that were submitted to a regression analysis and to a multiple comparison procedure, with the aim of verifying the advantages and limitations of each one of these procedures at the analysis of the experiment. At this comparison, was clear that the use of multiple comparison procedures at analysis of experiments involving quantitative experiments can result in loss of information and reduced efficiency of the results, when more appropriate procedures, in this case, the regression analysis, are available to analyze this kind of data. Keywords: Unifactorial experiments; Quantitative treatments; Multiple comparison tests; Regression Analysis; Interpretation of experimental results

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17 15 1 INTRODUÇÃO Em experimentos agronômicos, o objetivo de uma análise estatística dos dados é conhecer de que forma as unidades experimentais respondem aos tratamentos aplicados, de forma a verificar se existem ou não diferenças entre as médias dos tratamentos em estudo, além de encontrar também, no caso dessa diferença ser significativa, qual(is) o(s) tratamento(s) produz(em) a resposta desejada. De acordo com NOGUEIRA (2007), existem dois procedimentos possíveis nessa análise dos dados, de forma a comparar os tratamentos em estudo: A análise de regressão; A aplicação de testes de comparação de médias. A análise de regressão consiste em ajustar uma curva aos dados obtidos em experimentos cujos tratamentos são de natureza quantitativa, curva essa que descreve, quando significativa, uma relação entre variável(is) explanatória(s) e variável resposta. Os testes de comparação de médias (TCM) também permitem comparar as médias de tratamentos. Esses testes, segundo Cardellino e Siewerdt (1992), consistem em fazer a comparação de todas as médias de tratamentos entre si, no caso de tratamentos qualitativos não estruturados, por meio de testes de comparações múltiplas ou, no caso de tratamentos qualitativos estruturados, por meio da aplicação de contrastes ortogonais para a comparação entre grupos de médias. Aqui, entendemos por tratamentos estruturados os casos em que no conjunto deles apareçam tratamentos formados pela adição de um ou mais fatores. Diferentemente do que acontece na análise de regressão, na qual não há como empregá-la para analisar experimentos cujos tratamentos são de natureza qualitativa, o uso de testes de comparações múltiplas é também utilizado por pesquisadores para analisar experimentos unifatoriais cujos tratamentos são níveis de um fator quantitativo, o que é tido por muitos pesquisadores como um procedimento inadequado. De acordo com Petersen (1977), por exemplo, para experimentos nos quais os tratamentos são níveis de um fator quantitativo, um procedimento mais apropriado na

18 16 análise dos dados é ajustar uma curva aos mesmos, utilizando técnicas de regressão, pois, de acordo com o autor, esse é um procedimento mais informativo nesses casos. Os testes de comparações múltiplas, segundo Cousens (1988), requerem tratamentos não estruturados. Se os tratamentos de um experimento são estruturados (no caso de séries quantitativas de tratamentos com vários níveis, por exemplo), e são submetidos a testes de comparações múltiplas, informações úteis são ignoradas e conclusões erradas e sem sustentação estatística podem ser extraídas (COUSENS, 1988, apud SPADOTTO et al., 1994, p.60). Para aplicação do teste de médias, a pressuposição básica é independência entre os níveis ou tratamentos. Nos ensaios dose-resposta não é possível considerar essa independência, uma vez que a resposta esperada é a observada no nível anterior, acrescida ou reduzida de um valor. Portanto, os testes de média não se aplicam para esse tipo de ensaio (SAKOMURA; ROSTAGNO, 2007, p.160). Segundo Pimentel (1987), quando os tratamentos quantitativos têm mais de dois níveis, é essencial considerar a equação de regressão. No entanto, de acordo com Cardellino e Siewerdt (1992), é notável o número de pesquisadores que fazem uso de algum teste de comparações múltiplas de médias ao analisá-los. Dentro dos objetivos do presente trabalho, será feita, depois de realizada a revisão bibliográfica sobre a análise de regressão aplicada à análise de variância por meio do método dos polinômios ortogonais, e alguns dos testes de comparação de médias, uma revisão acerca de artigos cujo objetivo principal foi o de fazer um levantamento de trabalhos publicados em jornais, revistas ou periódicos nos quais se utilizou algum procedimento de comparação de médias verificando a adequação desses testes às análises estatísticas realizadas, uma vez que é sabido que muitos pesquisadores utilizam desses procedimentos em análises estatísticas de experimentos unifatoriais nos quais os tratamentos envolvidos são níveis de um fator quantitativo. Nessa análise se buscará saber a proporção em que procedimentos de comparações múltiplas são empregados para se analisar experimentos unifatoriais com tratamentos dessa natureza, além da opinião e sugestão dos autores diante desse fato. Serão

19 17 analisados, por fim, dados de experimentos unifatoriais cujos tratamentos são níveis de um fator quantitativo, que serão submetidos inicialmente a uma análise de variância, de acordo com o delineamento experimental ao qual os tratamentos foram submetidos, para, em sequência, no caso de diferença significativa entre as médias populacionais dos tratamentos o que é de interesse da pesquisa, submetê-las a uma análise de regressão e também a um teste de comparação múltipla das médias, de acordo com o objetivo do experimento, de forma a comparar os resultados obtidos com cada um desses procedimentos, para então averiguar quais são as vantagens e limitações de cada uma dessas análises em cada um dos casos, fazendo assim uma reflexão acerca do assunto.

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21 19 2 REVISÃO DE LITERATURA 2.1 Considerações gerais Em experimentos agronômicos, como citado na introdução do presente estudo, o objetivo de uma análise estatística dos dados é conhecer de que forma as unidades experimentais respondem aos tratamentos aplicados, de forma a verificar se existem ou não diferenças entre as médias dos tratamentos em estudo, além de encontrar também, no caso dessa diferença ser significativa, qual(is) o(s) tratamento(s) que produz(em) a resposta desejada. Com esse fim, é feita inicialmente uma análise de variância (ANOVA) dos dados. A análise de variância é uma técnica que consiste na decomposição da variância total e dos graus de liberdade em partes atribuídas a causas conhecidas e independentes, ou seja, fatores controlados, e a uma porção residual de origem desconhecida e natureza aleatória ou fatores não controlados (BANZATTO; KRONKA, 2006, apud BERTOLDO et al., 2008, p.147). Essa análise inicial tem como objetivo testar a seguinte hipótese, conhecida como hipótese de nulidade ou de igualdade: onde: corresponde a média populacional do i-ésimo tratamento; corresponde ao número de tratamentos envolvidos no experimento.

22 20 Essa hipótese é testada na análise de variância por meio do teste. Se, a um nível de significância, existir evidências para se rejeitar a hipótese nula, então se aceita a seguinte hipótese, conhecida como hipótese alternativa: Se as evidências forem para rejeitar a hipótese nula e aceitar a hipótese alternativa, então se tem que pelo menos duas médias de tratamentos diferem entre si, mas, no entanto, não se sabe quais são essas médias, ou seja, a qual dos tratamentos elas estão relacionadas. Logo, existe a necessidade de uma continuação da análise dos dados do experimento. De acordo com Nogueira (2007), como dito anteriormente, existem dois procedimentos possíveis nessa análise continuada dos dados, de forma a verificar quais dos tratamentos produzem os melhores efeitos, de acordo com o interesse do pesquisador: A análise de regressão; A aplicação de testes de comparação de médias. A análise de regressão consiste em ajustar uma curva aos dados obtidos em experimentos cujos tratamentos são de natureza quantitativa, curva essa que descreve, quando significativa, uma relação entre variável(is) explanatória(s) e variável resposta. Como a análise de regressão somente é aplicada no caso em que os tratamentos são quantitativos, como por exemplo, dados de temperatura, pressão, umidade, ph, concentração, níveis de um fertilizante, dentre outros, então não há um emprego inadequado dessa técnica no que diz respeito ao seu uso na análise de experimentos com tratamentos qualitativos, afinal, ela não é aplicável a dados dessa natureza.

23 21 Diferentemente do que acontece na análise de regressão, na qual não há como empregá-la para analisar experimentos cujos tratamentos são de natureza qualitativa, o uso de testes de comparação de médias é também utilizado por pesquisadores para analisar experimentos unifatoriais cujos tratamentos são níveis de um fator quantitativo. Petersen (1977), por exemplo, ao avaliar procedimentos de comparações múltiplas para analisar resultados de experimentos agronômicos publicados em artigos no Agronomy Journal, volume 67, de 1975, verificou que 40% dos autores utilizaram os testes de forma inadequada, 30% de forma parcialmente adequada e 30% de forma adequada, sendo, segundo o autor, a utilização de um teste de comparação múltipla na análise de experimentos unifatoriais com tratamentos quantitativos, uma das causas responsáveis pela porcentagem de procedimentos inadequados. Cardellino e Siewerdt (1992), também ao analisarem o emprego de testes de comparação de médias na Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, de 1984 a 1989, verificaram que em 64,2% dos artigos que usaram de algum teste de comparação de médias, o fizeram de forma inapropriada. Ainda, segundo os últimos autores, os tipos de inadequação cometidos com maior frequência ao usar alguns desses testes são: A comparação de níveis de um fator quantitativo, onde o apropriado, segundo os autores, seria o ajuste de uma equação de regressão; A comparação de médias marginais em experimentos fatoriais, sem levar em conta possíveis interações entre os fatores. Embora o uso inadequado dos testes de comparação de médias na análise de experimentos fatoriais seja frequente, o que poderia estar justificando a alta incidência de inadequações nesse caso pode ser devido ao despreparo dos pesquisadores ao lidarem com experimentos um tanto quanto mais complexos, no que diz respeito a sua composição e análise. Em todos esses casos, de acordo com Bezzera Neto et al. (2002), o pesquisador pode chegar a interpretações equivocadas dos resultados de seu experimento, bem como a tirar conclusões erradas.

24 22 No entanto, apesar do alto índice de análises inadequadas em experimentos fatoriais de uma forma geral, o enfoque dessa pesquisa será dado à análise de experimentos unifatoriais onde os tratamentos são níveis de um fator quantitativo, uma vez que o uso de testes de comparações múltiplas é notável nesses casos e muitos pesquisadores o consideram como inadequado, apontando como melhor alternativa para analisá-los à análise de regressão. 2.2 O uso da Regressão na Análise de Variância A análise de regressão é uma das técnicas mais utilizadas para pesquisar e modelar o relacionamento existente entre duas ou mais variáveis explicativas (ou regressoras) e a variável resposta (também conhecida por variável dependente). Sinteticamente falando, a teoria de regressão teve origem no século XIX com Francis Galton ( ), um antropologista, meteorologista, matemático e estatístico inglês. Em um de seus trabalhos, ele estudou a relação entre a altura dos pais e dos filhos, procurando saber de que forma elas estavam relacionadas. Galton notou que quando o pai era muito alto ou, ao contrário, muito baixo, o filho teria uma altura próxima à altura média e, por esse motivo, ele chamou essa técnica de regressão, pois existe uma tendência dos dados regredirem à média. (DEMÉTRIO; ZOCCHI, 2006, p.20 1 ) Regressão Linear De acordo com Pimentel (1990), na análise de dados de natureza quantitativa, existe uma suposição de dependência entre variável explicativa e variável resposta. Isso acontece, por exemplo, no caso em que os tratamentos são os níveis de um fator, dados de temperatura, pressão, ph, dentre outros. Nesses casos se justifica a existência de uma correspondência funcional que associe os valores dos tratamentos 1 Disponível em Acesso em: 01 ago

25 23 (da variável explicativa) aos dados obtidos pelo experimento (variável resposta). Essa correspondência funcional é dada pelo que chamamos de equação de regressão. Se existir conhecimento suficiente para especificar a forma matemática do relacionamento entre a variável resposta y e o fator ou a variável experimental x (ex.: logística, lei de Mitscherlich, lei de Gompertz, etc.), esta equação particular deve, é claro, ser ajustada aos dados. No entanto, na maior parte da experimentação agrícola, a relação matemática é tão complexa que nós temos que recorrer a sua aproximação por meio de uma forma polinomial de grau k (CHEW, 1976, p.349). Trad. de: Rodrigues, Josiane. Geralmente, de acordo com Petersen (1977), o ajuste de um polinômio de grau dois é suficiente para descrever a relação existente entre variável explanatória e variável resposta. Consideremos os dados fictícios apresentados na Tabela 1, onde se supõe cinco tratamentos e quatro repetições para cada um deles, num experimento segundo o delineamento inteiramente casualizado. Tabela 1 Doses de adubo utilizadas ( ) e respectivos totais obtidos com cada um dos tratamentos nas quatro repetições ( ), num experimento segundo o delineamento inteiramente casualizado Dose de adubo Total obtido com a dose nas quatro repetições Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p.

26 24 Uma análise variância dos dados, sem levar em conta a regressão, e assumindo que, está apresentada na Tabela 2, dada a seguir. Tabela 2 Análise de variância para os dados apresentados na Tabela 1 Causas de variação Graus de liberdade Somas de quadrados Quadrados médios Tratamentos 4 1,70 0,425 3,04 Resíduo 15 2,10 0, Total 19 3, Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. F A um nível de significância de 5%, tem-se que. Como, então poderíamos dizer que não há evidências de diferença significativa entre os tratamentos, a esse nível de significância. No entanto, esses valores estão muito próximos, e, ao analisar os dados da Tabela 1, observa-se que quanto maior as doses de adubo, maior os valores totais associados a esses tratamentos. Portanto, uma análise de variância sem levar em conta a regressão, no presente caso, não estaria de acordo com a realidade observada, afinal, parece haver relação entre as variáveis e, portanto, diferença entre os tratamentos. Consideremos agora os dados mostrados pela Tabela 3, nos quais a influência comentada acima não aparece.

27 25 Tabela 3 Doses de adubo utilizadas ( ) e respectivos totais obtidos com cada um dos tratamentos nas quatro repetições ( ), num outro experimento segundo o delineamento inteiramente casualizado Dose de adubo Total obtido com a dose nas quatro repetições Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. Em seguida segue uma análise dos dados que leva em conta a regressão. Considerando inicialmente que se trata de uma regressão linear, que é a mais simples, tem-se que a reta estimada será da forma: onde representa a variável resposta estimada no ponto. As estimativas de e, como já sabido, são obtidas da seguinte maneira: onde e são as médias de e, respectivamente, e representa o número total de observações do experimento.

28 26 No exemplo corrente, assumindo que: e substituindo as eq. (6), (7), (8) e (9) na eq. (4) segue que: Além disso, temos que:

29 Produção por parcela 27 E, portanto, substituindo as eq. (10), (11) e (12) na eq. (5) vem que: Assim, a equação de regressão estimada, obtida a partir da eq. (3), é dada da seguinte forma: Graficamente, essa relação é expressa pela Figura 1. Dose de adubo Figura 1 Gráfico da equação de regressão linear estimada para a produção total por parcela, de acordo com a dose de adubo utilizada Fonte: Software Maple.

30 28 A soma de quadrados da regressão linear é dada por: Logo, da eq. (15) segue que: Finalmente, a soma de quadrados para os desvios da regressão pode ser obtida por subtração, da seguinte maneira: onde 1,7 representa a soma de quadrados de tratamentos, dada pela análise de variância. Tem-se, pois, a seguinte análise de variância levando em conta a regressão linear, apresentada na Tabela 4 dada a seguir.

31 29 Tabela 4 Análise de variância para os dados apresentados na Tabela 3, levando em conta a regressão linear Causas de variação Regressão linear Desvios da regressão G.L. S.Q. Q.M. F 1 1,6 1,6 11,43** 3 0,1 0,033 0,24 (Tratamentos) (4) (1,7) (0,425) (3,04) Resíduo 15 2,1 0, Total 19 3, Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. A um nível de significância de 5%, tem-se que e. Portanto, a esse nível de significância, verifica-se que a regressão linear é significativa ( ), mas não os desvios da regressão. Assim sendo, o ajuste da equação de regressão nesse caso é o ideal para exemplificar a relação existente entre as variáveis Coeficiente de Correlação de Pearson O coeficiente de correlação simples de Pearson é uma medida de associação linear entre duas variáveis aleatórias. Teoricamente, esse coeficiente é definido da seguinte maneira:

32 30 Sendo ele uma medida de associação, quase sempre se tem interesse em estimar o valor de a partir de uma amostra. Karl Pearson propôs o famoso estimador de produtos de momentos, que é descrito a seguir: A raiz quadrada do denominador é sempre positiva, de modo que o sinal de depende apenas do numerador, que pode ser positivo ou negativo. O valor de está sempre no intervalo fechado. Segundo Bassanazi (2004), o valor zero significa que não há relação linear, o valor 1 indica uma relação linear perfeita e o valor -1 também indica uma relação linear perfeita, mas inversa, ou seja, quando uma das variáveis aumenta, a outra diminui. Quanto mais próximo estiver de 1 ou -1, mais forte é a associação linear entre as duas variáveis. Consideremos agora o seguinte exemplo, cujos dados estão apresentados na Tabela 5. Tabela 5 Número de peças danificadas numa máquina ( ) e respectivo tempo de reparo da máquina, em minutos ( ) (Continua) Número de peças danificadas Tempo de reparo da máquina 1 7, , , , , ,49

33 Tempo de reparo da máquina (em minutos) 31 Tabela 5 Número de peças danificadas numa máquina ( ) e respectivo tempo de reparo da máquina, em minutos ( ) (Conclusão) Número de peças danificadas Tempo de reparo da máquina 4 110, , ,29 Fonte: MONTGOMERY, D. C.; PECK. E. Introduction to linear regression analysis. New York: Wiley, p. O diagrama de dispersão dos dados está representado na Figura 2 a seguir Número de peças danificadas Figura 2 Gráfico de dispersão do tempo de reparo da máquina em relação ao número de peças danificadas Fonte: Microsoft Office Excel Embora o número de observações seja pequeno, pelo diagrama de dispersão podemos perceber que aparentemente existe uma relação linear entre as duas variáveis em questão. Também não há a presença de pontos discrepantes. Encontremos agora a estimativa do coeficiente de correlação de Pearson, para medir o grau de associação linear entre variável resposta e variável explanatória.

34 32 Nesse caso tem-se que: E, ainda: tem-se que: Substituindo então os valores dados pelas eq. (20) a (24) nas eq. (25) e (26),

35 33 Segue então, da eq. (19), que: Um teste a se realizar, depois de calculado o valor de, é o seguinte: a fim de verificar se o coeficiente é ou não significativamente diferente de zero, a um nível de significância. Segundo Pimentel (1990), há várias formas para se testar o valor de, e um deles consiste em calcular: que corresponde ao teste - Student, com graus de liberdade. Há evidências para rejeitar-se a um nível de significância, se: ( )

36 34 Nesse caso temos que: Para, temos que. Como, então, a um nível de significância de 5%, podemos dizer que o coeficiente de correlação de Pearson é significativamente diferente de zero, ou seja, existe associação linear entre as variáveis e, além disso, essa relação é forte, uma vez que está próximo de um. Tomemos agora como exemplo os dados da Tabela 6, onde a variável representa o teor de potássio ( ) trocável no solo, em miliequivalentes, de terra fina seca na estufa, e representa o aumento da produção de cana, em, devido à aplicação de de, sob a forma de cloreto de potássio. Tabela 6 Aumento de produção de cana ( (miliequivalentes) utilizado no experimento ) devido a cada teor de potássio (Continua) Teor de K Aumento de produção 0,109 31,8 0,138 24,5 0,206 11,8 0,153 18,8 0,156 17,3 0,240 11,0 0,270 12,2 0,126 20,6 0,608 10,8 0,199 5,3

37 Aumento da produção de cana (em t/ha) 35 Tabela 6 Aumento de produção de cana ( (miliequivalentes) utilizado no experimento ) devido a cada teor de potássio (Conclusão) Teor de K Aumento de produção 0,112 29,3 0,138 8,0 0,103 35,8 0,127 19,6 0,063 21,4 Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. O gráfico de dispersão dos dados segue na Figura 3 a seguir ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Teor de Potássio (em miliequivalentes) Figura 3 Gráfico de dispersão do aumento da produção de cana em relação ao teor de potássio utilizado Fonte: Microsoft Office Excel Pelo gráfico de dispersão, podemos notar que parece existir uma relação entre as variáveis, mas, no entanto, essa relação parece não ser linear. Para investigar, encontremos agora a estimativa do coeficiente de correlação de Pearson dos dados.

38 36 Nesse caso temos que: Então, substituindo as eq. (35) a (39) nas eq. (25) e (26) segue que: Segue então, da eq. (19), que:

39 37 Façamos agora o seguinte teste de hipóteses: a fim de verificar se o coeficiente é ou não significativamente diferente de zero, a um nível de significância de 5%. Segue da eq. (32) que: Para, temos que. Como, então, a um nível de significância de 5%, seque da expressão (33) que não há evidências para se rejeitar a hipótese nula. Assim sendo, não se pode dizer que o teor de potássio do solo e a produção de cana estão relacionados de forma linear, embora uma associação entre eles exista, como se pode notar pelo diagrama de dispersão O Método dos Polinômios Ortogonais De acordo com Pimentel (1990), o método descrito primeiramente na subseção é aceitável para os casos de regressão linear, mas não convém para os casos mais complicados, ou seja, naqueles em que a regressão linear não representa bem a relação entre as variáveis, como aconteceu no segundo exemplo dado na subseção 2.2.2, mas sim uma de maior grau, tal como uma regressão quadrática ou cúbica, por exemplo. Surge então o método dos polinômios ortogonais, cuja utilização é explicada a seguir. No ajuste de um modelo de regressão polinomial de grau temos, que para pares de observações da forma para, a i-ésima observação se escreve da forma:

40 38 De acordo com Demétrio e Zocchi (2006), a matriz, onde é a matriz de regressão, é por vezes mal condicionada, isto é, com problemas na estimação dos parâmetros e da matriz de variâncias e covariâncias. Assim sendo, de acordo com os mesmos autores, é possível a construção de outros polinômios que sejam ortogonais entre si, de forma que na análise de regressão, a estimação dos coeficientes seja feita de forma independente, ou seja, isoladamente. Consideremos então o modelo reescrito da seguinte forma: Com os polinômios:... sendo a variável auxiliar que, no caso de níveis equidistantes, se escreve da forma:

41 39 onde é a distância entre dois níveis sucessivos de. E, para níveis não equidistantes, a variável auxiliar tem a forma: Matricialmente temos que nosso modelo tem a forma: onde: [ ], [ ], [ ], [ ] É sabido que: com matriz de variâncias e covariâncias dada por ( ), onde: [ ]

42 40 [ ] pois como os são construídos para serem ortogonais, tem-se que a covariância entre eles deve ser igual a zero e, portanto, os somatórios que ocupam os elementos da matriz dada pela expressão (54) que estão fora da diagonal principal devem ser nulos, assim: Temos, portanto, que: [ ]

43 41 Logo: obtendo-se então: Ao se estabelecerem os polinômios ortogonais ficam definidos parâmetros, e a condição de ortogonalidade entre eles impõe restrições, isto é, temos um sistema de equações e incógnitas, ou seja, trata-se de um sistema inconsistente e existe a necessidade de outras restrições. O que se faz, de acordo com Demétrio e Zocchi (2006), por facilidade de cálculo, é supor que. A teoria para a determinação dos polinômios ortogonais considera o fato de que: casos: E, além disso, no caso de níveis equidistantes, usa do fato de que, nesses

44 42 Usando ambas as condições, é possível determinar cada um dos polinômios em função dos valores de e suas potências, e também em função de somatórios da forma onde. Maiores detalhes na obtenção das formas podem ser obtidos em Demétrio e Zocchi (2006). Nesse caso, considerando, verifica-se, de acordo com os mesmos autores, que os são os termos de uma progressão aritmética e que se tem correspondência biunívoca com os números naturais, então se pode escrever: E, então: ( ) Por indução matemática, é possível demonstrar que:

45 43 Substituindo as eq. (66) e (67) na eq. (65), chegamos que: De formas semelhantes, outras somas podem ser obtidas e, dessa forma, expressões serão encontradas para cada um dos polinômios ortogonais, para níveis equidistantes, onde representa o número de níveis do fator em estudo: Procedimento análogo ao anterior pode ser realizado para caso de dados não equidistantes. No entanto, nesse caso tem-se que: resultando assim em cálculos mais complicados.

46 44 Da análise de variância é sabido que: Matricialmente: temos: Desenvolvendo a parte matricial devido à soma de quadrados dos parâmetros Sabendo que a soma de quadrados dos parâmetros é igual à soma de quadrados da regressão mais a correção, segue da expressão (73) que a soma de quadrados da regressão do componente de j-ésimo grau é dada por: ( ) onde: Consideremos agora pares de observações para, isto é, cada nível repetido vezes, aos quais se ajusta um modelo de regressão polinomial de grau do tipo:

47 45 sendo: com matriz de variâncias e covariâncias dada da forma, onde: [ ] [ ] [ ] [ ] Nesse caso o procedimento de obtenção dos polinômios é bastante semelhante, dado que da condição de ortogonalidade entre eles teremos que: [ ] pois, mais uma vez, como os são construídos para serem ortogonais, tem-se que a covariância entre eles deve ser nula e, então, os somatórios que ocupam os elementos

48 46 da matriz dada pela expressão (79) que estão fora da diagonal principal devem ser nulos: Dado ainda que, nesse caso: [ ] tem-se que: sendo

49 47 Para o caso de número de repetições iguais para cada nível do fator tem-se que: onde é o total do i-ésimo tratamento. Considerando o valor que torna os polinômios inteiros, tem-se que: ( ) sendo: A soma de quadrados da regressão para o componente de j-ésimo grau, nesse caso, é dada por:

50 48 ( ) ( ) ( ) E o modelo de regressão estimado: transforma-se em: Um exemplo da Regressão Polinomial aplicada a dados sem repetição Em muitos casos de interesse científico não há possibilidade de repetições para os dados a serem coletados. Assim ocorre, por exemplo, no que se refere a dados meteorológicos de um determinado local. Por outro lado, mesmo quando possível o uso de repetições, às vezes elas não são feitas. Tomemos como exemplo os dados apresentados na Tabela 7, dada a seguir. Tabela 7 Dados de temperaturas máximas médias de julho da cidade de Piracicaba (SP), em graus Celsius ( C), coletados durante quinze anos de observação, juntamente com os coeficientes correspondentes aos componentes linear e quadrático (Continua) Ano (X) Temperatura (Y) , , ,8-5 19

51 49 Tabela 7 Dados de temperaturas máximas médias de julho da cidade de Piracicaba (SP), em graus Celsius ( C), coletados durante quinze anos de observação, juntamente com os coeficientes correspondentes aos componentes linear e quadrático (Conclusão) Ano (X) Temperatura (Y) , , , , , , , , , , , , Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. Temos agora que:

52 50 Portanto, a análise de variância levando em conta o componente linear e quadrático é dada pela Tabela 8 a seguir. Tabela 8 Análise de variância para os dados apresentados na Tabela 7, com o desdobramento dos graus de liberdade associados aos anos nos componentes linear e quadrático, e também nos desvios da regressão Causas de variação G.L. S.Q. Q.M. F Componente linear Componente quadrático Desvios (Resíduo) 1 7,56 7,56 5,71** 1 0,076 0,076 0, ,874 1, Total 14 23, Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. A um nível de significância de 5%,. Como, então há evidências de que o componente linear nesse caso é significativo. O seu respectivo coeficiente, como já visto, é dado por:

53 51 A equação de regressão estimada será da forma: Se considerarmos os anos numerados de 1 a 15, então teremos. Logo: E, portanto, substituindo o coeficiente dado pela eq. (101), a variável dada pela eq. (103) e o valor de na eq. (102), temos que a equação de regressão estimada é da forma: que mostra que a temperatura média máxima, no período estudado, aumentou de forma aproximadamente linear, à razão de 0,164 graus por ano. 2.3 Procedimentos de Comparação de Médias A técnica das comparações de médias, segundo Nogueira (2007), utilizada para comparar médias de tratamentos, depois de verificada pela análise de variância diferença significativa entre pelo menos duas médias de tratamentos, permite testar hipóteses do tipo:

54 52 sendo onde: representa a média populacional referente ao i-ésimo tratamento; representa o número de repetições associado ao i-ésimo tratamento; é o coeficiente associado a, podendo assumir valores positivos ou negativos. Impondo a restrição de que: a função linear definida na eq. (106) denomina-se contraste. Um estimador não tendencioso de é dado por: onde a função linear é um contraste, sendo a média amostral do i-ésimo tratamento, que é considerada um estimador não tendencioso da média populacional.

55 53 A variância de, ), é obtida da seguinte maneira: ( ) ( ) Supondo temos da eq. (109) que: ( ) No entanto, a variância populacional associada a cada um dos tratamentos,, é desconhecida, afinal, dispõe-se apenas de uma amostra. Portanto, uma estimativa da variância de pode ser obtida da seguinte maneira: ( ) onde é um estimador não viciado de, dado por: e, portanto, segue das eq. (111) e (112) que:

56 54 ( ) Existe, segundo Nogueira (2007), um número elevado de métodos para tal fim, os quais estão fundamentados em um conjunto de suposições que os tornam específicos para os propósitos desejados. Mas, apesar da literatura vasta sobre o assunto, o campo ainda está em aberto para novas pesquisas. A seguir serão apresentados alguns testes de comparação de médias Método dos Contrastes Ortogonais Aplicação do Teste F O método dos contrastes ortogonais, segundo Nogueira (2007), consiste em: Definir um conjunto de contrastes ortogonais, representados por,, onde representa o número de tratamentos envolvidos no experimento, como já citado anteriormente. Dizemos que dois contrastes e, com são ortogonais se: o que é necessário para que [ ]. Decompor os graus de liberdade associado à, da análise de variância, em componentes com um grau de liberdade cada,

57 55 referente a soma de quadrados devido a cada um dos contrastes ortogonais, representada por, de tal forma que: onde: [ ] sendo um estimador não viciado de, cuja estimativa é dada por: tal que ( ) e independentes,. Se considerarmos o número de repetições igual para todos os tratamentos, digamos,, então a estimativa de, representada por é obtida, a partir da eq. (117), por: E, substituindo a eq. (118) na eq. (116), temos que a soma dos quadrados para será:

58 56 [ ] Ainda, como, então segue da eq. (119) que: * + hipóteses: Este método, de acordo com Nogueira (2007), permite testar as seguintes através da aplicação do teste (Snedecor), pela seguinte estatística: Assim, pelo teste, há evidências para se rejeitar, ao nível de significância, quando: onde é o número de graus de liberdade associado ao resíduo.

59 Aplicação do Teste T Este método é recomendado, também, segundo Nogueira (2007), quando se deseja testar, assim como no teste, as seguintes hipóteses: Um estimador não viciado de é dado por: tal que ( ) e independentes,. Além disso: ( ) Para o caso de para todo, então temos da eq. (125) que: E temos ainda da eq. (126) que: ( )

60 58 A estatística do teste é: que segue distribuição - Student com graus de liberdade associado ao resíduo. Há evidências para rejeitar-se, ao nível de significância, se: ( ) onde é o número de graus de liberdade associado ao resíduo, e, então, conclui-se que o valor obtido para é significativo. De acordo com Calado e Montgomery (2003), a aplicação do teste nada mais é do que uma segunda maneira de usar a teste, afinal, segundo os autores, o quadrado de uma variável aleatória, com graus de liberdade, é uma variável aleatória, com graus de liberdade 1 e, para o numerador e o denominador, respectivamente. Assim:

61 Método de Scheffé O Método de Scheffé, também utilizado para testar contrastes, é restrito aos casos em que estes são montados a posteriori, ou seja, depois de uma primeira análise dos dados. É indicado para testar as hipóteses: onde: tal que Um estimador não tendencioso de é: onde é um estimador não tendencioso de e ( ) independentes. Temos que: ( )

62 60 Para o caso de dados balanceados, ou seja, de, então: ( ) Os intervalos de confiança para todos os contrastes, segundo Nogueira (2007), com coeficiente de confiança, são obtidos de: ( ) onde é o número de graus de liberdade do resíduo. No caso de dados balanceados, vem que esse intervalo de confiança é dado por: [ ] [ ] quando: No teste de Scheffé, há evidências para rejeitar-se, ao nível de significância

63 Método de Bonferroni A gama de aplicação do teste de Bonferroni é muito ampla, sendo ele utilizado para testar qualquer conjunto de contrastes, sem que haja a exigência de ortogonalidade, nem sequer um número máximo pré-determinado de contrastes (CARDELLINO; SIEWERDT, 1992, p.994). Suponhamos que o pesquisador tenha interesse em testar contrastes: onde: Um estimador não viciado de, como já visto anteriormente, é dado por: tal que ( ) e independentes,. forma: Os intervalos de confiança para todos os contrastes tem a ( ) ( )

64 62 onde: ( ) Pelo método de Bonferroni, é permitido ao pesquisador construir um conjunto de intervalos simultâneos de confiança para as médias dos tratamentos, ou para a diferença entre elas, para os quais o nível global de confiança é de no mínimo (CALADO; MONTGOMERY, 2003, p.194). Pelo método apresentado, há evidências para se rejeitar a hipótese nula, a um nível de significância, se: ( ) ( ) ( ) Para o caso de para todo, então isso acontece se: ( ) Método de Duncan O método de Duncan, segundo Nogueira (2007), é indicado para testar qualquer contraste entre duas médias de tratamentos, ou seja:

65 63 ou Este método leva em consideração o número de médias ordenadas em ordem crescente ou decrescente e abrangidas pelo contraste, representado por. A diferença mínima significativa ( ) obtida para o teste, ao nível de significância, é: onde é a amplitude total estudentizada, a nível de proteção, para médias abrangidas e teste de Duncan, e graus de liberdade associado ao resíduo, obtida nas tabelas do representa o número de repetições dos tratamentos. Há evidências para rejeitar-se, ao nível de significância, quando: para onde e são as médias amostrais de e respectivamente, que além de serem estimadores não tendenciosos das médias populacionais, são independentes Teste de Tukey Segundo Nogueira (2007), este método também é recomendado quando se deseja comparar todas as médias de tratamentos duas a duas, ou seja, quando se tem a intenção de testar todos os contrastes do tipo:

66 64 para. As hipóteses a serem testadas nesse caso são: ou A diferença mínima significativa (DMS) obtida para o teste, ao nível significância, é dada por: de onde é a amplitude total estudentizada, encontrada na tabela de Tukey, com nível de significância, médias envolvidas e graus de liberdade associado ao resíduo. Há evidências para rejeitar-se, ao nível de significância, quando: para onde e são, mais uma vez, as médias amostrais de e respectivamente, que além de serem estimadores não tendenciosos das médias populacionais, são independentes.

67 Método de Dunnett Este método é recomendado, de acordo com Nogueira (2007), quando se deseja testar um contraste do tipo: onde: representa a média populacional do tratamento testemunha ou controle; representa a média populacional do i-ésimo tratamento ou nível do fator. As hipóteses a serem testadas são do tipo: ou para sendo o número de tratamentos excluindo o controle ou a testemunha. Nesse caso temos que: ( ) Há evidências para rejeitar-se, ao nível de significância, quando: ( )

68 66 onde é obtido nas tabelas do teste de Dunnett, a nível de proteção, para tratamentos excluindo o controle, e graus de liberdade associado ao resíduo.

69 67 3 DESENVOLVIMENTO 3.1 Artigos relevantes Dentro dos objetivos propostos pelo presente trabalho foi feita, após a realização da revisão bibliográfica sobre a análise de regressão aplicada à ANOVA e alguns dos testes de comparação de médias, uma levantamento acerca de artigos cujo objetivo principal era o de fazer uma investigação de trabalhos publicados em jornais, revistas ou periódicos, nos quais se utilizou algum procedimento de comparação de médias, cujo fim era o de verificar a adequação desses testes às análises estatísticas realizadas, e, consequentemente, identificar quais as principais adequações e inadequações na aplicação desses testes, em particular os de comparação múltipla de médias, em trabalhos científicos. Esse levantamento ocorreu com o intuito de verificar se o uso de testes de comparações múltiplas é de fato empregado, de uma maneira geral, para analisar experimentos unifatoriais cujos tratamentos envolvidos são os níveis de um determinado fator quantitativo, e, caso essa hipótese se confirme, com o intuito de verificar a opinião dos autores a respeito do assunto. Segue na listagem a seguir cada um dos artigos pesquisados, o nome da revista, jornal ou periódico analisado por eles, juntamente com o período em que essa análise ocorreu. 1. Use and misuse of multiple comparison procedures Agronomy Journal 1975; 2. Avaliação do emprego dos testes de comparação de médias na revista Pesquisa Agropecuária Brasileira (PAB) de 1980 a 1994 Revista Pesquisa Agropecuária Brasileira 1980 a 1994; 3. Avaliação de procedimentos de comparações múltiplas em trabalhos publicados na revista Horticultura Brasileira de 1983 a 2000 Revista Horticultura Brasileira 1983 a 2000; 4. Utilização correta e incorreta dos testes de comparação de médias Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia 1984 a 1989;

70 68 5. Problemas relacionados com o uso de testes de comparação de médias em artigos científicos Periódico Qualis A nacional 2000 a 2006; 6. Uso ou abuso em testes de comparação de média: conhecimento científico ou empírico? Revista Ciência Rural 2002 a Cada um dos autores dos artigos científicos enumerados acima, ao avaliarem o uso de procedimentos de comparação de médias nos materiais citados, utilizou categorias para classificar os procedimentos utilizados em cada um dos artigos analisados. As classificações utilizadas para avaliar os procedimentos foram similares em todos os casos analisados, e estão apresentadas a seguir: Adequado ou correto o procedimento no qual a aplicação dos testes de comparações múltiplas foi feita para tratamentos de natureza qualitativa e nãoestruturados. Aqui entendemos por tratamentos estruturados aqueles nos quais no conjunto de tratamentos apareçam aqueles formados pela adição de um ou mais fatores, situação muito frequente em experimentos nas áreas de nutrição animal e práticas culturais. Parcialmente adequado ou parcialmente correto foram classificados dentro dessa categoria os casos em que algum teste de comparação de médias comparou todos os tratamentos entre si, onde o procedimento mais apropriado, segundo os autores, seria a realização de testes para contrastes previamente planejados, ou seja, aplicação de contrastes ortogonais para fatores qualitativos estruturados. Também se enquadram dentro dessa categoria experimentos fatoriais, onde se comparou todos os tratamentos entre si, dois a dois, e, por último, os casos em que, após se ajustar uma equação de regressão a dados de natureza quantitativa, ainda foi realizado um teste de comparação múltipla.

71 69 Inadequado ou incorreto quando o teste de comparação de médias foi aplicado a tratamentos de natureza quantitativa ou, ainda, em experimentos fatoriais, em médias marginais dos fatores, sem levar em conta possíveis interações entre os efeitos principais Exemplificação das categorias de classificação Para melhor ilustrar a classificação em categorias utilizada pelos autores, será feita uma exemplificação de cada um dos casos onde, segundo os autores, acontecem os maiores equívocos. Os exemplos utilizados que serão apresentados a seguir foram retirados dos próprios trabalhos estudados. Não é a intenção do presente estudo, no entanto, criticar os pesquisadores que de alguma forma fizeram uso indiscriminado de algum procedimento de comparação múltipla, mas sim procurar com esse estudo chamar a atenção a esse fato, de forma a procurar melhorar as análises estatísticas de experimentos científicos, o que contribui para a veracidade e confiabilidade acerca das inferências que são feitas dos tratamentos investigados Experimentos unifatoriais com tratamentos de natureza quantitativa Procedimento de análise inadequado A Tabela 9 apresentada a seguir mostra dados de um trabalho publicado na Revista Pesquisa Agropecuária Brasileira (PAB), em que o pesquisador estudou o efeito de níveis de calcário sobre o peso seco de nódulos na cultura da soja. Para comparar os resultados obtidos com cada um dos tratamentos foi realizado o teste de Tukey, a um nível de significância de 5%. Os resultados obtidos com o teste estão apresentados na Tabela 9.

72 70 Tabela 9 Efeito dos níveis de calcário sobre o peso seco de nódulos, na cultura de soja Níveis de calcário (t/ha) Peso seco de nódulos (mg/planta) 0 77 ab 2 94 a a 6 56 b Médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey, a 5% de probabilidade. Fonte: SANTOS, J. W. dos.; MOREIRA, J. A. N.; BELTRÃO, N. E. de M. Avaliação do emprego dos testes de comparação de médias na revista pesquisa agropecuária brasileira (PAB) de 1980 a Pesquisa Agropecuária Brasileira, Brasília, v.33, n.3, p , março, Nesse caso, segundo Cardellino e Siewerdt (1992), a aplicação do teste de Tukey foi inadequada, pois os tratamentos são quantitativos e o método mais apropriado e informativo seria a análise de regressão. De acordo com Chew (1976, p.348): Se o coeficiente de regressão é significativo, então nenhum procedimento de comparação múltipla é necessário. Todos os efeitos de tratamentos (inclusive os níveis intermediários não incluídos no experimento) são significativamente diferentes em seus efeitos. Trad. de: Rodrigues, Josiane Procedimento de análise adequado Um dos trabalhos publicados na Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia ilustra a análise adequada, segundo Cardellino e Siewerdt (1992), que deve ser feita no caso de tratamentos de natureza quantitativa, por se tratar de um procedimento mais informativo. O efeito da dose de nitrogênio (kg/ha) sobre a produção de sementes em capim Jaraguá foi estudado sob a forma de uma equação de regressão, dada a seguir:

73 Número de sementes produzidas 71 Dose de nitrogênio (kg/ha) Figura 4 Gráfico da equação (159) estimada pelo método de regressão para descrever a relação entre número de sementes e dose de nitrogênio, nos limites de 0 a 240 kg N/ha Fonte: Software Maple. Nesse caso: Se a função ajustada é significante, então qualquer diferença, não importa quão pequena, entre os níveis de um fator, pode produzir um efeito sobre a resposta. Além disso, a análise da função ajustada permite a estimação dos níveis do fator nos quais a resposta é máxima ou mínima. Nenhuma desta informação é efetivamente obtida com procedimentos de comparação múltipla (PETERSEN, 1977, p.206). Trad. de: Rodrigues, Josiane.

74 Experimentos fatoriais Procedimento de análise adequado Um dos trabalhos publicados na Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia é um exemplo do uso correto de um teste de comparação múltipla quando a interação entre os fatores é significativa. Nesse experimento foi estimada a porcentagem de proteína bruta (PB) no milho, em três épocas de amostragem e em quatro regiões do estado de Minas Gerais. O teste de Tukey foi aplicado dentro de cada nível do fator época e dentro de cada nível do fator região, uma vez que a interação entre esses dois fatores foi significativa. Os dados do experimento, juntamente com o resultado da aplicação do teste de Tukey, estão apresentados na Tabela 10. Tabela 10 Porcentagem de proteína bruta no milho em três épocas de amostragem e em quatro regiões do estado de Minas Gerais Região Época Maio/85 Outubro/85 Abril/86 Norte 9,9 Ca 11,6 Ba 12,5 Aa Sul 9,9 Ba 11,0 Aa 11,5 Ab Leste 10,0 Ba 11,1 Aa 11,4 Ab Oeste 10,0 Ca 11,5 Ba 12,6 Aa Teste de Tukey nas linhas (letras maiúsculas) e nas colunas (letras minúsculas). Numa mesma linha ou coluna, médias seguidas de mesma letra não diferem entre si, a 5% de probabilidade. Fonte: CARDELLINO, R. A.; SIEWERDT, F. Utilização correta e incorreta dos testes de comparação de médias. Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, v.21, n.6, p , O teste de Tukey, a um nível de significância de 5%, foi realizado em cada uma das linhas (representado pelas letras maiúsculas) e em cada uma das colunas (representado pelas letras minúsculas). Uma das muitas respostas que resultam dessa correta aplicação do teste é a de que, nas primeiras e segundas épocas, não houve

75 73 diferença no teor de PB entre as regiões, enquanto que na terceira época as amostras retiradas das regiões Sul e Leste apresentaram um menor teor de PB. De acordo com Petersen (1977), em experimentos que envolvem dois fatores ou mais, tais como o exemplo ilustrado acima, o primeiro passo é analisar o efeito da interação entre os vários fatores, o que é dado pela análise de variância. Caso isso se verifique, segundo Cardellino e Siewerdt (1992), os graus de liberdade devem ser rearranjados de modo a comparar os níveis de um fator dentro dos níveis do outro. Por Bertoldo et al. (2008, p.148): Este procedimento de variar um fator por vez se aplica quando o objetivo é estabelecer uma lei fundamental, o que conduziria ao conhecimento detalhado do efeito de um fator quando os outros são mantidos constantes Procedimento de análise parcialmente adequado A tabela a seguir apresenta dados de um trabalho publicado na Revista Pesquisa Agropecuária Brasileira (PAB), em que se estudaram os efeitos de dois fatores sobre os valores constituintes do sangue em bubalinos. Os fatores são dois tratamentos, um deles com dois níveis, e o outro com três. Os resultados do experimento dados pelo teste de Tukey, a um nível de significância de 5%, estão apresentados na Tabela 11. controle experimental pré-estresse estresse níveis de estresse térmico pós-estresse

76 74 Tabela 11 Efeito do estresse térmico sobre constituintes do sangue, em bubalinos Tratamentos Uréia (mg%) 31,33 a 31,68 a 31,11 a 31,06 a 29,07 b 31,53 a Médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, pelo teste de Tukey, a 5% de probabilidade. Fonte: SANTOS, J. W. dos.; MOREIRA, J. A. N.; BELTRÃO, N. E. de M. Avaliação do emprego dos testes de comparação de médias na revista pesquisa agropecuária brasileira (PAB) de 1980 a Pesquisa Agropecuária Brasileira, Brasília, v.33, n.3, p , março, Aqui, segundo Santos et al. (1998), se verifica a aplicação parcialmente adequada do teste de comparação múltipla, afinal, o correto, de acordo com os autores, seria comparar as médias dos fatores principais isolados, no caso de interação não significativa entre os fatores, ou comparar as médias dos níveis de tratamentos dentro de cada nível do outro e vice-versa, no caso dessa interação ser significativa, como aconteceu no exemplo anterior Procedimento de análise inadequado Outro experimento estudou a influência de três fatores sobre a produção e qualidade do feno de soja perene: frequência de corte, forma de desidratação do feno e ordem do corte, todos eles de natureza qualitativa. As médias marginais para a produção de matéria seca e de proteína bruta foram comparadas entre si pelo teste de Tukey, a um nível de significância de 5%. Os resultados foram apresentados pela

77 75 Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia e a análise dos dados foi revista por Cardellino e Siewerdt (1992). Tabela 12 Efeitos da frequência de corte, forma de desidratação e ordem de corte sobre a produção de matéria seca em feno de soja perene Frequência de corte Forma de desidratação Ordem de corte 42 dias 56 dias Estufa Campo Encerado Primeiro Segundo Terceiro Quarto 1513 B 2052 A 1678 A 1886 A 1783 A 1622 B 1452 B 1655 B 2402 A Médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, pelo teste de Tukey, a 5% de probabilidade. Fonte: CARDELLINO, R. A.; SIEWERDT, F. Utilização correta e incorreta dos testes de comparação de médias. Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, v.21, n.6, p , Nesse caso, de acordo com Cardellino e Siewerdt (1992), não foi feita nenhuma referência a possíveis interações entre os fatores, e nem sequer uma análise de variância do experimento foi apresentada. Como apenas as médias marginais dos fatores foram analisadas, então temos que o resultado apresentado só é válido se as interações não foram significativas. Caso contrário, como já citado anteriormente, é necessário rearranjar os graus de liberdade de modo a comparar os níveis de um fator dentro do outro. Nos experimentos fatoriais revisados e classificados como inapropriados, os autores não consideraram o efeito da interação significativa, realizando testes de comparação de médias, como o teste de Tukey, por exemplo, de forma separada para cada fator (BERTOLDO et al., 2008, p.147) Experimentos com tratamentos qualitativos estruturados

78 Procedimento de análise parcialmente adequado Aqui tomemos um exemplo publicado no periódico da área das Ciências Agrárias, Qualis A Nacional. Nesse exemplo utilizaram-se três tratamentos (areia, esterco e areia + esterco) sob o peso de grãos. Na Tabela 13 estão demonstrados os resultados obtidos a partir do teste de Tukey, a um nível de significância de 5%, para os três tratamentos utilizados. Tabela 13 Peso de grãos mediante diferentes combinações de substratos Tratamentos Areia Esterco Areia + Esterco Peso dos grãos (gramas) 41 b 42 b 55 a Médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, pelo teste de Tukey, a 5% de probabilidade. Fonte: BERTOLDO, J. G.; COIMBRA, J. L. M.; GUIDOLIN, A. F.; MANTOVANI, A.; VALE, N. M. do. Problemas relacionados com o uso de testes de comparação de médias em artigos científicos. Revista Biotemas, Lavras, v.21, n.2, p , junho, Pode ser verificado, pelo teste de Tukey, que o tratamento que obteve maior média foi areia + esterco. De acordo com Bertoldo et al. (2008), essa conclusão é muito geral, de modo que não há informações específicas com relação ao componente responsável pelo aumento significativo no peso dos grãos. Num outro exemplo da Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, o objetivo do experimento foi avaliar o efeito da suplementação mineral sobre o peso de borregos e borregas. Para se comparar as médias obtidas com cada um desses tratamentos, os pesquisadores fizeram a aplicação do teste de Duncan, a um nível de significância de 5%, que não foi a melhor alternativa, afinal, apesar do uso do teste não fornecer informação errada, a mesma estava incompleta. Partes dos resultados obtidos estão apresentadas na Tabela 14.

79 77 Tabela 14 - Ganho de peso corporal diário de borregos e borregas em quatro semanas de experimento Tratamento Sem suplementação Cloreto de Sódio Macronutrientes Macro + Micronutrientes Médias 70 a 98 b 101 bc 113 c Médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, pelo teste de Duncan, a 5% de probabilidade. Fonte: CARDELLINO, R. A.; SIEWERDT, F. Utilização correta e incorreta dos testes de comparação de médias. Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, v.21, n.6, p , De acordo com Cardellino e Siewerdt (1992, p.990): Se o quarto tratamento é melhor do que o primeiro, isto significa que esta mistura de macro e micronutrientes produz efeito em conjunto, mas o teste de Duncan não permite identificar se é o uso de macronutrientes ou o de micronutrientes que proporciona esta vantagem Procedimento de análise adequado Para ilustrar de que forma se faz uma análise adequada de experimentos envolvendo tratamentos qualitativos estruturados, será mostrada a seguir a alternativa apresentada pelos autores Bertoldo et al. (2008), para, no primeiro exemplo dado no caso de interpretação parcialmente adequada no caso de tratamentos qualitativos estruturados, se obter informações mais precisas acerca dos tratamentos utilizados. Mais uma vez está apresentada a tabela das médias experimentais obtidas com cada um dos tratamentos:

80 78 Tabela 15 Peso de grãos mediante diferentes combinações de substratos Tratamentos Peso dos grãos (gramas) Areia 41 Esterco 42 Areia + Esterco 55 Fonte: BERTOLDO, J. G.; COIMBRA, J. L. M.; GUIDOLIN, A. F.; MANTOVANI, A.; VALE, N. M. do. Problemas relacionados com o uso de testes de comparação de médias em artigos científicos. Revista Biotemas, Lavras, v.21, n.2, p , junho, De acordo com os mesmos autores: Por meio de comparações através de contrastes ortogonais, pode ser afirmado qual componente deve ter efeito significativo quando associado com outro componente. (BERTOLDO et al., 2008, p.152). Assim, a alternativa apresentada por eles consiste em testar as seguintes hipóteses, pelo método dos contrastes ortogonais: onde: E também: onde:

81 79 Segue na Tabela 16 o resumo da análise de variância e do desdobramento dos graus de liberdade por meio de contrastes ortogonais, para os tratamentos areia (A), esterco (E) e areia + esterco (A + E). Tabela 16 Análise de variância com o desdobramento dos graus de liberdade por meio de contrastes ortogonais, para os tratamentos areia, esterco e areia + esterco Causas de Variação G.L. S.Q. Q.M. F Blocos 2 16,66 8,33 0,51 A vs E, A + E 1 364,50 364,50 22,32** E vs A + E 1 1,50 1,50 0,09 (Substratos) (2) (366) (183) (11,21)** Resíduo 4 65,33 16,33 Fonte: BERTOLDO, J. G.; COIMBRA, J. L. M.; GUIDOLIN, A. F.; MANTOVANI, A.; VALE, N. M. do. Problemas relacionados com o uso de testes de comparação de médias em artigos científicos. Revista Biotemas, Lavras, v.21, n.2, p , junho, A um nível de significância de 5%, temos que e, portanto, não há evidências para aceitar. Assim, fica verificado que a areia foi o componente do tratamento areia + esterco responsável pelo efeito significativo nas médias desse tratamento Compreensão dos autores De acordo com Bertoldo et al. (2008), para a aplicação correta de testes estatísticos, é de fundamental importância que o pesquisador tenha conhecimento sobre quais os tipos de fatores, de variáveis respostas, de tratamentos e do delineamento experimental que compõe a estrutura de seu experimento. Segundo Silva (1999), a fundamentação teórica do delineamento de um experimento é fundamental para as inferências do pesquisador.

82 80 Segundo Cardellino e Siewerdt (1992), as inadequações cometidas com maior frequência, ao avaliarem procedimentos de comparação de médias em artigos científicos da Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, estão relacionadas à comparação de níveis de um fator quantitativo, por meio de um teste de comparação múltipla das médias, onde o mais apropriado seria fazer uma análise de regressão e, também, a comparação de médias marginais em experimentos fatoriais, sem levar em conta uma possível interação entre os fatores. Além deles, todos os outros autores dos artigos enumerados no início deste capítulo apontaram para o uso frequente de testes de comparações múltiplas para analisar experimentos unifatoriais cujos tratamentos são níveis de um fator quantitativo, e classificaram esse uso como inadequado: O uso incorreto dos testes de comparação de médias é mais comum em situações em que os tratamentos são de natureza quantitativa. Em experimentos fatoriais, existe deficiência na decomposição da interação. (BERTOLDO, COIMBRA et al., 2008, p.1148, grifo do autor). De acordo com Bezerra Neto et al. (2002), o uso indiscriminado de testes de comparações múltiplas pode conduzir o pesquisador a interpretações equivocadas, bem como a tirar conclusões errôneas acerca dos tratamentos: As causas prováveis do mau uso desses testes podem estar associadas ao desconhecimento de procedimentos alternativos aos testes de comparações múltiplas de médias, como a técnica de análise de regressão, bem como a falta de conhecimento das condições de uso adequado desses testes ao tipo de dados estudados. Além disso, pode também ser devido à falta de habilidade dos pesquisadores na interpretação dos resultados, podendo levá-los a fazer inferências errôneas acerca dos tratamentos investigados (BEZERRA NETO et al., 2002, p.8). Cardellino e Siewerdt (1992) sugeriram, de acordo com o tipo de fator que o trabalho abrange, alguns procedimentos para a inferência do pesquisador nos resultados obtidos, de modo a minimizar os equívocos na análise e interpretação de experimentos, que podem ser visualizados na Figura 5.

83 81 1. Tratamentos são níveis de um fator quantitativo Sim 2 Não 3 2. Ajustar uma equação de regressão Sim Não Regressão Williams² 3. Contrastes definidos pela inspeção dos dados 4. Contrastes ortogonais Sim Scheffé Não 4 Sim Teste F ou Teste T Não 5 5. Comparar todos os pares de médias Sim Tukey Não 6 6. Comparação somente com o testemunha Sim Não Dunnet Bonferroni Figura 5 Chave para escolha do TCM Fonte: CARDELLINO, R. A.; SIEWERDT, F. Utilização correta e incorreta dos testes de comparação de médias. Revista da Sociedade Brasileira de Zootecnia, v.21, n.6, p , Embora existam deficiências ao se analisar experimentos fatoriais, o enfoque dessa pesquisa, como já citado no início, será dado apenas à análise de experimentos unifatoriais com tratamentos representados por níveis de um fator quantitativo, de forma a verificar, dentro dos objetivos propostos, quais são as vantagens e limitações trazidas pela análise de regressão e pelos testes de comparações múltiplas na análise dos mesmos. Para tanto, serão analisados dados de experimentos dessa ordem, que serão

84 82 submetidos inicialmente a uma análise de variância, de acordo com o delineamento experimental ao qual os tratamentos foram submetidos, para, em sequência, no caso de diferença significativa entre as médias populacionais dos tratamentos, submetê-las a uma análise de regressão e também a um teste de comparação múltipla das médias, de forma a comparar os resultados obtidos com cada um desses procedimentos, para então averiguar quais são as vantagens e limitações de cada uma dessas análises em cada um dos casos, para, em seguida, chegar a uma conclusão a respeito do assunto. 3.2 Análise dos dados Como já citado, a análise de experimentos unifatoriais cujos tratamentos são níveis de um fator quantitativo tem como objetivo, no presente estudo, buscar fundamentação para a opinião dos autores dos artigos apresentados na seção 3.1, que defendem a vertente de que a análise de regressão é a técnica adequada para se analisar experimentos dessa ordem, enquanto que a aplicação de um teste de comparação múltipla é um procedimento inadequado, podendo conduzir a interpretações equivocadas acerca do experimento em questão. Portanto, nessa análise dos dados, se buscará saber quais as eventuais vantagens e limitações de cada uma dessas técnicas na análise de experimentos dessa ordem Experimento I Os dados da Tabela 17 se referem a um experimento de produção de milho feita pelos engenheiros agrônomos Glauco Pinto Viegas e Erik Smith, (PIMENTEL 1990, p.299), segundo o delineamento em blocos ao acaso. Os tratamentos constaram de adubação com 0, 25, 50, 75 e 100 kg de por hectare.

85 Produção de milho (kg/parcela) 83 Tabela 17 Produção de milho (kg/parcela) de acordo com os níveis de adubação de (kg/ha) utilizado Blocos Níveis de Adubação I 3,38 7,15 10,07 9,55 9,14 II 5,77 9,78 9,73 8,95 10,17 III 4,90 9,99 7,92 10,24 9,75 IV 4,54 10,10 9,48 8,66 9,50 Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. Façamos inicialmente o boxplot Produção de milho vs. Doses, de forma a verificar possíveis diferenças que possam existir entre pelo menos dois dos tratamentos do experimento, quanto as suas respostas. Dose de adubo (kg/ha) Figura 6 Boxplot Produção vs. Doses do conjunto de dados apresentado na Tabela 17 Fonte: Software R Console.

86 84 Pelo boxplot apresentado na Figura 6, parece haver evidências de diferenças significativas entre as doses, quanto à produção de milho. Com o intuito de verificar essa suposição, será realizada agora a análise de variância dos dados. As hipóteses a serem testadas na análise de variância são as seguintes: onde representa a resposta média populacional dada pelo i-ésimo tratamento, ou seja, pela i-ésima dose, para. A análise de variância dos dados, realizada no software R, a 5% de significância, está apresentada pela Tabela 18 a seguir. Tabela 18 Análise de variância dos dados apresentados na Tabela 17 Causas de G.L. S.Q. Q.M. F variação Blocos 3 2, Tratamentos 4 72,22 18,06 19,85** Resíduo 12 10,91 0, Total 19 85, Fonte: Software R Console. Temos que. Assim, tem-se que existe diferença significativa entre pelo menos duas das médias populacionais dos tratamentos, a um nível de significância de 5%, afinal, se havia suspeitado pela análise do boxplot., confirmando assim o que

87 85 Como existe diferença significativa entre pelo menos duas das médias dos tratamentos, a um nível de significância de 5%, torna-se necessária uma análise continuada dos dados, de forma a verificar qual(is) dos tratamentos produz(em) as melhores respostas, dentro do interesse da pesquisa. Para tanto, os dados serão analisados a seguir pela técnica da regressão e, depois, por algum dos testes de comparações múltiplas. Por último, os resultados obtidos com cada uma dessas análises serão equiparados Aplicação do Método dos Polinômios Ortogonais na Análise de Variância Como mostrado na subseção dedicada à apresentação do método dos polinômios ortogonais, é possível, com o auxílio do método, fazer dentro da análise de variância o desdobramento dos graus de liberdade associados aos tratamentos no presente caso, as doses nos componentes linear e quadrático, de forma a avaliar, de forma independente, os efeitos de cada um deles no experimento em questão. De acordo com Chew (1976, p.350): Se os níveis (do fator) são igualmente espaçados e igualmente reaplicados, os cálculos para obter as somas de quadrados dos componentes linear, quadrático, etc., podem ser consideravelmente simplificados usando polinômios ortogonais. Trad. de: Rodrigues, Josiane. Aqui, não faz sentido prático considerar dentro desse desdobramento um componente de grau superior a dois, uma vez que estamos investigando doses de adubo e a respectiva produção de milho e, não seria possível, depois de haver um decrescimento na produção dos grãos, que essa produção voltasse a crescer, utilizando uma dose ainda maior. Nesse caso, ou seja, na análise de variância levando em conta os componentes linear e quadrático pelo desdobramento dos graus de liberdade associado às doses, as hipóteses a serem testadas são as seguintes: i.

88 86 Observação: no item i, o que se testa nada mais é do que os desvios da regressão quadrática, ou seja, se eles são ou não significativos, a um nível de significância. Nesse caso, representa a resposta média populacional dada independente do tratamento ou do bloco considerado. Além disso, relacionado ao termo de k-ésimo grau. representa o coeficiente ii. iii. Observação: nos itens ii e iii, se testa, a um nível de significância, se os termos de segundo e primeiro grau são significantes, respectivamente. Utilizaremos agora tabelas com os coeficientes para interpolação dos polinômios ortogonais para os cálculos, coeficientes esses que são encontrados pelo método descrito na subseção dedicada à apresentação do método dos polinômios ortogonais. Como se têm cinco níveis para o fator em estudo, então os coeficientes para interpolação de polinômios ortogonais são dados pela Tabela 19 a seguir. Tabela 19 Coeficientes para interpolação de polinômios ortogonais para cinco níveis do fator em estudo Coeficientes associados ao termo de j-ésimo grau 1 grau 2 grau Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p.

89 87 Pela Tabela 19, os coeficientes a serem usados para os componentes de 1 grau são: -2, -1, 0, 1, 2. Escreveremos estes números ao lado dos totais correspondentes a cada um dos tratamentos em questão, como mostra a Tabela 20. Tabela 20 Coeficientes para os componentes de 1 grau, juntamente com os totais associados a cada um dos tratamentos Totais de Tratamentos Coeficientes 18, , , , ,56 2 Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. Agora, o total de cada um dos tratamentos será multiplicado pelo seu respectivo coeficiente, e depois serão somados cada um desses produtos: A soma dos quadrados para o componente linear ( método dos polinômios ortogonais, será dada pela fórmula:, de acordo com o onde é o número de repetições de cada um dos tratamentos, ou seja, o número de

90 88 blocos do experimento, e associados a regressão linear. representa a soma dos quadrados dos coeficientes Neste caso, e. Logo, segue das eq. (168) e (169) que a soma de quadrados para o componente linear será: Façamos o mesmo procedimento para o componente quadrático. Pela Tabela 19, os coeficientes a serem usados para os componentes de 2 grau são: 2, -1, -2, -1, 2. Escreveremos estes números ao lado dos totais correspondentes a cada um dos tratamentos em questão, como mostra a Tabela 21. Tabela 21 Coeficientes para os componentes de 2 grau, juntamente com os totais associados a cada um dos tratamentos Totais de Tratamentos Coeficientes 18, , , , ,56 2 Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p. Temos que:

91 89 seguir. A análise de variância com os desdobramentos é, portanto, dada na Tabela 22 a Tabela 22 Resumo da análise de variância com o desdobramento dos quatro graus de liberdade para tratamentos nos componentes linear e quadrático Causas de variação Componente linear Componente quadrático Desvios de regressão G.L. S.Q. Q.M. F 1 40,64 40,64 44,66** 1 21,28 21,28 23,38** 2 10,3 5,15 5,66** (Doses) (4) (72,22) (18,06) (19,85) ** Resíduo 12 10,91 0, A um nível de significância de 5%, tem-se que. Portanto, existem evidências de que são significativos os componentes de 1 e 2 grau. Não se sabe ainda, porém, qual é a equação de regressão. Para obtê-la calculamos os coeficientes correspondentes aos componentes linear e quadrático. No presente caso, temos que cada um dos coeficientes associados ao componente de j-ésimo grau são dados pelas eq. (173) e (174) respectivamente, apresentadas a seguir:

92 90 Além disso, será necessário também saber quem são as médias e referentes aos valores das variáveis e : da forma: A equação de regressão estimada, pelo método dos polinômios ortogonais, será onde e indicam os polinômios dados nas tabelas e e são números também constantes nas tabelas. Para cinco níveis de um fator tem-se que o valor de, correspondente ao j-ésimo grau, é dado pela Tabela 23. Tabela 23 Valores de para cinco níveis do fator, correspondentes ao j-ésimo grau Valores de associados ao termo de j-ésimo grau 1 grau 2 grau 1 1 Fonte: PIMENTEL GOMES, F. Curso de Estatística Experimental. 13.ed., Piracicaba: Livraria Nobel, p.

93 91 forma: Temos, pois, a partir da eq. (177), que a equação de regressão estimada terá a onde os polinômios estão dados a seguir: pois o número de níveis de adubação é. A partir da eq. (178) e das eq. (179) e (180), temos que a equação de regressão estimada será: ( ) A variável auxiliar, para níveis equidistantes, é dada pela equação: onde é a diferença entre dois níveis sucessivos de.

94 92 No presente exemplo, temos que. Logo, a partir da eq. (182) vem que: E substituindo a variável cada uma das observações, fica da forma: na eq. (181), a equação de regressão estimada, para ( ) ( ) Desenvolvendo a eq. (184) e somando os componentes de mesmo grau, temos, por simplificação, que a equação que representa a relação entre a variável resposta e a explanatória será da forma: O gráfico da curva ajustada aos dados pela regressão quadrática com o método dos polinômios ortogonais está dado pela Figura 7 a seguir.

95 Produção de milho (kg/parcela) 93 Dose de adubo (kg/ha) Figura 7 Curva ajustada aos dados pelo método dos polinômios ortogonais Fonte: Software R Console. Tomemos então a função dada pela eq. (186) dada abaixo: A função definida pela eq. (186), fora do contexto de nosso experimento, tem como domínio e imagem o conjunto dos números reais, ou seja, presente exemplo buscamos saber o nível de adubação de. Como no que produz a maior produção de milho por parcela, então devemos fazer um estudo da função no intervalo desejado pelo pesquisador. Como não existe dose negativa e como o interesse está em se estudar o comportamento da função no intervalo da dose nula até

96 94 a dose 100, restrinjamos o domínio da função apresentada para o intervalo fechado, ou seja,. Façamos agora o estudo de nossa função, com o intuito de verificar a dose que maximiza a produção de milho. Para encontrar os pontos de máximo local de uma função, é necessário encontrar os pontos críticos dessa função, ou seja, os pontos do domínio cuja derivada primeira da função, calculada nesses pontos, se anula. A derivada primeira da função explicitada pela eq. (186) é dada a seguir: Para encontrar os pontos críticos da função é necessário agora igualar a função dada pela eq. (187) a zero. Fazendo isso, temos a seguinte equação do primeiro grau: Solucionando a equação dada acima, temos que: É fácil notar pela Figura 6 que em ocorre um ponto de máximo local. Assim sendo, temos que a dose de que resulta na maior produção de milho é a dose de aproximadamente 70 kg/ha, que sequer é uma dose envolvida diretamente no experimento.

97 Aplicação de um Teste de Comparação Múltipla Façamos agora a aplicação de um teste de comparação múltipla das médias aos nossos dados. A técnica de comparações múltiplas é empregada para comparar médias populacionais de tratamentos duas a duas, depois de constatada diferença significativa entre pelo menos duas delas na análise de variância. Para tanto, façamos a aplicação do teste de Tukey, a um nível de significância de 5%. As hipóteses a serem testadas são da forma: para onde. seguir. A tabela de médias de cada um dos tratamentos está dada pela Tabela 24 a Tabela 24 Médias associadas a cada uma das doses de utilizadas no experimento Dose Média 0 4, , , , ,640 Plotando cada uma dessas médias relacionadas a cada um dos tratamentos num gráfico de barras temos:

98 Produção de milho (kg/parcela) 96 Dose de adubo (kg/ha) Figura 8 Gráfico de barras das médias amostrais para cada um dos tratamentos Fonte: Software R Console. Aparentemente, podemos dizer que apenas a dose nula difere de cada uma das outras doses, ou seja, o uso do fertilizante parece estar trazendo resultados positivos à produção de milho. Já as demais doses, com exceção da nula, quando comparadas entre si pelo gráfico acima, parecem não levar a resultados muito distintos. Embora exista um crescimento na produção à medida que a dose aumenta, trata-se de um crescimento bastante lento. Para confirmar essa hipótese, façamos agora a aplicação do teste de Tukey, a um nível de significância de 5%. A diferença mínima significativa (DMS) para a aplicação do teste, a esse nível de significância, é dada por:

99 97 A seguir está apresentada a Tabela 25, que mostra as diferenças, em módulo, entre cada uma das médias associadas aos tratamentos, quando comparadas entre si. Tabela 25 Diferenças, em valor absoluto, entre as médias associadas a cada uma das doses de Doses comparadas Diferenças entre as médias dos tratamentos (em valor absoluto) , , , , , , , , , ,2900 Fonte: Software R Console. Como a diferença mínima significativa para a aplicação do teste de Tukey a um nível de significância de 5%, pela eq. (191), é igual a 2,15, então temos evidências, a esse nível de significância, de que pela aplicação do teste, a dose nula é significativamente diferente de todas as outras doses, a esse nível de significância, afinal, a diferença, em módulo, entre a média amostral do grupo controle e a média amostral de cada uma das outras doses é superior à DMS. Isso não acontece, no

100 98 entanto, para as doses que não sejam a nula, quando comparadas entre si duas a duas. Assim, temos que o teste de Tukey, a 5% de significância, confirma a hipótese tirada a partir do gráfico de barras para as médias de cada um dos tratamentos, de que apenas a dose nula difere significativamente das outras doses, afinal, todas as outras levam a resultados não muito diferentes na variável resposta que, no caso, é a quantidade de milho produzida em quilogramas por parcela Experimento II Os dados da Tabela 26 se referem a um experimento realizado segundo o delineamento inteiramente casualizado, em que se estudou o efeito de cinco teores de algodão (%) sobre a resistência de uma fibra sintética submetida à tensão (lb/pol²). Tabela 26 Resistência à tensão (lb/pol²) de uma fibra sintética de acordo com cinco diferentes teores de algodão da mesma (%) Porcentagem de algodão Resistência da fibra Fonte: DEMETRIO, C. G. B. Completely Randomized Designs p. Digitado. Façamos inicialmente o boxplot Resistência da fibra vs. Porcentagem de algodão na fibra, de forma a verificar possíveis diferenças que possam existir entre os tratamentos do experimento.

101 Resistência da fibra (lb/pol²) 99 Teor de algodão na fibra (%) Figura 9 Boxplot Resistência da fibra vs. Teor de algodão na fibra do conjunto de dados apresentado na Tabela 26 Fonte: Software R Console. Pelo boxplot apresentado acima, parece haver evidências de diferença significativa entre os teores de algodão na fibra, quanto às suas respostas. Com o intuito de verificar essa suposição, será realizada agora a análise de variância dos dados. As hipóteses a serem testadas na ANOVA são as seguintes: onde representa a resposta média populacional dada pelo i-ésimo tratamento, ou seja, pelo i-ésimo teor de algodão, para. A análise de variância dos dados, realizada no software R, a 5% de significância, está apresentada pela Tabela 27 a seguir.

102 100 Tabela 27 Análise de variância dos dados apresentados na Tabela 26 Causas de G.L. S.Q. Q.M. F variação Teores 4 475,76 118,94 14,757** Resíduo ,20 8, Total , Fonte: Software R Console. O teste F para tratamentos foi significativo, a 5% de significância. Assim, tem-se que existe diferença significativa entre pelo menos duas das médias populacionais dos tratamentos, confirmando assim o que se havia suspeitado pela análise do boxplot. Faz-se necessária então uma análise continuada dos dados, de forma a verificar qual(is) dos tratamentos produz(em) as melhores respostas, dentro do interesse da pesquisa. Para tanto, os dados serão submetidos mais uma vez a análise de regressão e, em seguida, a um teste de comparação múltipla das médias Aplicação do Método dos Polinômios Ortogonais na Análise de Variância Novamente o desdobramento dos graus de liberdade associados aos tratamentos será feito sobre os componentes linear e quadrático. Não faz sentido prático, mais uma vez, considerar dentro desse desdobramento um componente de grau superior a dois, uma vez que estamos trabalhando com níveis de um fator. As hipóteses testadas serão as seguintes: Observação: no item i estamos testando os desvios da regressão.

103 101 Observação: nos itens ii e iii, se testa, a um nível de significância de 5%, se os componentes de segundo e primeiro grau são significantes, respectivamente. No exemplo anterior a aplicação do método dos polinômios ortogonais foi feita manualmente, passo a passo. Nesse exemplo, no entanto, o método será aplicado com o auxílio do software R Console. Seguem em anexo os programas R para análise de ambos os experimentos considerados. A análise de variância com os desdobramentos feitos desta forma está dada na Tabela 28 a seguir. Tabela 28 Resumo da análise de variância com o desdobramento dos graus de liberdade para tratamentos nos componentes linear e quadrático Causas de variação Componente linear Componente quadrático Desvios de regressão G.L. S.Q. Q.M. F 1 33,62 33,62 4, ,21 343,21 42,5824** 2 98,93 49,46 6,1368** (Teores) (4) (475,76) (118,94) (14,7568) ** Resíduo ,20 8, Fonte: Software R Console.

104 Resistência da fibra (lb/pol²) 102 A um nível de significância de 5%, temos que o componente de 2 grau é significativo, o que nos permite dizer que uma curva de segundo grau irá representar o relacionamento existente entre variável explanatória e variável resposta. A curva de segundo grau, dada pelo método dos polinômios ortogonais, encontrada pelo software R, está dada abaixo: O gráfico da curva ajustada aos dados pela regressão quadrática está dado pela Figura 10 a seguir, no intervalo real, que abrange todas as porcentagens de algodão envolvidas diretamente no experimento. Teor de algodão na fibra (%) Figura 10 Curva ajustada aos dados pelo método dos polinômios ortogonais Fonte: Software R Console.

105 103 É fácil encontrar, pelo estudo da função ajustada, que em ocorre um ponto de máximo local, ou seja, temos que o teor de algodão que resulta na maior resistência da fibra, pelo método dos polinômios ortogonais, é o de aproximadamente 26%. Como se pôde notar, a técnica da análise de regressão no estudo de experimentos unifatoriais com tratamentos quantitativos possibilita verificar o comportamento da resposta não apenas nos níveis envolvidos diretamente no experimento, mas também em todos os outros níveis dentro de um determinado intervalo real estabelecido pelo pesquisador Aplicação de um Teste de Comparação Múltipla Como foi dado pela ANOVA, existe diferença significativa entre pelo menos duas das médias de tratamentos. Então, no presente experimento, comparemos as médias dos tratamentos duas a duas pela aplicação do teste de Tukey, a um nível de significância de 5%. Assim, as hipóteses a serem testadas são: para onde. seguir. A tabela de médias de cada um dos tratamentos está dada pela Tabela 29 a Tabela 29 Médias associadas a cada uma das porcentagens de algodão utilizadas no experimento (Continua) Nível Média 15 9, , ,6

106 Resistência da fibra (lb/pol²) 104 Tabela 29 Médias associadas a cada uma das porcentagens de algodão utilizadas no experimento (Conclusão) Nível Média 30 21, ,8 Para melhor visualização, a Figura 11 mostra cada uma dessas médias plotadas num gráfico de barras Teor de algodão na fibra (%) Figura 11 Gráfico de barras das médias amostrais para cada um dos tratamentos Fonte: Software R Console. Pelo gráfico acima, parece haver diferença entre alguns dos tratamentos, quanto as suas médias. Para confirmar essa suspeita, façamos agora a aplicação do teste.