Proposta de teste de avaliação Matemática 10. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 minutos Data:
Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Na figura está representado o triângulo [ ] inscrito numa circunferência de centro O e raio. Sabe-se que [ ] é um diâmetro da circunferência e que = O. O medida da área do triângulo [ ] é igual a: () 3 () 6 () (D) 1. Para cada valor real de p, a epressão: 3 P = 4 + p + é um polinómio do 3.º grau. Sabendo que o polinómio é divisível por +, o valor de p é: () 17 () 15 () (D) 6 100 3. O resto da divisão inteira do polinómio P( ) = + 1 pelo polinómio ( ) 1 () 1 () 1 () 0 (D) 3 = + é: 4. Sejam ( ), ( ), Q( ) e R( ) polinómios na variável, tais que Q( ) e R( ) são, respetivamente, o polinómio-quociente e o polinómio-resto da divisão inteira de ( ) por ( ). Sabe-se que o polinómio tem grau 8 e o polinómio Q tem grau.? Qual é o grau do polinómio () 5 () 6 () 8 (D) 10 Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página
5. onsidere, num referencial ortonormado Oy, o ponto P de coordenadas ( 1, k ). Sabe-se que o ponto P pertence ao 4.º quadrante e que a distância de P à origem do referencial é igual a. O valor de k é: () 3 () 3 () 1 (D) 1 Grupo II 1. Na figura está representado o retângulo [ D ]. D Q P Sabe-se que: a medida da área do retângulo [ D ] é igual a ; os pontos P e Q pertencem aos lados [ ] e [ D ], respetivamente, de tal forma que P = e [ PQ ] é um quadrado. 1.1. Mostre que D = 3 1. 1.. Determine. presente o resultado na forma a b com a, b N. 4. onsidere os polinómios ( ) = 4 6 + 1 e = 4..1. Determine o polinómio-quociente e o polinómio-resto da divisão inteira de ( ) por ( )... De um polinómio P( ), sabe-se que da sua divisão por ( ) se obtém o polinómio-quociente Q( ) = 1 e o polinómio-resto R( ) 4 Determine P( ) na forma de um polinómio reduzido. =. Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 3
3. onsidere o polinómio 3 3.1. Verifique que P = 0. 3.. Fatorize P( ). P = 4 + 5. 3.3. Resolva, em R, a inequação P( ) 0. 4. Na figura está representado o triângulo [ ]. Sabe-se que: M = M é o ponto médio de [ ]. 3 s epressões ( ) = 3 + 4 e ( ) 1 = + representam, para determinados valores de, a medida da área do triângulo [ ] e a medida do lado [ ], respetivamente. Determine uma epressão H ( ) que represente a medida de [ M ]. FIM otações Grupo I 1.. 3. 4. 5. Total 10 10 10 10 10 50 Grupo II 1.1. 1...1... 3.1. 3.. 3.3. 4. Total 0 0 0 15 15 0 0 0 150 Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 4
Proposta de resolução Grupo I 1. Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto. Logo, o triângulo [ ] é retângulo em. = O = = Pelo Teorema de Pitágoras: = + = + 8 = + = 6 O omo > 0, então = 6. 6 1 4 3 3 Área[ ] = = = = = = 3 Resposta: () 3. P( ) p = 4 + + ( ) + = + 1 3 P 1 = 0 4 1 + p 1 + = 0 4 + p + = 0 p = Resposta: () 100 3. P( ) = + 1; ( ) = + 1 O resto da divisão inteira de P( ) por + 1 é igual a ( 1) P. 100 P 1 = 1 1 + 1 = 1+ 1+ 1 = 3 Resposta: (D) 4. Seja a o grau do polinómio ( ) e b o grau de ( ). Se o polinómio tem grau 8, então a + b = 8. Se o polinómio-quociente da divisão inteira de ( ) por a + b = 8 + b + b = 8 b = 6 b = 3 a b = a = + b a = + b a = 5 Se ( ) tem grau 5 e ( ) tem grau 3, então o polinómio Logo, ( ) ( ) ( ) Resposta: (D) = tem grau: 5 + 5 = 10 tem grau, então a b =. tem grau 5. Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 5
5. O ponto P pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a. Uma equação que define a circunferência é Substituindo as coordenadas de P( 1, ) 1 + k = k = 4 1 k = 3 k = ± 3 + y =. k nesta equação, temos: omo o ponto P pertence ao 4.º quadrante, a sua ordenada é negativa. Logo, k = 3. Resposta: () Grupo II 1. 1.1. Seja P = omo [ PQ ] é um quadrado temos D Q D = = P =. Sabe-se que P =. medida da área do retângulo [ D ], que sabemos ser igual a, é dada por: D = + = + 0 + = + = omo ± 4 4 ( ) ± 4 + 8 ± 1 = = = ± 4 3 ± 3 1± 3 = = = = 1± 3 = P, vem > 0. Logo, = 1+ 3. D = = 3 1 P 1.. Pelo Teorema de Pitágoras: = + = + 3 1 = 3 + 1 = = 3 1 ( 3 1) ( 3 1) = + + = + = 3 + 3 + 1+ 3 3 + 1 = 3 + 1+ 3 + 1 = 8 Dado que > 0, = 8 =. Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 6
. 4.1. ( ) = 4 6 + 1; = 4 4 3 4 + 0 6 + 0 + 1 4 + + + 4 3 4 8 4 5 3 8 6 + 0 + 1 8 + 16 3 10 + 0 + 1 10 0 + 0 + 1 Polinómio-quociente: + 4 + 5 Polinómio-resto: 0 + 1.. Q( ) = 1 ; R( ) = 4 ( ) Q( ) P R P( ) = ( ) Q( ) + R( ) ( 4 ) ( 1) ( 4 ) P = + = = 4 + 4 4 = 4 4 3 4 3 4 3 = 4 P 3. 3 P = 4 + 5 3 3.1. P = 4 + 5 = 8 16 + 10 = 0 3.. omo P = 0, P( ) é divisível por. Usando a regra de Ruffini: 1 4 5 4 1 1 0 = ( )( + 1) = ( )( 1) P Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 7
3.3. P( ) ( )( ) 0 1 0 = 0 = 1 = 0 = 1 1 + 0 + ( 1) + 0 + + + P( ) 0 0 + 0 { 1} [, + [ P S = { 1} [, + [ 3 4. ( ) = 3 + 4 ; ( ) = + 1 M Área de [] = = H ( ) 3 1 ( + ) H ( ) 3 + 4 = 3 ( 1) H ( ) ( 3 4) + = + ( 3 + ) 3 4 H ( ) = + 1 3 3 + 4 H ( ) = + 1 ( 4 4) H = + H = 8 + 8 M 1 3 0 4 1 1 4 4 1 4 4 0 Proposta de teste de avaliação Matemática, 10. o ano Página 8