Controle. Transformada Laplace básico

Controle Transformada Laplace básico

REQUISITOS Para perfeita compreensão do conteúdo desta aula é desejável o entendimento dos seguintes assuntos (eventualmente disponíveis em outros vídeos neste canal): Números complexos Fundamentos de integração e derivação

Introdução

Transformada de Laplace A transformada de Laplace é um método operacional (matemático) que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares (associadas, por exemplo, à dinâmica de sistemas). Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, funções senoidais amortecidas, funções exponenciais, rampa, degrau, impulso, em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. Permite prever o desempenho de um sistema sem a necessidade de solucionar sistemas de equações diferenciais. Outra vantagem é que, quando solucionamos uma equação diferencial, tanto a componente transitória quanto a componente estacionária da solução podem ser obtidas simultaneamente.

Transformada de Laplace

Variáveis complexas Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, temos o que denominamos variável complexa. Na teoria de Transformadas de Laplace, utilizamos a notação s para representar uma variável complexa. Assim: s = σ + jω

Variáveis complexas s = σ + jω σ é a parte real. ω é a parte imaginária.

Função complexa Uma função complexa G(s) é uma função de s que possui uma parte real e uma parte imaginária: G(s) = G x + jg y G x e G y são quantidades reais. Uma função complexa G(s) é dita analítica em uma região se G(s) e todas as suas derivadas existirem nessa região.

Definições f(t) uma função de tempo em que f(t) = 0 para t < 0. s uma variável complexa L um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser transformado por meio da integral de Laplace. F(s) Transformada de Laplace de f(t)

Transformada de Laplace Observe a equação: Como o termo e -st é adimensional e a unidade de tempo é segundo, então, a unidade de s deve ser segundo -1, que é a unidade de frequência.

Transformada de Laplace Assumimos na equação que f(t) é ignorado para t < 0. Para assegurar isso, normalmente multiplicamos a função pelo degrau unitário. Desse modo, podemos escrever f(t).u(t) ou f(t), t 0.

Algumas definições Uma função é chamada seccionalmente contínua (ou contínua por partes) em um intervalo α t β se o intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais a função é contínua e possui limites esquerdo e direito finitos. A figura traz um exemplo deste tipo de função.

Algumas definições Uma função f(t) é chamada de ordem exponencial se existir um número real positivo σ tal que: Isto quer dizer que a função f(t) deve apresentar uma taxa de crescimento inferior à parcela exponencial da integral.

A função f(t) pode não ter uma transformada de Laplace. Para que f(t) tenha uma transformada, a integral deve convergir (o resultado da integração deve ser finito). Existência da Transformada de Laplace 1 ) ( ) ( cos ) ( ) cos( ) ( ) ( 2 2 0 0 ) ( t sen t e t jsen t e dt t f e e dt t f e t j t j t j t t j

Existência da Transformada de Laplace Desde que e jwt = 1 para qualquer valor de t, esta integral irá convergir quando, para algum valor de σ = σ c :

Exemplo

Algumas definições

Existência da Transformada de Laplace Para compreendermos melhor as implicações da região de convergência, vamos considerar duas funções assim definidas:

Existência da Transformada de Laplace

Existência da Transformada de Laplace As duas funções são diferentes mas possuem a mesma transformada bilateral. Ocorre, porém, que as regiões de convergência são diferentes. Não é possível que duas funções diferentes tenham uma mesma transformada de Laplace e, ainda, possuam regiões de convergência idênticas.

Existência da Transformada de Laplace A forma de se garantir, por exemplo, que a função no domínio da frequência se refere a g(t) é garantirmos que operamos, no plano complexo, na região de convergência desta função. Se não operamos em sua região de convergência, nossas análises e/ou conclusões (no domínio da frequência) podem não ser aplicáveis à mesma.

Existência da Transformada de Laplace Na prática, o que se espera são sistemas (físicos) causais: saídas somente ocorrendo após a existência de alguma entrada. Por exemplo, se atuamos sobre o sistema em t = 0s, esperamos alguma alteração após este instante. Assim, fisicamente falando, a função h(t) utilizada como exemplo não poderia corresponder a um sistema causal, pois, neste caso, teríamos uma resposta antes da ação.

Existência da Transformada de Laplace Como na prática os sistemas são sabidamente causais, a análise preliminar de região de convergência não necessita ser realizada, pois, soluções para o modelos dos sistemas necessariamente ocorrerão somente na região de convergência da função.

Transformada de Laplace Inversa

Transformada de Laplace tabela de transformadas

Transformada de Laplace propriedades

Transformada de Laplace derivadas

Exemplo Transformada de Laplace propriedades

Transformada de Laplace teoremas dos valores inicial e final

Transformada de Laplace teorema do valor final

Transformada de Laplace teorema do valor inicial

Transformada de Laplace teorema do valor final O teorema do valor final relaciona o comportamento de regime estacionário (permanente) de f(t) ao comportamento de sf(s) nas vizinhanças de s = 0

Exemplo Transformada de Laplace propriedades

Exemplo Transformada de Laplace

Transformada de Laplace - Exemplo

Transformada de Laplace Exemplo carga capacitor

Transformada de Laplace Exemplo: Matlab