ANÁLISE DE VARIÂNCIA DE DOIS CRITÉRIOS (DBC) Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 13 de dezembro de 2017
ANAVA dois critérios A análise de variância de dois critérios ou o delineamento em blocos casualizados são aqueles que levam em consideração os 3 princípios básicos da experimentação; Sempre que não houver homogeneidade das condições experimentais, deve-se utilizar o princípio do controle local; Estabelece-se, então, sub-ambientes homogêneos (blocos) e instalando, em cada um deles, todos os tratamentos, igualmente repetidos, caracterizando os blocos completos;
Nessas condições, o delineamento em blocos casualizados é mais eficiente que o inteiramente ao acaso e, essa eficiência depende da uniformidade das parcelas de cada bloco; O número de blocos e de repetições coincide apenas quando os tratamentos ocorrem uma única vez em cada bloco. Assim, na análise de variância de dois critérios, a variabilidade total dos dados é particionada em três causas de variação: tratamentos (fator relevante), blocos (fator irrelevante) e o erro experimental.
ANAVA dois critérios O modelo estatístico para a ANAVA de dois critérios é: y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij, { i = 1, 2,..., a j = 1, 2,..., b (1) em que, y ij é o valor observado na parcela que recebeu o i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; µ é a média geral (ou uma constante); τ i é um parâmetro que representa o i-ésimo efeito de tratamento; β j é um parâmetro que representa o j-ésimo efeito de bloco; ɛ ij é o erro experimental associado ao valor observado y ij ;
a serem testadas Quando se instala um experimento no delineamento em blocos ao acaso, o objetivo é, em geral, verificar se existe diferença significativa entre pelo menos duas médias de tratamentos. As hipóteses testadas são: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a H 1 : µ i µ i Pelo menos duas médias de trat. diferem entre si Uma forma equivalente de escrever as hipóteses anteriores é em termos dos efeitos dos tratamentos τ i, que é: H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a = 0 H 1 : τ i 0 Pelo menos um tratamento
a serem testadas Uma outra hipótese a ser testada, que não é comum, seria o efeito de blocos, ou seja, se realmente há heterogeneidade na área experimental para justificar a subdivisão dessa área e utilizar essa informação em possíveis novos experimentos. H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ b H 1 : µ j µ j Pelo menos duas médias de blocos diferem entre si Uma forma equivalente de escrever as hipóteses anteriores é em termos dos efeitos dos blocos β j, que é: H 0 : β 1 = β 2 = = β b = 0 H 1 : β j 0 Pelo menos um bloco
Suponha a tratamentos que serão comparados e b blocos. Suponha ainda que há uma observação por tratamento em cada bloco e a ordem em que os tratamentos são atribuídos a cada um dos blocos é determinado aleatoriamente. Os dados seriam da forma: Blocos Tratamentos 1 2... b Totais Médias 1 y 11 y 12 y 1b T 1 ȳ 1 2 y 21 y 22 y 2b T 2 ȳ 2...... a y a1 y a2 y ab T a ȳ a Totais B 1 B 2... B b G T i = y ij B j = j=1 a y ij ȳ i = i=1 j=1 y ij b e ȳ = a i=1 j=1 y ij ab.
Somas de Quadrados SQ total = SQ trat = a i=1 j=1 a i=1 j=1 (y ij ȳ) 2 = (ȳ i ȳ) 2 = a i=1 j=1 a i=1 T 2 i b yij 2 ( a b i=1 j=1 y ij) 2 ab ( a b i=1 j=1 y ij) 2 ab a SQ blocos = (ȳ j ȳ) 2 = i=1 j=1 b j=1 B2 j a ( a b i=1 j=1 y ij) 2 ab em que T i é o total do i-ésimo tratamento e B j é o total do j-ésimo bloco. SQ res = SQ total SQ trat SQ blocos
Análise de Variância Para verificarmos se a hipótese nula (H 0 ) é rejeitada ou não, completase o seguinte Quadro da Análise de Variância: Tabela 1: Quadro da Análise de Variância. CV S.Q. G.L. Q.M. F calc F tab Tratamentos SQ trat a 1 SQ trat a 1 Blocos SQ blocos b 1 SQblocos b 1 Resíduo SQ res (a 1)(b 1) SQres (a 1)(b 1) Total SQ total ab 1 QM trat QM res F (α;gltrat,gl res ) QM blocos QM res F (α;glblocos,gl res ) Se F cal > F tab, rejeita-se H 0 a um nível α de significância. Em geral, não se testa o efeito de blocos.
Exemplo 1 O número de peças defeituosas produzidas por cinco operários trabalhando, em turnos, em quatro máquinas diferentes são os seguintes: Máquinas Trabalhador 1 2 3 4 1 44 38 47 36 2 46 40 52 43 3 34 36 44 32 4 43 38 46 33 5 38 42 49 39 Considerando as pressuposições da análise de variância satisfeitas e os trabalhadores como blocos, a um nível de significância de 5%, verifique se há alguma diferença entre as máquinas em relação ao número de peças defeituosas. Se sim, faça o teste de Tukey e conclua.
Exemplo 2 Os conteúdos de colesterol (em miligramas por pacote) obtidos por quatro laboratórios (blocos) para pacotes de 150 gramas de três alimentos dietéticos muito semelhantes são os seguintes: Alimento A Alimento B Alimento C Laboratório 1 3,7 3,1 3,5 Laboratório 2 2,8 2,6 3,4 Laboratório 3 3,1 2,7 3,0 Laboratório 4 3,4 3,0 3,3 Considerando que as pressuposições da análise de variância foram satisfeitas, pede-se ao nível de 5% de significância: a) Construa o quadro da análise de variância e conclua se há pelo menos uma diferença entre os alimentos. b) Se necessário, aplique o teste de Tukey e conclua.