5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e da formalidade matemática no estudo das funções permite a análise mais criteriosa e detalhada do problema que pretendemos resolver, e a representação gráfica dos argumentos válidos utilizados na solução algébrica desse problema auxilia a interpretação dos resultados obtidos. O termo função é associado ao conceito de que se duas quantidades (variáveis) x e y estão relacionadas de modo que, a cada valor atribuído a x, corresponde, por alguma lei ou regra (implícita ou explícita), um valor a y, dizemos que y é função de x. Definição: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B e um subconjunto f de A B satisfazendo a seguinte propriedade: para todo x A, existe um único elemento y B tal que (x, y) f. Uma função é caracterizada por uma terna de elementos (A, f, B), onde A e B são conjuntos e f é uma relação entre eles (satisfazendo as condições para ser função). Denota-se isso por f : A B, que se lê f é uma função de A em B. Se f relaciona um elemento x A com um elemento y B (isto é, se (x, y) f), tal relação e denotada por f(x) = y. Exemplos: f : {1, 2, 3} {a, b}, dada por f(1) = a, f(2) = a, f(3) = b f : R R, dada por f(x) = x 2 f : R R, dada por f(x) = x + 1 f : [0, 1] R, dada por f(x) = x + 1 Dada uma função qualquer f : A B. O conjunto A é chamado de domínio de f e é denotado por Domf. Já o conjunto B é chamado de contradomínio (não há uma notação para o contradomínio). Dado um elemento x do domínio, então, pela própria definição de função, deve existir um elemento y do contradomínio tal que y = f(x) (e esse elemento, lembre-se, é único). Diz-se, neste caso, que y é imagem de x. O conjunto de todas as imagens dos elementos do domínio, i.e. o conjunto dos elementos de B que estão relacionados a algum elemento de A, é chamado de imagem de f e denotado por Imf, isto é Imf := {y B y = f(x) para algum x A} que também pode ser descrito por Imf = {f(x) x A}. Em outras palavras, para que um elemento y do contradomínio B pertença à imagem de f, ele deve ser imagem de algum elemento do domínio A, i.e. deve existir algum elemento x A tal que f(x) = y. 5.2 Função de Primeiro Grau. Função polinomial do primeiro grau ou simplesmente função de primeiro grau é toda função definida de R em R por f(x) = ax + b, com a e b números reais. O gráfico de uma função de primeiro grau é sempre uma reta. 5.2.1 - Exemplo Construa o gráfico da função do primeiro grau f(x) = 2x - 2, definida de R em R. Dica: atribua valores inteiros à variável x. Atribuindo os valores para x iguais a {0, 1, 2} tem-se que a Imf = {-2, 0, 2}, logo o gráfico será: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 26
5.2.2 - Estudo dos sinais de funções f(x) = ax + b O gráfico de uma função pode ser definido por leis diferentes, em diferentes intervalos de R. Lembre-se de que quando uma reta, no plano cartesiano, é: paralela ao eixo Ox, a função é constante (f(x) = t); crescente, o sinal de a é positivo; decrescente, o sinal de a é negativo. Para fazer um estudo dos sinais de uma função do primeiro grau, deve-se proceder da seguinte forma: determinar se a raiz da função (f(x) = 0); verificar se o sinal de a (se a > 0 a função é crescente, se a < 0 a função é decrescente); esboçar um gráfico; montar uma tabela indicando os sinais da imagem da função. 5.2.3 - Exemplos a) Dada a função g : N N, g(n) = n, encontre o gráfico da função. Solução: b) Dada a função h : R R, dada por encontre o gráfico da função. Solução: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 27
5.2.4 - Usando Funções para Resolver Problemas de 1º Grau Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa determinar a raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução. Exemplos: 1) Um número somado com seu dobro é igual quinze. Determine este número. Analisando o problema, tem-se que: x + 2x = 15 3x = 15 x= 15/3 x = 5 Logo, o número procurado é 5. 2) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreiro? Desenvolvendo a solução: Coelho = x e Galinhas = 13 x (total de animais menos o número de coelhos) Logo, 4x+2(13-x)=46 (nro de pés de coelho vezes o nro de coelhos + nro de pés de galinha vezes o nro de galinha é igual ao total de pés). 4x+2(13-x)=46 4x + 26 2x = 46 4x 2x = 46 26 2x = 20 x= 20/2 assim, x = 10 portanto, o número de coelhos = 10 e o número de galinhas = 13-10 = 3 5.3 Funções de 2º Grau. De forma geral, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação que pode ser escrita na forma, ax 2 + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 28
a representa o coeficiente de x 2. b representa o coeficiente de x. c representa o termo independente. Exemplos de equações do 2º grau. 5x 2-3x + 2 = 0 onde: a = 5, b = - 3 e c = 2 x 2 + 4x = 0 onde: a = 1, b = 4 e c = 0 5.3.1 - Raízes de uma equação do 2º grau Diz-se que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática verdadeira. Exemplos: a) Verifique se o número 9 é raiz da equação x 2 11x + 18 = 0. x 2-11x + 18 = 0 (9)2-11(9) + 18 = 0 (substituímos a variável x por 9) 81-99 + 18 = 0 0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais) b) Encontre as raízes da equação: x 2-4x = 0 x(x - 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) x = 0 x - 4 = 0 x = 4 S = {0;4} 5.3.2 - Exemplos a) Dada a função f : [ 1, 2] R, f(x) = x 2, encontre o gráfico da função. Solução: 5.4 Exercícios 5.4.1 - Analise o esboço de cada gráfico a seguir sobre a função de 2º grau, y = ax 2 + bx + c, a qual o gráfico representa, determine o que se pede, justificando sua resposta: a) as raízes da função; b) o sinal do coeficiente a; c) o valor do coeficiente c; Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 29
d) se y assume um valor máximo ou um valor mínimo, escrevendo esse valor. I) Respostas: a). 3 e 1, b) a > 0, c) c = 3, d) Min 4 5.4.2 - Construa o gráfico de cada função de 1.o grau a seguir. a) y = 3x + 1 b) f(x) = 2x 5 c) y = x + 2 d) f(x) = 4x 5.4.3 - Os gráficos a seguir representam funções de 1.o grau da forma y = ax + b. Em cada um deles, identifique o valor da raiz e o valor do coeficiente linear. 5.4.4 - Em cada função abaixo, calcule o valor da variável independente para o qual a função se anula. a) y = x 5 b) d = 30 t c) m = 7n 4 d) p = 5x + 4 e) r=2/3 S 2 f) f(x) = 9 3x 5.4.5 - Dada a função de 2.o grau y = 2x 2 3x + 7, faça o que se pede. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 30
a) Identifique os coeficientes a, b e c de sua fórmula. b) Calcule: f( 1) =, f(0) =, f(2) = 5.4.6 - Calcule as raízes ou zeros, se existentes, de cada função de 2.o grau. a) y = 3x 2 9x d) y = 16x 2 b) y = 4x 2 + 9 e) y = 2x 2 5x + 4 c) y = x 2 + 7x + 12 f) y = x 2 + 6x 9 Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 31
6 Bibliografia BAHIA, Maria Giselle Marques & MACHADO, Walnice Brandão. Matemática básica 1. Faculdades Pitágoras, Out. 2009. NASCIMENTO, Flavio. Matemática para concursos (apostila). CARDOSO, Valdinei Cezar. Matemática fácil (apostila). DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática. v. 1, 2000. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 11