Um projétil é disparado com elocidade inicial iual a e formando um ânulo θ com a horizontal, sabendo-se que os pontos de disparo e o alo estão sobre o mesmo plano horizontal e desprezando-se a resistência do ar, determine: a) A altura máima que o projétil atine; b) O tempo necessário para atinir a altura máima; c) O tempo de duração do moimento total; d) O alcance máimo horizontal do projétil; e) A equação da trajetória do moimento oblíquo; f) O ânulo de tiro que proporciona o máimo alcance; ) Mostre que tiros com ânulos complementares têm os mesmo alcance; h) A elocidade num ponto qualquer da trajetória; i) A aceleração num ponto qualquer da trajetória Esquema do problema Adota-se um sistema de referência com o eio O apontando para a direita e O para cima, a aceleração da raidade está apontada para baio e o ponto disparo está na oriem do referencial (, ) (, ), conforme a fiura fiura O moimento pode ser decomposto ao lono dos eios e, a elocidade inicial será decomposta ao lono destas direções como mostra a fiura endo as componentes da elocidade dadas, em módulo, por cosθ (I) senθ (II) fiura
Da decomposição do moimento emos que na direção não há nenhuma aceleração aindo sobre o projétil, então ele está em Moimento Retilíneo Uniforme (MRU) e seu moimento é reido pela equação t (III) + como no moimento uniforme é constante podemos substituir pelo alor de (I) ( cosθ ) t + (I) Na direção o projétil está sob a ação da aceleração da raidade, portanto está em Moimento Retilíneo Uniformemente ariado (MRU) reido pelas equações substituindo pelo alor dado em (II) t + t () t (I) (II) t + ( senθ ) t (III) senθ (IX) ( ) t ( senθ ) (X) com constante (o sinal de neatio indica que a aceleração da raidade esta contra a orientação do referencial) Assim pela fiura 3 emos que no moimento ao lono da direção temos que para interalos de tempos iuais temos interalos de espaços iuais ( 3 4 5 6 ) Na direção temos que durante a subida para interalos de tempos iuais temos interalos de espaços menores, pois a partícula está sendo freada pela ação da raidade ( > > 3 ) até que a elocidade zera e então a raidade começa a puar a partícula de olta ao solo com elocidade acelerada, assim para interalos de tempos iuais temos interalos de espaços cada ez maiores ( 4 < 5 < 6 )
fiura 3 Dados do problema elocidade inicial: ; ânulo de tiro com a horizontal: θ Na direção : espaço inicial: ; elocidade inicial (dado por (I)): cosθ ; Na direção : espaço inicial: ; elocidade inicial (dada por(ii)): senθ olução a) Para encontrarmos a altura máima (h má ) atinida pelo projétil basta analisarmos o moimento ao lono da direção Quando o projétil atine a altura máima sua elocidade se anula ( ), assim usando a equação (X) temos ( senθ ) má h h sen θ má sen h má θ b) O tempo de subida (t )para atinir a altura máima será obtido de (IX) com a condição de que a elocidade se anula na máima altura atinida pelo projétil ( ), então temos que 3
t senθ t senθ senθ t c) O tempo total (t T ) do moimento será a soma dos tempos de subida (t ) e de descida (t D ), sendo que no moimento de lançamento ertical e queda lire os tempos de subida e de descida são iuais temos a condição t t + t T D com t t D t T t usando o resultado para o tempo de subida obtido no item anterior,temos senθ tt d) O tempo calculado acima para o projétil subir e descer é também o tempo que ele leará para ir da oriem até o ponto h má ao lono do eio, então substituindo a resposta do item anterior na epressão (I), obtemos ( cosθ ) senθ má + má senθ cosθ mas, da trionometria, temos que ( α) senα cosα sen e substituindo esta relação na epressão acima, ficaremos com o alcance máimo na seuinte forma má sen ( ) θ 4
e) Para obter a forma da trajetória indicada na fiura temos que ter com função de, ou f( ), usando as equações (III) e () para os moimentos em e e lembrando que, temos o sistema t t t isolando o tempo na primeira equação temos t substituindo este alor na seunda equação obtemos + tipo Fazendo a associação mostrada abaio com uma equação do º rau do a + b + c emos que obtiemos uma função do tipo f( ) com o coeficiente a< o que indica que a nossa trajetória é uma parábola de boca para baio f) A resposta obtida no item (d) para o alcance máimo ( má ) depende do ânulo inicial de lançamento, da trionometria sabemos que a função seno aria de a, então o alor máimo do alcance ocorre quando ( θ ) sen 5
isto é quando o ânulo é iual a 9º, assim θ 9 θ 45 ) Da trionometria temos que ânulos complementares são aqueles que π somam 9 ou, sejam, então, dois ânulos θ e θ complementares π θ +θ (XI) fiura 4 Usando o resultado do item (d) que nos dá o alcance máimo escreemos os alcances má e má para os ânulos acima má sen ( ) θ (XII) má sen ( ) θ (XIII) Escreendo de (XI) θ em função de θ e substituindo em (XIII), temos má θ π θ π sen θ sen π θ ( ) má o seno nesta equação pode ser desenolido seundo a relação que nos dá o seno da diferença, sen ( α β) senαcosβ senβ cosα má cos ( senπcosθ senθ π) 6
sendo sen π, cosπ, temos má [ cos θ senθ ( ) ] má sen ( ) θ (XI) portanto comparando as epressões (XII) e (XI) má má QED obseração: QED é a abreiação da epressão em latim quod erat demosntrandum que sinifica como queríamos demonstrar h) Num ponto qualquer da trajetória o etor elocidade ( r ) pode ser decomposto nas suas componentes ao lono dos eios e ( r e r ), como se ê na fiura 5-A, abaio fiura 5 O etor elocidade será então a soma etorial de suas componentes r r r X + Y Pela fiura 5-B emos que os etores formam um triânulo retânulo e o módulo da elocidade pode ser calculado aplicando-se o Teorema de Pitáoras r r r + (X) X Y Escreendo r r, e r teremos da equação (I) cosθ cos θ (XI) 7
e de (IX),obteremos substituindo (XI) e (XII) em (X) ( senθ ) t [ senθ t] + sen θ senθ t t (XII) cos θ + sen θ senθ t + t nos dois primeiros termos do lado direito da iualdade amos colocar eidência e no terceiro termo colocaremos em eidência em ( ) cos θ + θ sen senθ t (XIII) t o primeiro termo entre parênteses é, pela trionometria, cos α + sen β, o seundo termo entre parênteses pode ser obtido da equação (III) acima senθ t t mas, finalmente (XIII) pode ser escrito como i) A aceleração da raidade ( r ) a que o projétil está sujeito em qualquer ponto da trajetória pode ser decomposta em duas componentes a aceleração tanencial ( r t ) e a aceleração normal ( r n ), que é perpendicular à trajetória no ponto considerado (fiura 6-A) Da fiura 6-C temos; cos θ t t cosθ (XIX) 8
sen θ n n senθ (XX) onde θ é ânulo entre a aceleração da raidade ( r ) e sua componente tanencial ( r ) num ponto qualquer da trajetória Mas este ânulo é o mesmo que t temos entre a elocidade do projétil ( r )e sua componente ao lono da direção, ( r ) como se ê na fiura 6-B Pela fiura 6-D emos que fiura 6 cosθ usando o resultado do item anterior para o alor da elocidade, obtemos cosθ substituindo este alor do co-seno na epressão (XIX) a aceleração tanencial será t 9
Da mesma forma a fiura 6-D nos dá que sen θ sen θ e substituindo em (XX) para a aceleração normal teremos] n