Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no vácuo

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1 unidade c Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo N Na análise dos lançamentos horizontais ou oblíquos, dee-se lear em conta o princípio da independência dos moimentos simultâneos, ou seja, em um moimento composto, cada componente do moimento pode ser estudado independentemente e com simultaneidade de tempo. 9.1 Lançamento horizontal no ácuo O lançamento horizontal pode ser considerado o resultado da composição de dois moimentos simultâneos: queda lire (MUV) e moimento horizontal (MU). 9. Lançamento oblíquo no ácuo O lançamento oblíquo pode ser considerado o resultado da composição de dois moimentos retilíneos, um uniforme (horizontal) e o outro uniformemente ariado (ertical). o moimento realizado pelas faulhas da solda, a trajetória descrita é parabólica. Os moimentos de corpos que descreem trajetórias semelhantes podem ser considerados composições de dois moimentos simultâneos.

2 Seção 9.1 Lançamento horizontal no ácuo Objetios nalisar os moimentos dos corpos lançados horizontalmente, decompondo-os em um moimento ertical e em um moimento horizontal. Estabelecer a forma da trajetória, e elocidade e aceleração etoriais dos corpos lançados horizontalmente. Quando um corpo é lançado horizontalmente no ácuo, nas proimidades da superfície terrestre, ele descree, em relação à Terra, uma trajetória parabólica (fi. 1). Esse moimento pode ser considerado, de acordo com o princípio da simultaneidade, o resultado da composição de dois moimentos simultâneos e independentes: queda lire e moimento horizontal. Fiura 1. trajetória de um corpo lançado horizontalmente no ácuo é um arco de parábola. Termos e conceitos queda lire direção tanente módulo da elocidade direção da elocidade Foto estroboscópica que mostra a trajetória parabólica descrita por um corpo lançado horizontalmente. 1 Queda lire É um moimento ertical, sob a ação eclusia da raidade. Trata-se de um moimento uniformemente ariado, pois sua aceleração se mantém constante (aceleração da raidade). 15 Em uma cachoeira, a áua é lançada horizontalmente, descreendo em sua queda uma trajetória parabólica. Moimento horizontal É um moimento uniforme, pois não eiste nenhuma aceleração na direção horizontal; o corpo o realiza por inércia, mantendo a elocidade com que foi lançado. Em cada ponto da trajetória, a elocidade resultante do corpo, cuja direção é tanente à trajetória, é dada pela soma etorial da elocidade horizontal, que per manece constante, e da elocidade ertical, cujo módulo aria, pois a aceleração da raidade tem direção ertical (fi. ): Fiura. 5 1

3 ssim, no lançamento horizontal, à medida que o corpo se moimenta, o módulo de sua elocidade cresce em irtude do aumento do módulo da elocidade ertical. B Fotos estroboscópicas do moimento de uma esfera que abandona uma mesa a certa altura do solo, tiradas de duas posições diferentes. Em (), tirada de cima, percebe-se o moimento uniforme na direção horizontal: a mão do operador indica o ponto em que o corpo abandona a mesa. Em (B), tirada de frente, destaca-se o moimento da esfera na direção ertical (queda lire), após abandonar a mesa. eercícios resolidos R. 63 pós uma enchente, um rupo de pessoas ficou ilhado numa reião. Um aião de salamento, oando horizontalmente a uma altura de 7 m e mantendo uma elocidade de 5 m/s, aproima-se do local para que um pacote com medicamentos e alimentos seja lançado para as pessoas isoladas. que distância, na direção horizontal, o pacote dee ser abandonado para que caia junto às pessoas? Despreze a resistência do ar e adote 5 1 m/s. Solução: O pacote cai e, ao mesmo tempo, aança horizontalmente. Esse aanço horizontal se dá por inércia, acompanhando o moimento do aião. ssim, o pacote dee ser abandonado numa posição tal que, no interalo de tempo que lea para cair, ele percorra a distância horizontal necessária para chear junto às pessoas. Calculamos o tempo de queda como se o pacote caísse liremente na direção ertical. s 5 t ] t ] t ] t 5 1 s Durante esses 1 s, o pacote aança com moimento uniforme na direção horizontal e com elocidade constante 5 5 m/s. ssim: 5 t ] ] 5 6 m O s = 7 m Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo Resposta: O pacote dee ser abandonado quando o aião estier a 6 m do rupo, medidos na direção horizontal. 153

4 R. 64 Uma esfera rola com elocidade constante de 1 m/s sobre uma mesa horizontal. o abandonar a mesa, ela fica sujeita eclusiamente à ação da raidade ( 5 1 m/s ), atinindo o solo num ponto situado a 5 m do pé da mesa. Determine: a) o tempo de queda; c) o módulo da elocidade da esfera ao chear ao solo. b) a altura da mesa em relação ao solo; Solução: O s = 5 m a) o abandonar a mesa, a esfera apresenta, na direção horizontal, moimento uniforme com elocidade 5 1 m/s. ssim: 5 t ] 5 5 1t ] t 5,5 s Esse tempo é também o tempo de queda, cujo moimento é simultâneo. b) Simultaneamente ao moimento horizontal, a esfera cai de uma altura s em queda lire: s 5 t ] s (,5) ] t 5 1,5 m c) o chear ao solo, a elocidade etorial da esfera pode ser considerada resultante da composição da elocidade horizontal que se mantém constante e da elocidade ertical ( ), cujo módulo é dado por: 5 1 t, sendo: 5 ; 5 1 m/s ; t 5,5 s ssim, temos: ,5 ] 5 5 m/s plicando o teorema de Pitáoras ao triânulo destacado na fiura, obtemos o módulo da elocidade etorial da esfera ao chear ao solo: 5 1 ] 5 (1) 1 (5) ] 5 15 ] Respostas: a),5 s; b) 1,5 m; c) 711, m/s 7 11, m/s eercícios propostos P. 167 Um aião oa horizontalmente a. m de altura com elocidade de 5 m/s no instante em que abandona um pacote. dote 5 1 m/s e despreze a ação do ar. Determine: a) o tempo de queda do pacote; b) a distância que o pacote percorre na direção horizontal desde o lançamento até o instante em que atine o solo; c) o módulo da elocidade do pacote ao atinir o solo.. m = 5 m/s 154 Conteúdo diital Moderna PLUS tiidade eperimental: Determinação da elocidade no lançamento horizontal

5 P. 168 Da beira de um barranco situado a 39, m em relação ao níel inferior do solo, um aroto chuta uma bola, imprimindo-lhe uma elocidade horizontal de 4, m/s, como mostra a fiura a seuir. Na parte inferior do barranco, a 4, m da ertical do primeiro aroto, um outro aroto ai tentar pear a bola. Determine a que distância, à frente ou atrás do seundo aroto, a bola chutada cairá. (dote 5 1 m/s e despreze a resistência do ar). = 4, m/s 39, m 4, m P. 169 Um aião de socorro oa horizontalmente a uma altura h 5 7 m, a fim de lançar um pacote de mantimentos para uma população flaelada. Quando o aião se encontra à distância d 5 1. m da população, na direção horizontal (eja a fiura), o piloto abandona o pacote. (dote 5 1 m/s.) h a) Qual é a trajetória do pacote ista pelo piloto, considerando que o aião mantenha inariá el o seu moimento? b) Qual é a trajetória do pacote ista por uma pessoa da população? c) Quanto tempo o pacote lea até chear aos flaelados? d) Qual é o módulo da elocidade do aião? e) Qual é o módulo da elocidade do pacote quando ele chea ao solo? P. 17 Uma bolinha rola com elocidade de módulo constante 5 5 m/s sobre uma mesa horizontal de altura h 5 1,5 m e, com essa elocidade, abandona a borda da mesa. (dote 5 1 m/s.) h a) Desenhe a trajetória descrita pela bolinha, em relação ao solo, após abandonar a mesa. b) Em quanto tempo a bolinha chea ao chão? c) O interalo de tempo calculado no item anterior seria maior, menor ou iual, se a bolinha fosse apenas abandonada a partir da borda da mesa? Por quê? d) Localize o ponto em que a bolinha toca o chão, calculando seu deslocamento na direção horizontal a partir do instante em que abandona a borda da mesa. e) Calcule o módulo da elocidade com que a bolinha chea ao chão. d Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo 155

6 Seção 9. Lançamento oblíquo no ácuo Objetios nalisar os moimentos dos corpos lançados obliquamente, decompondo-os em um moimento ertical e em um moimento horizontal. Considere um corpo sendo lançado com elocidade numa direção que forma com a horizontal um ânulo J (ânulo de tiro). Desprezada a resistência do ar, a aceleração do corpo é a aceleração da raidade. trajetória descrita, em relação à Terra, é uma parábola (fi. 3). θ H Estabelecer a altura máima e o alcance nos lançamentos oblíquos. Fiura 3. Lançamento oblíquo no ácuo. Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial Representar elocidade e aceleração etoriais em cada ponto da trajetória descrita pelo corpo. Calcular o módulo da elocidade etorial em cada instante. Termos e conceitos trajetória parabólica altura máima elocidade inicial ertical alcance trajetória descrita pela bola lançada pelo atleta é parabólica. distância horizontal que o corpo percorre desde o lançamento até o instante em que retorna ao níel horizontal do lançamento é denominada alcance (). O máimo deslocamento do móel na direção ertical chama-se altura máima (H) do lançamento. O moimento descrito pelo corpo pode ser considerado o resultado da composição de dois moimentos simultâneos e independentes: um moimento ertical uniformemente ariado, cuja aceleração é a da raidade, e um moimento horizontal uniforme, pois na horizontal não há aceleração. Vamos analisar separadamente cada um desses moimentos componentes. 1 Moimento ertical (MUV) Consideremos o eio com oriem no ponto de lançamento e orientado para cima. aceleração escalar do moimento ertical será: a 5. Se projetarmos a elocidade de lançamento na direção do eio, obteremos a elocidade inicial ertical, cujo módulo (fi. 4) é dado por: 5 3 sen J + = θ Fiura 4. O módulo da elocidade ertical aria como no lançamento ertical para cima. Sob a ação da raidade, o módulo da elocidade ertical diminui à medida que o corpo sobe, anula-se no ponto mais alto e aumenta à medida que o corpo desce. Na fiura 4 representa-se a elocidade em árias posições do corpo, tendo-se omitido a componente horizontal. Como o moimento na direção ertical é uniformemente ariado, alem as funções: 5 t 1 a t 5 1 at 5 1 a 156

7 Nessas funções, como a trajetória foi orientada para cima, a aceleração escalar é a 5. Para calcular a altura máima do lançamento (H), pode-se utilizar a fórmula seuinte, cuja dedução se encontra no quadro abaio: H 5 3 sen J ltura máima H θ = No ponto mais alto da trajetória: 5 H e 5 Moimento horizontal (MU) Consideremos o eio com oriem no ponto de lançamento e orientado no sentido da elocidade horizontal, dada pela projeção sobre esse eio da elocidade de lançamento (fi. 5). O módulo da elocidade horizontal é dado por: 5 3 cos J 5 3 sen J θ Fiura 5. elocidade horizontal permanece constante durante o moimento. fiura 5, na qual não foi representada a elocidade ertical, mostra que, qualquer que seja o ponto da trajetória em que o corpo esteja, a elo cidade horizontal é sempre a mesma: 5 constante ssim, sendo um moimento uniforme, a função horária do moimento horizontal pode ser escrita deste modo: 5 t Pela equação de Torricelli, temos: 5 1a 5 1 ( )H H 5 Mas: 5 3 sen J Loo: H 5 3 sen J No quadro da páina seuinte, deduzimos a fórmula que nos permite determinar o alcance () em função da elocidade e do ânulo de tiro J: Por essa fórmula, erifica-se que o alcance máimo ( má. ) para o lançamento, com dada elocidade, é obtido quando: H 5 Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo sen J 5 1 ] J 5 9w ] J 5 45w 157

8 lcance do lançamento θ Quando o corpo retorna ao níel de lançamento: 5 Loo, sendo a 5, temos: 5 1 at 5 t t 5 Durante esse tempo, o corpo aança horizontalmente a distância (alcance); assim, 5. Como 5 t, 5 3 sen J e 5 3 cos J, em: cos J 3 3 sen J Como 3 sen J 3 cos J 5 sen J, temos: 5 3 sen J Nessa condição (J 5 45w), há uma relação simples entre o alcance ( má. ) e a altura máima (H). Substituindo J por 45w, nas respectias fórmulas, em: Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial má. 5 3 sen J H 5 3 sen J Comparando: 5 3 sen 45w 5 dll # má. 5 4H Portanto, no lançamento com J 5 45w (fi. 6), o alcance ( má. ) é quatro ezes maior que a altura máima (H) do lançamento. É importante ressaltar que, considerando o moimento resultante, a elocidade do projétil é sempre dada pela soma dos etores componentes e : O 5 3 sen ( 3 45w) sen 9w ] H = ] má má. Fiura 6. Lançamento com J 45w. Q H 158 Fiura 7. Em qualquer ponto da trajetória, a elocidade resultante é dada por 1.

9 Obsere, com base na fiura 7, que a elocidade é sempre tanente à trajetória. No ponto mais alto da trajetória, tem-se 5 e, portanto, 5. Sendo assim, nesse ponto, a elocidade tem módulo mínimo. o retornar ao níel horizontal de lançamento, o projétil apresenta elocidade, cujo módulo é iual ao módulo da elocidade de lançamento. Isso equiale a dizer que a elocidade escalar do corpo, no instante de retorno ao solo, é iual à elocidade escalar com que foi lançado a partir do solo. Trajetória parabólica descrita por um corpo lançado obliquamente. parábola Denominam-se cônicas as curas que podem ser obtidas a partir da secção de um cone circular reto por um plano. Dependendo da inclinação desse plano em relação à base do cone, como indica a fiura ao lado, pode-se obter uma circunferência, uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Etimoloicamente, a palara parábola proém do reo e sinifica lançar ao lone. Portanto, oriinalmente o termo suriu com base num fenômeno físico e seu sinificado foi estendido para desinar a trajetória, em relação à Terra, de um projétil lançado horizontal ou obliquamente no ácuo, nas proimidades da superfície terrestre. Somente depois é que o termo parábola assumiu o sinificado matemático que tem hoje. Elipse Cone Circunferência Hipérbole Parábola Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo Entre na rede No endereço eletrônico (acesso em julho/9), ocê pode simular o moimento de projéteis. 159

10 eercícios resolidos R. 65 Um corpo é lançado obliquamente no ácuo com elocidade inicial 5 1 m/s, numa direção que forma com a horizontal um ânulo J tal que sen J 5,8 e cos J 5,6. dotando 5 1 m/s, determine: a) os módulos das componentes horizontal e ertical da elocidade no instante de lançamento; b) o instante em que o corpo atine o ponto mais alto da trajetória; c) a altura máima atinida pelo corpo; d) o alcance do lançamento. Solução: R. 66 Um projétil é lançado obliquamente com elocidade que forma com a horizontal um ânulo J, atinindo a altura máima de 7, m. Sabendo que no ponto mais alto da trajetória a elocidade escalar do projétil é 1 m/s, determine: a) o interalo de tempo para o projétil chear ao ponto mais alto de sua trajetória (tempo de subida); b) o tempo total do moimento; c) a elocidade de lançamento e o ânulo de tiro J, epresso por uma de suas funções trionométricas; d) o alcance horizontal do lançamento. Solução: Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial O θ a) Do triânulo retânulo destacado, formado por, e, tiramos: b) No ponto mais alto da trajetória, 5. Como 5 1 at, com a m/s, em: 5 8 1t ] 1t 5 8 ] t 5 8 s Obseração: Os itens c e d podem também ser resolidos respectiamente pelas seuintes fórmulas, deduzidas anteriormente: H 5 3 sen J, para a altura máima, e 5 3 sen J, para o alcance. 5 3 sen J e 5 3 cos J Como 5 1 m/s, sen J 5,8 e cos J 5,6, em: 5 1 3,8 ] 5 1 3,6 ] H 5 8 m/s 5 6 m/s c) Substituindo t 5 8 s em 5 t 1 a t sendo 5 H e a m/s, em: H ] ] H 5 3 m d) O tempo total do moimento é t T 5 t s. Para o moimento horizontal 5 3 t, temos: 5, quando t 5 16 s, e 5 6 m/s. Portanto: ] 5 96 m Respostas: a) 5 8 m/s; 5 6 m/s; b) 8 s; c) 3 m; d) 96 m O θ a) Em 5 H 5 7, m, 5. plicando a equação de Torricelli, em: 5 a (com a m/s ) ] ] 5 3 7, ] ] 5 1 m/s Substituindo em 5 t: 5 1 1t s ] 1t s 5 1 ] t s 5 1, s b) O tempo de subida é iual ao tempo de descida. Loo, o tempo total do moimento será: t T 5 t s ] t T 5 3 1, ] t T 5,4 s c) elocidade de lançamento é obtida a partir de suas componentes e, aplicando-se o teorema de Pitáoras ao triânulo destacado na fiura anterior: 5 1, sendo 5 1 m/s e 5 1 m/s Portanto: ] 5 44 ] ] 7 15,6 m/s Como 5 3 cos J, em: ,6 3 cos J ] ] cos J 5 1 ] cos J 7,64 15,6 Ou, ainda, 5 3 sen J. Loo: ,6 3 sen J ] ] sen J 5 1 ] sen J 7,77 15,6 d) Para obter o alcance 5, substituímos t T 5,4 s em 5 t. ssim: Respostas: a) 1, s; b),4 s; c) 15,6 m/s; cos J 7,64; sen J 7,77; d) 4 m 5 1 3,4 ] H 5 4 m 16

11 eercícios propostos P. 171 Um corpo é lançado obliquamente a partir do solo, no ácuo, sob ânulo de 6w com a horizontal e com elocidade de 1 m/s. dotando 5 1 m/s, sen 6w 5 sen 1w 5,86 e cos 6w 5,5, determine: a) a elocidade escalar mínima assumida pelo corpo; b) o instante em que o corpo atine o ponto mais alto da trajetória; c) a altura máima atinida pelo corpo e o alcance do lançamento. d) a altura máima H; e) a elocidade escalar do corpo no ponto de altura máima; f ) a elocidade escalar do corpo no instante em que toca o solo. P. 175 No eercício anterior, trace o ráfico em função do tempo das componentes horizontal e ertical da elocidade do corpo. P. 17 No lançamento oblíquo de um projétil, a altura máima é m. No ponto mais alto da trajetória, a elocidade escalar do projétil é 5 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando 5 1 m/s, determine: a) o tempo total do moimento e o tempo de subida; b) a elocidade escalar de lançamento; c) o ânulo de tiro epresso por uma de suas funções trionométricas; d) o alcance do lançamento. P. 173 (FMIt-MG) Uma bola está parada sobre o ramado de um campo horizontal, na posição. Um joador chuta a bola para cima, imprimindo-lhe elocidade de módulo 8, m/s, fazendo com a horizontal um ânulo de 6w, como mostra a fiura. bola sobe e desce, atinindo o solo noamente, na posição B. Desprezando-se a resistência do ar, qual será a distância entre as posições e B? (Use 5 1 m/s, sen 6w 5,87 e cos 6w 5,5.) = 8, m/s P. 174 Um corpo é lançado de um ponto O do solo com elocidade inicial, que forma com a horizontal um ânulo J, como indica a fiura, tal que cos J 5,8 e sen J 5,6. Sendo 5 1 m/s e 5 1 m/s, despreze a resistência do ar e determine: O J J = 6 o a) o instante em que o corpo atine o ponto mais alto da trajetória; b) o instante em que o corpo está de olta ao solo; c) o alcance horizontal ; H B P. 176 (UFSCar-SP) Em plena aula, o menino decide Giz aprontar mais uma das suas. Inclina sua mesa seundo um ânulo de 3 com a horizontal e, utilizando a ponta do dedo indicador, olpeia iolentamente um pedacinho de iz sobre a carteira. pós um bree oo, o iz atine as costas de um colea de classe, na mesma altura em que foi lançado. Considere: O módulo da elocidade do iz no momento do lançamento foi 1 m/s. O iz praticamente não encostou no tampo da mesa no momento do lançamento. celeração da raidade 5 1 m/s. Desprezar a ação resistia do ar ao moimento do iz. sen 3w 5,5 e cos 3w 5,8. Sob estas condições, determine: a) O alor aproimado da altura alcançada pelo iz, em m, relatia à posição de seu lançamento. b) O tempo de oo do iz, em s, do momento de seu lançamento até o instante em que atine as costas do colea de classe. P. 177 (FMTM-MG) Em um espetacular show de acrobacia, uma motocicleta abandona a etremidade da rampa com elocidade de 18 km/h, sobreoa uma fileira de fuscas estacionados, descendo finalmente em uma outra rampa idêntica e à mesma altura em que abandonou a primeira. Considere desprezíeis ações resistias do ar e do atrito. Dados: 5 1 m/s inclinação do plano da rampa 5 3w sen 3w 5,53 sen 64w 5,9 cos 3w 5,85 cos 64w 5,44 a) Determine quanto tempo a motocicleta permanece oando sobre os carros. b) Se os fuscas foram estacionados lado a lado, ocupando uma aa de,1 m de larura, determine quantos carros compunham a fileira entre as rampas. Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo 161

12 eercícios propostos de recapitulação P. 178 Um corpo é lançado horizontalmente a partir de um ponto, com elocidade de módulo 5 m/s, atinindo o solo no ponto B, conforme mostra a fiura. Desprezando a resistência do ar e adotando 5 1 m/s, determine: a) as funções horárias dos moimentos horizontal e ertical; b) a equação da trajetória do moimento; c) as coordenadas (, ) do ponto B, que foi atinido 1 s após o lançamento; d) a elocidade resultante do corpo no ponto B. a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila atinir a altura máima; b) o ânulo de lançamento. Dados: J sen J cos J t J 3w 45w 1 dll dll 3 dll dll w dll 3 1 dll 3 Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial P. 179 (Olimpíada Brasileira de Física) Dois rapazes brincam de tênis na praia. Um deles dá uma raquetada na bola a,45 m de altura, imprimindo-lhe uma elocidade de 7 km/h na horizontal. Qual dee ser a elocidade mínima do outro rapaz, situado inicialmente a,3 m à frente do primeiro, para que consia aparar a bola antes que ela bata na areia? (Use 5 1 m/s.) P. 18 Um projétil é lançado obliquamente para cima com elocidade de 1 m/s numa direção que forma um ânulo de 6w com a horizontal. Desprezando a resistência do ar e adotando 5 1 m/s, determine o módulo da elocidade etorial do projétil 4 s após o Dados: sen 6w 5 dll 3 ; cos 6w 5 1 # P. 181 (Faap-SP) Um projétil lançado para cima, sob um ânulo de 6w com a horizontal, tem elocidade de 3 m/s no ponto culminante de sua trajetória. Calcule a elocidade do projétil ao retornar ao solo. (Dados: sen 6w 5,87; cos 6w 5,5) P. 18 (Vunesp) Um aroto, oltando da escola, encontrou seus amios joando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e resoleu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua mochila por cima do muro, para o quintal de sua casa: postou-se a uma distância de 3,6 m do muro e, peando a mochila pelas alças, lançou-a a partir de uma altura de,4 m. Para que a mochila passasse para o outro lado com seurança, foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estiesse a, m do solo. Considere que a mochila tiesse tamanho desprezíel comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houe moimento de rotação ou perda de eneria. Tomando 5 1 m/s, calcule: B P. 183 (Unicamp-SP) Um habitante do planeta Bono atirou uma flecha e obtee os ráficos mostrados. Sendo a distância horizontal e a ertical: a) qual é a elocidade horizontal da flecha? b) qual é a elocidade ertical inicial da flecha? c) qual é o alor da aceleração da raidade no planeta Bono? (m) t (s) (m) (m) P. 184 (Unicamp-SP) té os eperimentos de Galileu Galilei, pensaa-se que, quando um projétil era arremessado, o seu moimento deia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com elocidade constante. Quando o impetus acabasse, o projétil cairia erticalmente até atinir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equiocada. Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma elocidade inicial de 1 m/s, fazendo um ânulo de 3w com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Saliati, as ideias de Galileu. Os dois artilheiros concordaam apenas em uma coisa: o alcance do projétil. Considere dll 3 7 1,8 e 5 1 m/s. Despreze o atrito com o Dados: sen 3w 5 1 ; cos 3w dll 3 # a) Qual é o alcance do projétil? b) Qual é a altura máima alcançada pelo projétil, seundo os cálculos de Saliati? c) Qual é a altura máima calculada por Simplício? 16

13 testes propostos Nos testes seuintes, caso seja necessário, use os alores das funções trionométricas dos ânulos enolidos. resistência do ar é sempre considerada desprezíel. T. 151 (UFMG) Um corpo P é lançado horizontalmente de uma determinada altura. No mesmo instante, um outro corpo Q é solto em queda lire, a partir do repouso, dessa mesma altura, como mostra a fiura. P Q T. 154 (UFMG) Uma pessoa obsera o moimento parabólico de uma pedra lançada horizontalmente com elocidade. pessoa poderia er a pedra cair erticalmente se se deslocasse: a) com elocidade e 5, paralela a e no mesmo sentido. b) com elocidade e 5, paralela a e no sentido oposto. c) com elocidade e 5, paralela a e no mesmo sentido. d) com elocidade e 5, paralela a e no sentido oposto. e) com elocidade e 5, em qualquer direção e em qualquer sentido. Sejam P e Q os módulos das elocidades dos corpos P e Q, respectiamente, imediatamente antes de tocarem o chão, e t P e t Q os tempos despendidos por cada corpo nesse percurso. Despreze os efeitos da resistência do ar. Nessas condições, pode-se afirmar que: a) P. Q e t P 5 t Q c) P 5 Q e t P 5 t Q b) P. Q e t P. t Q d) P 5 Q e t P. t Q T. 15 (Cefet-PR) Dois projéteis que têm massas,5 k e 1 k são disparados do alto de um edifício, na direção horizontal, com a mesma elocidade inicial. Desconsiderando a resistência do ar, podemos afirmar que: a) o projétil de,5 k terá maior alcance horizontal. b) o projétil de 1 k cheará ao solo antes. c) o projétil de 1 k terá maior alcance horizontal. d) os dois projéteis terão o mesmo alcance horizontal e chearão ao solo juntos. e) o projétil menor terá menor alcance, mas tocará o solo antes do outro. T. 153 (PUC-MG) fiura desta questão mostra uma esfera lançada com elocidade horizontal de 5, m/s de uma plataforma de altura 1,8 m. (Use 5 1 m/s.) h Ela dee cair dentro do pequeno frasco colocado a uma distância do pé da plataforma. distância dee ser de, aproimadamente: a) 1, m c),5 m e) 3,5 m b), m d) 3, m T. 155 (UFG-GO) Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandona essa mesa com uma elocidade horizontal e toca o solo após 1 s. Sabendo que a distância horizontal percorrida pela bola é iual à altura da mesa, a elocidade, considerando 5 1 m/s, é de: a) 1,5 m/s c), m/s e),5 m/s b) 1, m/s d) 5, m/s O enunciado a seuir refere-se aos testes T.156 e T.157. (PUC-SP) O esquema apresenta uma correia que transporta minério, lançando-o no recipiente R. elocidade da correia é constante e a aceleração local da raidade é 1 m/s. 1 m 4 m T. 156 Para que todo o minério caia dentro do recipiente, a elocidade da correia, dada em m/s, dee satisfazer a desiualdade: a),, 3 c) 1,, 3 e) 1,, 5 b),, 5 d) 1,, 4 T. 157 Se for aumentado o desníel entre a correia transportadora e o recipiente R, o interalo de ariação das elocidades-limite para que todo o minério caia em R: a) permanece o mesmo, assim como os alores das elocidades-limite. b) permanece o mesmo, mas os alores das elocidades-limite aumentam. c) permanece o mesmo, mas os alores das elocidades-limite diminuem. d) aumenta. e) diminui. R 5 m Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo 163

14 T. 158 (Mackenzie-SP) rremessa-se obliquamente uma pedra, como mostra a fiura. B C D T. 161 Qual é o ráfico que melhor representa a ariação do módulo de sua aceleração etorial com o tempo enquanto ela permanece no ar? Despreze a resistência do ar. a) a d) a E t t Nessas condições, podemos afirmar que: a) a componente horizontal da elocidade da pedra é maior em do que nos pontos B, C, D e E. b) a elocidade da pedra no ponto é a mesma que nos pontos B, C e D. c) a componente horizontal da elocidade tem o mesmo alor nos pontos, B, C, D e E. d) a componente ertical da elocidade é nula no ponto E. e) a componente ertical da elocidade é máima no ponto C. b) c) a a t e) a t Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial T. 159 (FEI-SP) Um projétil é lançado com elocidade, formando um ânulo J com um plano horizontal, em uma reião onde a aceleração da raidade é. O projétil atine a altura h e retorna ao plano horizontal de lançamento, à distância d do ponto em que foi lançado. Pode-se afirmar que: a) o alcance d será tanto maior quanto maior for J. b) no ponto de altura h, a elocidade e a aceleração do projétil são nulas. c) no ponto de altura h, a elocidade do projétil é nula, mas a sua aceleração não o é. d) no ponto de altura h, a aceleração do projétil é nula, mas a sua elocidade não o é. e) nenhuma das afirmatias anteriores é correta. T. 16 (UEL-PR) Um corpo é lançado para cima, com elocidade inicial de 5 m/s, numa direção que forma um ânulo de 6w com a horizontal (dados: sen 6w 5,87; cos 6w 5,5; 5 1 m/s ). Desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar que no ponto mais alto da trajetória a elocidade do corpo, em m/s, será: a) 5 c) 5 e) 5 b) 1 d) 4 O enunciado a seuir refere-se aos testes T. 161 e T. 16. (FMIt-MG) Uma pedra é lançada para cima, fazendo ânulo de 6w com a horizontal e com uma elocidade inicial de m/s, conforme a fiura abaio. (Use 5 1 m/s.) Dados: cos 6w 5,5; sen 6w 5 dll 3 # t T. 16 que distância do ponto de lançamento, na horizontal, a pedra tocou o solo? a) 35 m c) 17,3 m e) n.d.a. b) 4 m d) 17 m T. 163 (Uece) Num luar em que 5 1 m/s, lançamos um projétil com a elocidade inicial de 1 m/s, formando com a horizontal um ânulo de eleação de 3. altura máima será atinida após: a) 3 s c) 5 s b) 4 s d) 1 Dados: sen 3w 5,5; cos 3w 5 dll 3 # T. 164 (Fatec-SP) elocidade do lançamento oblíquo de um projétil ale o dobro de sua elocidade no ponto de altura máima. Considere constante a aceleração raitacional e despreze a resistência do ar. O ânulo de lançamento J é tal que: a) sen J 5 1 b) cos J 5 1 c) t J 5 1 d) t J 5 e) cot J 5 T. 165 (Uerj) Um projétil é lançado seundo um ânulo de 3w com a horizontal e com uma elocidade de m/s. Supondo a aceleração da raidade iual a 1 m/s e desprezando a resistência do ar, concluímos que o menor tempo asto por ele para atinir a altura de 48 m acima do ponto de lançamento será de: a) 8 s c) 9 s e) 1 s b) 1 s d) 14 s 164

15 T. 166 (Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de oo de um projétil disparado a 6w com a horizontal, e seja 5 m/s o alor da componente ertical da elocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da raidade 5 1 m/s, os alores da componente ertical da elocidade nos instantes t 5 T e t 5 T são, respectiamente: a) zero; zero d) m/s; m/s b) zero; m/s e) m/s; 1 m/s c) m/s; zero a) t Q. t P 5 t R c) t Q. t R. t P b) t R. t Q 5 t P d) t R. t Q. t P T. 168 (Unip-SP) Em uma reião onde o efeito do ar é desprezíel e o campo de raidade é uniforme, dois projéteis, e B, são lançados a partir de uma mesma posição de um plano horizontal. O interalo de tempo decorrido desde o lançamento até o retorno ao solo horizontal é chamado de tempo de oo. T. 167 (UFMG) Clarissa chuta, em sequência, três bolas (P, Q e R), cujas trajetórias estão representadas nesta fiura: H Projétil Solo horizontal Projétil B P Sejam t P, t Q e t R os tempos astos, respectiamente, pelas bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atinem o solo. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que: Q R Sabendo que os projéteis e B atinem a mesma altura máima H e foram lançados no mesmo instante, podemos concluir que: a) os projéteis foram lançados com elocidades de mesma intensidade. b) as elocidades dos projéteis no ponto mais alto da trajetória são iuais. c) os ânulos de tiro (ânulo entre a elocidade de lançamento e o plano horizontal) são complementares. d) a cada instante os projéteis e B estaam na mesma altura e o tempo de oo é o mesmo para os dois. e) durante o oo os projéteis têm acelerações diferentes. eercícios especiais de lançamento horizontal e oblíquo EXERCÍCIOS RESOLVIDOS R. 67 Um homem com um rifle faz pontaria num objeto situado a 5 m e a uma altura de 1 m do solo, como mostra a fiura. No instante em que o projétil sai do cano da arma, o objeto inicia um moimento de queda. Despreze a resistência do ar e adote 5 1 m/s. Sendo m/s a elocidade inicial do projétil, determine: a) o instante em que o projétil atine o objeto; b) a altura do objeto em relação ao solo no instante em que é atinido. Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo 165

16 Solução: a) Obsere que, se o objeto não caísse, mantendo-se na sua posição inicial, ele não seria atinido pelo projétil. Isso porque, à medida que aança horizontalmente, o projétil ai caindo sob a ação da raidade. Desse modo, ele passaria sob o objeto, que não teria se moido. Neste caso, objeto e projétil caem simultanea mente com moimentos erticais idênticos e se encontram na ertical de queda do objeto, como é mostrado no esquema. Para calcular o instante de encontro, basta considerar o moimento horizontal do projétil, que é admitido uniforme: O s t (com 5 m e m/s) ] ] 5 t ] t,5 s b) posição de encontro em relação ao ponto de partida do objeto pode ser obtida substituindo-se esse alor de t na função horária do moimento de queda: s s t a t (com s ; ; a 1 m/s ) ] ] s 5t ] s 5 3 (,5) ] s 31,5 m No entanto, perunta-se a altura em relação ao solo em que ocorreu o encontro. Então, sendo h 1 m a altura inicial do projétil, temos: Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial Respostas: a),5 s; b) 68,75 m R. 68 Uma bola é lançada com elocidade m/s numa direção que faz um ânulo de 6w com a horizontal. bola, em sua trajetória, choca-se contra um muro ertical, situado a 3 m do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar, determine: a) o instante em que a bola atine o muro; b) a altura do ponto do muro atinido pela bola. (Dados: 1 m/s ; sen 6w,87; cos 6w,5) a) O impacto com o muro ocorre após a bola ter percorrido 3 m na direção horizontal. Como o moimento horizontal é uniforme: b) posição do ponto de impacto na direção ertical (altura) pode ser obtida substituindo-se o alor de t na função horária do moimento na direção ertical (MUV): Para t 3 s, temos: Respostas: a) 3 s; b) 7, m h h s ] h 1 31,5 ] Solução: De acordo com o esquema ao lado, que representa o ocorrido, temos: a 1 m/s e m/s e J 6w s componentes horizontal e ertical da elocidade inicial alem: 3 cos 6w 3,5 ] 1 m/s 3 sen 6w 3,87 ] 17,4 m/s t ] ] 1t ] 3 1t ] t 3 s 17, (3) ] 7, m h 68,75 m t a t ] 17,4t 5t O θ 3 m 166 Conteúdo diital Moderna PLUS Simulador: Lançamentos

17 eercícios propostos P. 185 Num eercício de tiro, um homem sobre uma plataforma aponta sua arma na direção de um objeto parado no ar e situado na mesma horizontal, a m de distância, como mostra o esquema. No instante em que a arma é disparada, o objeto, que inicialmente se encontraa a 8 m do solo, inicia seu moimento de queda. Desprezando a resistência do ar e adotando 1 m/s, determine a elocidade mínima que dee ter a bala para atinir o objeto. P. 187 Num parque de diersões um dos brinquedos consiste em usar um canhão fio, inclinado, fazendo um ânulo iual a 45w com o solo, para atinir uma pequena bola suspensa a 3, m de altura da boca do canhão e a uma distância horizontal de 5, m do canhão. Determine a elocidade inicial que dee ser imprimida ao projétil para se conseuir acertar o Dados: 1 m/s ; sen 45w cos dll # 3, m 45 o 5, m P. 186 Um atirador aponta sua espinarda para um objeto parado no ar a uma altura de 55 m, como indica a fiura. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da raidade 1 m/s. dmitindo que, no momento em que a bala sai da arma com elocidade m/s, o objeto inicia seu moimento de queda, determine: a) o instante em que a bala atine o objeto; b) a altura, relatiamente ao solo, em que a bala atine o objeto. (Dados: sen 45w cos 45w,7) 45 o 55 m 55 m testes propostos T. 169 (man-rj) fiura ao lado mostra um canhão sobre uma plataforma. 1. m a norte dele, há um anteparo onde deerá ser colocado um alo. O canhão, apontando para o ponto, realiza um disparo de um projétil, que sai com elocidade inicial de 6 m/s. Sabendo-se que o ponto, indicado na fiura, está na mesma horizontal que a boca do canhão e que, no local, sopra um ento lateral constante, de oeste para leste, com elocidade de 15 m/s, assinale a alternatia que contém a distância do ponto de impacto, no anteparo, até o alo. Despreze a resistência do ar e considere 1 m/s. a) 1 dlll 13 b) 3 m c) 5 dlll 1 m d) dllll 1 m e) 5 m P. 188 (PUC-SP) Um aroto parado num plano horizontal, a 3 m de uma parede, chuta uma bola, comunicando-lhe elocidade de 1 m/s, de tal modo que sua direção forma, com a horizontal, um ânulo de 45w (dados: sen 45w cos 45w,7). aceleração da raidade no local é 1 m/s e a resistência do ar pode ser desprezada. Determine: a) o instante em que a bola atine a parede; b) a altura do ponto da parede atinido pela bola; c) a elocidade da bola no instante do impacto. P. 189 (EEM-SP) Em um joo de futebol, houe a cobrança de uma falta a 3 m do ol, com a barreira posicionada a 9,6 m da bola. bola passa sobre a barreira, a,3 m de altura. Nesse instante, o etor elocidade da bola forma um ânulo de 3w com a horizontal. altura máima atinida pela bola é 4,8 m. Desprezando efeitos iscosos, determine: a) a componente ertical da elocidade da bola ao chear ao ol, também a,3 m de altura; b) o tempo que o oleiro tem para tentar a defesa, após o instante em que a bola passa sobre a barreira, admitindo que ele esteja sobre a linha do ol. (Use 9,8 m/s.) 1. m nteparo Eio oeste-leste Capítulo 9 Lançamento horizontal e lançamento oblíquo no ácuo 167

18 T. 17 (UFRN) eperiência ilustrada na fiura a seuir é realizada na superfície da Terra. Nessa eperiên cia, uma pessoa lança uma pequena esfera no mesmo instante em que um objeto que estaa preso no teto é liberado e cai liremente. esfera, lançada com elocidade, atine o objeto após um tempo t. Se repetirmos, aora, essa mesma eperiência num ambiente hipotético, onde a aceleração local da raidade é nula, o tempo de colisão entre a esfera e o objeto será t. d Objeto h (Despreze a resistência do ar e considere: sen a 5,6; cos a 5,8; 5 1 m/s ) Sabendo que o corpo tanencia a aresta oposta, podemos afirmar que a distância d é de: a),6 m c) 1, m e) 3, m b),8 m d) 1,6 m O enunciado a seuir refere-se aos testes T.17 e T.173. (UFP) fiura representa um projétil, que é lançado do ponto seundo um ânulo de 3w com a horizontal, com uma elocidade 5 1 m/s, atinindo o ponto D. Dados: B 5 4 m; BC 5 55 m; 5 1 m/s ; sen 3w 5,5; cos 3w 5,866 Esfera sendo lançada 3 B C D Unidade C Vetores e randezas etoriais: Cinemática etorial ilustração do moimento de uma esfera lançada por um instrumento rudimentar (zarabatana). Considerando desprezíel a resistência do ar nessas eperiências, pode-se afirmar que: a) t 5 t 5 d b) t 5 t 5 h T. 171 (Mackenzie-SP) Da aresta superior do tampo retanular de uma mesa de 8 cm de altura, um pequeno corpo é disparado obliquamente, com elocidade inicial de módulo 5, m/s, conforme mostra a fiura abaio. O tampo da mesa é paralelo ao solo e o plano da trajetória descrita, perpendicular a ele. α c) t. t 5 d d) t. t 5 h d 8 cm T. 17 O tempo que o projétil leou para atinir o ponto D, em seundos, ale: a) 5,3 c) 11 e) 16, b) 7,8 d) 1,6 T. 173 distância CD, em metros, ale: a) 418,98 c) 69,86 e) 1.51,16 b) 458,98 d) 91,6 T. 174 (Olimpíada Brasileira de Física) Um projétil é lançado por um canhão localizado sobre um trem que está com elocidade horizontal constante em relação ao solo. Para um passaeiro do trem, o canhão aponta para a frente formando um ânulo J com a horizontal, e o projétil é lançado com elocidade de módulo iual a 1. Para esse passaeiro a altura máima, atinida pelo projétil, em relação ao solo, é h. Para um obserador localizado no solo, qual será o ânulo de lançamento do projétil e a altura máima, em relação ao solo, alcançada pelo projétil? a) O mesmo ânulo de lançamento e a mesma altura. b) O mesmo ânulo e altura diferente. c) Um ânulo menor e a mesma altura. d) Um ânulo maior e a mesma altura. e) Um ânulo diferente e altura diferente. 168