apítulo ELEIOADO PARA ETUDO PROVA 5/9: -3 5-9 -3 6-7 -8 35-38 Problema (a P(Erro I P(dizer que são de B a 76 75 P Z P( Z 5,87% P(Erro II P(dizer que são de A a 76 77 P Z P( Z 5,87% (b P(Erro I 5% P ( ~ (75; 75,645 verdade são de A P verdade são de B P 76,645 5% P Z ( 76 ~ (75; ( 76 ~ (77; 75 5% Regra de decisão: e 76, 645, dizer que habitates da ilha são descedetes de B; caso cotrário, dizer que são descedetes de A P(Erro II P (c ( 76,645 ~ (77; P( Z,355 36,3% 76,645 77 P Z P(Erro I 5% P ( ~ (75;,5 75,645,5 75,83 5% P Z 75 5%,5 ap Pág
P(Erro II P ( 76,645 ~ (77; P( Z,77,96% µ B P Erro II µ ( B 75,83 77 P Z 78 8,77% 8,4% 8,% P(erro II mib,% 8,% 6,% 4,%,%,% 77,5 78 78,5 79 79,5 8 8,5 8 8,5 mib (d Problema (a α P(rejeitar H (b verdadeira P 7 5 P Z P( Z,333 9,% 5 β P(aceitar H (c é verdadeira P 7 P Z < P( Z <,5 6,68% α β P ( 7 ~ (5;5 ( < 7 ~ (; ( ~ (5;5 P( < ~ (; 5 P Z P Z < 5 7,49 ] 7,49 [ R ;+ 5 5 ap Pág
Problema 3 (a H : Está começado um ataque H : Está acotecedo uma leve iterferêcia Erro I: Dizer que está acotecedo uma leve iterferêcia, quado a verdade está começado um ataque; Erro II: Dizer que está começado um ataque, quado a verdade está acotecedo uma leve iterferêcia (b H : O acusado é iocete H : O acusado é culpado Erro I: Dizer que o acusado é culpado, quado a verdade é iocete Erro II: Dizer que o acusado é iocete, quado a verdade é culpado (c H : A vacia ão é eficaz H : A vacia é eficaz Erro I: Dizer que a vacia é eficaz, quado a verdade ão é eficaz Erro II: Dizer que a vacia ão é eficaz, quado a verdade é eficaz Problema 4 : úmero de coroas em 3 laçametos ~ Biomial(3;p P H : p,5 versus H : p, 5 ( Erro I P(rejeitar H verdadeira P( 3 p, 5,5% P( Erro II P(ão rejeitar H falsa P( < 3 p, 667 7,37% Problema 5 (a H : µ versus H : µ (b Por exemplo: e < 5, dizer que µ aso cotrário, dizer que µ P(Erro I P(rejeitar H verdadeira P( 5 5 P Z P( Z,5,56% 4 ~ (;4 ap Pág3
P(Erro II P(ão rejeitar H falsa P( 5 P Z < P( Z <,5,56% 4 < 5 ~ (;4 Problema 6 (a Passo : H : µ 8 versus H : µ 8 < Passo : ~ ( µ ;,4 Passo 3: α P(rejeitar H P Z < R ] ;7,34[ Passo 4: 7, 8 5%,4 é verdadeira P( < 8,645,4 ~ (8;,4 7,34 Passo 5: O valor observado pertece à R Logo, rejeita-se H, ou seja, com base a amostra colhida, a diretoria deve decidir por retirar o produto da liha de produção (b β P(Erro II P(ão rejeitar H falsa P( 7,34 7,8 P Z P( Z,45 87,4%,4 7,34 ~ (7,8;,4 (c α P(rejeitar H P Z < 8 %,4 é verdadeira P( < 8,36,4 ~ (8;,4 7,7 R ] ;7,7[ O valor observado ão perteceria à R Logo, a decisão seria diferete, isto é, H ão seria rejeitada (d α P(rejeitar H P Z < R ] ;6,684[ 8 5%,8 é verdadeira P( < 8,645,8 ~ (8;,8 6,684 ap Pág4
ovamete, o valor observado ão perteceria à R, e portato, H ão seria rejeitada Problema 7 Passo : H : µ 6 versus H : µ 6 Passo : ~ ( µ ;6,667 < 6 Passo 3: α, 5,645 49, 3 R ] ;49,3[ 6,667 Passo 4: 5 Passo 5: O valor observado ão pertece à R Logo, ão se rejeita H ão há evidêcias de melhoria Problema 8 Passo : H : µ, 5 versus H : µ, 5 Passo : ~ ( µ ;,74 < Passo 3: α, 5,5,645, 38 R ] ;,38[,74 Passo 4:, 3 Passo 5: omo o valor observado pertece à R, rejeita-se H, ou seja, há evidêcias de que esta idústria paga salários iferiores, em média Problema 9 Passo : H : µ 3 versus H : µ 3 Passo : ~ ( µ ;,9 3 Passo 3: α,,8 4, 5 R ] 4,5; + [,9 Passo 4: 4, 7 Passo 5: omo o valor observado pertece à R, rejeita-se H, ou seja, há evidêcias de que a iformação do fabricate é falsa, ao ível sigificâcia de % Problema Passo : H : p, 5 versus H : p, 5 Passo : Passo 3: p( p p ˆ ~ p; 6 ap Pág5
α P(rejeitar H é verdadeira P P Z,5 5%,5/ 6 { p :,836} R p Passo 4: p ˆ, 833 ( ~ (,5;,5/ 6,5,645,5/ 6,836 Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, ão se rejeita H, ou seja, ão há evidêcias de que a pessoa acerta mais que metade das vezes Problema Passo : H : p, versus H : p, Passo : p( p p ˆ ~ p; 5 Passo 3: α,,,8 p ˆ, 73,,8/ 5 { p :,73} R p Passo 4: p ˆ, 7 Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, aceita-se H, ou seja, ão há evidêcias de que a proporção de peças defeituosas seja maior que % Problema i α, 5 Passo : H : p, 9 versus H : p, 9 Passo : p( p p ˆ ~ p; <,9 Passo 3: α, 5,645, 865,9,/ Passo 4: p ˆ, 875 R { p : p <,865} Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, aceita-se H, ou seja, ão há evidêcias de que a proporção de peças de acordo com as especificação seja meor que 9% ii α,,9 Passo 3: α,,36, 85,9,/ R { p : p <,85} ap Pág6
Passo 4: p ˆ, 875 Passo 5: A coclusão é a mesma obtida com α, 5 Problema 3 Passo : H : p, 5 versus H : p, 5 Passo : p( p p ˆ ~ p; 4 <,5 Passo 3: α, 5,645, 4,5,75/ 4 Passo 4: p ˆ, R { p : p <,4} Passo 5: omo o valor observado pertece à R, rejeita-se H, ou seja, há evidêcias de que a proporção de possuidores de TV que assistem ao programa é meor que 5% Logo, a decisão dos produtores deve ser modificar o programa Problema 4 (a : úmero de sucessos em tetativas ~Biomial(;p α P(rejeitar H é verdadeira P p ( R,5, 9 (b π ( p P(rejeitar H p P( R p p,,4,5,6,8 π ( p,678,8,9,8,678 ap Pág7
Poder,8,7,6,5,4,3,,,,,,4,6,8, p (c π (,5 P (rejeitar H p,5 α, 9 Problema 5 (a Passo : H : µ versus H : µ Passo : ~ ( µ ;4 Passo 3: α, 5,645 6, 58 R ] 6,58; + [ 4 (b π ( µ P (rejeitar H µ P( 6,58 ~ ( µ ;4 P Z 6,58 µ 4 ou β P( Aceitar H verdadeiro P( P( Z <,89,5 +,4987,9987 β,9987 π β, A < 6,58 ~ ( µ ;4 P Z 6,58 µ < 4 µ 95 5 5 ap Pág8
5 π (µ,,5,346,84,98,, Poder,,8,6,4,, 95 5 5 5 3 mi 6,58 µ 6,58 µ (c π ( µ P Z 5% µ 6, 58 4 4 OU Logo, para µ 6, 58, o poder do teste será maior que 5% β 6,58 µ 6,58 µ P Z < 5% µ 4 4 6,58 Logo, para µ 6, 58, o erro II será meor e o poder do teste será maior que 5% Problema 6 5 5 ( 5 ~ (5;5 P Z P(,4, 345 ˆ α P Z 5 ap Pág9
Problema 7 Passo : H : µ 5 versus H : µ 5 Passo : ~ ( µ ;,5 Passo 3:, 5 <,5 5 ( <,5 ~ (5;,5 P Z < P( <,8, 36 ˆ α P Z,5 Passo 4: Rejeitamos H para qualquer ível de sigificâcia α ˆ α Por exemplo, fixado α 5%, rejeita-se H, isto é, há evidêcias de que a ova técica é melhor que a aterior Problema 8 ˆ σ * ~ χ ( σ ; σ ; ( ~ χ ( σ (a P( ˆ σ * a P χ ( a % 5,987 5,987 59, 87 a a σ σ (b P( < a P χ ( < a 5% 3,35 3,35 36, 95 a a σ σ 9 P b P χ ( b 5% 6,99 6,99 87,99 b b σ σ 9 ( α χ χ σ (c P( < 63,6 P ( < 63,6 P( (9 < 4,684, 9 α χ χ σ (d P( P ( P( (9 9, 437 α χ χ σ (e P( < 8 P ( < 8 P( (9 <,6, 4 χ χ σ (f P( 8 P ( 8 P( (9 6,, 63 Problema 9 Passo : H : σ 3 versus H : σ 3 Passo : ( ~ χ (3 σ ap Pág
Passo 3: α P (rejeitar H é verdadeira P( χ < χ ou χ < χ % χ 4,848 e χ 3, 7 { : R χ χ < 4,84 ou χ 3,7} 3 Passo 4: χ obs 4 3, 667 3 Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, aceita-se H, ou seja, ão há evidêcias de que a variâcia mudou, ao ível de % Problema (a A variâcia, já que a mesma é uma medida de dispersão em toro da média (b 4,9 ( I σ ;95% χ Problema ( ; χ ( 4,9 4,9 ;,483 3,47 (a P( 5 < t / P( T < t % P( T < t 5% t, 9 9 9 x µ 48 5 (b t o, 577 P ( T 9 <,577, 89 s / / / [ 55,7;35,38 ] (c P( 5 < P T < P T < P( T <,577, 4 Problema / 9 9 9 Passo : H : µ versus H : µ < Passo : ob H, ~ t(5 / 4 Passo 3: α, 5 α ( < t c 5% t, 753 P(rejeitar H é verdadeira P T5 c R t { t : <,753} Passo 4: t 5 o Passo 5: omo to pertece à R, rejeita-se H Logo, há evidêcias de melhora o tempo médio de execução da tarefa Problema 3 ap Pág
(a Passo : H : µ 9 versus H : µ 9 9 Passo : ob H, ~ t(9 / Passo 3:, 5 α, α P( T < t c 5% t, 833 R { t : t,833} 9 c 35 9 Passo 4: t o, 566 675,8/ Passo 5: omo to ão pertece à R, aceita-se H Logo, ão há evidêcias de que a média das cidades pequeas seja diferete da média do estado (b Isso ocorre devido à grade variâcia da reda dos muicípios Problema 4 (a (b s,35 I ( µ ;95% x ± t5 4,563 ±,3 4,563 ± 5,54 4 [ 36,5;47,8] uposições: a porcetagem da receita gasta com alimetação pelos moradores dessa vila tem distribuição ormal; foi feita uma amostragem aleatória simples Problema 5 (a Passo : H : µ 3 versus H : µ 3 Passo : ~ ( µ ;,33 Passo 3: α, 5, 3,645 3, 7 R ] 3,7; + [,33 Passo 4: 3, 44 Passo 5: omo ão pertece à R, aceita-se H, ou seja, ão há evidêcias de que a média de precipitação pluviométrica aual é maior que 3, 3 (b Passo : ob H, ~ t(8 / 3 (c α, α P( T < t c 5% t, 86 R { t : t,86 } Passo 3:, 5 3,4 3 Passo 4: t o, 4 3,53/ 3 8 c Passo 5: A coclusão é a mesma do item (a ap Pág
β P(aceitar H é falsa P ( < 3,7 ~ (33;,33 3,7 33 P Z < P( Z <,58,4,33 Problema 6 5,4 ; σ 75, 84 ; 5 Passo : H : µ 3 versus H : µ 3 Passo : ~ ( µ ;,875 3 Passo 3: α, 5,96 6, 33; 3,96 33, 68,875,875 Passo 4: 5, 4 { x : x < 6,33 ou 33,68} R x Passo 5: omo pertece à R, rejeita-se H, ou seja, há evidêcias de que o úmero médio de fucioários é diferete de 3 σ 3,6 I( µ ;95% x ± z 5,4 ±,96 5,4 ± 3,675 5 [ 46,7;54,8] Problema 7 Passo : H : µ versus H : µ Passo : ~ ( µ ;,35 Passo 3: α,,8, 7,35 Passo 4:, 3 R { x : x,7 } Passo 5: O valor observado pertece à R Logo, há evidêcias de que o cosumo é maior que o auciado pela fábrica Problema 8 H versus H : µ { 45;58} (a : µ 5 (b Erro I: Rejeitar H sedo que H é verdadeira, isto é, dizer que o valor real é diferete do declarado, quado a verdade o valor declarado está correto ap Pág3
Erro II: Aceitar H sedo que H é falsa, isto é, dizer que o valor declarado está correto, quado a verdade ão está (c α P(rejeitar H é verdadeira P( < 5 5 P Z < + P Z 5,645 33,55 5,645 66,45 { x : x < 33,55 66,45} R ou x % ou ~ (5; (d e µ 45 : β P( aceitar H é falsa P(33,55 < < 66,45 ~ (45; 33,55 45 66,45 45 P < Z < P(,45 < Z <,45,858 e µ 58 : β P( aceitar H é falsa P(33,55 < < 66,45 ~ (58; 33,55 58 66,45 58 P < Z < P(,445 < Z <,845,794 (e α : probabilidade de erro tipo I, isto é, probabilidade de afirmar que o valor declarado está icorreto, quado a verdade está correto β : probabilidade de erro tipo II, isto é, probabilidade de afirmar que o valor declarado está correto, quado a verdade está icorreto (depede do verdadeiro valor de µ Problema 9 Passo : H : µ µ versus H : µ µ A B A B Passo : Var ( Var( + Var( / 5 + /6, 5 A A ob H: Passo 3:, 5 B B A B ( A B ( µ A µ B ~ ( µ A µ B;,5 Z ~ (,,5 Z ( A,5 B ~ (, α, α P H é verdadeira P( Z z 5% z, 96 R z (rejeitar c { z :,96} ap Pág4
Passo 4: z, 98 o Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, ão rejeitamos H, ou seja, ão há evidêcias de que as médias são diferetes Problema 3 Passo : H : p p p versus H : p p Passo : Var( ~ ( p Var( + Var( p ; Var( p ( p + ( Z ob H: Z ~ (, p ( p p ( p + p Var( ( p ( p p É preciso estimar o deomiador de Z sob H ob H, a estimativa ˆ ˆ s p + p de p p p é dada por: p ˆ, 5 + Passo 3:, 5 s ~ (, α, α P H é verdadeira P( Z z 5% z, 96 (rejeitar c { z :,96} R z,5,78 Passo 4: z o, 93 ( (,89 + Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, aceita-se H, ou seja, ão há evidêcias de que as proporções as duas regiões são diferetes Problema 3 Passo : H : p p p versus H : p p ˆ p ˆ ˆ p + p Passo : ob H: Z ~ (, p ˆ, 3 p ( p p ( p + + Passo 3:, 5 α, α P H é verdadeira P( Z z 5% z, 96 (rejeitar c { z :,96} R z,33,9 Passo 4: z, 3 ˆ ( ˆ ˆ ( ˆ p p,7 o p p + ap Pág5
Passo 5: omo o valor observado ão pertece à R, aceita-se H, ou seja, ão há evidêcias de que as preferêcias os dois aos sejam diferetes Problema 3 (a (,37 ( {,,} ~ (5;,5 P Erro I P(rejeitar H é verdadeira P Biomia P( Erro II P(ão rejeitar H,873 ~ Biomial(5;,3 P( ~ Biomial(5;,3 (b (c π ( µ P (rejeitar H p P( ~ Biomial(5; p p,5,,,3,4,5,6,8 π ( p,964,86,398,7,7,4,, ap Pág6
Poder,,8,6,4,,,,,4,6,8, p Problema 33 (a H : µ versus H : µ α β P Z P(rejeitar H é verdadeira P P Z < 5% / P(aceitar H ~ (;/ P % / ( ~ (;4 /,645 / + 3,9 / ( < ~ (;4/,8 / 5,64/ Logo: + 3,9/ 5,64/ 34,7 35 (b + 3,9 / + 3,9 / 34,7 5, 6 esse caso, a R é dada por: R ] 5,6; + [ Problema 34 Teste para a variâcia Passo : σ 8 H : versus σ 8 H : Passo : ( ~ χ (4 σ α P χ χ χ χ Passo 3: (rejeitar H é verdadeira P( < ou < 5% χ,4 e χ 39, 364 { :,4ou R χ χ < χ 39,364} 4 Passo 4: χ obs 5 9, 375 8 Passo 5: omo o valor observado pertece à R, há evidêcias de que a variâcia teha se alterado Teste para a média ap Pág7
Passo : H : µ 5 versus H : µ 5 5 Passo : ob H, ~ t(4 / 5 α, α P( T t c 5% t, 7 R { t : t,7} Passo 3:, 5 8 5 Passo 4: t o 3 5/5 4 c Passo 5: omo to pertece à R, rejeita-se H Logo, há evidêcias de que o úmero médio diário de clietes teha aumetado uposições: Amostragem aleatória simples; úmero diário de clietes do posto de gasolia tem distribuição ormal Problema 35 Passo : H : µ 7 versus H : µ 7 7 Passo : ob H, ~ t(8 /3 Passo 3:, 5 α, α P( T t c 5% t, 86 R { t : t,86 },556 7 Passo 4: t o 4, 75,555/ 3 8 c Passo 5: omo to pertece à R, rejeita-se H Logo, há evidêcias de melhoria s,555 I ( µ ;95% x ± t8,556 ±,36,556 ±,964 3 [ 8,59;,5 ] Problema 36 ( 6,58 I σ ;9% χ ( ; χ ( 8 6,58 8 6,58 ; 9, 3,37 [ 3,37;9, ] Problema 37 erro,645 (a,645 p( p Tomado p,5 (para maximizar p(-p: p( p erro 7,6 7 (b (,4,6 I ( p;,95 ± z,4 ±,96,4 ±,48 [,35;,448] 4 ap Pág8
Itervalo coservador: I ( p;,95 ± z,4 ±,96,4 ±,49 [,35;,449] 4 4 4 Problema 38 (,4,6 I ( p;,9 ± z,4 ±,645,4 ±,8 [,38;,48] Itervalo coservador: I ( p;,9 ± z,4 ±,645,4 ±,8 [,38;,48] 4 4 Problema 39 Passo : H : σ 5 versus H : σ 5 Passo : ( ~ χ ( σ α P χ χ χ 8, 37 Passo 3: (rejeitar H é verdadeira P( 5% { χ : 8,37} R χ Passo 4: χ obs 48 9, 5 Passo 5: omo o valor observado pertece à R, rejeita-se H, ou seja, há evidêcias de que a variâcia seja maior que a auciada pelo fabricate Problema 4 Teste para a variâcia Passo : H : σ 5 versus H : σ 5 Passo : ( ~ χ (7 σ < α P χ χ χ, 67 Passo 3: (rejeitar H é verdadeira P( < 5% { χ : <,67} R χ 7 Passo 4: χ obs,35, 378 5 Passo 5: omo o valor observado pertece à R, há evidêcias de que a variâcia teha dimiuído Teste para a média ap Pág9
Passo : H : µ 4 versus H : µ 4 4 Passo : ob H, ~ t(7 / 8 Passo 3:, 5 α, α P( T7 t c 5% t, 365 R { t : t,365} 4,6 4 Passo 4: t o, 369,6/ 8 c Passo 5: omo to ão pertece à R, ão rejeitamos H Ou seja, ão há evidêcias de que o redimeto médio seja diferete de 4% Problema 4 (a ~Biomial(;p H : p, 6 ˆ α P( 3 ~ Biomial(;,6, 55 (b ˆ α P( 3 ~ Biomial(;,6, Problema 4 ˆ α P( 6 ~ Biomial(;,6,66 Problema 43 Exemplo 7 ˆ α P( P Z 34 34 3 9 ~ (3;9 + P( + < 3 (34 3 86 3 P Z < P( Z,476,4 9 ~ (3;9 Problema 4 ˆ α P( + P( 6 ~ Biomial(;,6 + P( 6 ~ Biomial(;,6,5 6 (6 6 ~ Biomial(;,6 ap Pág