PMR 40 - Mecânca Computaconal CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Fntos (MEF). Formulação Teórca - MEF em uma dmensão Consderemos a equação abao que representa a dstrbução de temperatura na barra mostrada na fgura: f() T(0,t) T(L,t) =0 =L d T d + f ( ) = 0 () T(0)=A e T(L)=B onde f() representa uma fonte unforme de calor. A solução por dferenças fntas (já comentada) consste em se transformar a equação num sstema de a ordem e resolvê-lo substtundo as defnções de dferencações numércas (também já comentadas). Ao fnal obtém-se um sstema de equações onde as varáves são os valores da grandeza a ser calculada (por eemplo T, no caso). A prncpal desvantagem dessa abordagem é que estamos tentando obter a solução eata de T. Pequenos erros no valor de T fazem com que a equação acma não seja satsfeta (seja gual à zero), e a prncípo nada é prevsto no método de dferenças fntas (MDF) para contornar o problema. Já o método de elementos fntos (MEF) é baseado em dos concetos prncpas que ajudam a contornar o problema acma: a) Solução baseada numa "Integral"da equação; b) Apromação da solução por uma função defnda num subdomíno resultante da dscretzação do domíno. A déa básca é a segunte. Vamos supor que ao nvés de tentar obter a solução eata como no MDF, nós tentamos obter uma solução apromada que reduza a um mínmo o erro na apromação da equação. Estem város métodos para se defnr a forma como o 53
PMR 40 - Mecânca Computaconal erro será mnmzado, um deles, bastante usado, é o chamado método de resíduos ponderados. esse caso, sendo R o resíduo da solução apromada: d T R = + f ( ) () d deve-se encontrar uma solução apromada (T ) que mnmze o resíduo de acordo com fórmula: RW dd = 0 onde =,,..., m (3) D onde D é o domíno da solução e W são as funções de peso lnearmente ndependentes. Agora o problema consste em se encontrar uma solução apromada que mnmze o erro acma, defndo como a ntegral do resíduo vezes uma função peso. essa abordagem dz-se que o problema da solução da equação fo "relaado", no sentdo de que não se requer mas uma solução eata, mas apenas uma solução que mnmze o erro defndo acma. Estem váras possbldades na escolha da função peso. Uma outra forma de se defnr a mnmzação do erro sera usar o método dos mínmos quadrados (MMQ), por eemplo. Para se resolver a equação de mnmzação do erro acma, a grandeza T é apromada por uma função, por eemplo, um polnômo (podera ser uma combnação lnear de senos e cosenos, por eemplo) onde os coefcentes devem ser determnados de forma a mnmzar o erro defndo acma. Como sera esse polnômo? a prmera déa sera defnr o polnômo usando todo o domíno onde a equação está defnda. Por eemplo, se estamos calculando a varação de temperatura (T) ao longo de uma barra de comprmento L, o polnômo sera defndo de =0 à =L o que defne o domíno da solução. Esse método é chamado método de Rtz. o entanto este uma desvantagem nessa abordagem como mostrado na fgura abao: T função apromadora função real =a 54
PMR 40 - Mecânca Computaconal Suponhamos que a a varação de T entre =0 e =L seja representada pela função acma (que a prncípo não é conhecda). ote que este uma varação brusca da função em =a. Assm, se tentarmos representar essa solução usando o polnômo defndo em todo o domíno, o polnômo apresentará um comportamento ndesejado, prómo à regão de mudança brusca da função, que não representa a varação de T naquela regão, embora o erro de apromação seja mnmzado pelo mesmo polnômo. Para evtar esse problema, a solução sera "dvdr" o domíno em três subdomínos, por eemplo, e em cada subdomíno usar um polnômo dferente que garanta uma melhor apromação da solução verdadera (ver fgura abao). o entanto, nessa abordagem em geral a contnudade na dervada da função apromadora (no caso, o polnômo) é sacrfcada como observado na fgura abao: T funções apromadoras =a Dessa forma o MEF necessta a "dvsão" ou a dscretzação do domíno em subdomínos que são chamados "elementos fntos". Vejamos com mas detalhes como o polnômo apromador é defndo no MEF. Consderemos uma barra de comprmento L que fo dscretzada em elementos, como mostrado na fgura abao: f() 3 4 5 6 T(0,t) T(L,t) 3 4 5 =0 =L 55
PMR 40 - Mecânca Computaconal Em cada elemento consderemos um polnômo de grau. Assm temos, que a solução T apromada dentro do elemento é representada por: T ( ) = a0 + a (4) Onde a 0 e a devem ser determnados de forma a mnmzar o erro na solução. Podemos escrever essas constantes em função dos valores de T nos pontos e (ver fgura), que são chamados de "nós". Assm temos: T = a0 + a (5) T = a0 + a e portanto: T T T T a0 = ; a = (6) Substtundo novamente a 0 e a na equação de T ( ) : T ( ) = ( ) T + ( ) T (7) onde: = ; = (8) e T e T são ncógntas. A equação (7) é chamada função apromação ou de forma e e são chamadas funções nterpoladoras ou funções de forma. A equação (7) nada mas é do que um polnômo nterpolador de Lagrange. ote que a soma das funções de forma é sempre gual à e ( ) = 0 para j e ( ) = para = j. j Dervando-se a equação (7) temos: ( ) d ( ) d ( ) = T + T (9) d d d onde: d( ) d ( ) = ; = d d (0) Então: ( ) T T = d () que representa a nclnação da reta conectando os nós. Assm, no MEF as ncógntas são representadas pelos valores de T nos nós T, T, T 3, T 4,.,T n para uma barra undmensonal. Defndo a função apromadora no MEF, voltemos à dscussão sobre a mnmzação do resíduo na solução da equação. Como comentado, no método de resíduos ponderados j 56
PMR 40 - Mecânca Computaconal estem váras possbldades na escolha da função peso W. A abordagem mas comum em MEF é o emprego da função de forma como a função peso, que é chamado método de Galerkn. esse caso: R dd = 0 onde =,,..., m () D Vamos consderar a solução da equação ntegral acma para uma barra undmensonal dscretzada em m- elementos. Assm devemos separar a ntegral acma em cada um dos elementos. Para um elemento genérco a ntegral será: d T + d f ( ) ( ) d = 0 onde =, (3) que pode ser epressa como: d T ( ) d = f ( ) ( ) d onde =, (4) d Relembrando ntegração por partes: b a b b udv = uv vdu (5) a a d T Consderando () como u e como dv, no termo da esquerda: d d T d ( ) d = ( ) d d d (6) d d ote que apenas prmeras dervadas aparecem do lado dreto da equação. Para = temos: ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) (7) d d d mas: ( ) = 0 e ( ) =, então: ( ) ( ) = (8) d d Smlarmente para =: ) d ( ( ) = (9) d 57
PMR 40 - Mecânca Computaconal d T ( ) d T ( ) e são chamadas condções naturas de contorno do elemento. Assm, o d d prmero termo do lado dreto da equação (6) representa as condções naturas de contorno nas etremdades do elemento. Assm, para =, temos: d ( ) ( ) d = + f d d d d ( ) ( ) (0) e para =: d ( ) ( ) d = + f d d d d ( ) ( ) () As equações (0) e () são chamadas de Formulação fraca do problema. Consderando a função apromação T ( ) = a0 + a () que dá orgem às funções de forma = ; =, e portanto: d d = ; = (3) d d temos para =: T T ( T T ) d = (4) ( ) Smlarmente para =: T + T ( T + T ) d = (5) ( ) Agora, reescrevendo as equações na forma matrcal: ( ) T f ( ) = + d ( ) T f ( ) d ( ) d ( ) d A matrz do lado esquerdo da equação é chamada matrz de rgdez do elemento. O vetor do lado esquerdo é o vetor de grandezas nodas. O prmero vetor do lado dreto é o vetor de condções naturas de contorno e o segundo vetor representa o vetor de carregamento. Usando uma notação mas compacta: [ K ] e { T} e { C} e + { F} e = (7) esse sstema devemos substtur anda as condções de contorno mpostas do problema como T(0)=A e T(L)=B. O índce e ndca que se refere ao elemento e. Os sstemas (6) 58
PMR 40 - Mecânca Computaconal matrcas de todos os elementos devem ser "montados" de forma a dar orgem ao sstema matrcal global que descreve o comportamento de todo o problema (ver eemplo adante).. Procedmento passo a passo para a mplementação do MEF Vamos descrever o procedmento passo a passo para a mplementação do MEF para a solução de uma equação dferencal parcal lnear genérca. a) Dscretzação Consste na dvsão em elementos fntos. Para cada dmensão do espaço onde se resolve o problema, teremos um tpo de dscretzação. O elemento é defndo pelos "nós". a) Elemento undmensonal (lnha) nós nós Elemento heaédrco Elemento quadrlátero b) Elementos bdmensonas Elemento trangular c) Elemento trdmensonal b) Formulação do Elemento: Deve-se escolher a função apromadora para representar a solução dentro de cada elemento (ou subdomíno). Essa função deve conter coefcentes não conhecdos que serão determnados de forma a mnmzar o erro na solução. Esses coefcentes devem ser escrtos em função dos valores nos "nós" da grandeza em estudo (por eemplo, temperatura). As funções apromadoras mas comuns são os polnômos. ote que escrevendo os coefcentes do polnômo em função das valores nodas, se aumentarmos o grau do polnômo serão necessáros mas nós na defnção do elemento para poder representar o novo polnômo. o caso undmensonal esses nós podem ser defndos no nteror do elemento, por eemplo. c) Montagem do Sstema Matrcal para o elemento 59
PMR 40 - Mecânca Computaconal Segundo o procedmento descrto anterormente procede-se a montagem do sstema matrcal em função das grandezas nodas. Os coefcentes desse sstema dependem do polnômo apromador escolhdo para o elemento. São determnados ncalmente a matrz de rgdez e o vetor de efetos eternos para cada elemento solado. K T = C + F (8) [ ] e { } e { } e { } e d) Montagem Posterormente realza-se a montagem das matrzes dos elementos de forma a consttur as matrzes e vetores globas. essa montagem deve-se observar a numeração dos valores nodas (graus de lberdade) em cada elemento: K T = C + F (30) [ ]{ } { } { } e) Aplcação das Condções de Contorno Antes da equação (30) ser resolvda ela deve ser modfcada para levar em conta as condções de contorno do sstema: K T = C + F (3) [ ]{ } { } { } f) Solução O sstema matrcal (3) deve ser resolvdo utlzando métodos dretos ou teratvos para a solução de sstemas lneares. o caso de matrzes esparsas deve-se trar vantagem do grande número de termos nulos para tornar a solução do sstema mas efcente. g) Pós-processamento A solução obtda (valores nodas) deve ser organzada na forma de tabelas, plotagens de gráfcos b e trdmensonas, curvas de contorno, etc. para poder ser nterpretada. Além dsso, varáves secundáras também podem ser determnadas. Essas varáves são dadas pelas dervadas dos valores nodas (tensões mecâncas, fluo de calor, campo elétrco, etc.) e podem ser plotadas usando vetores. 3. Comparação entre MEF e MDF MDF Alguns pontos mportantes (vantagens e desvantagens) de MDF são ctados abao: a) Solução lmtada a um certo número de pontos; b) Solução deve satsfazer eatamente a equação dferencal; c) Implementação é smples porém específca para cada tpo de equação dferencal; 60
PMR 40 - Mecânca Computaconal d) Em mutos casos são obtdos sstemas matrcas não smétrcos ou não esparsos, o que torna a solução dos mesmos nefcente do ponto de vsta computaconal; e) Dfícl de aplcar em domínos com geometras rregulares; f) a tentatva de se formular o problema para domínos rregulares surgem condções de contorno não usuas (artfcas). MEF Alguns pontos mportantes (vantagens e desvantagens) de MEF são ctados abao: a) Graças ao conceto de função nterpoladora (ou apromadora) a solução é conhecda para qualquer ponto do domíno; b) A equação é resolvda na forma ntegral, ou seja, a equação dferencal é satsfeta segundo um certo crtéro de mnmzação do resíduo. Isso "relaa" o problema e dá mas flebldade e generaldade no método para resolver equações dferencas; c) Os sstemas matrcas obtdos são em geral smétrcos e esparsos, o que torna efcente a sua solução; d) Implementação é complea porém genérca; e) ão há problemas em se aplcar o MEF em domínos rregulares; A comparação acma eplca em parte o porque a maor parte dos softwares comercas em engenhara utlzam o MEF e não MDF para a solução de equações dferencas (seja na área de mecânca, elétrca, etc..). A formulação genérca do MEF é um dos prncpas pontos na sua populardade. Uma outra boa razão é que nos prmórdos da computação (década de 60) hava um grande problema com a lmtação de memóra dos computadores. Assm, observando-se a formulação do MEF, nota-se que a prncípo necessta-se de menos nós (e portanto memóra) no MEF do que no MDF para se obter a mesma precsão na solução da equação, uma vez que a precsão do MEF conta com a ajuda do grau da função apromadora que pode ser aumentado sem aumentar consderavelmente o número de nós. Assm, o MEF torna-se mas atratvo quando há lmtação de memóra, o que não é um problema atualmente. Já o MDF apresenta uma formulação mas smples e que pode ser faclmente mplementada usando processamento em paralelo, sendo de grande vantagem quando se possue um supercomputador com processamento em paralelo. Assm, embora seja necessáro um maor número de nós, o processamento em paralelo compensa a análse. Por sso, o MDF é muto utlzado na análse de escoamento de fludos e propagação de ondas, onde a grande dscretzação necessára no domíno, reduz as vantagens do MEF. Recentemente, os centstas têm aplcado MEF utlzando-se de domínos altamente dscretzados com malhas quadradas o que smplfca a formulação do método e permte que o mesmo seja paralelzado na solução. Assm unem-se as vantagens dos dos métodos. 6