Revsta Ceres ISSN: 0034-737X ceresonlne@ufv.br Unversdade Federal de Vçosa Brasl Almeda Marques da Slva, Natascha; Munz, Joel Augusto; Fonseca e Slva, Fabyano; De Aquno, Luz Henrque; De Moraes Gonçalves, Tarcíso APLICAÇÃO DO MÉTODO BAYESIANO NA ESTIMAÇÃO DE CURVA DE CRESCIMENTO EM ANIMAIS DA RAÇA NELORE Revsta Ceres, vol. 54, núm. 3, marzo-abrl, 007, pp. 9-99 Unversdade Federal de Vçosa Vcosa, Brasl Dsponível em: http://www.redalyc.org/artculo.oa?d=3056740005 Como ctar este artgo Número completo Mas artgos Home da revsta no Redalyc Sstema de Informação Centífca Rede de Revstas Centífcas da Amérca Latna, Carbe, Espanha e Portugal Projeto acadêmco sem fns lucratvos desenvolvdo no âmbto da ncatva Acesso Aberto
APLICAÇÃO DO MÉTODO BAYESIANO NA ESTIMAÇÃO DE CURVA DE CRESCIMENTO EM ANIMAIS DA RAÇA NELORE Natascha Almeda Marques da Slva Joel Augusto Munz Fabyano Fonseca e Slva Luz Henrque de Aquno Tarcíso de Moraes Gonçalves 3 Natascha Almeda Marques da Slva et al. RESUMO As curvas de crescmento geralmente são obtdas por meo do ajuste de funções matemátcas não-lneares, em dos estágos: ncalmente, ajustam-se curvas ndvduas e, posterormente, dentfcam-se efetos ambentas e genétcos sobre os parâmetros dessas curvas. Porém, este tpo de análse estatístca promove perdas de nformações por não consderar dretamente esses efetos no processo de obtenção das curvas. Dessa forma, o método bayesano consttu solução vável por permtr a realzação de uma análse conjunta desses dos estágos. Esse método fo utlzado para ajustar o modelo de Gompertz a dados de peso-dade de gado Nelore. As dstrbuções margnas a posteror dos parâmetros a (peso na maturdade), R (matrz de covarânca resdual), β (vetor de efetos fxos) e σ e (varânca do erro) foram obtdas por meo do algortmo Gbbs Sampler, e as dos parâmetros b (parâmetro de ntegração) e k (taxa de maturdade) por meo do algortmo Metropols-Hastngs. Os efetos ambentas consderados foram: sexo, dade da vaca no parto e estação de nascmento dos anmas. Os resultados permtram evdencar que não houve nfluênca de época e dade da vaca no parto sobre os parâmetros das curvas. Em relação ao sexo, os machos apresentaram maor peso adulto(a) em relação às fêmeas. Palavras-chave: Análse bayesana, função de Gompertz, Nelore ABSTRACT GROWTH CURVES OF NELORE CATTLE: A BAYESIAN APPROACH Growth curves of beef cattle are usually study by mathematcal nonlnear models. Accordng to the frequentst approach these studes occur n two stages: frst, fttng ndvdual growth curves, and later evaluatng the envronment effects on ther parameters. Usng ths approach for the statstcal analyss t s not possble to consder these effects smultaneously n the estmaton process. A possble soluton s to use a Bayesan framework. The Gompertz model was ftted to weght-age data of Nelore cattle by the Bayesan method. The margnal posteror dstrbutons were obtaned usng the Gbbs Sampler for a (mature weght), R (resdual covarance matrx), β (envronment effects) and σ e (varance error) and the Metropols-Hastngs algorthm for b (ntegraton parameter) and k (mature rate). The effects of age at parturton and brth perod dd not nfluence any parameter. On the order hand, the males showed a larger mature weght than females. Key words: Bayesan methodology, Gompertz Model, Nelore Departamento de Cêncas Exatas, DEX, UFLA emal: nataschaalmeda@yahoo.com.br. Departamento de Informátca, DPI-UFV 3 Departamento de Zootecna, DZO-UFLA 9 r e v s t a Ceres Mar/Abr 007
INTRODUÇÃO Na atual bovnocultura de corte, os cradores estão cada vez mas conscentes da mportânca da avalação do crescmento dos anmas para melhor analsar e gerencar a rentabldade desta atvdade, vsto que, em um sstema de produção de carne, o crescmento é um fator prmordal, pos apresenta relação dreta com a quantdade e qualdade da carne, produto fnal da exploração. Além dsso, torna-se mprescndível o fato de manpular genetcamente, va cruzamentos dreconados, a efcênca do crescmento, o que caracterza um grande avanço tecnológco neste campo da Zootecna. Uma das formas de se avalar o crescmento anmal é por meo de curvas de crescmento, que podem ser obtdas de estmatvas de parâmetros de modelos assntótcos não-lneares. Nesses modelos, a assíntota representa o peso na maturdade, e os demas parâmetros determnam a forma da curva de crescmento. Através das estmatvas desses parâmetros, é possível obter nformações sobre as fases de crescmento dos anmas. Quando se dspõem de anmas sujetos a dferentes efetos ambentas, provenentes de város grupos contemporâneos, como rebanhos, anos ou épocas de nascmento, torna-se necessáro que as estmatvas dos parâmetros sejam corrgdas para estes fatores, processo que é pratcamente nvável se realzado pelo método freqüentsta. Geralmente, a solução frenquentsta para este problema consste em duas fases dstntas: prmero faz-se o ajuste de curvas ndvduas por meo do método de Quadrados Mínmos, efetuado medante processos teratvos como Gauss-Newton, DUD e Marquardt. Nessa fase, quando se dspõem de poucas observações longtudnas, o modelo é matematcamente complexo, mutas vezes o método não alcança a convergênca, produzndo estmatvas rreas para os parâmetros. Em uma segunda fase, as estmatvas obtdas são consderadas varáves dependentes e avaladas por meo de um modelo lnear contendo efetos fxos (ambentas) e/ou aleatóros (genétcos) de nteresse. De acordo com Blasco et al., (003), este método é nadequado por não consderar a nfluênca desses efetos no processo de estmação dos parâmetros do modelo não-lnear, além dsso, quando não se verfca a convergênca na prmera fase, o anmal deve ser elmnado da análse da segunda, o que mplca perda de nformação. A solução bayesana para este problema é fundamentada na estmação smultânea dos parâmetros e dos efetos genétcos e ambentas, havendo, assm, uma correção nstantânea para esses fatores. Nesse contexto, todos os parâmetros do modelo, sejam fxos ou aleatóros, são vstos como varáves aleatóras, conforme o conceto subjetvo de probabldade (O Hagan,994). Na teora bayesana, nformações a pror sobre os parâmetros a serem estmados são utlzadas em assocação com os dados amostras (função de verossmlhança), gerando, assm, uma dstrbução conjunta a posteror, de forma que Posteror Verossmlhança x Pror (Box & Tao,973). Wakefeld et al. (994) sugerram que fossem consderadas, smultaneamente, as nfluêncas de efetos genétcos e ambentas sobre os parâmetros de qualquer função de produção, e descreveram o algortmo de Gbbs Sampler para mplementação destes procedmentos va nferênca bayesana. Varona et al. (999) compararam a efcênca desse método em relação à análse realzada em dos estágos, e mostraram que esta últma promoveu perdas de nformações, que refletram em estmatvas vesadas de parâmetros genétcos por não consderar dretamente efetos fxos e aleatóros no processo de obtenção das curvas. Objetvou-se aplcar a teora bayesana para estmar os parâmetros da função de crescmento de Gompertz ajustada a dados de anmas da raça Nelore e, dessa forma, estabelecer comparações entre grupos de anmas submetdos a dferentes efetos ambentas. MATERIAL E MÉTODOS Os dados utlzados foram ceddos pela Assocação Braslera de Cradores de Zebu (ABCZ) e constam de nove pesagens bmestras de 04 anmas da raça Nelore, do nascmento aos dos anos de dade, dvddos em grupos contemporâneos. Os grupos contemporâneos foram defndos como: GC - fêmeas nascdas na época chuvosa, flhas de vacas com menos de 4 anos; GC - fêmeas nascdas na época seca, flhas de vacas com menos de 4 anos; GC3 - machos nascdos na época chuvosa, flhos de vacas com menos de 4 anos; GC4 - machos nascdos na época seca, flhos de vacas com menos de 4 anos; GC5 - fême- Aplcação do método bayesano na estmação de curva de crescmento em anmas da raça Nelore 54(3): 9-98, 007 r e v s t aceres 93
Natascha Almeda Marques da Slva et al. as nascdas na época chuvosa, flhas de vacas entre 4 e 9 anos; GC6 - fêmeas nascdas na época seca, flhas de vacas entre 4 e 9 anos; GC7 - machos nascdos na época chuvosa, flhos de vacas entre 4 e 9 anos; GC8 - machos nascdos na época seca, flhos de vacas entre 4 e 9 anos; GC9 - fêmeas nascdas na época chuvosa, flhas de vacas entre 0 e 4 anos; GC0 - fêmeas nascdas na época seca, flhas de vacas entre 0 e 4 anos; GC - machos nascdos na época chuvosa, flhos de vacas entre 0 e 4 anos; GC - machos nascdos na época seca, flhos de vacas entre 0 e 4 anos. A função de Gompertz, defnda de acordo com Blasco et al., (003), é representada por: y j = a exp(-b exp(-kx j)) + e j, em que y j é o peso observado do anmal na dade j para =,,...N e j=,,...n; x j é a dade em que o peso y j fo observado; a é a estmatva de peso na maturdade (peso adulto, o qual representa a assíntota do modelo); b é o parâmetro de ntegração (não possu nterpretação bológca, é uma constante matemátca cuja função é ajustar o peso ncal em relação a orgem); k é a taxa de maturdade, que é um ndcador da velocdade com que o anmal se aproxma do peso adulto (valores altos ndcam maturdade precoce e valores baxos ndcam maturdade retardada, portanto, para aumentar a precocdade de um rebanho devem-se seleconar anmas que apresentam altos valores de k); e j é o erro expermental, normal e dentcamente dstrbuído com méda 0 e varânca σ e. As comparações entre os efetos dos grupos contemporâneos foram avaladas apenas para os parâmetros a e k, os quas apresentam mportantes nterpretações bológcas. Para avalação de dferenças entre grupos contemporâneos foram realzadas comparações de nteresse. As comparações relaconadas ao efeto de classe de dade da vaca foram: D=GC-GC5 D=GC-GC6 D3=GC3-GC7 D4=GC4-GC8 D5=GC-GC9 D6=GC-GC0 D7=GC3-GC D8=GC4-GC D9=GC5-GC9 D0=GC6-GC0 D=GC7-GC D=GC8-GC D3=(GC+GC+GC3+GC4)-(GC5+GC6+GC7+GC8) D4=(GC+GC+GC3+GC4)-(GC9+GC0+GC+GC) D5=(GC5+GC6+GC7+GC8)-(GC9+GC0+GC+GC) Em relação à dade da vaca, sempre foram comparados os anmas flhos de vacas mas novas com anmas flhos de vacas mas velhas, por exemplo D(fêmeas nascdas na época chuvosa, flhas de vacas com menos de 4 anos (GC) comparadas com fêmeas nascdas na época chuvosa, flhas de vacas entre 4 e 9 anos (GC5)). Aquelas relaconadas com o efeto de sexo foram: D6=GC4-GC D7=GC3-GC D8=GC8-GC6 D9=GC7-GC5 D0=GC- C0 D=GC-GC9 Tem-se, como exemplo, o contraste D6, que ndca a comparação entre machos nascdos na época seca, flhos de vacas com menos de 4 anos (GC4) e fêmeas nascdas na época seca, flhas de vacas com menos de 4 anos (GC). As comparações relaconadas ao efeto de época de nascmento foram: D=GC4-GC3 D3=GC-GC D4=GC8-GC7 D5=GC6-GC5 D6=GC-GC D7=GC0-GC9 D8=(GC+GC4)-(GC+GC3) D9=(GC6+GC8)-(GC5+GC7) D30=(GC0+GC)-(GC9+GC) Em relação à utlzação da nferênca bayesana, para a varânca do erro, σ e, θ (vetor de parâmetros do modelo Gompertz), β (vetor de efetos fxos) e R (matrz de covarânca), as prors utlzadas foram, respectvamente: σ e ~U[0,σ max] -N ' - p( θ β, R) R exp[- ( θ - x β) ( R I) ( θ - x β )], - ' - (-n R + 3+ ) - p( β) V exp[- ( β - m) V ( β - m)], p( R) R exp[- tr(n RR S R )] sendo σ max constante e m, V, n R e S R hperparâmetros (H), os quas são representados como parâmetros das prors. A função de verossmlhança, que representa a dstrbução conjunta dos dados amostras (pesos no decorrer do tempo), é a segunte p(y ) exp[- (y - a ) (y - a )] ' θ h n h (σ e) σ e em que, h = exp[ bexp(-kx j)] Das prors e da verossmlhança, tem-se a dstrbução conjunta a posteror, dada por: N+n R +4 - ' - n e (σ e ) ' - ' - - θ R R p( θ, β, R y ) R V exp{- [(y - a h ) σ (y - a h ) + +( θ-x β)(r I) ( -x β)+( β-m)v ( β-m)+tr(n R S )]} A obtenção das dstrbuções margnas dos parâmetros, que geralmente é feta pela ntegração da dstrbução conjunta a posteror, não tem solução analítca, sendo necessára a utlzação de métodos numércos, e, dentre esses, destacam-se algortmos especalzados como o Gbbs Sampler e o Metropols-Hastngs. 94 r e v s t a Ceres Mar/Abr 007
Esses algortmos utlzam a smulação de Monte Carlo para a geração de dados ou, mas especfcamente, de valores para os parâmetros, a partr de dstrbuções de probabldades e fazem uso, também, da teora das cadeas de Markov, que consdera um sstema de dependênca entre observações geradas na smulação, usando o método conhecdo como MCMC (Monte Carlo Markov Chan) (Sorensen, 996; Gamerman,996). As dstrbuções condconas a posteror da matrz R, dos parâmetros do modelo de Gompertz (a, b, k ), do vetor β e da varânca do erro σ e, obtdas a partr da dstrbução conjunta a posteror, são representadas respectvamente por: - R θ, β,y,h ~IW 3 [( θ-x β)( θ-x β)'+nrs R],N+n R ' - aa - a b,k, β, R,y,H~Na,( ˆ hσ e h+r ) ' - aa ab ak hσe y +r ma, -r (b -m b,)-r (k -m k,) em que â = ' - aa hσ h +r e b a,k, θ, β, R, y,h exp{- (y - a h ) (y - a h ) - ' σe bb bb ab bk - [r b -(r m bb b, -r (a -m a,))-r (k -m k,)] } r k a,b, θ, β, R, y,h exp{- (y - a h ) (y - a h ) - ' σe kk kk ak bk - [r k-(r m kk k,-r (a-m a,)-r (b-m b,)] } r β θ,h~ N[ βˆ,(xr x+v ) ] em que: R =R ' - - - - I σ e ~ GI N -, {yj-aexp[-bexp(-k x j)]} j Como as dstrbuções condconas para a, σ e, R e β são conhecdas, utlza-se o algortmo Gbbs Sampler. Já, as dstrbuções condconas dos parâmetros b e k não apresentam uma forma defnda, sendo determnadas pelo uso do algortmo Metropols-Hastngs. Esses algortmos foram mplementados utlzandose o procedmento PROC IML do software SAS (996), consderando-se 5.000 terações, com um ntervalo de amostragem de 0 terações e descarte das prmeras observações burn-n de.500. Tratando-se de processos teratvos, a constatação de sua convergênca torna-se mprescndível para a valdade do estudo; portanto, para verfcá-la, utlzaram-se os crtéros de Gelman & Rubn (99), dsponíves no módulo BOA (Bayesan Output Analyss) do software estatístco R. (R Development Core Team (006)). Para a mplementação do algortmo Metropols- Hastngs utlzou-se como dstrbução canddata para os parâmetros b e k, as seguntes dstrbuções normas: b ( c+ ) ~ N( b ( c), b ( c) ( c+ ) ( c) ( c) / d) e k ~ N( k, k / d) como ndcadas por Chang et al. (00), em que b e k (c) (c) foram centrados nos valores atualzados de b e k (c) (c) com varâncas b /d e k /d, respectvamente; c ndca o número de terações, e d é um valor arbtráro, escolhdo após sucessvas tentatvas com objetvo de obter taxas de acetação entre 7 e 45%, como sugerdo por Blasco et al. (003). A mplementação desses algortmos fo realzada atualzando-se prmeramente as condconas a posteror dos parâmetros (a, b e k ): amostrou-se o parâmetro a, o que fo atualzado em b ; amostrou-se b e atualzado em k ;. e amostrou k. Em seguda, atualzaram-se a, b e k nas condconas a posteror de σe e de β. Posterormente, amostrou-se β para atualzá-lo na condconal a posteror de R, de modo que o R amostrado seja atualzado em a. O processo fo, então, repetdo até atngr a convergênca. Devdo ao fato dos algortmos Gbbs Sampler e Metropols-Hastngs serem processos teratvos, devese constatar a sua convergênca. Dentre os mas utlzados, o fator R, proposto por Gelman & Rubn (99), consste na utlzação de váras cadeas em paralelo, começando de valores ncas dstntos. Para cada parâmetro de nteresse, compara-se a varabldade dentro e entre as cadeas amostradas. Se a convergênca fo atngda, tem-se uma amostra aleatóra da dstrbução desejada. RESULTADOS E DISCUSSÃO Os resultados referentes à sgnfcânca dos contrastes relaconados com a comparação dos grupos contemporâneos são apresentados nas Tabelas, e 3. Esses resultados foram obtdos por nferênca realzada nas amostras da dstrbução margnal a posteror de cada parâmetro. Aplcação do método bayesano na estmação de curva de crescmento em anmas da raça Nelore 54(3): 9-98, 007 r e v s t aceres 95
Observa-se pelas tabelas que a convergênca fo alcançada, pos os valores do teste de Gelman e Rubn ( R ) foram todos guas a. Nota-se também que os valores de EMC foram de pequena magntude em relação ao desvo-padrão, mostrando que o processo proporconou estmatvas confáves. Portanto, nenhuma rregulardade fo observada no processo de amostragem, o que assegura a qualdade dos resultados. Pelos resultados apresentados na Tabela, nota-se que os machos apresentaram maores pesos adultos que as fêmeas; os resultados apresentados para os contras- tes D8 e D foram sgnfcatvos. Esta superordade dos machos, segundo Souza et al. (004), pode ser atrbuída à sua capacdade fsológca em apresentar maores índces de massa corporal devdo a fatores hormonas de desenvolvmento. Estas dferenças entre sexo verfcadas para o peso adulto não foram constatadas para a taxa de maturdade. Os resultados apresentados nas Tabelas (comparações entre classes de dade da vaca) e 3 (comparações entre épocas de nascmento) não foram sgnfcatvos, mostrando, então, que a dade da vaca e a época de nasc- Natascha Almeda Marques da Slva et al. Tabela - Méda dos efetos fxos (β ) dos parâmetros a e k, desvo-padrão (DP), ntervalo de maor densdade a posteror (HPD), erro de Monte Carlo (EMC), fator escala para o teste de Gelman e Rubn ( R ) para o efeto de classe de dade da vaca Grupo Méda DP HPD LI LS EMC R Parâmetro a D 33,69 75,96 -,7 76,34 0,778 D 4,7 65,3-0,6 54,49 0,69 D3 07,98 76,56-40,94 58,84,355 D4 -,7 75,90-75,65 9,9 0,838 D5 54,79 75,5-98,57 95,5 0,896 D6 40,69 75,5-07,37 85,95 0,753 D7 9,5 78,4 -,0 80,89,484 D8 8,93 76,45-30,59 66,3 0,945 D9,09 74,96-3,00 63,60 0,644 D0-84,03 64,76-08,9 4,83 0,608 D -78,8 76,7-3,66 67,05,44 D 4,66 75,76-0,7 9,6 0,8 D3 60,9 36,9-0,90 33,5 0,44 D4 35,89 38,30-40,97 07,85 0,444 D5-5,0 36,66-98,84 45, 0,384 Parâmetro k D 7,6x0-4 9,0x0-4 -0,000 0,005,0x0-5 D -4,6x0-4 8,5x0-4 -0,00 0,00 7,6x0-6 D3-9,6x0-4 9,0x0-4 -0,008 0,0008 8,8x0-6 D4 -,9x0-4 9,0x0-4 -0,000 0,005 8,8x0-6 D5-5,5x0-4 9,0x0-4 -0,008 0,008,x0-5 D6,x0-4 9,0x0-4 -0,007 0,009 7,3x0-6 D7-4,x0-4 9,0x0-4 -0,00 0,004 7,9x0-6 D8 -,7x0-4 4,5x0-4 -0,00 0,0007 4,8x0-6 D9-8,x0-4 9,0x0-4 -0,006 0,0009 8,6x0-6 D0 5,9x0-4 8,5x0-4 -0,00 0,00 7,7x0-6 D 5,4x0-4 9,0x0-4 -0,00 0,004 8,5x0-6 D -7,6x0-5 9,0x0-4 -0,009 0,007 7,8x0-6 D3-3,6x0-4 9,0x0-4 -0,00 0,004 9,x0-6 D4 -,3x0-4 4,4x0-4 -0,00 0,0007 5,0x0-6 D5 6,0x0-5 4,4x0-4 -0,0008 0,0009 4,5x0-6 96 r e v s t a Ceres Mar/Abr 007
Tabela Méda dos efetos fxos (β) dos parâmetros a e k, desvo-padrão (DP), ntervalo de maor densdade a posteror (HPD), erro de Monte Carlo (EMC), fator escala para o teste de Gelman e Rubn ( R ) para o efeto de sexo Grupo Méda DP HPD LI LS EMC R Parâmetro a D6 46,593 76,0-0,75 95,0858 0,84 D7 43,76 77,49-0,8095 9,8507,78 D8 94,050 65,8 67,8036 30,86 0,665 D9 68,890 75,64-8,476,6864 0,690 D0 68,354 74,33-7,3397 8,043 0,88 D 68,83 76,58,784 30,9893,096 Parâmetro k D6-9,x0-4 9,x0-4 -0,007 0,00088,0x0-5 D7-6,x0-4 9,0x0-4 -0,00334 0,00008,0x0-5 D8 -,x0-3 8,6x0-4 -0,0077 0,000567 0,7x0-5 D9,x0-4 9,x0-4 -0,0074 0,00838 0,9x0-5 D0-4,3x0-4 9,0x0-4 -0,006 0,00338 0,8x0-5 D -,4x0-3 9,0x0-4 -0,00303 0,00047 0,9x0-5 TABELA 3 - Méda dos efetos fxos (β) dos parâmetros a e k, desvo-padrão (DP), ntervalo de maor densdade a posteror (HPD), erro de Monte Carlo (EMC), fator escala para o teste de Gelman e Rubn ( ) para o efeto de época Aplcação do método bayesano na estmação de curva de crescmento em anmas da raça Nelore 54(3): 9-98, 007 r e v s t aceres 97
mento, neste estudo, não nfluencaram no crescmento dos anmas. A curva de crescmento estmada, obtda a partr das médas a posteror, representatva dos anmas pertencentes ao grupo GC, é apresentada na Fgura, e as dstrbuções das dferenças entre sexo para o parâmetro peso adulto são apresentadas nas Fguras e 3. Os resultados apresentados nas Fguras e 3 confrmam os resultados da Tabela, mostrando que foram sgnfcatvas as comparações D6 (Fgura ) e D (Fgura ). Realmente confrmando que houve dferenças nos valores do peso adulto relaconado ao sexo do anmal. Peso 350 300 50 00 50 00 50 0 0 00 400 600 Idade da vaca Fgura - Representação gráfca da curva de crescmento dos pesos de anmas machos, nascdos na época chuvosa e flhos de vacas com dade entre 0 e 4 anos. Natascha Almeda Marques da Slva et al. A B FIGURA -Dstrbuções a posteror para o parâmetro A consderando os grupos contemporâneos de machos nascdos na época seca e flhos de vacas entre 5 e 9 anos (GC8) e fêmeas nascdas na época seca e flhas de vacas entre 5 e 9 anos (GC6) (A), e das dferenças entre os grupos GC8-GC6 (B). A B FIGURA 3 - Dstrbuções a posteror para o parâmetro A consderando os grupos contemporâneos de machos nascdos na época chuvosa, flhos de vacas entre 0 e 4 anos (GC) e fêmeas nascdas na época chuvosa, flhas de vacas entre 0 e 4 anos (GC9) (A), e das dferenças entre os grupos GC-GC9 (B). 98 r e v s t a Ceres Mar/Abr 007
CONCLUSÕES O método bayesano mostrou-se efcente na comparação dreta entre os parâmetros da função crescmento de Gompertz, vsto que todas as cadeas relaconadas às dferenças obtveram convergênca. Anmas nascdos de vacas mas novas tendem a apresentar maor peso adulto e menor taxa de maturdade, e machos obtêm maor peso adulto em comparação às fêmeas. REFERÊNCIAS Blasco A, Ples M & Varona L (003) A Bayesan analyss of the effect of selecton for growth rate on growth curves n rabbts. Genetc Selecton Evoluton, 35:-4. Box GEP & Tao GC (973) Bayesan Inference n Statstcal Analyss. ed New York, Jonh Wley & Sons. 435p. Chang YM, Rekaya R, Ganola D & Thomas DL (00) Genetc varaton of lactaton curves n dary sheep: a Bayesan analyss of Wood s functon. Lvestock Producton Scence, 7:4-5. Gelman A & Rubn DB (99) Inference from teratve smulaton usng multple sequences, Statstcal Scence, 7:457-5. Gamerman D (996) Smulação estocástca va cadeas de Markov. In: SIMPÓSIO NACIONAL DE PROBABILIDADE E ESTA- TÍSTICA SINAPE, Caxambu. Anas, ABE. p.96. O Hagan A (994) Kendall s advanced theory of statstcs: Bayesan nference. Edward Arnold, b:45p. R Development Core Team (006) R: A language and envronment for statstcal computng. R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra. ISBN 3-90005-07-0, URL http:/ /www.r-project.org. Souza MCA, Ferraz Flho PB, Slva LO, Souza JC & Malhado, CHM (004) Efetos genétcos e ambentas sobre pesos a desmama de bovnos da raça Nelore mocha, na regão pecuára oeste São Paulo-Paraná. Arquves of Veternary Scence, 9:3-8. Statstcal Analyss System Insttute SAS/STAT â (996) User s gude. Statstcs verson 6.4. ed. Cary,68p. Sorensen D (996) Gbbs samplng n quanttatve genetc, 3 ed. Copenhagen, Foulun.86 p. Varona L, Moreno C, Garca Cortés LA, Yagüe G & Altarrba J (999) Two-step versus jont analyss of Von Bertalanffy functon. Journal of Anmal Breedng and Genetcs, 6: 33-338. Wakefeld JC, Smth AFM, Racne-Poon A & Gelfand AE (994) Bayesan analyss of lnear and non-lnear populaton models by usng the Gbbs Sampler. Journal of Appled Statstcs, 43:0-. Aplcação do método bayesano na estmação de curva de crescmento em anmas da raça Nelore 54(3): 9-98, 007 r e v s t aceres 99