TEORIA DAS FILAS COMO FERRAMENTA PARA ANÁLISE DE DESEMPENHO DE SISTEMAS DE ATENDIMENTO: ESTUDO DO CASO DE UM SERVIDOR DA UECE

Univrsidad Esadual do Cará (UECE) Cnro d Ciências Tcnologia (CCT) Cnro Fdral d Educação Tcnológica do Cará (CEFET-CE) Diroria d Psquisa Pós-Graduação DIPPG MESTRADO INTEGRADO PROFISSIONALIZANTE EM COMPUTAÇÃO APLICADA-UECE/CEFET TEORIA DAS FILAS COMO FERRAMENTA PARA ANÁLISE DE DESEMPENHO DE SISTEMAS DE ATENDIMENTO: ESTUDO DO CASO DE UM SERVIDOR DA UECE Candidao: Edwin Carrión Orinador: Prof. Dr. Anônio Clcio Fonlls Thomas

EDWIN ARTURO CARRIÓN TEORIA DAS FILAS COMO FERRAMENTA PARA ANÁLISE DE DESEMPENHO DE SISTEMAS DE ATENDIMENTO: ESTUDO DO CASO DE UM SERVIDOR DA UECE Dissração submida à Coordnação d Msrado Profissional m Compuação da Univrsidad Esadual do Cará como rquisio parcial para obnção do íulo d msr. FORTALEZA CEARÁ 7

FICHA CATALOGRÁFICA C36 Carrión, Edwin Aruro Toria das filas como frramna para anális d dsmpnho d sismas d andimno: sudo do caso d um srvidor da UECE/ Edwin Aruro Carrión.--Foralza, 7 8p. Orinador: Prof. Dr. Clcio Anônio Fonlls Thomaz Dissração (Msrado Ingrado Profissionalizan m Compuação Aplicada) - Univrsidad Esadual do Cará, Diroria d Psquisa Pós-Graduação.. Congsionamno.. Toria das Filas. 3. Disribuiçõs d Probabilidad. I. Univrsidad Esadual do Cará. Diroria d Psquisa Pós-Graduação. CDD:.6 3

Agradcimnos Primiro agradcr a Dus pla saúd srnidad para cada dia da minha vida r disposição para rminar sa dissração. Ao mu orinador, Prof. Clcio Thomaz, por sar smpr disponívl m rspondr minhas duvidas rfrn ao rabalho. Aos profssors plas orinaçõs para mlhorar o rabalho, m paricular ao Prof. Guilhrm Ellry pla nrga compromisso para com o curso. Ddicaória Ddico s rabalho a oda minha família plo apoio dado duran s longo príodo d sudo. 4

RESUMO O xcsso d mnsagns qu chgam a um srvidor gra congsionamno. Esa psquisa propõ oimizar o congsionamno do srvidor da UECE usando a oria das filas como frramna. Para nndr o problma d oimizar um srvidor, o rabalho é basado no sudo dos úlimos avanços fios nsa ára mdian liura d arigos ciníficos publicados liraura bibliográfica d filas d spra. Chga-s a dscobrir qu dvido à complxidad d prdizr o comporamno do ráfgo digial, s ipo d congsionamno é xrmadamn difícil d oimizar. Por ano, s assum qu as chgadas saídas das mnsagns no srvidor da UECE são govrnadas pla disribuição xponncial. Foi laborada uma psquisa d campo para obr os dados d congsionamno do srvidor da UECE com os dados s calculou as variávis nvolvidas numa fila d spra grada plo congsionamno no srvidor usando fórmulas apropriadas do modlo qu s adap mlhor ao ráfgo grado no srvidor da UECE. Analisam-s os rsulados obidos para oimizar o congsionamno grado no srvidor da UECE. Também s dscrvm os difrns ipos d modlos da oria das filas usando xmplos. Mosra-s o comporamno do ráfgo comparado com o comporamno d congsionamnos conhcidos como o d chamadas lfônicas na camada d ligação d dados do modlo d inrconxão d sismas abros. Finalmn, s idnificam as disribuiçõs apropriadas para s ipo d congsionamno (disribuiçõs d cauda longa) idnificam-s méodos qu srvm para nconrar d forma aproximada a ransformada d Laplac dsas disribuiçõs. Mas ss méodos não são analisados aqui dvido a sus lvados conhcimnos d mamáica avançada. Palavras-chav: Congsionamno,Toria das Filas, Disribuiçõs d Probabilidad 5

ABSTRACT Th xcss of mssags ha g ino a compur srvr gnras congsion. Th purpos of his sudy is o us h hory of quus as an insrumn o opimiz h srvr of UECE. To undrsand h problm how o opimiz h srvr, sudy is don on publishd aricls and bibliography on quus. As a rsul, i is discovrd ha his yp of quu is xrmly complicad o opimiz bcaus of h lac of undrsanding in prdicing h bhavior of his ind of raffic. Bcaus of ha, i is assumd ha arrivals and procssing ims of mssags ha g ino h srvr ar aciviis govrnd by h xponnial disribuion. Thr wr qusions o b asd o h popl in h compur lab of UECE o g informaion rlad o h raffic in h srvr. Basd on ha, i was calculad all h variabls of h quu gnrad in h srvr. Th congsion has o fi a spcific yp of modl of h hory of quus. Th rsuls gon from h formulas ar analyzd wih h innion o opimiz h raffic gnrad in h srvr of UECE. In addiion, his proc dscribs h yps of quus in gnral and compars h bhavior of h raffic wih h raffic crad by human voic such as phon calls, which is a nown yp of raffic. This is don in h lin layr of h OSI modl. Finally, hr ar som yps of disribuions (havy ail disribuions) ha govrn br h bhavior of his raffic. Ths disribuions ar mniond in his sudy. I mnions som mhods crad by sciniss o approxima h Laplac ransform of hs disribuions. Bu hs mhods ar no analyzd hr bcaus of is advancd mahmaical concps. Ky words: Thory of Quus, Probabiliy Disribuions, Congsion. 6

LISTA DE FIGURAS Fig : Disribuição d Poisson... Fig : Disribuição d Poisson... Fig 3: Disribuição Exponncial... 4 Fig 4: Disribuição Exponncial... 4 Fig 5: Tmpo d Andimno Erlang... 7 Fig 6: Disribuição d Erlang... 9 Fig 7: Rd d Transição d Esados... 3 Figuras 8 9: Sisma d Filas... 34 Fig : Rd d Transição d Esados d um Sisma d Filas... 35 Fig : Formas d Chgadas... 37 Fig : Formas d Andimno... 38 Fig 3: Rd d Transição d Esados do Modlo M/M/... 4 Fig 4: Primira Possibilidad d Sqüência dos Evnos... 4 Fig 5: Rd d Transição d Esados do Modlo M/M//GD/c/... 47 Fig 6: Rd d Transição d Esados do Modlo M/M/S/GD//... 5 Fig 7: Rd d Transição d Esados do Modlo M/M/R/GD/K/K... 5 Fig 8: Cuso Mínimo do Modlo M/M/... 67 Fig 9: Tmpos d Espra do Tráfgo num Srvidor... 74 Fig : Tráfgo d Voz Vrsus Tráfgo num Srvidor... 75 LISTA DE QUADROS Quadro : Probabilidads do Procsso Nascimno-Mor... 4 Quadro : Exmplo do Modlo M/M//c/... 49 Quadro 3: Exmplo do Modlo M/M/S... 5 Quadro 4: Modlo d Rparo d Máquinas K 5 R... 5 Quadro 5: Exmplos d Filas d Espra com Auo-andimno... 54 Quadro 6: Exmplo Modlos MM MG... 57 Quadro 7: Exmplo do Modlo M/G/S/GD/S/... 59 Quadro 8: Exmplo do Modlo G/G/S... 6 Quadro 9: Exmplo d Filas m Sri... 63 Quadro : Exmplo d Fila Abra... 63 Quadro : Exmplo d Fila Fchada... 66 7

LISTA DE SIGLAS CA CE CT Cuso médio d andimno Cuso médio d spra Cuso médio oal no sisma d filas D Aividads dscrias por uma disribuição drminísica (variância ) E FCFS GD G GI GPSSH K L L q L s LCFS M S TMM TAM TRM W W q W s Aividads dscrias pla disribuição d Erlang d parâmro R com forma Primiro a chgar, primiro a sr andido. Disciplina gral d uma fila d spra. Aividads dscrias por uma disribuição gral d probabilidad. Aividads d chgada dscrias por uma disribuição gral d probabilidad. Programa d Simulação Númro máximo d clins no sisma. Númro médio d clins no sisma. Númro médio d clins na fila d spra. Númro médio d clins m andimno. Úlimo a chgar, primiro m sr andido. Aividads dscrias por disribuiçõs d Poisson ou Exponncial Númro d andns no sisma Méodo Comparaivo d Transformação. Méodo d Aproximação da Transformação Méodo TAM d Rcursão Tmpo médio d um clin no sisma. Tmpo médio d um clin na fila d spra. Tmpo médio d um clin m andimno. 8

SUMÁRIO. INTRODUÇÃO.... Obivos.... Dlimiação do problma... 3.3 Modologia... 3.4 Esruura Inrna do Trabalho... 4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 4. Hisória das Filas d Espra... 5. Psicologia d uma Fila d Espra... 5.3 Noação... 6.4 DESCRIÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE... 8.4. Dfinição d Valor Esprado... 8.4. Dfinição d Variância... 8.4.3 Dfinição d Dsvio Padrão... 8.4.4 Disribuição d Poisson... 8.4.4. Valor Esprado... 9.4.4. Variância... 9.4.4.3 Gráfico....4.5 Disribuição Exponncial....4.5. Valor sprado....4.5. Variância... 3.4.5.3 Gráfico... 4.4.5.4 Propridad da Não-Mmória da Disribuição Exponncial... 5.4.6 Disribuição d Erlang... 6.4.6. Valor sprado... 7.4.6. Variância... 8.4.6.3 Gráfico... 9.5 PROCESSO ESTOCÁSTICO... 3.5. Nomnclaura d um Procsso Esocásico... 3.5. Cadias d Marov m Tmpo Discro... 3.5.3 Cadias d Marov m Tmpo Conínuo... 33.6 DESCRIÇÃO DE UM SISTEMA DE FILAS... 33.6. Caracrísicas d um Sisma d Filas... 33.6.. Nomnclaura d um Sisma d Filas... 36.6. Caracrísicas das Formas d Chgadas... 37.6.. Nomnclaura das Formas d Chgadas... 37.6.3 Caracrísicas d uma Fila d Espra... 37.6.3. Disciplina da fila... 38.6.3. Nomnclaura d uma Fila d Espra... 38.6.4 Caracrísicas das Formas d Andimno... 38.6.4. Nomnclaura das Formas d Andimno... 38.7 O PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE... 39.7. M/M//FCFS// como um procsso d nascimno mor... 39.7. Probabilidads m sado sávl do procsso nascimno-mor... 4 3. DESEMPENHO DOS MODELOS... 43 3. O orma d Lil... 43 9

3. Modlos Marovianos... 43 3.. O Modlo M/M//GD//... 44 3... Média do númro d clins no sisma (L)... 44 3... Média do númro d clins na fila d spra (L q )... 45 3...3 Média do númro d clins m andimno (L s )... 45 3...4 Média do mpo oal no sisma (W)... 45 3...5 Média do mpo na fila d spra(w q )... 45 3...6 Média do mpo d andimno (W s )... 46 3...7 Probabilidad d xisir no mínimo N clins no sisma... 46 3...8 Tmpo oal dos príodos d andimno... 46 3...9 Númro d andimnos m odos os príodos ocupados... 46 3.. O Modlo M/M//GD/c/... 47 3..3 O Modlo M/M/S/GD//... 49 3..4 O Modlo M/M/R/GD/K/K d rparo d máquinas... 5 3..5 Os Modlos M/G//GD// GI/G//GD//... 53 3.3 Modlos Não Marovianos... 55 3.3. O Modlo M/G//GD//... 55 3.3. O Modlo M/G/S/GD/S/... 57 3.3.3 O Modlo G/G/M... 6 3.4 Modlos m Séri... 6 3.4. Rd d Fila d Espra Abra... 63 3.4. Rd d Fila d Espra Fchada... 64 3.5 Cuso Mínimo d um Sisma d Filas d Espra M/M/... 67 3.6 COMPORTAMENTO TRANSITÓRIO DE UM SISTEMA DE FILAS... 69 4. APLICAÇÕES... 7 4. O CASO DE UM SERVIDOR NA UECE... 7 4.. A Toria das Filas não s aplica ao Tráfgo no Srvidor... 73 5. CONCLUSÕES... 76 5. Comnários Finais... 78 6. BIBLIOGRAFIA... 79

. INTRODUÇÃO O obivo da oria das filas é oimizar o dsmpnho d um sisma, rduzindo sus cusos opracionais. Para oimizar o dsmpnho dos modlos d filas d spra, é ncssário analisar os rsulados grados por fórmulas apropriadas a um modlo spcífico. Rsulados qu prmiam ralizar a anális d uma siuação paricular, ond ls podm sr grados manualmn subsiuindo os dados d nrada nas fórmulas; ou podm sr obidos aravés d um programa d compuador como por xmplo um Add-in m Excl, scrio no linguagm d programação Visual Basic, ou programas chamados appls (pqunos programas dsnvolvidos m Java). Em gral odo sisma d filas m difrns caracrísicas, mas suas formas d funcionamno são similars. Ou sa, xism formas d chgada formas d andimno. Para obr rsulados d um modlo é fundamnal r alguns dados d nrada para alimnar as fórmulas d uma fila d spra, como por xmplo a razão d chgada, a razão d andimno c. Também é ncssário conhcr ouras caracrísicas d uma fila d spra, ais como: s um sisma d filas d spra é Maroviano ou não Maroviano. Todas ssas caracrísicas srão xplicadas no ranscurso ds sudo do sisma da oria d filas d spra. As aividads d chgada andimno dos pacos d informação são govrnadas por uma disribuição d probabilidad. O ipo d disribuição d probabilidad é fundamnal para sudar o congsionamno no srvidor. Logo as disribuiçõs scolhidas dvm r uma manira para nconrar sus momnos (valor sprado, variância). Os momnos das disribuiçõs d probabilidad são ncssários nos sudos d oria das filas como frramna d oimização. No dsnvolvimno do rabalho srão idnificadas várias classs d disribuiçõs d probabilidad apropriadas para s ipo d congsionamno. No caso d nconrar dificuldad m nconrar os momnos dsas disribuiçõs, srá ncssário nconrar méodos aproximados para obr sus momnos (ransformada d Laplac). Ess méodos são idnificados no dsnvolvimno do rabalho, mas não srão analisados aqui. O congsionamno do ráfgo d mnsagns no srvidor da UECE é uma aplicação modrna da oria das filas. Usando sa oria, s procura oimizar

s congsionamno. Por razõs mamáicas, o congsionamno no srvidor é raado aqui como um modlo maroviano. Ou sa, a disribuição xponncial dscrv as chgadas ambém os mpos d procssamno das mnsagns. Nssas condiçõs, assumindo consans as razõs d chgada andimno, como dados d nrada s dv r: a razão d chgada das mnsagns, a razão d andimno do srvidor, sua capacidad d guardar mnsagns no buffr. Logo s aplica a oria das filas assim s nconra uma possibilidad d oimizar su dsmpnho. D oura forma, orna-s muio complicado oimizar o dsmpnho do srvidor porqu qu os cinisas ainda não pudram prdizr d forma clara o comporamno ds ipo d congsionamno. O principal dsafio é qu o comporamno ds ipo d ráfgo é oalmn difrn qu os congsionamnos qu xism m divrsas siuaçõs, por xmplo, o ráfgo d chamadas lfônicas. Por ano, xis grand dificuldad m nconrar uma solução clara a s ipo d problma. No dsnvolvimno dsa psquisa ambém srá discuido o comporamno do ráfgo no srvidor da UECE. Es comporamno é analisado na camada d ligação d dados do modlo d inrconxão d sismas abros.. Obivos Gral Analisar a possibilidad d oimizar o congsionamno do srvidor da UECE usando a oria das filas como frramna. Espcíficos o Esudar algumas disribuiçõs d probabilidads fundamnais para conhcr o funcionamno d uma fila d spra; o Explicar o qu significa um procsso socásico informar o significado das cadias d Marov o procsso d Marov; o Analisar os rsulados obidos usando as fórmulas da oria das filas aplicadas no srvidor com o obivo d oimizar su dsmpnho; o Dscrvr os difrns ipos d filas d spra, usando xmplos m cada modlo idnificar cusos no dsnho d uma fila d spra no modlo MM; o Aprsnar as disribuiçõs apropriadas para s congsionamno, idnificando-s alguns méodos para obr os momnos d forma aproximada das disribuiçõs qu dscrvm o congsionamno no srvidor da UECE;,

finalmn, xplicar o comporamno do ráfgo d mnsagns no srvidor da UECE.. Dlimiação do problma Como oimizar o dsmpnho no sisma d andimno do provdor UECE/NPTEC?.3 Modologia Sgundo Sa (994) o sudo d caso não é um méodo, mas a scolha d um obo a sr sudado. O sudo d caso pod sr único ou múliplo a unidad d anális pod sr um ou mais indivíduos, grupos, organizaçõs, vnos, paiss, ou rgiõs. Esa psquisa usa o sudo d caso como forma d sudar o comporamno do ráfgo d mnsagns no srvidor da UECE uilizando a oria das filas como frramna d oimização. Sgundo Svrino () xis vários méodos d psquisa: psquisa bibliográfica, psquisa d campo, psquisa xprimnal, psquisa documnal, psquisa hisórica c. Para nndr o funcionamno d um sisma d filas foi ralizada uma psquisa bibliográfica (sudo sismaizado dsnvolvido com bas a marial publicado m livros, rvisas, ornais, rds lrônicas), incluindo arigos documnos publicados. O lvanamno bibliográfico xplica os difrns ipos d modlos d um sisma d filas. Os arigos publicados analisam o congsionamno num srvidor m gral. Nsas publicaçõs buscaram-s os úlimos avanços para oimizar o congsionamno no srvidor da UECE. Foi fio um lvanamno d conribuiçõs no laboraório d compuação da UECE. Para iso, foi fia uma psquisa d campo (informação colada mdian nrvisas) no laboraório d compuação da UECE para obr dados do srvidor. Foram formuladas as sguins prgunas ao pssoal dssa dpndência. o o Como obr os dados d chgada das mnsagns qu nram ao srvidor os dados das mnsagns nviados plo o srvidor? Qu ipo d sofwar é usado para obr os dados das mnsagns qu nram sam do srvidor da UECE? A cola d rsposas conribuiçõs foi fia plo psquisador com a paricipação do orinador. Obivram-s os dados das mnsagns d chgada 3

saída do srvidor (mnsagns mês). Os dados lvanados na nrvisa foram colados para logo uilizar a oria das filas como frramna para r uma possibilidad d oimizar o srvidor..4 Esruura Inrna do Trabalho O rabalho inicia no capiulo com a inrodução. Mncionam-s os obivos a srm alcançados a dlimiação do problma. Também ns capiulo s dscrv a modologia usada para o dsnvolvimno do rabalho. No capiulo, dscrv-s a hisoria das filas d spra brvmn s faz um nfoqu não mamáico das filas d spra. Primiro é xplicado a nomnclaura d um modlo d filas d spra. A sguir s inicia a par mamáica dfinindo os momnos d uma disribuição d probabilidad d forma gral. São dscrias as disribuiçõs: Poisson, Exponncial Erlang. Logo s dfin o procsso socásico dscrvndo o procsso quando o parâmro mpo é discro quando é coninuo. Uma vz xplicados ss concios mamáicos, s aborda à oria das filas. Primiro o s dscrv as formas d chgada andimno. Sgundo é inroduzido o procsso d nascimno mor como frramna para nconrar as fórmulas dos modlos marovianos d um sisma d filas. No capiulo 3 s aprsna os modlos das orias das filas. Ess modlos são divididos m modlos marovianos modlos não marovianos. As fórmulas são usadas, incluindo o orma d Lil, para oimizar divrsos modlos mosrados mdian xmplos spcíficos. Também s idnificam os cusos numa fila d spra do modlo MM s analisa o comporamno ransiório d um congsionamno. Uma vz qu s familiariza com a par órica da oria das filas é inroduzido o capiulo 4. Aqui s inclui algumas aplicaçõs ond os spcialisas no assuno uilizam a oria das filas como frramna d oimização. Logo o rabalho é focado no ma principal dsa psquisa qu é a oimização do congsionamno do srvidor da UECE. Também s analisa o congsionamno num srvidor d forma gráfica. No capiulo 5 s dscrv os rsulados alcançados. Logo s faz os comnários finais rcomndaçõs. Por úlimo s mosra a bibliografia consulada m ordm alfabéica.. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 4

. Hisória das Filas d Espra Agnr Krarup Erlang (Janiro, 878-Fvriro 3, 99) foi o mamáico, saísico, ngnhiro dinamarquês qu idalizou pla primira vz os concios d Engnharia d Tráfgo (raffic nginring) d Toria das Filas. A oria das filas, como al, foi dsnvolvida para provr modlos mamáicos qu prdizm o comporamno d sismas qu nam providnciar andimno às dmandas m conínuo crscimno alaório. Trabalhando na mprsa Copnhagn Tlphon Company, foi qu Erlang v qu rsolvr um clássico problma d drminar quanos circuios são ncssários para providnciar um andimno aciávl nas chamadas lfônicas. Mas su raciocínio o audou a prcbr qu a mamáica rsolvria ouro problma, iso é: quanos opradors d lfon são ncssários para andr um númro d chamadas lfônicas drminadas prviamn. Nssa época a maioria das cnrais lfônicas, usava rabalhadors como opradors para grnciar as chamadas lfônicas, concando os fios lfônicos nas omadas léricas das placas com circuios. Exisiam avanços nas aplicaçõs lfônicas, mas na oria das filas não v um avanço smlhan. Logo, a parir da década dos anos 5, foi quando as aplicaçõs m áras além dos sismas d lfon comçaram a voluir. Erlang rabalhou no dsnvolvimno da ára d ráfgo nos sismas d chamadas lfônicas publicou o sguin: Em 99, A Toria das Probabilidads as Convrsaçõs Tlfônicas m qu provou qu a disribuição d Poisson s aplica ao ráfgo alaório d chamadas lfônicas. Em 97, Soluçõs d Alguns Problmas na Toria d Probabilidads d Imporância nas Chamadas Auomáicas d Tlfon m qu inclui sua fórmula clássica d mpo d spra mpo prdido. (CHELST, 6, P.84). Psicologia d uma Fila d Espra A xpriência d sprar m uma fila é influnciada plo ambin na sala d spra a xpcaiva do mpo d spra. Imagin ficar sprando parado numa fila d spra plo dnisa por minuos, sabndo qu um pacin sá griando numa sala d andimno. Agora imagin uma spra alrnaiva numa 5

cadira conforávl, com acsso às mais modrnas rvisas com mas inrssans. Para su filho d dz anos, xis uma máquina d vído gam a sala é à prova d som. Muias mprsas (Disny é um xmplo) s ornaram spras m nndr a psicologia d sprar numa fila. Ficar numa fila d spra qu nha movimno é mnos dioso qu numa fila d spra sm movr-s. Moniors d TV com imagns inrssans audam aos usuários a squcr a hora no rlógio. Somado a iso s os usuários podm vr scuar aos qu complaram su mpo d spra, a ancipação crsc a spra parc qu val a pna. S os usuários qu ingrssam na fila d spra são informados qu êm qu sprar 5 minuos, plo mnos ls podm dcidir s ficam ou não. S ficassm a dmora é mnor qu os 5 minuos, ls ficariam graamn surprndidos. Oura dimnsão da psicologia d sprar é o snimno d usiça. Pod sr muio dsagradávl vr alguém chgar dpois sr andido mais rápido. Iso podria aconcr s xisissm duas filas sparadas. Você pod ficar parado quando o clin qu sá sndo andido dmora muio. Como rsulado, fica sprando mais mpo qu na oura fila. Muias mprsas sabm disso como rsulado criam apnas uma fila para os clins. Assim, qualqur pssoa, chgando dpois, dv ficar arás dv sr andida somn dpois qu você rmin d sr andido. (CHELST, 6, P.84) As filas d spra são sudadas usando drminadas disribuiçõs d probabilidad. Esas disribuiçõs d probabilidad govrnam as aividads d chgada andimno d um clin num sisma d filas..3 Noação Para dscrvr um sisma d filas d spra, Kndall (95) invnou a sguin noação: Cada sisma d filas d spra é dscrio por 6 caracrísicas: //3/4/5/6. A primira caracrísica spcifica a naurza do procsso d chgada. As sguins abrviaçõs são usadas: M Chgadas com mpos d chgadas indpndns, variávis randômicas idnicamn disribuídas (iid) dscrias por disribuiçõs xponnciais. Ou chgadas por unidad d mpo indpndns, variávis alaórias idnicamn disribuídas (iid) dscrias por disribuiçõs d Poisson. 6

D Chgadas com mpo d chgada são iid drminísicas (variância ) E Chgadas com mpo d chgada são iid dscrias pla disribuição d Erlang d parâmro R com forma GI Chgadas com mpo d chgada são iid conroladas por uma disribuição gral. A sgunda caracrísica spcifica a naurza dos mpos d andimno. M Tmpos d andimno indpndns, variávis randômicas idnicamn disribuídas (iid) disribuídas xponncialmn. D Tmpos d andimno iid drminísicas E Tmpo d andimno são iid dscrias pla disribuição d Erlang d parâmro R com forma G Tmpos d andimno são iid sguindo uma disribuição gral A rcira caracrísica é o númro d andns m parallo. A quara caracrísica dscrv a disciplina da fila d spra: FCFS primiro a chgar, primiro a sr andido. LCFS úlimo a chgar, primiro m sr andido. SIRO Andimno m ordm randômico. GD Disciplina gral d uma fila d spra. A quina caracrísica dnoa o máximo númro prmiido d clins no sisma, incluindo clins qu são na fila d spra clins qu são sndo andidos plo srvidor. A sxa caracrísica significa o amanho da população. A população gralmn é considrada infinia. Em muios modlos imporans, as rês úlimas variávis são omiidas quando sus valors rspcivos são GD//. A coninuação s mosra xmplos com a noação d Kndall su significado: M/M/:chgadas com disribuição d Poisson, andimno com disribuição xponncial, um andn, disciplina gral, infinio númro d clins no 7

sisma infinia população. Aqui as rês úlimas variávis são omiidas mas com significado implício. M/E /8/FCFS//: pod rprsnar uma clínica d saúd com oio douors, mpos d chgada xponnciais, mpo d andimno Erlang com duas facs, a disciplina da fila d spra é FCFS (o primiro m chgar é andido) uma capacidad oal d dz pacins.4 DESCRIÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.4. Dfinição d Valor Esprado O valor sprado, scrio como E(X), calcula a média d odos os valors possívis qu oma uma variávl alaória X. Cada valor d X m uma probabilidad d ocorrência P. Para valors discros d X a fórmula é: Ε( X ) i n i X i Ρ( X X i ), ond Ρ( X X i ) i n i Ρ(X X i ), i,,k, n Para valors conínuos d X a fórmula é: + Ε( X ) x f ( x) dx, ond f ( x) dx + Ond f(x), rprsna uma função dnsidad d probabilidad.4. Dfinição d Variância A variância d uma variávl alaória X, Var(X), m média, md a disprsão d X com rspio a su valor sprado E(X). Ou sa, Var(X) E[(X - E(X)) ].4.3 Dfinição d Dsvio Padrão O dsvio padrão d uma variávl alaória X, scria como σ(x), indica m média, quano os valors da variávl alaória X, s dsviam com rspio a su valor sprado E(X). A fórmula é σ(x) [Var(X)] /..4.4 Disribuição d Poisson Dfinição: Sa X uma variávl alaória discra, omando os sguins valors:,,,...quando: P(X ), (,,..)! 8

9 X m disribuição d Poisson, com parâmro >. Dmonsração Para vrificar qu a xprssão acima rprsna uma lgíima disribuição d probabilidad, basa obsrvar qu ) ( X P! -.. n! + +! +...! n n.4.4. Valor Esprado S X ivr disribuição d Poisson com parâmro não E (X). Es valor sprado indica a média do númro d vnos num inrvalo d mpo. Dmonsração: Para n,,,...; P(X n) a n ; z usando ransformaçõs d Z : n n n n x x T z a z E z P ) ( ) ( A primira drivada é: ) ( ) ( d P T x E na nz a z d z x n n n z n n n n z. Drivando pla sgunda vz: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( P d T x E x E a n n z n n a dz z x n n n z n n n n Enão: x x T Z Z z E z P! ) (! ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( Por ano,! z z z X T z z P z ( ) ( ) ) ( ) ( d P quação acima,fica : a Drivando T x E z d z x z z z Porano: E (X).4.4. Variância A variância é igual o su valor sprado. Ou sa, V(X) Dmonsração ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( P d fica : Drivando pla sgunda vz, T x E x E dz z x z z

Enão: E(X ) + Variância é igual a, V(X) E(x ) [E(X)] Por ano: V(X) ( + ) -. (Cf. Winson, 4, p.85).4.4.3 Gráfico Fig : Disribuição d Poisson Na figura o gráfico da disribuição d Poisson mosra difrns valors d. S,5 logo a disribuição d Poisson é monoomicamn dcrscn, mas s 3, não a disribuição primiro crsc m sguida dcrsc à mdida qu o valor d aumna. (Cf. Brsas,Tsisilis,, P.84) Também é imporan noar na figura qu quando > a disribuição dcrsc gradualmn, mas quando < a disribuição dcrsc rapidamn. Fig : Disribuição d Poisson Na figura, o valor sprado d chgadas por unidad d mpo é sua máxima probabilidad é smpr pro ds valor (), ou sa, zro ou uma chgada m probabilidad d 33% d ocorrr. À mdida qu as chgadas sam

maiors, a probabilidad diminui. Por xmplo, a probabilidad d ocorrr cinco chgadas m um unidad d mpo é pro d %. (Cf. Kalinsi,, P.84). A disribuição d Poisson com parâmro é uma boa aproximação da disribuição binomial com parâmros n p, dados np, com n muio grand, p muio pquno, logo:! n! ( n )!! p ( p) n,,,... n Exmplo Sa n p,. Logo a probabilidad d 5 sucssos m naivas é calculada usando a disribuição binomial. Enão:! 5 95, (,) 95! 5!,9 Usando Poisson com np () (.), sa probabilidad é aproximadamn igual a: 5!,36 Ns caso os dois valors são aproximados. (Cf. Brsas,Tsisilis,, P.84).4.5 Disribuição Exponncial Dfinição: Uma variávl alaória conínua X, qu assum odos os valors não ngaivos, rá uma disribuição xponncial com parâmro µ >, s sua função dnsidad d probabilidad (fdp) for dada por µ µ X f(x), X <, X Dmonsração Por dfinição a probabilidad d uma variávl alaória conínua é smpr igual à ára do gráfico da curva da f.d.p. Ns caso: + P(x ) f ( x) dx µ - µx dx - - µx (-µ) dx f(x) f (x) dx f(x) + C, ond C é uma consan qualqur

Enão: - - µx (-µ) dx - - µx - - + + Como P(X x) x µ - µx dx - - µx x - - µ + - µx + - µx - µx Também P(X x) - µx.4.5. Valor sprado Indica a média do mpo d duração dos vnos dscrios pla disribuição xponncial. Su valor é E(x) Dmonsração µ E(x) x. µ - µx dx Subsiuindo u(x) x, u (x), v(x) - - µx, v (x) µ - µx ; fica: E (x) u(x). v (x) dx ; logo, ingrando por pars: u(x). v (x) dx [ u(x). v(x) ] - v(x). u (x) dx Esa fórmula é o rsulado do sguin concio mamáico: A drivada do produo d duas funçõs quaisqur, u(x) v(x), qu sam d[ u( x). v( x)] difrnciávis é u'( x). v( x) + u( x). v' ( x). Logo, ingrando ambos os dx mmbros da igualdad, fica: u(x).v(x) ( u' ( x). v( x) + u( x). v' ( x) )dx A par squrda da igualdad fica assim porqu a drivada su ingral indfinida s anulam. Logo, fica: u(x). v (x) dx [. v(x) ] u(x) - v(x). u (x) dx. Aqui s usa a ingral dfinida d zro aé infinio.

Enão, E(x) x. µ - µx dx (x. - - µx ) - (-) - µx. dx E(x) -. -µ +. -µ. + - µx dx + + - µx dx E(x) - µx dx Por dfinição: f(x) f (x) dx f(x). Enão, fazndo f(x) -µx E(x) - µ µ. X ( µ ) dx - -µx µ - µ ( ) µ, logo E(x) µ (Cf. Winson, 4, p.85).4.5. Variância A variância é igual ao quadrado d su valor sprado. Ou sa, Var(x) µ Dmonsração E(x ) E(x ) x. µ - µx dx ; fazndo u(x) x v(x) - - µx, qu ingrando por pars: u(x). v (x) dx. Ingrando por pars do msmo modo qu foi fio nas prévias dmonsraçõs, fica: E(x ) - x. - µx + (x) - µx dx -. - µ + - µ + (x) - µx dx E(x ) + (x) - µx dx (x) - µx dx ( ) µ (x) µ - µx dx µ E(x) E(x ) µ µ µ var(x) E(x ) [E(x)] 3

Logo, Var(x) - µ µ µ Var(x) µ.4.5.3 Gráfico Fig 3: Disribuição Exponncial Na figura 3, mosra-s o gráfico da função dnsidad d probabilidad (fdp) d uma disribuição xponncial com parâmro µ. O primiro é com µ pquno o sgundo com µ grand. A figura 4 mosra qu quando ( >/µ) a probabilidad diminui, quando ( </µ) não a probabilidad aumna. Na figura ambém obsrvar qu o mpo d andimno vai para infinio, ndo m cona qu a probabilidad d isso aconcr é muio pquna. (Cf. Kalinsi,, P.84) Fig 4: Disribuição Exponncial Exmplo O mpo m qu um morio aing a Trra no dsro é modlado como uma disribuição xponncial com valor sprado d dz dias. O horário aual é mianoi. Qual é a probabilidad d qu o morio chgu nr sis horas 8 horas no primiro dia?. 4

5 Sa X o mpo ranscorrido aé o vno aconcr, mdido m dias. Logo X dscrv uma disribuição xponncial com média d / µ, ond µ /. Enão como X sá m horas s prcisa d X m dias, fazndo a convrsão, fica: dia horas dia h dia horas dia h 4 3 4 Logo8 4 4 6 Usar a fórmula P(X x) P(X >x) -µx. Enão a probabilidad buscada é: P(/4 X 3/4) P(X /4) - P(X >3/4) -/4-3/4.476, Var(x) / (,) dias. (Cf. Brsas, Tsisilis,, P.84).4.5.4 Propridad da Não-Mmória da Disribuição Exponncial O mpo d um clin para sr andido não dpnd d quano mpo á passou dsd qu o úlimo clin v andimno concluído. Ou sa, não dpnd do passado, mas somn do fuuro. Em rmos mamáicos, P + > X h X P (X > h) Dmonsração T h P(X>+h) d d h h + + f(x) f (x) dx f(x). Enão, fazndo f(x) -x fica: ) ( ) ( ) ( ) ( h h h h h h d + + + + + + + + + Assim msmo: P(x ) d + + + Logo, Porano P(x ) - Logo: P + > X h X h h h h + ) (

Agora: P(X > h) h h h h h h h Porano, P X > + h P (X > h). (Cf. Winson, 4, p.85) X Exmplo Considrar sprar um áxi numa sação. Assuma qu um áxi, m rmo médio, chga à sação a cada 3 sgundos. Iso é, o inrvalo d mpo médio nr chgadas é d 3 sgundos. Supondo qu você chgu à sação num insan qualqur. Em rmo médio (valor sprado), quano mpo você spra aé a chgada do sguin áxi?. A maioria rspond 5 sgundos. Esa rsposa é corra s o áxi chga xaamn m 3 sgundos (sm variância). S xis variância, a rsposa é smpr maior qu 5 sgundos. Pod sr dmonsrado qu s você xamina o sisma m qualqur insan, logo: Valor sprado da primira chgada chgada ( variância d mpos d ) Enão, s o rmo da variância d mpos d chgada é posiivo, logo o valor sprado da primira chgada é smpr maior qu. Noar qu quando as chgadas são dscrias pla disribuição xponncial, sua variância é, logo o valor sprado da primira chgada é 3 sgundos ( ), propridad da não mmória, quando a variância é maior qu, o valor sprado da primira chgada é maior qu o inrvalo d mpo médio nr chgadas. (Cf. Harvy, 969, P.85).4.6 Disribuição d Erlang S os mpos d andimno não obdcm a uma disribuição xponncial, não ls são modlados por uma disribuição d Erlang. A disribuição Erlang é uma variávl randômica conínua com parâmro d razão R parâmro. O parâmro m qu sr iniro ambém conrola a forma do gráfico da função dnsidad d probabilidad (fdp) Erlang. A função dnsidad d probabilidad é a sguin: 6

f() R( R) R ( ), K ), R µ ( )! Fazndo, f() s convr na disribuição xponncial com R µ µ A disribuição Erlang é igual ao somaório d um númro d variávis randômicas xponnciais indpndns. Ou sa: E A + A + A 3 +...+A, ond A i é uma variávl randômica xponncial com parâmro R µ. O númro é chamado númro das fass da disribuição Erlang. Por xmplo, rprsnando o mpo d andimno d Erlang, a figura 5 mosra:.4.6. Valor sprado Fig 5: Tmpo d Andimno Erlang Indica a média do mpo d duração dos vnos dscrios pla disribuição d Erlang. Su valor é E(T) Dmonsração E(T). f ( ). d R. R( R) E(T).. d,, ( )! R µ µ E(T) ( R) ( R) ( )! R. d R. ( R) ( ) ( µ ) d ( µ ) d d ( )! ( )! µ µ! Ingrando por pars: 7

f() - µ, f () -µκ, g(), g () - µ g(). f () d f(). g() - f(). g () d, subsiuindo: E() µ µ µ + d µ µ µ µ ( ) ( ) ( µ ) + d d µ ( )! ( )! E( ) ( µ ) ( )! µ d, ( µ ) µ Ingrando novamn por pars: E( ) para ( )! d S novamn s ingra por pars pla rcira vz: E( ) 3 ( µ ) ( 3)! 3 µ d para S coninuar assim aé drivar por pars pla -ésima vz: E( ) ( µ ) ( )! µ d para E() µ d, E() µ µ µ d ( µ ) µ.4.6. Variância d µ ( ), Logo E(T) µ µ µ É igual ao quadrado d su valor sprado dividido para o númro d fass. Su valor é Var().S K. Logo Var(). R ( µ ) µ Dmonsração Por dmonsração anrior, Var () E( ) [E()] E( ) R. R( R) K + R. d ( R) d ( )! R( )!. Ingrando por pars: f() - R -R, g() (R) + R + ( + ), f () -R, g () R + [(+). ] R.(R) (+) 8

E( ) R( )! + ( R) R R. + R R ( + ) ( R) R. d E( ) + ( R( )! + )( )! E( ) ( E( ) ( +) ) R Var() ( E( ) ( +) ) R - R R +. Porano: Var() R R µ ( ).4.6.3 Gráfico Fig 6: Disribuição d Erlang Exmplo Considr um sisma com o modlo M/G//GD// no qual a média d chgadas é d dz por hora. Supondo qu o mpo d andimno sgu uma disribuição d Erlang com parâmro R clins por minuo parâmro d forma 4. a) Enconrar o númro médio d clins na fila d spra b) Enconrar o mpo médio do clin no sisma c) Qual srá a fração do mpo qu o andn fica ocioso? R µ, 4 µ µ ¼ V *6 4. * /6 /6 por minuo. µ 4 µ ρ / 6 / 4 3 9

a) L q V ρ ( ρ ) ( ) 6 ( (4) + ) 3 4 9 4 36 + ( ) 3 4 9 3 * 36 5 6 Lq b) W W s + W q + 4 + 5 9 min µ c) π -ρ π /3 /3 (Cf. Winson, 4, p.85).5 PROCESSO ESTOCÁSTICO Em muias siuaçõs práicas, os aribuos d um sisma mudam d forma alaória com o mpo, como por xmplo: o númro d clins numa fila d spra, o congsionamno no rânsio, o númro d ins num dpósio, ou o valor d uma ação financira, nr ouras. Em algumas circunsâncias, é possívl dscrvr os fundamnos do procsso qu xplica como a mudança ocorr. Quando as caracrísicas do procsso são govrnadas pla oria da probabilidad, s m um procsso socásico. O primiro passo para modlar um procsso dinâmico é dfinir o conuno d sados qu pod alcançar dscrvr os mcanismos qu govrnam suas ransiçõs. Um sado é como um snapsho (foo insanâna) do sisma m um mpo drminado. É uma absração da ralidad qu dscrv os aribuos d um sisma qu inrssa. O mpo é uma mdida linar aravés da qual o sisma s movimna, pod sr viso como um parâmro. Dvido à xisência do mpo, xis: passado, prsn fuuro. Usualmn s sab qual foi a raória qu o sisma omou para chgar ao sado aual. Usando sa informação, o obivo é ancipar o fuuro comporamno do sisma m rmos básicos d um conuno d aribuos. Aqui são mosradas uma séri d écnicas óricas disponívis para s propósio. Por razõs d modlagm, o sado o mpo podm sr raados d forma conínua discra. Mas, por razõs compuacionais considraçõs óricas, o sado somn srá considrado m forma discra. O mpo rá forma conínua ou discra. Para obr uma compuação raávl, assumir qu o procsso socásico saisfaz a propridad d Marov. Iso é, o caminho qu o procsso sgu no fuuro dpnd só do sado aual não da sqüência d sados visiados prviamn 3

ao sado aual. Um mpo discro no sisma induz ao modlo das Cadias d Marov. Para um mpo conínuo no sisma xis um modlo dnominado d Procsso d Marov. Um modlo d um procsso socásico dscrv aividads qu rminam m vnos. Os vnos gram a ransição d um sado a ouro. Assumindo qu a duração d uma aividad é uma variávl alaória conínua, vnos ocorrm na coninuidad do mpo..5. Nomnclaura d um Procsso Esocásico Procsso Esocásico Dada uma variávl alaória, {X()}, ond é um índic d mpo qu oma valors d um conuno dado T. T pod sr discro ou coninuo. X() é scalar qu pod assumir valors discros ou conínuos. Considra-s somn procssos socásicos discros finios. Tmpo Esado O parâmro d um procsso socásico. Um vor qu dscrv aribuos d um sisma m um mpo qualqur. O vor sado m m componns. sado.. X() dscrv algum aribuo do Conuno d Esados Colção d odos os sados possívis. Aividad Uma aividad comça m um mpo drminado, m uma duração rmina m um vno. Gralmn a duração d uma aividad é uma variávl alaória com uma disribuição d probabilidad conhcida. Evno É a finalização d uma aividad. Um vno m o poncial d mudar o sado do procsso. Calndário O conuno d vnos qu podm ocorrr m um sado dado, Y(s) 3

Próximo vno Num sado qualqur, um ou mais vnos podm ocorrr. O próximo qu ocorr é chamado d próximo vno. Comçando plo mpo aual, o mpo do próximo vno é o mpo mínimo qu m rmos mamáicos ficaria assim: O próximo vno é o valor d x qu corrspond ao mpo mínimo. Quando as duraçõs d vnos são variávis alaórias, ambos, o próximo vno o mpo do próximo vno, são variávis alaórias. Transição A função qu drmina o próximo sado, s, basado no sado aual s, o vno, x. O númro d lmnos da função d ransição é o msmo do númro d lmnos do vor sado. s' T(s,x). Rd d Esados d Transição Na rprsnação gráfica da figura, os sados são rprsnados por nodos; vnos, rprsnados por arcos. Uma ransição é mosrada m forma d arco ou sa qu m dirção vai d um nodo a ouro. Fig 7: Rd d Transição d Esados Propridad d Marov. Dado o sado aual conhcido, a probabilidad condicional do próximo sado é indpndn dos sados prévios ao sado aual..5. Cadias d Marov m Tmpo Discro É um procsso socásico qu saisfaz a propridad d Marov m parâmro d mpo discro. Algumas vzs s procsso é chamado simplsmn d Cadias d Marov. S um sisma s movimna d um sado i duran um príodo a um sado duran o sguin príodo, uma ransição d i a ocorru. As 3

probabilidads P i,, são rfridas como probabilidad d ransiçõs das cadias d Marov. P(x + x I ) P i, () Significa qu pod sr um sgundo, uma hora, ou um dia c. A quação implica qu a rgra d probabilidad rlacionada com o sado do próximo príodo ao sado aual não muda com o mpo. Por sa razão a quação é chamada d suposição sacionária. Qualqur cadia d Marov qu saisfaz é chamada da cadia d Marov sacionária. P(x i) q i, ond q i é a probabilidad qu a cadia sa no sado i no mpo. Chamar o vor q [q q...q s ] d disribuição d probabilidad inicial da cadia d Marov. As probabilidads d ransiçõs são mosradas como uma S x S mariz d probabilidads d ransiçõs P. Dado qu o sado no mpo é i, o procsso dv sar m algum lugar no mpo +. Iso significa qu para cada sado i. s P( x P( x )) P + i s i, Cada nrada na mariz P dv sr posiiva as nradas d cada fila na mariz dvm somar. P pod sr scria como: P P P M M P S P P P S LLP S LLP MLLLM MLLLM S LL P SS.5.3 Cadias d Marov m Tmpo Conínuo É um procsso socásico qu saisfaz a propridad d Marov m um parâmro d mpo conínuo. Algumas vzs s procsso é chamado Procsso d Marov..6 DESCRIÇÃO DE UM SISTEMA DE FILAS.6. Caracrísicas d um Sisma d Filas A oria das filas é uma aplicação do procsso socásico d mpo conínuo chamado ambém d Procsso d Marov. 33

As figuras 8 9 mosram os componns básicos d um sisma d filas. Uma com duas filas a oura com uma. Os clins ponciais auais são rprsnados por círculos pqunos podm sr pssoas, máquinas, pars ou qualqur ouro n. Os andns são rprsnados por rângulos numrados podm sr qualqur ipo d fon, ais como, pssoas, máquinas, oficina d rparos, qu xcuam uma função. Figuras 8 9: Sisma d Filas Os clins qu chgam ao sisma nram m andimno imdiaamn s algum dos andns sá ocioso. S odos os andns são ocupados, o clin spra na fila aé qu um andn sa livr. Dpois d um príodo finio d mpo, o clin sai do sisma. Os dalhs do procsso dpndm dos valors dos parâmros suposiçõs adoadas plos componns do sisma. A fon d inpu, ambém conhcida como população d chamada, é um grupo d clins ponciais qu podm prcisar dos srviços ofrcidos plo sisma. A fon d inpu sá caracrizada por su amanho N, qu gralmn é assumido infinio por moivos d modlagm a disribuição d probabilidad, dscrvndo os mpos d chgada. A fila d spra é o númro d clins sprando sr andidos, podm sar concnrados num lugar fixo como num banco ou podm sar 34

disribuídos no mpo spaço como aviõs prparados para arrissar. A disciplina da fila d spra dfin as rgras plas quais os clins são slcionados para andimno. O mcanismo d andimno é o procsso plo qual os clins são andidos. A suposição gral é qu o andimno é providnciado por um ou mais andns idênicos oprando m parallo. No caso d r uma rd d filas d spra, várias configuraçõs srão considradas. As caracrísicas do andimno são o númro d andns S, a disribuição d probabilidad do mpo d andimno. Um sisma d filas é a combinação das filas d spra os andns. O númro d clins no sisma é a primira mdida para analisar o sisma d filas d spra. Su númro rprsna o sado do sisma. Fig : Rd d Transição d Esados d um Sisma d Filas Na figura, os sados são rprsnados por pqunos círculos com um númro indicando a quanidad d clins nss sado. O sado zro é um sado vazio quando não xism clins odos os andns são ociosos. Nos sados d aé S, odos os clins são sndo andidos ninguém sá na fila d spra. Para sados maiors qu S, odos os andns são ocupados alguns clins são na fila d spra (-s). Os arcos ou sas rprsnam vnos. Uma chgada dnominada pla lra a, causa ao sisma aumnar m um; nquano qu uma saída dnominada por d, causa o númro do sisma dcrscr m um. Usa-s subscrios nsas dnominaçõs para indicar qu o procsso associado pod dpndr do sado do sisma. Poso qu ambos os mpos d chgada andimno sam variávis randômicas, o sado do sisma é um procsso socásico. Para sismas sávis, xism probabilidads m sados sávis do númro d clins no sisma. Chamar a probabilidad m sado sávl d n clins π n. As probabilidads m sado sávl êm dois significados: Probabilidad d nconrar 35

o sisma no sado n num mpo drminado slcionado alaoriamn, ou a quanidad drminada d mpo m qu o sisma sá no sado n. A oria das filas nvolv fórmulas para calcular as probabilidads m sado sávl d difrns configuraçõs do sisma d filas. A maioria dlas rqur qu os mpos d chgada os mpos d andimno sam govrnados pla disribuição xponncial d probabilidad. Rsulados aproximados xism quando as disribuiçõs não são xponnciais. Dadas as probabilidads m sado sávl, s calcula uma varidad d variávis qu inrssam ao dsnhisa ou oprador d um sisma d filas. Esas nglobam o valor sprado do númro d clins no sisma, o valor sprado do mpo qu um clin fica no sisma, a ficiência dos andns c. Os rmos avrag são sinônimos com os rmos saísicos média ou valor sprado. O valor sprado d númro mpo ambém podm sr calculados para a fila d spra para o andimno..6.. Nomnclaura d um Sisma d Filas Esado O númro oal d clins no sisma. Ou sa, o númro d clins na fila d spra mais o númro d clins qu são sndo andidos. K O númro máximo d pssoas no sisma. Quando o númro máximo é finio s númro é alcançado, a chgada do próximo clin não nra na fila d spra. El dsis d nrar. π n Probabilidad d n clins no sisma quando o sado do sisma é sávl. L O valor sprado do númro d clins no sisma quando o sisma é sávl. W O valor sprado do mpo dos clins no sisma quando o sisma é sávl. (Cf. Jnsn, 6, P.84). Um sisma d filas é dscrio basicamn por rês caracrísicas: o o Procsso d chgada Disciplina da fila: SIRO (andimno m ordm randômica), FCFS (o primiro a chgar é o primiro a sr andido), LCFS (o úlimo a chgar é o primiro a sr andido plo srvidor) c. 36

o Procsso d andimno.6. Caracrísicas das Formas d Chgadas Fig : Formas d Chgadas A figura mosra: τ n Tmpo d chgada nr o clin n o clin n+ é uma variávl alaória (τ n, n ) é um procsso socásico. Os mpos d chgada êm disribuiçõs idênicas êm o msmo valor sprado. O valor sprado é o sguin: E(τ n ) E(τ) é chamada a razão d chgada. (Cf.Korilis,, P.84).6.. Nomnclaura das Formas d Chgadas N O amanho da população. n O valor sprado do númro d chgadas por unidad d mpo quando n clins são no sisma. A razão d chgada quando o sado do sisma não afa a razão d chgada dos clins. O valor sprado do mpo nr chgadas é O valor sprado do númro d chgadas por unidad d mpo quando o sado do sisma afa a razão d chgada. A forma d chgada sá dfinida pla probabilidad d disribuição do mpo nr sucssivos vnos d chgada. Os dois xrmos d possibilidads d formas d chgada podm sr: chgadas alaórias ou chgadas prdrminadas. As formas d chgadas podm dpndr das formas d andimno..6.3 Caracrísicas d uma Fila d Espra 37

.6.3. Disciplina da fila Rgra na qual clins são slcionados da fila d spra para rcbr andimno. Elas podm sr: FCFS (primiro m chgar primiro m sr andido, LIFO (úlimo m chgar primiro a sr andido), prioridad d andimno, obdcndo a uma rgra prdrminada. É assumido qu os clins formam somn uma fila ainda qu xisam vários andns..6.3. Nomnclaura d uma Fila d Espra K s O númro máximo no sisma mnos o númro d andns no sisma é igual ao númro máximo d clins numa fila d spra. L q O valor sprado do númro d clins na fila d spra num sisma sávl. W q O valor sprado do mpo dos clins na fila d spra num sisma sávl. (Cf. Jnsn, 6, P.84)..6.4 Caracrísicas das Formas d Andimno Fig : Formas d Andimno A figura mosra: S n Tmpo d andimno ao clin n no srvidor S (S n, n ) é um procsso socásico Os mpos d andimno êm disribuiçõs idênicas êm o msmo valor sprado E(S n ) E(S) /µ µ é conhcido como a razão d andimno. (Cf.Korilis,, P.84).6.4. Nomnclaura das Formas d Andimno S O númro d canais d andimno. Todos são suposamn idênicos. L s O valor sprado do númro d clins m andimno num sisma sávl. W s O valor sprado do mpo d andimno num sisma sávl. µ n O valor sprado da razão d andimno no sisma quando n clins são prsns. 38

µ O valor sprado do númro d clins andidos por unidad d mpo (razão d andimno) quando o sado do sisma não afa a razão d andimno. O valor sprado do mpo m complar um andimno é µ. ρ Innsidad do ráfgo. É o valor nr a razão d chgada qu os clins nam implanar no sisma a máxima razão d andimno dos andns no sisma. E Eficiência ou uilização. A razão nr o valor sprado do númro d clins m andimno o númro d andns. (Cf. Jnsn, 6, P.84)..7 O PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE O procsso d nascimno mor é um procsso socásico d mpo conínuo no qual o sado do sisma m um mpo qualqur é um iniro posiivo. S o procsso d nascimno mor sá num sado num mpo, o movimno do procsso sá govrnado plas sguins rgras:. A probabilidad d uma chgada (nascimno) é P, + ( ) + ο ( ). A probabilidad d um andimno (mor) é P, - ( ) µ + ο ( ) 3. Nascimnos (chgadas) mors (andimnos complos) são indpndns. As rgras -3 podm sr usadas para mosrar qu a probabilidad d mais d um vno (nascimno ou mor) aconcr nr + é dada por ο ( ). Ond ο ( ) é uma quanidad qualqur qu saisfaz o sguin: lim o( ) Iso prmi concluir qu a probabilidad d aconcr mais d um vno num mpo ( + ) é zro..7. M/M//FCFS// como um procsso d nascimno mor 39

Fig 3: Rd d Transição d Esados do Modlo M/M/ A figura 3 pod sr modlada como um procsso d nascimno mor. Como o mpo d chgada andimno é dscrio pla disribuição xponncial, não é aplicávl a propridad da não-mmória, ou sa, os inrvalos ( + ) são similars no snido d qu a P(<x< ) P(<x< ). Enão: A probabilidad d uma chgada no inrvalo ( + ) é: P, + ( ) d - + ο ( ). Dmonsração f(x) f '(x) dx f(x), logo d - d - - - + ambém as sris d Taylor dizm: - - + ο ( ), logo d -[- + ο ( )] -+ + ο ( ) + ο ( ) Por ano, P, + ( ) + ο ( ). A probabilidad d um andimno é: P, - ( ) Dmonsração. Procdr da forma anrior, somn mudar por µ. Porano P, - ( ) µ + ο ( ). µ µ d µ µ +ο ( ) 4

.7. Probabilidads m sado sávl do procsso nascimno-mor Probabilidads m sado sávl (π ) ou a fração d mpo qu o sisma fica num sado () no procsso d nascimno-mor é dada plas sguins possibilidads dscrias na sguin abla. Esado no Tmpo Esado no Tmpo ( + ) Probabilidad da Sqüência dos Evnos (P i,- ()) ( - + ο ( )) I + (P i,+ ()) (µ + + ο ( )) II J (P i, ()) ( - µ - - ο ( )) III Qualqur ouro ο ( ) IV sado Quadro : Probabilidads do Procsso Nascimno-Mor A figura 4 mosra a primira possibilidad das quaro possívis. Fig 4: Primira Possibilidad d Sqüência dos Evnos Obsrvar qu P i, ( + ) I + II + III + IV Subsiuindo, P i, ( + ) P i, () + [ - P i,- () + µ + P i,+ () - P i, () µ - P i, () ] + ο ( ) [P i,- () + P i,+ () + P i, () ] Logo, o qu sá sublinhado pod sr scrio somn como ο ( ) porqu o faor ο ( ) é zro. Ragrupando os rmos: P i, ( + ) - P i, () [ - P i,- () + µ + P i,+ () - P i, () µ - P i, () ] + ο ( ) Para odo sado i, dividir ambos os lados por ( ), ficando: 4

4 o P P P P P i i i i i + + + + + µ µ ) ( ) ( ) ( ) ( () Pi, ) (,,,,,. Logo aproximar ( ) a zro fica: + + + + + o P P P P Lim P Lim i i i i i µ µ ) ( ) ( ) ( ) ( () Pi, ) (,,,,, + P Lim i i () Pi, ) ( ) ( Por dfinição d drivada : P,, ' o Lim. Subsiuindo: P i, () - P i,- () + µ + P i,+ () - P i, () µ - P i, () Quando o sisma alcança um sado sávl o i T P Lim π ) (,. Em sado sacionário, π é uma consan o sado inicial é irrlvan. A drivada d uma consan é zro. Enão a quação fica assim: ( ) ( ) () 3,,, LL + + + + + + + π µ π µ π π µ π π µ π Para : ( ) π π µ, Não xism sados ngaivos. µ A quação () para,, 3,... significa qu m qualqur insan (>) no qual s obsrva o modlo do procsso d nascimno mor, aconc qu para cada sado : o númro d nradas ao sado () o númro d saídas do sado () difrm no máximo m um. Por xmplo, ao nrar m média cinco vzs ao sado, logo o númro d vzs qu saímos do sado m média srá quaro ou cinco ou sis vzs. Logo para um longo príodo d mpo, com,, 3,...( para qualqur condição inicial), srá vrdad qu: () unidad d mpo o númro sprado d nradas ao sado unidad d mpo o númro sprado d saídas do sado Assumir qu o sisma aing um sado sávl, qu o sisma spra uma fração π d mpo no sado. Agora usar a quação () para drminar as probabilidads π m sado sávl. Para, ao sair do sado somn s chga aos sados: + ou. Enão, para : ( ) ( ) 3,,, L L + + + + π µ π µ π

Esa quação é chamada d quação d movimno d quilíbrio para um procsso d nascimno mor. π Para, π ; µ π π + π µ µ π π c π C + C Ond ( µ + ), logo, π Para, π + π µ π π π C π, não ( ) π µ µ π c ( µ + ), ou sa :, não, finalmn, π ; Dfin - s C π C +. Logo :. 3... µ µ µ... µ + C π c 3, 3. DESEMPENHO DOS MODELOS Exism os sguins modlos: Marovianos, Não-Marovianos m Séri. Os modlos m Séri são: Modlos d Rd Abra Modlos d Rd Fchada 3. O orma d Lil A fórmula d Lil é uma analogia com a fórmula d Física Fundamnal. Iso é disância vlocidad * mpo. Ou sa, os princípios físicos são aplicados no sisma d filas d spra. Númro médio no sisma d filas razão d chgada * mpo médio no sisma L *W Númro médio na fila d spra razão d chgada * mpo médio na fila L q * W q Númro médio d clins m andimno razão d chgada * mpo médio d andimno L s * W s 3. Modlos Marovianos Quando os mpos d chgada andimno êm probabilidad com disribuição xponncial, o sisma d filas é um sisma d filas Maroviano. A disribuição xponncial saisfaz a hipós d Marovian na qual la não m mmória. Ou sa, ao sprar a ocorrência d uma chgada com o mpo disribuído xponncialmn, o valor sprado do mpo d chgada não dpnd 43

d quano mpo á ranscorru, sprando ssa chgada. Esa siuação mosra-s pculiar, mas xism siuaçõs m qu sa hipós é valida. E a suposição da disribuição xponncial é ncssária para obr soluçõs aproximadas para variávis saísicas. Com a hipós d disribuiçõs xponnciais, os procssos d chgada andimno são procssos d Poisson. Todos os modlos marovianos podm sr analisados como um procsso d nascimno mor. 3.. O Modlo M/M//GD// A innsidad d Tráfgo é dada por: ρ µ, ρ< para qu o sisma sa sávl Noar qu: (,,,...); µ ; µ µ (,,...) π π µ π (, π µ µ ),..., π π, π π ρ (3) µ Pla li da probabilidad: π + π + π +... Subsiuindo: π + π + π µ +... µ π ( + ρ + ρ +...) Dfinindo s + ρ + ρ +... logo ρ s ρ + ρ +... s ρs s ρ π s π ρ para ρ <, logo na quação 3, subsiuindo, fica: π ( ρ) ρ para ρ < (4) 3... Média do númro d clins no sisma (L) Assumindo qu um sisma alcança o sado sávl, ρ <. O númro médio d clins prsns num sisma d filas (L) é dado por L π. Logo L ( ρ ) ρ ( ρ) ρ 44