Duração: 90 mutos Grupo I Probabldades e Estatístca LEGM, LEIC-A, LEIC-T, MA, MEMec Justfque coveetemete todas as respostas 2 o semestre 2017/2018 14/06/2018 11:00 2 o Teste B 10 valores 1. Os dvíduos com dade superor a 110 aos são desgados de superceteáros. Um estudo recete cosdera que a dade (em aos) de um superceteáro é descrta pela varável aleatóra X com fução de desdade de probabldade { λe λ(x 110), x 110 f X (x) 0, caso cotráro, ode λ é um parâmetro descohecdo postvo. (a) Deduza o estmador de máxma verosmlhaça de λ com base uma amostra aleatóra de (3.0) dmesão proveete desta população. V.a. de teresse X dade (em aos) de um superceteáro F.d.p. de X { λe λ(x 110), x 110 f X (x) 0, x < 110 Parâmetro descohecdo λ, λ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dmesão proveete da população X [com x > 110, 1,...,]. Obteção do estmador de MV de λ Passo 1 Fução de verosmlhaça L(λ x) f X (x) X dep f X (x ) X X 1 f X (x ) 1 [λe ] λ(x 110) 1 λ e λ 1 (x 110), λ > 0 Passo 2 Fução de log-verosmlhaça [ ] ll(λ x) l(λ) λ (x 110) 1 Passo 3 Maxmzação A estmatva de MV de λ é doravate represetada por ˆλ e d ll(λ x) dλ 0 (poto de estacoardade) ˆλ : λ ˆλ d 2 ll(λ x) λ < 0 (poto de máxmo) dλ 2 ˆλ ˆλ 1 (x 110) 0 ṋ λ 2 < 0 Pága 1 de 7
ˆλ : ˆλ 1 (x 110) [ 1 (x 110)] 2 < 0 (proposção verdadera já que 1 (x 110) > 0). Passo 4 Estmador de MV de λ E MV (λ) 1 (X 110) [ ( X 110) 1 ] (b) Recolheu-se uma amostra (x 1,..., x 5 ), tedo-se obtdo 5 1 x 573.9. Obteha a estmatva de (1.5) máxma verosmlhaça da probabldade de um superceteáro com dade x vver ada mas um ao, sto é, da probabldade P(X > x + 1 X > x) e λ com x > 110. Estmatva de MV de λ ˆλ 1 (x 110) 5 573.9 5 110 0.209205 Outro parâmetro descohecdo h(λ) P(X > x + 1 X > x) e λ Estmatva de MV de h(λ) Ivocado a propredade de varâca dos estmadores de máxma verosmlhaça, coclu-se que a estmatva de MV de h(λ) é dada por h(λ) h( ˆλ) e ˆλ e 0.209205 0.811229. 2. De modo a comparar a populardade de dos stes da teret, cosderou-se a varável aleatóra X 1 (respetvamete X 2 ) que represeta o úmero de acessos semaas ao ste 1 (respetvamete ao ste 2). Ao selecoarem-se casualmete 41 regstos semaas de cada um dos dos stes, obtveram-se os segutes resultados: x 1 2952.8, s 2 1 3307.53, x 2 3002.4, s 2 2 3100.20. (a) Determe um tervalo de cofaça aproxmado a 90% para µ 1 µ 2 E(X 1 ) E(X 2 ). (2.5) V.a. de teresse X úmero de acessos semaas ao ste, ( 1,2) Stuação X v.a. com dst. arbtrára, valor esperado µ e varâca σ 2 ( 1,2) X 1 X 2 (µ 1 µ 2 ) DESCONHECIDO σ 2 1 e σ2 2 descohecdas [ão ecessaramete guas] 1 2 41 30 [.e., ambas as amostras possuem dmesão sufcetemete grade]. Obteção do IC para µ 1 µ 2 Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para µ 1 µ 2 Z ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) S 2 1 1 2 a ormal(0, 1) Pága 2 de 7
[dado que se pretede determar um IC para a dfereça de valores esperados de duas populações com dstrbuções arbtráras depedetes e com varâcas descohecdas e dspomos de duas amostras com dmesões sufcetemete grades.] Passo 2 Obteção dos quats de probabldade Ao ter-se em cosderação que (1 α) 100% 90%, far-se-á uso dos quats { a α Φ 1 (α/2) Φ 1 (0.05) Φ 1 t abel a/calc. (1 0.05) 1.6449 b α Φ 1 (1 α/2) Φ 1 t abel a/calc. (0.95) 1.6449. Passo 3 Iversão da desgualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α P P a α ( X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) b α 1 α S 1 2 1 [ 2 ] S1 ( X 1 X 2 ) b α 2 1 S1 2 µ 1 µ 2 ( X 1 X 2 ) a α 2 1 2 1 α Passo 4 Cocretzação Tedo em cota que IC (1 α) 100% (µ 1 µ 2 ) ( x 1 x 2 ) ± Φ 1 (1 α/2) s1 2 + s2 2, 1 bem como os valores dos quats acma e de, x, s 2 ( 1,2), segue-se [ ] 3307.53 IC 95% (µ 1 µ 2 ) (2952.8 3002.4) ± 1.6449 + 3100.2 41 41 [ 49.6 ± 1.6449 12.501449] [ 70.163625, 29.036375]. 2 (b) Cofrote as hpóteses H 0 : µ 1 µ 2 0 e H 1 : µ 1 µ 2 < 0, calculado para o efeto o valor-p. (3.0) V.a. de teresse e stuação Ver alíea (a). Hpóteses H 0 : µ 1 µ 2 µ 0 0 H 1 : µ 1 µ 2 < µ 0 Estatístca de teste T ( X 1 X 2 ) µ 0 S 2 1 1 2 a H0 ormal(0,1) [uma vez que se pretede efectuar um teste de gualdade dos valores esperados de duas populações com dstrbuções arbtráras depedetes e com varâcas descohecdas, dspodo de duas amostras com dmesões sufcetemete grades.] Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Estamos a ldar com um teste ulateral feror (H 1 : µ 1 µ 2 < µ 0 ), logo a regão de rejeção de H 0 é do tpo W (, c). Decsão (com base o valor-p) O valor observado da estatístca de teste é gual a Pága 3 de 7
t ( x 1 x 2 ) µ 0 s 2 1 1 + s2 2 2 (2952.8 3002.4) 0 3307.53 41 + 3100.2 41 49.6 12.501449 3.967540. e a regão de rejeção deste teste é um tervalo à esquerda. Cosequetemete valor p P(T < t H 0 ) Logo é suposto: Φ(t) Φ( 3.97) 1 Φ(3.97) tabel a/calc. 1 0.999964 0.000036. ão rejetar H 0 a qualquer ível de sgfcâca α 0 0.0036%; rejetar H 0 a qualquer.s. α 0 > 0.0036%, omeadamete a qualquer dos íves usuas de sgfcâca (1%, 5% e 10%). Grupo II 10 valores 1. Uma estudate recorreu a um software estatístco para gerar 1800 úmeros pseudo-aleatóros o tervalo [0, 1], tedo obtdo a segute tabela de frequêcas: Classe [0, 0.2] ]0.2, 0.5] ]0.5, 0.8] ]0.8, 1] Frequêca absoluta observada 391 490 580 339 A estudate defede a hpótese H 0 de que o software gerou úmeros pseudo-aleatóros que seguem uma dstrbução uforme cotíua o tervalo [0, 1]. (a) Calcule os valores das frequêcas absolutas esperadas sob H 0 de cada uma das classes. (1.0) V.a. de teresse X úmero pseudo-aleatóro gerado pelo software estatístco Dstrbução, f.d.p. e f.d. cojecturadas X uforme cotíua(0, 1) { 1, 0 x 1 f X (x) 0, caso cotráro x F X (x) P(X x) 0dt 0, x < 0 x f 0 X (t)dt 0dt + x 0 1dt x, 0 x 1 0 0dt + 1 0 1dt + x 1 0dt 1, x > 1. Frequêcas absolutas esperadas Atededo à dmesão da amostra 1800 e à f.d. cojecturada, segue-se, para 1,...,4: E 1 [F (0.2) F (0)] 1800 (0.2 0) 360; Pága 4 de 7
E 2 [F (0.5) F (0.2)] 1800 (0.5 0.2) 540; E 3 [F (0.8) F (0.5)] 1800 (0.8 0.5) 540; 3 E 4 E 1 1800 (360 + 540 + 540) 360. (b) Teste H 0, ao ível de sgfcâca de 5%. (3.0) Hpóteses H 0 : X uforme cotíua(0,1) H 1 : X uforme cotíua(0,1) Nível de sgfcâca α 0 5% Estatístca de Teste k (O E ) 2 T E a H0 χ 2 (k β 1), ode: 1 k No. de classes 4 O Frequêca absoluta observável da classe E Frequêca absoluta esperada, sob H 0, da classe β No. de parâmetros a estmar 0 [dado que em H 0 se cojectura uma dstrbução específca.] Frequêcas absolutas esperadas sob H 0 De acordo com (a), os valores das freq. absolutas esperadas sob H 0 são: E 1 E 4 360; E 2 E 3 540. [Não é ecessáro fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verfca E 5 e que E 1 para todo o. Caso fosse precso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 (1 α χ 2 0 ) teram que ser recalculados...] (k β 1) Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Trata-se de um teste de ajustameto logo a regão de rejeção de H 0 escrta para valores de T é o tervalo à dreta W (c,+ ), ode Decsão c F 1 (1 α χ 2 0 ) F 1 χ 2 (k β 1) (4 0 1) (1 0.05) F 1 (0.95) χ 2 (3) t abel a/calc. 7.815. Classe Freq. abs. obs. Freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste o E (o E ) 2 E (391 360) 1 [0, 0.2] 391 360 360 2.669 2 ]0.2, 0.5] 490 540 4.630 3 ]0.5, 0.8] 580 540 2.963 4 ]0.8, 1] 339 360 1.225 k 1 o k 1 E t k (o E ) 2 1 E 1800 1800 11.487 Como t 11.487 W (7.815,+ ), devemos rejetar H 0 ao.s. de α 0 5%. Pága 5 de 7
2. A determação da resstêca ao csalhameto (Y ) de soldas por potos é relatvamete dfícl, equato que a medção do dâmetro da solda (x) é relatvamete smples. Um cojuto de 10 medções depedetes coduzu aos segutes resultados respetates a x (em polegada) e a Y (em ps): 10 1 x 2.325, 10 1 x2 0.697425, 10 1 y 22860, 10 1 y 2 67719400, 10 1 x y 6872.25, ode [ m 1,...,10 x, max 1,...,10 x ] [0.04, 0.4]. (a) Cosdere o modelo de regressão lear smples de Y em x e determe a estmatva de mímos (2.0) quadrados do valor esperado da resstêca ao csalhameto de uma solda com dâmetro gual a 0.25 polegada. Estmatvas de MQ de β 0, β 1 e E(Y x) β 0 + β 1 x com x 0.25 Dado que 10 1 x 2.325 1 x 2.325 10 0.2325 x 1 1 x2 0.697425 1 x2 ( x)2 0.697425 10 0.2325 2 0.1568625 1 y 22860 ȳ 1 1 y 22860 10 2286 1 y 2 67719400 1 y 2 (ȳ)2 67719400 10 2286 2 15461440 1 x y 6872.25 1 x y x ȳ 6872.25 10 0.2325 2286 1557.3, as estmatvas de MQ de β 1, β 0 e β 0 + β 1 x são, para este modelo de RLS, guas a: 1 ˆβ 1 x y xȳ 1 x2 ( x)2 1557.3 0.1568625 9927.803012 ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x 2286 9927.803012 0.2325 22.2142 ˆβ 0 + ˆβ 1 x 22.2142 + 0.25 9927.803012 2459.736553. (b) Uma egehera mecâca defede a cojetura H 0 : β 1 10000 ao passo que um egehero (3.0) de materas é de opão cotrára. Após ter eucado as hpóteses de trabalho que eteder coveetes, teste H 0 ao ível de sgfcâca de 5%. Hpóteses de trabalho ɛ..d. Normal(0,σ 2 ), 1,..., Hpóteses H 0 : β 1 β 1,0 10000 H 1 : β 1 β 1,0 Nível de sgfcâca α 0 5% Pága 6 de 7
Estatístca de teste T ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 2 1 x2 x2 H0 t ( 2) Regão de rejeção de H 0 (para valores de T ) Estamos a ldar com um teste blateral (H 1 : β 1 10000), logo a regão de rejeção de H 0 é do tpo W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejetar H 0 H 0 ) α 0,.e., c F 1 t ( 2) (1 α 0 /2) F 1 t (10 2) (1 0.05/2) F 1 t (8) (0.975) tabel a/calc. 2.306. Decsão Atededo aos valores [( obtdos em ) (a), assm como o de ˆσ 2 1 y 2 2 ȳ 2 ( ( )] ) 2 ˆβ1 x 2 x2 1 1 1 ( 15461440 9927.803012 2 0.1568625 ) 10 2 109.046214, o valor observado da estatístca de teste é gual a t ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 2 1 x2 x2 9927.803012 10000 109.046214 0.1568625 2.738252. Como t 2.738252 W (, 2.306) (2.306,+ ) devemos rejetar H 0 ao.s. de 5% [bem como a qualquer.s. superor que 5%). (c) Obteha e terprete o valor do coefcete de determação do modelo ajustado. (1.0) Cálculo do coefcete de determação ( r 2 1 x y x ȳ ) 2 ( 1 x2 x2) ( 1 y 2 ȳ 2) 1557.3 2 0.156863 15461440 0.999940. Iterpretação coefcete de determação Cerca de 99.99% da varação total da varável resposta Y é explcada pela varável x, através do modelo de regressão lear smples ajustado, dode possamos afrmar que a recta estmada parece ajustar-se excepcoalmete bem ao cojuto de dados. Pága 7 de 7