3 75$%$/+(37(&,$/ (/(7567È7,& Ao final deste capítulo você deveá se capa de: ½ Obte a epessão paa o tabalho ealiado Calcula o tabalho que é ealiado ao se movimenta uma caga elética em um campo elético ½ Calcula o tabalho que é ealiado ao se movimenta uma caga elética em um campo elético. ½ Defini Difeença de potencial ente dois pontos ½ Calcula a difeença de potencial ente dois pontos, paa uma dada distibuição de campo elético. ½ Defini potencial eletostático absoluto. ½ Calcula potencial absoluto paa distibuições especiais de caga. No capítulo deste cuso patimos da epeiência de Coulomb paa enconta a epessão matemática paa a foça de oigem eletostática ente dois copos eleticamente caegados. Ao dividimos esta epessão po uma das cagas, definimos uma nova gandea vetoial, denominada veto intensidade de campo elético, que nada mais é do que um campo de foça ciado pela outa caga. No capítulo, patindo da epeiência de Faada descobimos a eistência de outas duas gandea da eletostática. O fluo elético, uma gandea escala que tem a mesma dimensão de caga elética, e o veto densidade de fluo elético, uma gandea vetoial que se elaciona com o veto intensidade de campo elético atavés de uma constante chamada de constante de pemissividade. Os capítulos e 3 seviam paa intodui a lei de Gauss paa a eletostática, tanto na foma integal capítulo ), como na foma difeencial (capítulo 3). Neste capítulo, a pati de consideações sobe o tabalho ealiado ao se movimenta uma caga elética na pesença de um campo elético, intoduiemos uma outa gandea impotante da eletostática, a função potencial eletostático. Ã Ã 75$%$/+Ã (9/9,'Ã Ã 9,(7Ã '(Ã 8$Ã &$5*$ 378$/Ã(Ã8Ã&$3Ã(/e75,& Imagine um campo elético, povocado po uma configuação de cagas qualque (pontual, linha de cagas etc). Suponha agoa que uma caga pontual seja colocada nesse campo elético. Sobe essa caga pontual estaá agindo uma foça de oigem eletostática, dada po:
4 F e E (N) (4.) Se quisemos move essa caga conta a ação do campo elético, temos de eece uma foça igual e oposta àquela eecida pelo campo elético, na dieção do movimento. Isso eige um dispêndio de enegia ou seja, a ealiação de um tabalho. Se o movimento é no sentido do campo elético, o dispêndio de enegia é negativo, ou seja não ealiamos tabalho. Este é ealiado pelo campo elético. Suponhamos que queiamos move a caga de uma distância dl no campo elético confome a figua 4.. O nosso gasto de enegia seá o poduto da foça pela distância: E, dw EdL cosθ E.dL (4.) E F e F Fig. 4. - Caga em um campo elético E Pela equação 4. podemos pecebe facilmente que se a caga fo movimentada pependiculamente ao campo elético, o tabalho seá nulo. ([HPSOÃ Dado o campo elético E 3.â +.â +.â N/C, detemine o tabalho ealiado paa se move uma caga de µc ao longo de um pecuso incemental -4 m de compimento, na dieção de,6.â +,48.â,64. â localiado no ponto (,-, -5) m. 6OXom E 3.â + ( ).â + ( ).â dw E.â 4.â ).(,6.â dw 9.â 6 +.48.â 4.â 4 ((.â,64.â (N / C).â ( 7, 4,8 +,56) 8,88nJ O tabalho ealiado paa move uma caga de uma distância finita é dado pela integal: )
5 W final inic. E.dL (J) (4.3) A equação 4.3 epesenta uma integal de linha. Paa entende melho esse conceito, imagine que queiamos calcula o tabalho paa move uma caga em um campo elético do ponto B ao ponto A, confome é epesentado na figua 4.. A E L4 L 3 L 4 E E L3 L E L E L E E L B E figua 4. - Caga movendo-se de B até A. O caminho pode se subdividido em um gande numeo de segmentos Ls. A componente do campo ao longo de cada segmento é multiplicada pelo tamanho do segmento, e os esultados paa todos os segmentos somados. Obviamente isso é um somatóio. A integal é obtida quando o compimento de cada segmento tende a eo. Matematicamente: ou, em notação vetoial: Se o campo fo unifome: W (E. L + E. L +... + E. L ) (4.4) L L W (E. L + E. L +... + E. L ) (4.5) E... E n Ln n n n E (4.6) W.E( L + L +... + L ) (4.7) A soma dos segmentos vetoiais ente paêntesis coesponde ao veto diigido do ponto B ao ponto A, L BA. Potanto: n W E.L BA (4.8)
6 Pelo aciocínio apesentado acima, descobimos que o tabalho ealiado paa movimenta a caga do ponto B ao ponto A independe do caminho tomado, mas apenas de, EeL BA, o veto que vai de B até A. Essa afimação é válida paa qualque configuação de campo elético invaiante no tempo. )L[DGÃHÃPHPUL]DGà Antes de possegui, efaça as passagens ealiadas paa obte a epessão (4.8):. Equaciona o tabalho incemental que é ealiado paa movimenta uma caga elética na pesença de um campo elético, de um incemento dl.. Esceva a equação que pemite calcula o tabalho paa se movimenta uma caga elética de um ponto inicial a um ponto final, na pesença de um campo elético. 3. Moste que esse tabalho não depende do caminho escolhido. 4. Em que situação isso é válido? ([HPSOà Calcula o tabalho ealiado paa move uma caga à - -5 C, imesa em um campo elético E.a +. a, ao longo do caminho definido pela eta +, e ao longo do caminho definido pelas etas e à mã 6OXom (,,) tajeto tajeto (,,) fig. 4.3 - Caga movendo-se po dois caminhos Paa o pimeio caminho temos: dw E.dL dw (.â +.â ).(d.â + dw ( d+ d) + ; d.â ) d d dw ( ( )( d) + d) (+ )d W 5 (+ )d (+ ) 6 (J)
([HPSOÃ 7 Paa o segundo caminho: dw ( â W.dâ d ) d d (J) W d 4 W W + W 6 (J) dw (.â.d.â ) d d 5HIDoDÃHWHÃH[HPSOÃ Antes de possegui, efaça o eemplo acima. Enconte a epessão paa o difeencial de tabalho, utiliando a epessão paa o campo elético com ambas as componentes e um difeencial de deslocamento genéico.. Utiliando a equação da eta (caminho ), eplicite uma das vaiáveis em função da outa. 3. elacione os difeenciais d e d. 4. Substitua os esultados dos passos e 3 na epessão do difeencial de tabalho. Nesta epessão só estaá uma das vaiáveis. 5. Intege essa epessão de acodo com a vaiável escolhida. 6. Paa se eecita mais, epeimente calcula agoa o tabalho ealiado ao longo do caminho, utiliando a vaiável que foi substituída. 7. Calcule agoa o tabalho paa move a caga ao longo do caminho. Epesse o difeencial de tabalho paa o techo ao longo do eio. Potanto apenas a componente em e o difeencial d estaão envolvidos. Em que dieção estaá o veto unitáio? 8. Calcule o tabalho elativo a este techo. 9. Epesse o difeencial de tabalho paa o techo ao longo do eio. Potanto apenas a componente em e o difeencial d estaão envolvidos.. Calcule o tabalho elativo a este techo, e some com o do techo anteio. Calcula o tabalho ealiado paa move uma caga pontual positiva C, imesa no campo elético de uma linha de caga de densidade ρ l ÃC/mÃdo ponto m ao ponto m, confome a figua abaio. 6OXom ρ l dl dd
8 fig. 4.4 - Caga imesa no campo de uma linha de cagas. O campo elético devido à linha de cagas seá inteiamente na dieção adial. Em coodenadas cilíndicas: ρl E E. a$. a$ ( N/ C) πε O difeencial do caminho em coodenadas cilíndicas é: dl d. a $ + dφ. a$ + d. a$ O tabalho difeencial seá: φ dw. E. dl.. d πε ρ ρ l W πε W ρl πε l d ln ( J) Como é maio que, ln( / ) é o tabalho ealiado é negativo, ou seja, a fonte etena que move a caga ecebe enegia. ÃÃ',)(5(d$Ã'(Ã37(&,$/Ã(Ã37(&,$/Ã(/(7567È7,& Se tomamos a equação paa o tabalho ealiado paa se move uma caga em um campo elético, e a dividimos pelo valo da caga, Teemos uma nova gandea que denominaemos de ÃGLIHUHoDÃGHÃSWHFLDO Matematicamente: W Difeença depotencial inal inic. E.dL (4.9) Em outas palavas, $ÃGLIHUHoDÃGHÃSWHFLDOÃGGSÃHWUHÃGLÃSWÃSGHÃHUÃGHILLGD FPÃHGÃÃWUDEDOKÃUHDOL]DGÃSDUDÃHÃPYHUÃXPDÃFDUJDÃXLWiULD GHÃXPÃSWÃDÃXWUÃHPÃXPÃFDPSÃHOpWULF. A unidade paa a difeença de potencial é Joule po Coulomb, ou olt (). Se A é o ponto final e B o ponto inicial, a difeença de potencial AB é definida como: A AB B E.dL () (4.) No eemplo da linha de caga da última seção, o tabalho paa se desloca a caga de paa é:
([HPSOÃ 9 ρ l W πε ln (J) (4.) Potanto, a difeença de potencial ente e é: W ρl πε ln () (4.) Calcula a difeença de potencial ente os pontos e, >, devido a uma caga pontual de Coulombs positivos. Mosta que ela independe das posições θ e φ. 6OXom E.dL () O campo elético possui simetia esféica. Potanto a epessão paa o veto intensidade de campo elético é: E.â A epessão genéica paa o veto dl é: dl d.â + dθ.â + senθdφ. â Ao ealiamos o poduto escala E.dL, fica clao que apenas o poduto que envolve a componente na dieção adial do incemento do caminho não se anulaá. θ φ Demonstando, potanto, que a difeença de potencial independe das componentes θ e φ. E.dL 4 πε d. d d () 4 πε 5HIDoDÃHWHÃH[HPSOÃ Antes de possegui, efaça o eemplo acima. Identifique a simetia do campo elético, e epesse o veto intensidade de campo elético utiliando o sistema de coodenadas mais adequado.. Paa esse sistema de coodenadas, epesse o veto dl. 3. Moste agoa poque o potencial não depende de φ e θ.. 4. ealie o poduto escala e intege o esultado.
ÃÃÃ37(&,$/Ã'(Ã8Ã6,67($Ã'(Ã&$5*$6 3 O potencial absoluto pode se definido tomando-se um potencial de efeência que consideaemos te potencial eo. Usualmente o esse potencial é tomado na supefície da tea ou no infinito. No eemplo anteio, se um dos pontos ( ponto, po eemplo) estive no infinito, o potencial absoluto no ponto seá: () (4.3) Se o potencial absoluto de A é A, e o potencial absoluto de B é B, a difeença de potencial AB é: AB () (4.4) A B )L[DGÃHÃPHPUL]DGÃ Antes de possegui, efaça as passagens ealiadas nesta seção: 5. Defina o que é difeença de potencial eletostático ente dois pontos. 6. Esceva a equação paa a difeença de potencial ente dois pontos. epesente adequadamente os índices e limites de integação. Poque o sinal negativo sempe apaece nessa equação? 7. Dê uma definição paa o potencial eletostático absoluto Paa duas cagas pontuais o potencial absoluto seá: + πε 4 ( ) (4.5) e paa n cagas: n i i i ( ) (4.6) Substituindo cada caga po ρ v : n i i i ( ) (4.7)
3 Faendo n : πε 4 vol ρdv ( ) (4.8) Paa uma distibuição supeficial de cagas: πε 4 s ρsds ( ) (4.9) Paa uma distibuição linea de cagas: ρldl ( ) (4.) ([HPSOÃ ÃCalcula o potencial em um ponto metos acima do cento de um anel de aio a m, com uma distibuição linea de cagaãρ l C/m. 6OXom ρldl ( ) ρl. dl ρl a + a + dl ρl. πa ε ρ. a a l + ( ) P a ρ l fig. 4.4 - anel de cagas
3 5HIDoDÃHWHÃH[HPSOÃ Antes de possegui, efaça o eemplo acima:. Leia atentamente o enunciado e pocue esboça gaficamente o poblema.. Esceva a epessão paa o potencial eletostático devido a uma distibuição linea de cagas 3. Substitua po uma epessão que envolva as dimensões dadas 4. Isole tudo o que fo constante na epessão da integal. 5. Epesse o esultado final ([HPSOÃ esolve o eemplo anteio, consideando um anel de aio inteno a m, aio eteno b mãe densidade supeficial ρ s C/m. 6OXom ρ s. ds ( ) ds. dφ. d ; + πε 4 ρs πε 4 π dφ ρ. dφ. d s a b + d + ρ d b s ε a ρ s + ε + ρs b + a + ( ) ε b a P ρ s fig. 4.6 - Anel com distibuição supeficial de cagas.
33 5HIDoDÃHWHÃH[HPSOÃ Antes de possegui, efaça o eemplo acima: 6. Leia atentamente o enunciado e pocue esboça gaficamente o poblema, epesentando coetamente distâncias, elemento de áea etc. 7. Esceva a epessão paa o potencial eletostático devido a uma distibuição supeficial de cagas 8. Epesse o elemento de áea em coodenadas cilíndicas. e substitua po uma epessão que envolva as vaiáveis de integação 9. Isole tudo o que fo constante na epessão da integal.. Calcule as integais e epesse o esultado final (;(5&Ë&,6 ) - Calcule o tabalho necessáio paa movimenta uma caga pontual - mc no campo E ( + 4). a$ + 8. a$ ( / m) da oigem ao ponto (5,3,) m, ao longo do pecuso 9. ) - Calcule o tabalho necessáio paa movimenta uma caga pontual 5 mc de (5 m, p, ) a (3 m, p/. 3 m), coodenadas cilíndicas, no campo E 5 5 ( ). a$ +. a$ ( / m). 3) - Uma caga pontual de,6 nc está localiada no ponto (3,6,6) m. Calcule a difeença AB, ente os pontos A(3,3,6) m e B(-3,3,6) m. 4) - Se a efeência de potencial nulo está em m, e uma caga pontual.6 nc ocupa a oigem, enconte os potenciais em 8 m e 4 m. 5) - Suponha que em um dia sujeito à instabilidades atmosféicas a difeença de potencial ente a supefície da tea e a eletosfea (digamos 5 km acima da supefície teeste) seja de 6. Um avião com m de envegadua em suas asas está voando a 6 m de altitude, com uma inclinação de 45 de suas asas. Calcule a difeença de potencial ente as suas etemidades (das asas). 6) -Tês cagas pontuais de nc ocupam os vétices de um tiângulo equiláteo de m de lado. Calcule o potencial em um ponto m acima de seu cento geomético. 7) - Uma distibuição linea de cagas com densidade ρ l nc ocupa o peímeto de um quadado de 5 m de lado. Calcule o potencial no ponto situado 6 m acima de seu cento. 8) - Desenvolva uma epessão paa o potencial num ponto distante adialmente d m do ponto médio de uma distibuição linea de cagas finita, de compimento L m e de densidade unifome O (C/m). Aplique o esultado do eecício anteio como pova.
34 9) - Um disco a m,, φ π, possui uma densidade supeficial de cagas ρs ρ a ( C/ m ). Enconte (,, m) no espaço live. ) - Uma película plana unifomemente caegada com ρ s (/5π) nc/m está localiada em, e uma segunda película plana, com ρ s (-/5π) nc/m está localiada em m. Calcule AB, BC, AC paa A(,, ) m, B(4,, ) m e C(,, ) m.