7.6.3. Sessão 03: Introduzindo os conceitos de Máximos e Mínimos. Data: 26/04/2010, horário: 07h30min.. Turma: T14 do curso de Engenharia Elétrica, Cálculo A MTM 1019. 7.6.3.1. Atividade 03: Situação Problema Máximos e Mínimos Os gastos anuais de uma empresa para fabricação de x computadores são GG = 2000 + 25xx (em reais) e os pedidos que se obtém pelas vendas são II = 60xx 0,01xx 2. Quantos computadores devem ser fabricados para que o benefício seja máximo? Fonte: Proyecto Descartes (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/ac_maximos/index. htm), acessado em 22/03/2011. Com relação à situação problema acima: (a) Pelas leis de mercado o lucro na venda de x computadores igual ao preço de venda menos o preço de custo. (b) Mostre que o lucro máximo na venda de x computadores pode ser determinado pela regra da derivada primeira ou pela regra da derivada segunda para máximos e mínimos. Objetivo da atividade: Determinar o número x de computadores que devem ser fabricados para que o benefício seja o maior possível. Solução do Problema: Conhecimentos prévios: 1. Equações de 1º grau, equação do 2º grau, gráficos: da reta e da parábola, vértice da parábola, funções crescentes e decrescentes. 2. Regras de derivação. 3. Regra da derivada primeira para determinar os pontos críticos de máximo e re mínimo. 4. Regra da derivada segunda-feira para determinar pontos críticos: de máximo ou mínimo, concavidade e pontos de inflexão de curvas.
Metodologia de ensino: Resolução de problemas Dinâmica de ensino: Questionamentos do aluno para o professor e do professor para o aluno. Na primeira fase o aluno precisa compreender o problema e desejar resolve-lo. Foi dado um tempo para que os alunos lessem e compreendessem o problema. O aluno Gustavo fala: Professor, entendi o que o problema pede. É para achar o número x de computadores que devem ser fabricados e vendidos e, que se tenha o lucro maior possível. Certo, agora vamos ver, quais são os dados, as incógnitas e as condições do problema. Dados: Gastos anuais da empresa para fabricação de x computadores GG = 2000 + 25xx (em milhões de reais) e os pedidos que se obtém pelas vendas que são II = 60xx 0,01xx 2. A condicionante é o número máximo de computadores que devem ser vendidos para que o lucro seja o maior possível. Na segunda fase vamos estabelecer um plano para chegar à incógnita x. Lembrando que na equação do 2º grau temos um máximo ou mínimo que é dado pelo ponto P(x, y). O professor, pergunta para turma: Quais são as coordenadas do vértice de uma parábola? O aluno Renan responde: A abscissa xx = bb e a ordenada são yy =. 2aa 4aa Para se chegar à incógnita é necessária uma função para analisarmos os pontos de máximo ou mínimo. Como sabemos que o lucro é igual ao preço de venda menos os preços de custo, então têm a função procurada. Na terceira fase vamos executar o plano. Lucro = Preço de venda Preço de custo = (60x 0,01x 2 ) (2000 + 25x) = 60x 0,01x 2 2000 25x, logo: Lucro = L = 00, 0000xx 22 + 333333 22222222. Esta equação é uma parábola, portanto o lucro máximo é dado por: xx = bb = 35 ( 0,01) = 1750 a abscissa do vértice 2aa 2
yy = = ( 4aa b2 4ac) / 4a = ( 35 2 4( 0,01)( 2000)) = (1225 4 ( 0,01)( 2000) ) = (1225 80) = 2222222222 A ordenada do vértice. ( 0,04) ( 0,04) Conclusão: O número de computadores vendidos deve ser x = 1750 para que o lucro seja máximo. Na quarta fase, fazendo um retrospecto da solução: Para x < 1750 dddd dddd 0 (+) e quando x 1750 dddd dddd < 0 (-) Logo, quando (dddd dddd) passa de (+) para (-) num ponto de máximo P.Máx.(1750; 28625). Agora, vamos usar o software maple. Tomem o livro Introdução à computação algébrica com o Maple e vamos construir esse conhecimento através do software maple. Na página 166 temos as derivadas, na página 41 temos a solução de equações e os gráficos na página 115. Observação: Se tiverem dúvidas quanto ao uso do software, perguntem. Observação: Foi dada uma explicação inicial sobre máximos e mínimos, para depois colocar a situação-problema. Logo, o ponto de máximo é (x = 1750, y = 28625). O aluno Ricardo, pergunta:
Professor, você pode mostrar como fazer o gráfico e identificar o ponto de máximo sobre a curva? Resposta: Figura 06. Máximos e Mínimos. Observações: As soluções apresentadas pelos grupos estão logo a seguir das regras de máximos e mínimos. Regras para se determinar os máximos, Mínimos e inflexões: Regra da derivada primeira: Consideremos uma função f contínua no intervalo]a,b[, e seja x i = c um único valor crítico desse intervalo. Se f é derivável no intervalo (exceto em x = c), f(c) pode ser classificada como um mínimo relativo, máximo relativo, ou nem uma coisa nem outra, de acordo com os seguintes critérios:
Os pontos críticos x i são obtidos fazendo-se f (x) = 0. 1. Se, dentro do intervalo ]a,b[, f (x) é negativa à esquerda do ponto x = c e positiva à direita de x = c, f(c) é um ponto de mínimo relativo. 2. Se, dentro do intervalo ]a,b[, f (x) é positiva à esquerda do ponto x = c e negativa à direita de x = c, f(c) é um ponto de máximo relativo. 3. Se, dentro do intervalo ]a,b[, f (x) tem o mesmo sinal à esquerda e à direita do ponto x = c, f(c) não é extremo relativo de f. Regra da derivada segunda: Seja f (c) = 0; suponha que f exista no intervalo aberto que contenha c. Se f (c) 0, f(c) é um mínimo relativo. 2. Se f (c) < 0, f(c) é um máximo relativo. 3. Se f (c) = 0, o teste não permite chegar a nenhuma conclusão. Nesse caso, volte ao teste da derivada primeira. Teste da Concavidade: Seja f uma função cuja derivada segunda existe em um intervalo aberto I. I=]a, b[. 1. Se f (x) 0 para qualquer x pertencente a I, a concavidade de f é para cima no intervalo I. 2. Se f (x) < 0 para qualquer x pertencente a I, a concavidade de f é para baixo no intervalo I. Roteiro para o teste de concavidade: 1. Determine os valores de x para os quais f (x) = 0 ou f (x ) não é definida. 2. Use esses valores de x para determinar os intervalos de teste. 3. Verifique o sinal de f (x) em todos os intervalos de teste. Solução esperada: Os gastos anuais de uma empresa para fabricação de x computadores são GG = 2000 + 25xx (em reais) e os pedidos que se obtém pelas vendas são II = 60xx 0,01xx 2. Quantos computadores devem ser fabricados para que o benefício seja máximo?
Figura 07. Máximos e Mínimos.
Solução dos alunos - Problema dos computadores: Solução apresentada pelos alunos com o uso do software maple: Grupo 06: Ana, Helena e Roberta. Fazendo L = f(x), temos: Usando o software maple para problemas de máximos e mínimos:
Figura 08: Gráfico exibindo um máximo segundo solução encontrada pelos alunos. Conclusão dos alunos do grupo 06: Foi muito interessante o uso do software maple, pois, conseguimos aplicar os conceitos apreendidos em aula e construirmos os gráficos com precisão. Hoje, o software maple é um novo aliado que nos ajuda a compreender a matéria de cálculo. Outros grupos também resolveram o problema de forma similar, essas soluções não serão apresentadas aqui nesse texto. Conclusões do professor: Segundo Ausubel (1968, p. 37-41), a essência da aprendizagem significativa está em que ideias simbolicamente expressa sejam relacionadas de maneira nãoarbitrária e substantiva (não-literal) ao que o aprendiz já sabe, ou seja, a algum aspecto relevante de sua estrutura de conhecimento, isto é, um subsunçor. Creio que houve aprendizagem significativa, pois os conhecimentos prévios presentes na estrutura cognitva do aluno receberam as novas informações com compreensão e entendimento. Portanto, a construção do conhecimento através do livro do Maple e o manuseio do software maple demonstraram que houve assimilação do conteúdo.