Distribuições Amostrais

7/3/07 Uiversidade Federal do Pará Istituto de Tecologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Egeharia Mecâica 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Uiversidade Federal do Pará Istituto de Tecologia Capítulo V Distribuições Amostrais Campus de Belém Curso de Egeharia Mecâica 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais

7/3/07 Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais

7/3/07 5. Itrodução Nos capítulos ateriores foram apresetados os pricipais modelos de distribuição de probabilidade, bem como as medidas que caracterizam uma amostra. Tais estudos vão agora se jutar para que se obteha as distribuições amostrais dos pricipais estimadores. O cohecimeto das distribuições amostrais é de fudametal importâcia, pois é a base para a aplicação das técicas de iferêcias estatísticas que serão apresetadas posteriormete 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5. Itrodução Iferêcia ou idução estatística: Como já explicado o primeiro capítulo, a iferêcia estatística é do processo de obter iformações sobre uma população a partir dos resultados observados a amostra. De modo geral tem-se uma população com grade úmero de elemetos e deseja-se, a partir de uma amostra retirada dessa população, cohecer, o mais próximo possível, algumas características da população. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 3

7/3/07 5. Itrodução Iferêcia ou idução estatística: Seja X uma das variáveis da população que se deseja estudar. Seja θ uma característica (medida) de X que se quer cohecer. O cohecimeto de θ ocorre pela costrução de um estimador ˆ que revelará o valor mais aproximado de θ a partir dos elemetos amostrais. População (N) Amostra () Iferêcia ou idução estatística Amostrages de populações muito grades podem ser cosideradas como amostrages de populações ifiitas; portato, os parâmetros populacioais são descohecidos. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais ˆ 5. Itrodução Amostra aleatória: Seja X uma variável populacioal que se deseja estudar. Uma amostra aleatória de X é o cojuto de variáveis aleatórias idepedetes (X, X,..., X ) tal que cada X i (i =,,..., ) tem a mesma característica, ou distribuição, da variável X. Assim: Se d X N( ; ), cada X i terá distribuição N( ; ) 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 4

7/3/07 5. Itrodução Amostra aleatória: Ao retirar uma amostra aleatória de uma população estaremos cosiderado cada valor da amostra como um valor de uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é a mesma da população o istate da retirada desse elemeto para a amostra. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5. Itrodução Estimador ou estatística: Dada uma amostra aleatória, estimador ou estatística é qualquer variável aleatória fução dos elemetos amostrais, ou seja: ˆ f ( x, x,..., x ) é um estimador de As medidas de posição, dispersão e forma, estudadas ateriormete, são exemplos de estimadores. Deve-se ter um critério para escolher o melhor estimador de um parâmetro populacioal. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5

7/3/07 5. Itrodução Estimativa: Estimativa é o valor umérico de um estimador. Assim: s =,3 é uma estimativa da variâcia populacioal σ. Distribuição amostral: Se para cada amostra possível de tamaho que podem ser extraídas de uma determiada população se calcular um valor do estimador, tem-se uma distribuição amostral desse estimador. Como o estimador é uma variável aleatória, pode-se determiar suas características, isto é, ecotrar sua média, variâcia, desvio padrão etc. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 6

7/3/07 5. Distribuição Amostral das Médias Objetivo: Procura-se levatar a distribuição de probabilidade da média aritmética das amostras. Sabe-se que x xi / (média aritmética) é um estimador da média populacioal μ. O estimador x é uma variável aleatória; portato, procura-se cohecer a sua distribuição de probabilidade. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5. Distribuição Amostral das Médias Teorema : A média da distribuição amostral das médias, deotada por μ ( x) é igual à média populacioal μ, isto é: E( x ) ( x ) Teorema : Se a população é ifiita, ou se a amostragem é com reposição, etão a variâcia da distribuição amostral das médias é dada por: E ( x ) ( x ) ode σ é a variâcia da população; isto é, pode-se afirmar que, para populações ifiitas, ou com amostrages com reposição, a variâcia da distribuição das médias é igual a variâcia da população dividida pelo tamaho da amostra. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 7

7/3/07 5. Distribuição Amostral das Médias Teorema 3: Se a população é fiita, ou se a amostragem é sem reposição, etão a variâcia da distribuição amostral das médias é dada por: ( x ) N N Teorema 4: Se a população tem ou ão distribuição ormal com média μ e variâcia σ, etão a distribuição das médias amostrais será ormalmete distribuídas com média μ e variâcia σ /. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5. Distribuição Amostral das Médias Gráfico da distribuição amostral das médias d σ x N μ; para d σ N x N μ; N populações if iitas para populações fiitas 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 8

7/3/07 Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5.3 Distribuição Amostral das Frequêcias relativas Defiição: Seja X uma população ifiita, e p a probabilidade (ou proporção) de certo eveto de X. Logo p = q será a probabilidade do eveto ão ocorrer. Seja (x, x,..., x ) uma amostra aleatória de elemetos dessa população e x o úmero de sucessos da amostra. Neste caso, pode-se idetificar que os valores de x são variáveis aleatórias que apresetam distribuição biomial (úmero de sucessos a amostra), de média p e variâcia pq. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 9

7/3/07 5.3 Distribuição Amostral das Frequêcias relativas Defiição: Etão, a distribuição amostral da frequêcia relativa f = x/ será dada por: x p E( f ) E p x pq pq Var ( f ) Var Para 30 a distribuição amostral de f será ormal: d pq f N p; população if iita d pq N f N p; N população fiita 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 0

7/3/07 5.4 Distribuição Amostral de Variâcias Defiição: Seja S (variâcia amostral) o estimador de σ. Se se desejar saber a distribuição de S, pode-se demostrar que: E( S ) σ e Var( S 4 σ ) e que S tem distribuição qui-quadrado com ( ) graus de liberdade; ou seja: ( )S Lembrar que ( ) e σ são costates. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais d 5.4 Distribuição Amostral de Variâcias Gráfico da distribuição amostral das variâcias: 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais

7/3/07 Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5.5 D. A. da Soma ou Difereça de Duas Médias Defiição: Deseja-se ecotrar a distribuição amostral do estimador ( x x ). Cosiderado-se as amostras idepedetes de duas populações tem-se: ( x x d ) N ; ou seja ( x x ) tem distribuição ormal de média igual à soma ou difereça das médias populacioais, e variâcia igual à soma das variâcias. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais

7/3/07 Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostral da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5.6 D. A. da Soma ou Difereça de Duas Freqs. Relativas Defiição: Deseja-se ecotrar a distribuição amostral do estimador (f ± f ). Cosiderado-se as amostras idepedetes de duas populações, com 30 e 30 tem-se: ( f d f ) N p p pq ; pq ou seja (f ± f ) tem distribuição ormal de média igual à soma ou difereça das proporções populacioais, e variâcia igual à soma das suas variâcias. 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 3

7/3/07 Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5.7 D. A. das Médias quado a Variâcia Pop. é Descohecida Defiição: d Como visto ateriormete x N ;, com distribuição ormal padroizada dada por: xi Z i Como ão se cohece o valor de σ, portato de σ, uma possibilidade é substituir o σ pela variável aleatória S (desvio padrão amostral) e procurar a distribuição estatística T. x T S 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 4

7/3/07 5.7 D. A. das Médias quado a Variâcia Pop. é Descohecida Defiição: Pode-se demostrar que T tem distribuição de Studet com - graus de liberdade. Assim: x t S Para o caso da soma ou difereça etre duas médias, admitido-se variáveis descohecidas e iguais tem-se: t ( i ) ( x x ) ( ), Sc ode Sc é o desvio padrão comum. Sc 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais ( )S ( )S ( Itrodução Distribuição amostral das médias Distribuição amostral das frequêcias relativas Distribuição amostral de variâcias Distribuição amostral da soma ou difereça de duas médias Distribuição amostrals da soma de duas frequêcias relativas Distribuição amostral das médias quado σ é descohecida Distribuição amostral de razões de variâcias 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 5

7/3/07 5.8 Distribuição Amostral de Razões de Variâcias Defiição: Deseja-se cohecer a distribuição amostral da razão: S /S. dadas duas amostras aleatórias idepedetes, e, etão a estatística ( )S 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais F ( )S tem distribuição F com ( ) e ( ) graus de liberdade; ou seja, à exceção das costates, S /S tem distribuição F. 5. Exemplos Exemplo : Uma população é costituída dos úmeros, 3, 4, 5. Cosidere todas as amostras possíveis, de tamaho, que podem ser extraídas dessa população com reposição. Determie: (a) a média da população, (b) o desvio padrão da população, (c) a média da distribuição amostral das médias amostrais, (d) o desvio padrão da distribuição amostral das médias. x 3 4 5 a ) μ( x ) 3,5 N 4 b ) c ) d ) σ( x ) μ( x ) σ( x ) ( 3,5 ) ( 3 3,5 ) ( 4 3,5 ) 4 μ( x ) 3,5 σ ( x ),8 0, 7906 ( 5 3,5 ),8 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 6

7/3/07 FIM 3/07/07 09:3 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais 7