Amostragem e distribuições amostrais 1 Conceitos e técnicas de amostragem aleatória

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1 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Coceitos e técicas de amostragem aleatória Em estatística queremos estudar feómeos de atureza aleatória e, em particular, determiar um cojuto de propriedades que os caracterizam. Esses feómeos estão associados a populações que podem ser fiitas ouifiitas. Equato, o caso de populações fiitas, pode ser possível (mas raramete acoselhável) oter a iformação pretedida através de uma eumeração completa da população, já o caso de populações ifiitas tal ão é possível, restado-os como alterativa recorrer à amostragem. A amostragem é uma técica de selecção de elemetos de uma população para se estimar propriedades e características dessa população. População é o cojuto de todos os ojectos cujas características pretedemos estudar e amostra é qualquer sucojuto fiito da população. Amédiaeodesviopadrão,sãoexemplosdemedidasusadasparadescrever amostras e populações. Quado estas medidas se referem às características de uma amostra chamam-se estatísticas, e quado se referem às características da população chamam-se parâmetros. As estatísticas estimam ovalordosparâmetrosquepretedemosormalmetedetermiar.. Razões para a utilização de uma amostra Autilizaçãodeumaamostraeãodapopulaçãoumestudoestatístico deve-se, pelo meos, a uma das seguites razões: apopulaçãoserifiita; ecoomia de diheiro; ecoomia de tempo; comodidade; testes destrutivos. Osucessodeumestudoestatístico,aseadooestudodeumaamostra, depede da escolha desta. Uma amostra mal escolhida coduz a coclusões erradas. Istituto Superior de Egeharia de Lisoa. Métodos de amostragem Oprocessodeoteçãoouextracçãodeamostrasdesiga-sepor amostragem. De um modo geral, deve ter-se os seguites cuidados a formação de uma amostra: Imparcialidade - todos os elemetos devem ter a mesma oportuidade de fazer parte da amostra; Represetatividade - deve coter em proporção tudo o que a população possui, qualitativa e quatitativamete; Tamaho - deve ser suficietemete grade de modo que as características da amostra se aproximem, tato quato possível das características da população. Existem dois tipos de métodos de amostragem: aleatórios; determiísticos. Na amostragem aleatória, qualquer dos elemetos da população pode etrar a amostra de acordo com uma proailidade cohecida. Na amostragem determiística, a opiião e a experiêcia idividual sãousadaspara idetificar os elemetos da população a icluir a amostra. A amostragem aleatória permite efectuar uma aálise estatística mais rigorosa do que a amostragem determiística. Vamos cosiderar apeas esquemas de amostragem aleatória, para que posteriormete se possa usar iferêcia estatística, a qual permite que a partir de uma amostra, se façam extrapolações dos resultados paratodaa população. Neste caso, os elemetos a amostrar são escolhidos de modo aleatório e cada elemeto da população tem uma proailidade cohecidade ser seleccioado para a amostra. É aida possível determiar aprecisãodas estimativas amostrais para a característica em estudo e efectuar projecções eiferêciassoreapopulaçãodaqualseretirouaamostra.aamostragem pode ser: com reposição: se o elemeto seleccioado volta ao quadro de amostragem depois de oservado; sem reposição: se o elemeto seleccioado ão volta ao quadrodeamostragem. /8 /8

2 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Detro da amostragem aleatória, as técicas realçamos a amostragem simples, a amostragem sistemática, a amostragem estratificada, amostragem por grupos, por fases e por coglomerados. Na amostragem aleatória simples qualquer elemeto da população tem a mesma proailidade de ser escolhido e é seleccioado idepedetemete dos outros. A amostra de dimesão éseleccioadausadoumprocesso aleatório, por exemplo, usado uma taela de úmeros aleatórios ou através de geração úmeros aleatórios. Qualquer uma das N C amostras, de elemetos, retirada de uma população de dimesão N, temamesmaproa- ilidade de ser seleccioada. Para oter uma amostra aleatória simples N C seguem-se os seguites passos: umerar cosecutivamete os elemetos da população de a N; escolher úmeros utilizado uma taela de úmeros aleatórios, ou através da geração computacioal de úmeros aleatórios. Os úmeros têm que ser distitos e estar situados etre e N; Recolher para a amostra, os registos da(s) característica(s) de iteresse, para os elemetos da população correspodetes aos úmeros aleatórios escolhidos. Por exemplo, se se preteder seleccioar uma amostra de aluos de uma determiada Uiversidade, atriui-se um úmero a cada um dos aluos da Uiversidade e, seguidamete, escolhem-se ao acaso desses úmeros. Na amostragem sistemática os elemetos da amostra são escolhidos a partir de uma regra estaelecida: escolhe-se aleatoriamete o elemeto k etre e i N ; escolhem-se os restates elemetos, as posições k ` j ˆ i, ode j,,...,. Como o caso da amostragem aleatória simples, cada elemeto da população tem igual proailidade de pertecer à amostra. No etato, em todas as amostras de dimesão têm proailidade igual de selecção. Por exemplo, Para seleccioar uma amostra de 3 aluos de um curso com 6 aluos, depois de umerados todos os aluos, pode escolher-se um aluo de em a partir do primeiro aluo seleccioado. O primeiro aluo seleccioado é escolhido ao acaso de etre o primeiro grupo de aluos. Supodo que o úmero 3 foi o primeiro aluo seleccioado, tem-se a amostra: 3, 3, 43, 63, 83, 3,...,543, 563, 583. Aamostragemestratificadautiliza-sequadoapopulaçãoestá dividida em estratos ou grupos difereciados. Este processo é realizado em duas fases, o qual a população é particioada em várias supopulações ou estratos. Na primeira fase faz-se a costrução dos estratos. Os estratos devem ser mutuamete exclusivos e exaustivos de modo a que: todo o elemeto da população perteça a um e um só estrato; ehum elemeto da população seja omitido. As variáveis utilizadas para dividir a população em estratos sãochamadas variáveis de estratificação e os elemetos detro de cada estrato devem ser o mais homogéeos possíveis, mas os estratos devem ser o mais heterogéeos possíveis. Na seguda fase faz-se a costrução da amostra. Os elemetos a amostrar, são seleccioados de cada um dos estratos por um processo aleatório, ormalmete por amostragem aleatória simples. Aamostragem estratificada pode ser de dois tipos: proporcioal: o tamaho da amostra retirada de cada estrato é proporcioal ao tamaho relativo do estrato a população total; ão proporcioal: o tamaho da amostra retirada de cada estrato ão éproporcioalaotamahorelativodoestratoapopulação. Por exemplo, a selecção de aluos de uma determiada Uiversidade, cosiderado cada curso um estrato, escolher-se-ia em cada um desses cursos um determiado úmero de aluos por um dos processos ateriores. O úmero de aluos a escolher em cada curso, ou seja, em cada estrato, deve ser proporcioal ao úmero de aluos esse curso. Na amostragem por grupos, a população é em primeiro lugar dividida em supopulações ou grupos mutuamete exclusivos e colectivamete exaustivos. De seguida uma amostra aleatória de grupos é seleccioada com ase uma técica de amostragem aleatória como a amostragem aleatória simples. Esta amostragem pode ser de 3 tipos: amostragem por grupos a um passo: se todos os elemetos em cada cluster seleccioado forem icluídos a amostra fial; amostragem por grupos a dois passos: se a amostra fial é desehada proailisticamete de cada cluster seleccioado; amostragem por grupos multipassos: se para desehar a amostra fial são efectuados vários íveis de amostragem ates dos elemetos ásicos serem escolhidos. Aamostragemporgruposadoispassosoumultipassospodeserfeita de dois modos diferetes: 3/8 4/8

3 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa em todos os passos é efectuada amostragem aleatória simples. A fracção de elemetos seleccioada é a mesma em todos os grupos; aamostraretiradadecadagrupoéproporcioalàsuadimesão. Aamostragemporfasespodeterduasoumaisfases. Naamostragem em duas fases tem-se: primeira fase: uma amostra da população é seleccioada e alguma iformação é retirada de todos os elemetos da amostra; seguda fase: uma suamostra é retirada da amostra iicial e iformação adicioal é otida dos elemetos da suamostra. Aamostragemporcoglomeradoséessecialmeteutilizadapara reduzir os custos de grades pesquisas, as quais os ivestigadores devem ser eviados a locais muito distates. Neste método são utilizados dois íveis de amostragem: uidade primária de amostragem ou coglomerado, que correspode a uma área em delieada ode se cocetram características ecotradas a população total; sujeitos amostrados detro de coglomerado. Distriuições amostrais teóricas Ates de itroduzir as ovas distriuições amostrais teóricas, covém itroduzir o coceito de grau de lierdade. A variâcia amostral, S,deuma amostra aleatória y,...,y édadapor ř S py i yq ř d i, ode ř y y i e d i y i y. Oservado a primeira expressão de S coclui-se que esta é aseada a soma de quadrados dos desvios em relação à média da amostra. Saemos aida que a soma dos desvios em relação à média deverá ser zero, ou seja, ÿ ÿ py i yq d i eestapropriedadevaitercosequêciasmuitoimportates. Cosidere-se, por exemplo, que se tem uma amostra aleatória de dimesão 4. De uma forma quase aritrária podemos idicar valores para os três primeiros desvios, podo-se, por exemplo, d 5, d 4 e d 3 7. No etato aescolhadovalordoquartodesviojáãoserálivrevistoque ř d i. Assim o valor de d 4 será otido fazedo d 4 pd ` d ` d 3 q p5 4 ` 7q. Geeralizado, dados os valores de desvios em relação à média, que podem tomar qualquer valor, o valor do último desvio estará origatoriamete codicioado. Assim dizemos que existe graus de lierdade para a variâcia da amostra, reflectido o facto de apeas desvios serem livres de assumir qualquer valor, visto que dados os valores destes úmeros livres, o último valor estará automaticamete determiado.. Distriuição Qui-Quadrado A distriuição qui-quadrado é uma distriuição de proailidade cotíua que é muito usada em estatística e está relacioada com a distriuição ormal. Tem um úico parâmetro,oúmerodegrausdelierdade,queéumúmero iteiro positivo... Fução desidade de proailidade Diz-se que uma variável aleatória cotíua X tem distriuição de Qui-quadrado com graus de lierdade se a sua fução desidade de proailidade tivera forma: f pxq χ pq Γ ` e x x, com x ą e P N, odeγ pyq éafuçãogamadefiidapor Γ pyq com y ą. Escreve-se,X χ pq. ż `8 x y ex dx,.. Valor médio, valor esperado ou esperaça matemática da distriuição E rxs. 5/8 6/8

4 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa..3 Variâcia da distriuição VarrXs...4 Propriedades da distriuição qui-quadrado Adistriuiçãoqui-quadradotemasseguitespropriedades: adistriuiçãoqui-quadradoãoésimétrica: Assimétrica se X,...,X são variáveis aleatórias idepedetes e ormais, isto é, se X i N pµ i ; σ i q etão ÿ ˆXi µ i χ pq ; σ i adistriuiçãoχ tede para a distriuição ormal à medida que o úmero de graus de lierdade aumeta, isto é, se X χ pq e Ñ`8 etão X 9 N `,? ou X? 9 N p, q. Adistriuiçãoχ está taelada. χ ;p represeta o valor da variável X para oqualaproailidadeacumuladaép, comoseilustraafiguraseguite. χ àmedidaqueoúmerodegrausdelierdadeaumeta,adistriuição vai-se torado mais simétrica: Área somreada = p χ;p χ () χ (5) χ () No etato para ą 3 pode usar-se a aproximação à distriuição ormal. os valores de qui-quadrado podem ser ou positivos; uca podem ser egativos; adistriuiçãoχ éaditiva: SeX,...,X são variáveis aleatórias idepedetes tais que X i χ p i q,comi,...,,etão ÿ ÿ Y X i χ i ; oquadradodeumavariávelaleatóriacomdistriuiçãoormalreduzida tem distriuição χ com grau de lierdade, isto é, se X N pµ; σq etão Z Xµ N p; q e Z ` Xµ σ σ χ pq; Exemplo.. Cosidere que a variável aleatória X segue uma distriuição qui-quadrado com 4 graus de lierdade. (a) Determie o valor de x para que P rx ă x s, 5; Temos X χ p 4q. Sedoχ ;p valor da variável X para o qual a proailidade acumulada é p temos () Determie P rx ď 3, 8s. P rx ă x s, 5 ô x χ 4;,5 ô x 9. Cosultado a taela da distriuição qui-quadrado para 4 graus de lierdade otém-se P rx ď 3, 8s, 5. 7/8 8/8

5 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa X i Exemplo.. ApopulaçãoX segue uma distriuição ormal com média edesviopadrão. Cosidereumaamostraaleatóriadedimesão 4 recolhida daquela população e a seguite estatística T ř 4 X i. Deduza a distriuição amostral de T. Saemos que X N p, q, ouseja,x tem distriuição ormal reduzida. χ pq, comi,, 3, 4 pois cada elemeto da amostra segue a distriuição da população e, por outro lado, o quadrado de uma ormal reduzida tem distriuição do qui-quadrado com grau de lierdade. ř 4 X i χ p4q pela aditividade da distriuição do qui-quadrado (recorde-se que as X i são idepedetes). Em coclusão, T ř 4 X i χ p4q com E rt s 4 e VarrT s 8 dado que a distriuição do qui-quadrado com graus de lierdade tem valor esperado evariâcia.. Distriuição t-studet Adistriuiçãot-Studetéumadistriuiçãodeproailidade cotíua e tem um úico parâmetro, oúmerodegrausdelierdade,queéumúmero iteiro positivo. Diz-se que uma variável aleatória cotíua T tem distriuição t-studet com graus de lierdade se a sua fução desidade de proailidade tivera forma: f ptq t pq Γ ` `? ` π Γ ˆ ` ` t, com t P R e P N. Escreve-se T t pq. De seguida apresetam-se os parâmetros característicos desta distriuição... Valor médio, valor esperado ou esperaça matemática da distriuição E rt s, se ą. Ovalormédioãoexistepara... Variâcia da distriuição VarrTs, se ą. Avariâciaãoexistepara ď...3 Propriedades da distriuição t-studet Adistriuiçãot-studettemasseguitespropriedades: adistriuiçãot-studettemamesmaformageralsimétrica(forma de sio) que a distriuição ormal: Simétrica Sejam X N pµ, σq e Y χ pq, variáveisaleatóriasidepedetes. Etão Xµ T σ t pq ; Y àmedidaqueotamahodaamostra,, aumeta,adistriuiçãot- Studet aproxima-se da distriuição ormal reduzida. Para ą 3, as difereças são tão pequeas que podemos usar a aproximação à distriuição ormal. Se T t pq e Ñ`8etão T 9 N ou? T 9 N p; q. t ; a Adistriuiçãot-Studetestátaelada. t ;p represeta o valor da variável T para o qual a proailidade acumulada é p, como se ilustra a figura seguite. Área somreada = p No etato para ą 3 pode usar-se a aproximação à distriuição ormal. t ;p 9/8 /8

6 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Exemplo.3. Cosidere que a variável aleatória X segue uma distriuição t-studet com graus de lierdade. (a) Determie o valor de x para que P rx ď x s, 5; Temos X t p q. Sedo t,p valor da variável X para o qual a proailidade acumulada é p temos: P rx ď x s, 5 ô x t ;,5 t ;,95, 8, pois devido à simetria da fução desidade tem-se t,p t,p. () Determie o valor de x para que P rx ą x s, ; P rx ą x s, ô P rx ď x s, 9 ô x t ;,9, 37. (c) Determie P rx ą, 37s; P rx ą, 37s P rx ď, 37s, 9,, porcosultada taela da distriuição da t-studet com graus de lierdade. (d) Determie P rx ď, 76s. P rx ď, 76s P rx ě, 76s P rx ă, 76s, 99,, por cosulta da taela da distriuição da t-studet com graus de lierdade..3 Distriuição F-Sedecor AdistriuiçãoF,cujoomefoiatriuídoemhoradeSirRoaldFisher (89-96), é uma distriuição de proailidade cotíua com dois parâmetros que são úmeros positivos, chamados graus de lierdade. Diz-se que uma variável aleatória cotíua X tem distriuição F com e graus de lierdade, se a sua fução desidade de proailidade tiver a forma: f ptq F p, q Γ ` ` Γ ` ` Γ ˆ x ` ` x com x ą e, P N. Sejam X e X variáveis aleatórias idepedetes com distriuição χ com e graus de lierdade, respectivamete, X χ p q e X χ p q. Etão X X X tem distriuição F com e graus de lierdade e escrevese X F p, q. De seguida apresetam-se os parâmetros característicos desta distriuição.,.3. Valor médio, valor esperado ou esperaça matemática da distriuição se ą..3. Variâcia da distriuição se ą 4. VarrXs E rxs, p ` q p q p 4q,.3.3 Propriedades da distriuição F-Sedecor AdistriuiçãoF-Sedecortemasseguitespropriedades: adistriuiçãof-sedecorãoésimétrica: Assimétrica F os valores da distriuição F ão podem ser egativos; oquadradodeumavariávelaleatóriacomdistriuiçãot-studet com graus de lierdade tem distriuição F com e graus de lierdade. Se T t pq etão T F p,q; se X F p, q etão X F p, q; F p ; ; pq F p;;pq. /8 /8

7 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa AdistriuiçãoF-Sedecorecotra-setaelada. F p ; ; pq represeta ovalordavariávelx para o qual a proailidade acumulada é p, comose ilustra a figura seguite. Área somreada = p F ( ; ;p) Exemplo.4. Cosidere que a variável aleatória X segue uma distriuição F-Sedecor com 6 e graus de lierdade. (a) Determie o valor de x para que P rx ď x s, 99; Temos X F p 6; q. Sedo F p ; ; pq valor da variável X para o qual a proailidade acumulada é p temos P rx ď x s, 99 ô x F p6; ;, 99q 4, 8. () Determie o valor de x para que P rx ď x s, 5; P rx ď x s, 5 ô x F p6; ;, 5q, 5, F p;6;,95q 4 pois F p ; ; pq. F p;;pq (c) Determie P rx ď 3, 73s. P rx ď 3, 73s, 975, porcosultadataeladadistriuiçãodaf- Sedecor com 6 e graus de lierdade. De um modo geral, só a estimação por itervalos e os testes dehipóteses se poderá ter uma ideia clara da utilização das distriuições que se acaaram de apresetar. 3 Distriuições amostrais Um dos prolemas cetrais de que se ocupa a estatística é o estudo de uma população com fução desidade (ou de proailidade) f px; θq cuja expressão aalítica é cohecida mas com um parâmetro θ descohecido (se θ fosse cohecido a fução de desidade ou de proailidade estaria completamete especificada). As estimativas para θ terão de ser otidas a partir de amostras, através de alguma fução que desigaremos por T px,x,...,x q. Oservada uma amostra px,x,...,x q, aquela fução assumirá o valor t T px,x,...,x q que será tomado como estimativa para θ. Oprolema cosiste a determiação da fução da amostra T px,x,...,x q que foreça melhores estimativas para θ. Defiição 3.. Um parâmetro de uma população é uma costate θ, queé uma característica (propriedade) da população. Defiição 3.. Uma estatística é uma variável aleatória fução da amostra px,x,...,x q,ãoevolvedoqualquerparâmetrodescohecido. Dado um parâmetro θ da população usa-se: p θ para represetar os valores das estatísticas e lê-se estimativa de θ ; p Θ para represetar as estatísticas e lê-se estimador de θ. As estatísticas amostrais mais usadas são a média amostral, a variâcia amostral, o desvio padrão amostral e a proporção amostral: Seja X,X,...,X uma amostra aleatória de tamaho. A média amostral é: ř X X i. OvalorcalculadodeX para uma dada amostra é deotado por x. Quado for ecessário evideciar o tamaho da amostra, usamos a otação X e x ; Seja X,X,...,X uma amostra aleatória de tamaho. Avariâcia amostral é: ř ř S `Xi X X i X. Odesviopadrãoamostraléaraizquadradapositivadavariâcia amostral: S? S. OvalorcalculadodeS para uma dada amostra é deotado por s. Odivisor éusadoemvezde para se oter um estimador ão eviesado da variâcia (propriedade dos estimadores defiida o resumo sore Estimação). 3/8 4/8

8 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa aproporçãoamostralp éusadaparaestimaraproporçãop de elemetos de uma população que têm determiadas características. Seja X,X,...,X uma amostra aleatória de oservações idepedetes com distriuição Beroullippq eemquex i (sucesso) ou X i (isucesso) cosoate o elemeto oservado teha, ou ão, a(s) característica(s) pretedida(s). A proporção amostral é: ř p X i eidicaaproporçãodesucessosdaamostra. 3. Distriuições por amostragem ou distriuições amostrais Adistriuiçãoamostraléadistriuiçãodeumaestatísticaamostral p Θ T px,x,...,x q.adistriuiçãodaestatística p Θ depede da distriuição da população e do tamaho da amostra. 3.. Distriuição por amostragem da média amostral Se σ écohecidoex segue uma distriuição ormal, X N etão X µ N p; q, σ? qualquer que seja o tamaho da amostra; Se σ écohecido,x segue uma distriuição aritrária, X 9 N e ą 3 etão X µ 9 N p; q ; σ? µ, σ?, µ, σ?, Se σ édescohecido,x segue uma distriuição aritrária e ą 3 etão X µ S? 9 N p; q ; Se σ édescohecidoex segue uma distriuição ormal etão X µ S? t, qualquer que seja o tamaho da amostra. 3.. Distriuição por amostragem de uma proporção Seja px,x,...,x q uma amostra aleatória de uma população de Beroullippq eemquex i (sucesso) ou X i (isucesso) cosoate o elemeto oservado teha, ou ão, a(s) característica(s) pretedida(s). Seja p X Xi ř aproporçãodesucessos(elemetoscomascaracterísticaspretedidas) da amostra. Se ą 3 ( grade) etão c p p pq p X 9 N p; ô X p 9 N p; q pppq ou X p 9 N p; q. pppq 3..3 Distriuição por amostragem para a variâcia amostral S Seja X,X,...,X uma amostra aleatória retirada de uma população ormal de parâmetros µ e σ. Etão p q S χ. σ 3..4 Distriuição por amostragem para a difereça de médias amostrais com duas amostras idepedetes Se σ e σ são ˆcohecidos e X e X seguem uma distriuição ormal, σ X X N µ µ ; ` σ,etão `X X pµ µ q σ ` σ N p; q, qualquer que sejam os tamahos e das amostras; Se σ e σ sãoˆ cohecidos, X e X seguem uma distriuição aritrária, σ X X 9 N µ µ ; ` σ e ą 3 e ą 3 etão `X X pµ µ q σ ` σ 9 N p; q ; 5/8 6/8

9 Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Istituto Superior de Egeharia de Lisoa Se σ e σ são descohecidos, X e X seguem uma distriuição aritrária, X X 9 N µ µ ; e ą 3 e ą 3 S etão ` S `X X pµ µ q 9 N p; q ; S ` S Se σ e σ são descohecidos, as populações são homocedásticas pσ σ q e X e X seguem uma distriuição ormal etão `X X pµ µ q c t `, pqs `pqs ` ` qualquer que sejam os tamahos e das amostras; Se σ e σ são descohecidos, as populações são heterocedásticas pσ σq e X e X seguem uma distriuição ormal etão `X X pµ µ q t r, S ` S sedo r oúmeroaturalmaispertoder eesteédadopor r S S ` S `, S qualquer que sejam os tamahos e das amostras Distriuição por amostragem para a difereça de proporções com duas amostras idepedetes Sejam X,X,...,X e Y,Y,...,Y duas amostras aleatórias idepedetes de dimesão e (suficietemete grade) otidas de duas populações de Beroulli. Se ą 3 ^ ą 3 ( e grades) etão d p p p q p p 9 N p p ; ` p p p q logo pp p qpp p q 9 N p; q. pppq ` pppq 3..6 Distriuição por amostragem para o quociete de variâcias amostrais Sejam X,X,...,X e Y,Y,...,Y duas amostras aleatórias idepedetes de dimesão e,respectivamete,odex N pµ ; σ q e Y N pµ ; σ q. Etão S S ˆ σ F p σ ; q. Exemplo 3.. Oredimetofamiliaremeurosdeumadetermiadaregião do país segue uma distriuição aproximadamete ormal, com média 5e evariâcia34 peq.qualaproailidadede,umaamostrade6 famílias daquela região: (a) o redimeto familiar médio ser iferior a 49e? Seja X - redimetomédiodaamostra. Pretede-se calcular P X ă 49.Amédiaamostralotidaumaamostra retirada duma população ormal tem a seguite distriuição: X σ N µ;?. 34 Logo X N µ 5; σ 4, 5. Assim temos, 6 P X ă 49 ı P Z ă 495 Φ pq, 8; 4,5 () a variâcia amostral exceder os 56, 5 peq? Pretede-se calcular P rs ą 56, 5s. Sae-se que pqs χ σ,ou seja, 5S 34 χ 5. Assimtemos: P S ą 56, 5 ȷ 5S 5 ˆ 56, 5 P ď ȷ 5S P ď 3, 4375» 34», 95, 5, cosultado a taela da distriuição da qui-quadrado com 5 graus de lierdade. 7/8 8/8