LOGARITMO - Introdução O pesquisador John Napier nasceu na Escócia (550 60). Ele, depois de 0 anos pesquisando logaritmo introduziu o seu conceito, que foi aperfeiçoado por Henry Briggs, pesquisador nascido na Inglaterra (56 60). O interesse sore os estudos dos logaritmos decorreu em virtude de alguns cálculos ecessivamente traalhosos para a época, como por eemplo: 45,87 0,459 ou 45,87 0,459. Como é mais fácil somar em vez de multiplicar ou diminuir no lugar de dividir, ele uscou essa alternativa através dos logaritmos que possiilita a transformação de um produto em uma soma e de uma divisão em uma sutração, entre outras transformações possíveis. Na realidade, logaritmo é, como iremos ver, o nome que se dá ao epoente de uma potência. Sae-se que 4 = 8, onde é a ase, 4 o epoente e 8 o resultado que denominamos de potência. Utilizando o linguajar dos logaritmos, temos que 4 é o logaritmo de 8 na ase, onde, simolicamente escrevemos 4 = 8. - Definição Dada a relação = a, com a > 0, > 0 e. Dizemos que é o logaritmo de a na ase. Simolicamente temos: a =, onde, a é o logaritmando ou antilogaritmo, a ase e o resultado que denominamos de logaritmo de a na ase. Em resumo temos: a = = a - Bases de um sistema de logaritmo. ª)aritmo Decimal (ou Comum): apresenta o número 0 como ase do sistema de logaritmos sendo representado simolicamente por a (lê-se: logaritmo de a na ase 0). a = 0 = a ª) aritmo Neperiano (ou Natural): apresenta o número irracional e =,78...(número neperiano), como ase do sistema de logaritmos, sendo representado simolicamente por Ln a ou e a (Lê-se: logaritmo neperiano ou
natural de a na ase e). É o sistema de logaritmo muito utilizado nos estudos de vários fenômenos da natureza. Ln a = 0 = a Os.: O número e =,78... foi denominado de número neperiano em homenagem ao descoridor dos logaritmos, John Napier. Eemplos - Calcule o valor de cada logaritmo: a) ) 9 c) 8 8 d) e) 5 5 f) 7 7 g) 0,... h) 00.000 i) 0,0000 Solução a) = n n = *Decompondo em fatores primos: = 5 n = 5 n = 5 ) 9 = n n = 9 n = n = - n = - Propriedade da potência: a a c) 8 = n n = 8 8 n = d) = n 7 n = / Propriedade da potência: c a a n = / n n 8 7 c
n n = Propriedade da potência: a c c c a e) 5 5 = n 5 n = 5 n = f) 7 = n 7 n = 7 n = 7 0 n = 0 g) 0,... = n n = 0,.. 0,... n = - n = - 9 h) 00.000 = n 0 n = 00.000 Potência de ase 0: 00.000 = 0 5 0 n = 0 5 n = 5 i) 0,0000 = n 0 n = 0,0000 Potência de ase 0: 0,0000 = 0-5 0 n = 0-5 n = -5 * Decomposição em fatores primos. 6 8 4 5 - Propriedades dos logaritmos -Considerando a, e c números reais positivos, temos: ª) Quando o logaritmando (ou antilogaritmo) for igual a ase, o logaritmo vale. = ª) Quando o logaritmando for igual a, independentemente do valor da ase, o logaritmo vale 0. = 0 ª) aritmo de uma potência é igual ao produto do epoente da potência pelo logaritmo da ase da potência.
(a n ) = n. a Os.: a n (logaritmo da potência) ( a) n (potência de um logaritmo) 4ª) Uma potência cujo epoente é um logaritmo, se a ase da potência for igual a do logaritmo, o resultado será o logaritmando. a = a 5ª) aritmo do produto de números em uma determinada ase é a soma dos logaritmos desses números na mesma ase. n (a.) = n a + n n (a..c) = n a + n + n c n (a..c.....m) = n a + n + n c +... + n m 6ª) aritmo do quociente de dois números a e 0, em uma determinada ase, é igual a diferença dos logaritmos desses números na mesma ase. n a = n a n 7ª) Mudança de ase: Eistem prolemas que, direta ou indiretamente, solicita que você mude a ase do logaritmo que está traalhando, afim de encontrar a solução desejada. Neste caso, aplica-se a regra aaio: a n a (n é um número real positivo diferente de ) n Os.: a c (log aritmo do quociente ) a c ( quociente dos log aritmos ) Eemplos ) Calcule o termo desconhecido em cada igualdade: a) = 4 ) = -4 c) 9 = / d) 7 = e) (/4) = f) (/) (9/4) = g) 9 = h) 4 = - i) = /
Solução: a) = 4 = 4 ) = -4 = -4 = 6 = / 4 = /6 c) 9 = / = 9 / d) 7 = = 7 = 9 = = = e) 4 = = 4 f) 4 9 = 4 9 = = - = - = - g) 9 = = 9 h) 4 = - - = 4 9 4 = = /4 serve não pois,, 4 i) = ) ( cuo ao elevando = 7
) Saendo que = e y =, determine: a) (.y) ) y c) 4 d) 4 e) 5 y f) y Solução a) (.y) = + y = + = 5 (Prop. 6) ) = y = = - (Prop. 7) y c) 4 = 4. = 4. = 8 (Prop. ) d) 4 = ( ) 4 = 4 = 6 e) 5 5 y = f) y = y y = =. 5 y. 6 5 5 =, (Prop. ) =,5 (Prop. 7) ) Saendo que = 0, e = 0,5, determine: a) 6 ) 6 c) d) 5 e) f) Solução a) 6 = () = + = 0, + 0,5 = 0,8 ) 6 = ( ) = + =. +. =.0, +.0,5 =,6 c) = =. = 0, 0 = 0,5 d) 5 = = 0 = 0, = 0,7 e) = 0, f) = = 0, 0,5 = 0,6
- Conceito: FUNÇÃO LOGARITMICA Denomina-se Função arítmica toda função do tipo f() = n, * sendo que o logaritmando () pode assumir qualquer valor real posiivo e, a ase (n), somente valores positivos diferentes de um Eemplos: * n. a) f() = log ) 0,5 c) 4 () d) / ( + ) - Função aritmica Crescente e Decrescente. Oserve que as funções acima ora apresentam as ases maiores que um (n > ), ora apresentam as ases entre zero e um (0 < n < ). Então, através da ase podemos verificar se uma função logaritmica é crescente ou decrescente..- Função aritmica Crescente. Nos eemplos a e c, as ases são maiores que um ( e 4), nesses casos, as funções são ditas crescentes..- Gráfico da Função aritmica Crescente. Eemplo: - Construir o gráfico da Função aritmica f() =. Vamos atriuir valores aritrários, que facilitam nossos cálculos, para a variável independente, encontrando valores correspondentes para a função y. Em seguida, sustituir os pares determinados, no plano cartesiano. y (, y) f() = / - (/, -) (/) = - 0 (, 0) f() = 0 (, ) f() = 4 (4, ) f(4) = 8 (8, ) f(8) = y 4 / 0 4 8 -
Analisando o gráfico, verifica-se que: a) A função logarítmica é crescente, pois, além da ase ser um número maior que um, oserva-se que um aumento (ou diminuição) de, acarreta um aumento (ou diminuição) de y. ) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = + * ).. Oserve no gráfico que só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é representada pelo conjunto dos reais (Im = )..- Função aritmica Decrescente. Nos eemplos e d, as ases estão compreendidas entre 0 e, nesses casos, a função eponencial é dita decrescente..4- Gráfico da Função aritmica decrescente. Eemplo: - Construir o gráfico da função logaritmica f() = /. y (, y) f() = /4 (/4, ) (/4) = 0 (, 0) f() = 0 - (, -) f() = - 4 - (4,- ) f(4) = - 8 - (8, -) f(8) = - Analisando o gráfico, verificamos que: a) A função logaritnica é decrescente, pois, além da ase ser um número pertencente ao intervalo ]0, [, oserva-se que um aumento (ou diminuição) de, acarreta uma diminuição (ou aumento) de y. ) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = + * ). Oserve no gráfico que só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é o conjunto dos reais (Im = ).
- Domínio da Função arítmica. Para encontrar o domínio (campo de eistência) de uma função logarítmica, devemos verificar a localização da variável independente. Se ela estiver no logaritmando, o mesmo deverá ser positivo, porém, se ela estiver na ase, a mesma deverá assumir valor positivo, mas, diferente de (um). Eemplo - Encontrar o domínio de cada função: a) f() = ( 8) ) y = (-) c) y = (-) ( 4) Solução a) f() = ( 8) Como está no logaritmando, temos a seguinte condição: 8 > 0 > 4 D = { / > 4} ) y = (-) Como está na ase, temos as seguites condições: > 0 > e D = { / > } c) y = (-) ( 4) Como se apresenta no logaritmando e na ase, temos: ) 4 > 0 ) - > 0 e - = > D = { / > } ou ], +) 4- Equações arítmicas Para resolvermos equações logarítmicas devemos seguir alguns passos: º) Instituem-se as condições de eistência dos logaritmos;
º) Utilizam-se as propriedades dos logaritmos para resolver a equação; º) Verificar se o resultado do º passo pertence ao conjunto solução do º passo. Eemplos: - Resolva a equação ( + ) + =. º passo: Condição de eistência (C.E.). ) + > 0 > - ) > 0 º passo: Resolvendo a equação. ( + ) + = (propriedade) [( + ).] = ( + ) = (definição) + = + 4 = 0 (aplicando a fórmula de Bháskara) ' " 4 º passo: oserve que apenas = satisfaz a C.E. ( > 0), logo, S = {} - Encontre o conjunto solução da equação + 4 (- + 5) =. º passo: Condição de eistência (C.E.). I) > 0 > 0 II) - + 5 > 0 < 5
º passo: Resolvendo a equação. + 4 (- + 5) = ( mudança de ase) ( 5 ) ( 4 ) 4 ( 5 ) (m.m.c. = ). ( 5 ) ( 5) (propriedade) ( 5 ) (propriedade) ( 5) ( 5 ) (definição) 5 4 0 (fórmula de Bháskara) ' 4 " º passo: oserve que os resultados 4 e pertencem ao conjunto C.E., logo, S = {, 4} 5- Inequações arítmicas Se uma inequação apresenta a variável independente no logritmando ou na ase de um logaritmo, denomina-se a mesma de inequação logarítmica. Para resolver inequações logarítmicas devemos seguir, como nas equações, os seguintes passos: º) Instituem-se as condições de eistência dos logaritmos; º) Resolve-se a inequação logarítmica:.- Se a ase for maior que ( > ), conserva-se o sinal da desigualdade..- Se a ase estiver entre 0 e (0 < < ), inverte-se o sinal da desigualdade. º) Encontra-se a intersecção do resultado do º com o do º passo. Eemplos 0- Resolva a inequação ( 6) ( + ) > 0. º passo: Condição de eistência (C.E.). I) 6 > 0 > II) + > 0 > -
º passo: Resolvendo a inequação. ( 6) ( + ) > 0 ( 6) > ( + ) ( >, permanece o sinal da inequação) 6 > + > 4 Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = { / > 4}, porém, vamos ao º passo. º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do º com o do º passo. 0- Encontre o conjunto solução da inequação ½ ( ) -. º passo: Condição de eistência (C.E.). > 0 (a = - a < 0) = 0 ' " º passo: Resolvendo a inequação. ½ ( ) - (sendo = ½, inverte-se o sinal da inequação) (/) - 8 - - 7 0 (-) + 7 0 + 7 = 0 { e ------------------------------------------------------- m/a
Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S =, porém, vamos ao º passo. º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do º com o do º passo. 6- Característica e Mantissa de um logaritmo Procurando na táua dos logaritmos ou na calculadora científica o logaritmo de 5,4 encontramos, como resultado, aproimadamente,78. Separando a parte inteira da decimal, temos:,78 = + 0,78. A parte inteira () denomina-se característica e a parte decimal (0,78) de mantissa. Para calcular a característica do 5,4 deve-se sutrair a quantidade de dígitos da parte inteira do logaritmando () de um () encontrando como resultado. Esse cálculo é feito quando o logaritmando assumir um valor real positivo e maior que. Já, a mantissa (0,78) é encontrada na táua dos logaritmos. Quando o logaritmando for um número real positivo e menor que (um), a característica será a quantidade de zeros que antecedem o º dígito não-nulo acompanhada do sinal negativo (-). Eemplos: ) Determine a característica de cada número aaio: a),45 ) 67,45 c) 0,56 d) 0,045 e) 0,00004 Solução a),45 C = = 0, logo, o resultado do logaritmo é 0, mantissa. ) 67,45 C = =, logo, o resultado do logaritmo é, c) 0,56 C =-, logo, o resultado do logaritmo é -, mantissa d) 0,045 C = -, logo, o resultado do logaritmo é -, mantissa e) 0,00004 C = -, logo, o resultado do logaritmo é -, mantissa mantissa. ) Qual é a característica de um número real positivo menor que que apresenta, na forma decimal, 4 zeros antecedendo o primeiro dígito não-nulo? Solução Oserve o seguinte número 0,0005. A quantidade de zeros que antecede o º dígito não-nulo 4, logo, a característica é -4.
BIBLIOGRAFIA Guidorizzi, Hamilton, Um curso de Cálculo, Vol., Livros Técnicos e Científicos, 5 a edição, 00. L.Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, Harra, São Paulo, 977. Stewart, James, Cálculo, Vol., Editora Pioneira, 4a. edição, 00.