UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais 1.Introdução.Tabelas de integrais 3.Resolução de exemplos 4.Sistemas algébricos computacionais 5.Resolução de exemplos
1. Introdução Nesta aula descreveremos como usar as tabelas e os sistemas algébricos computacionais para integrar as funções que têm antiderivadas elementares. Você deve ter em mente, contudo, que até mesmo os mais poderosos sistemas algébricos computacionais não podem achar fórmulas explícitas para as antiderivadas de funções como aquelas descritas no final da aula anterior. 3
. Tabelas de integrais As tabelas de integrais indefinidas são muito úteis quando nos deparamos com uma integral que é difícil para se avaliar manualmente e não temos acesso a um sistema algébrico computacional. Uma tabela relativamente curta de 10 integrais é apresentada aqui. Contudo, existem livros que apresentam centenas de páginas de integrais. 4
. Tabelas de integrais Devemos nos lembrar, contudo, que as integrais não ocorrem frequentemente da maneira exata como são listadas nas tabelas. Geralmente temos de usar substituições ou manipulações algébricas para transformar uma integral dada em uma das formas da tabela. 5
3. Resolução de exemplos Exemplo 1: A região limitada pelas curvas y = arctg x, y = 0 e x = 1 é girada ao redor do eixo x. Determine o volume do sólido resultante. 6
3. Resolução de exemplos Solução: Usando o método das cascas cilíndricas vemos que o volume é 1 = π V x arctg x dx 0 Na Tabela de Integrais com o título Formas Trigonométricas Inversas localizamos a fórmula 9. 1 u + 1 1 u u tg u du = tg u + C 7
3. Resolução de exemplos Então, o volume é 1 1 x + 1 1 x V = π x tg x dx = π tg x 0 0 1 ( ) 1 ( 1 x 1 tg x x π tg 1 1) = π + = π 1 1 1 4 = π π π = π π 1 0 8
3. Resolução de exemplos Exemplo : Use a Tabela de determinar Integrais para x 5 4x dx 9
3. Resolução de exemplos Solução: Se olharmos na seção da tabela intitulada Formas envolvendo a u, veremos que a entrada mais próxima é a de número 34. u u a 1 u du = a u + sen C a u + a 10
3. Resolução de exemplos Isso não é exatamente o que temos, mas poderemos usá-la se fizermos primeiro a substituição u = x e du = dx. ( ) u du 1 u = 5 u 8 5 u du 11
3. Resolução de exemplos Nesse caso, usamos a Fórmula 34 com a = 5. x 1 u dx = 5 4x 8 5 u du x 1 u 5 1 u 5 4x dx = 5 8 u + sen + C 5 x x 5 1 x 5 4x dx = 5 4x + sen C 8 16 + 5 1
3. Resolução de exemplos Exemplo 3: Use a Tabela de determinar Integrais para x 3 sen x dx 13
3. Resolução de exemplos Solução: Se olharmos na seção intitulada Formas Trigonométricas, veremos que nenhuma das entradas explicitamente inclui um fator u 3. Contudo, podemos usar a fórmula de redução na entrada 84 com n = 3. 3 3 x sen x dx = x cos x + 3 x cos x dx 14
3. Resolução de exemplos Precisamos agora avaliar x cos x dx. Podemos usar a fórmula de redução na entrada 85 com n =, seguida pela entrada 8: x cos x dx = x sen x x sen x dx ( ) x cos x dx = x sen x sen x xcos x + K 15
3. Resolução de exemplos Combinando esses cálculos, temos 3 3 x sen x dx = x cos x + 3x senx 6senx + 6x cos x + C onde C = 3K. 16
3. Resolução de exemplos Exemplo 4: Use a Tabela de determinar Integrais para x x + x + 4 dx 17
3. Resolução de exemplos Solução: Como a tabela fornece formas envolvendo mas não a + x, a x e x a, ax + bx + c, Primeiro completamos o quadrado: x x x ( ) + + 4 = + 1 + 3 18
3. Resolução de exemplos Se fizermos a substituição u = x + 1 (assim x = u 1), o integrando envolverá o padrão a + u. ( ) x x + x + 4 dx = u 1 u + 3 du = + + u u 3 du u 3 du 19
3. Resolução de exemplos A primeira integral é avaliada utilizando-se a substituição t = u + 3: 1 1 1 u u + 3 du = tdt = t = u + 3 3 3 3 ( ) 3 Para a segunda integral usamos a Fórmula 1 com a = 3. u 3 u + 3 du = u + 3 + ln u + u + 3 ( ) 0
3. Resolução de exemplos Então x x x 4 dx + + = 1 ( 3 ) ( ) x + 1 3 = x + x + 4 x + x + 4 ln x + 1+ x + x + 4 + C 3 1
4. Sistemas algébricos computacionais Vimos que o uso de tabelas envolve combinar a forma de um dado integrando com as formas de integrandos nas tabelas. Os computadores são particularmente bons para reconhecer padrões. E do mesmo jeito que usamos as substituições junto com as tabelas, um CAS pode fazer substituições que transformam uma integral dada em uma daquelas que ocorrem em suas fórmulas armazenadas.
4. Sistemas algébricos computacionais Então não é surpresa que um sistema algébrico computacional seja muito bom com a integração. Isso não significa que a integração manual é uma habilidade obsoleta. Veremos que os cálculos manuais algumas vezes produzem uma integral indefinida em uma forma que é mais conveniente que a resposta do computador. 3
4. Sistemas algébricos computacionais Para começar, vamos ver o que acontece quando pedimos para uma máquina integrar uma função relativamente simples y = 1/(3x ). Usando a substituição u = 3x, um cálculo manual fácil nos fornece 1 1 dx = ln 3 x + C 3x 3 enquanto Derive, Mathematica e Maple retornam a resposta 1 ln 3 3 ( x ) 4
4. Sistemas algébricos computacionais A primeira coisa a notar é que o sistema algébrico computacional omite a constante de integração. Em outras palavras, eles produzem uma antiderivada particular, não a mais geral. Portanto, quando usarmos uma integração feita por máquina, teremos de adicionar uma constante. 5
4. Sistemas algébricos computacionais Segundo, os símbolos do valor absoluto são omitidos na resposta da máquina. Isso é aceitável se o nosso problema envolve apenas os valores de x maiores que /3. Mas se estivermos interessados em outros valores de x, então teremos de inserir o símbolo do valor absoluto. 6
5. Resolução de exemplos Exemplo 5: Use um sistema algébrico computacional para determinar x x + x + 4 dx 7
5. Resolução de exemplos O Maple responde com 1 3 1 3 3 ( ) x + x + 4 ( x + ) x + x + 4 arc senh ( 1+ x) 3 4 3 Isso parece diferente da resposta que encontramos no Exemplo 4, mas é equivalente, porque o terceiro termo pode ser reescrito utilizando-se a identidade ( ) arc senh x = ln x + x + 1 8
5. Resolução de exemplos Assim 3 arc senh ( 1 ) ln 3 ( 1 ) 1 ( 1 ) + x = + x + + x + 1 3 3 3 arc senh 3 ( 1+ x) = ln 1 1+ x + ( 1+ x) + 1 3 3 3 1 arc senh 1 ln ln 1 4 3 3 ( ) ( ) + x = + x + + x + x + 9
5. Resolução de exemplos O termo extra resultante 3 1 ln 3 pode ser absorvido na constante de integração. O Mathematica dá a resposta 5 x x 3 1 x x 4 arc senh + x + + + + 6 6 3 3 30
5. Resolução de exemplos O Mathematica combinou os dois primeiros termos do Exemplo 4 (e o resultado do Maple) em um único termo por fatoração. 1 3 x + x + 4 x + x + 5 ln x + x + 4 + x + 1 6 ( ) ( ) O primeiro termo é igual ao primeiro termo da resposta do Mathematica e o segundo termo é idêntico ao último termo no Exemplo 4. 31
5. Resolução de exemplos Exemplo 6: Use um CAS para determinar ( + 5) 8 x x dx 3
5. Resolução de exemplos Solução: O Maple e o Mathematica dão a mesma resposta: 1 18 5 16 14 1.750 1 10 8 x + x + 50x + x + 4.375x + 1.875x + 18 3 18.750 390.65 + x + 156.50x + x 3 6 4 33
5. Resolução de exemplos Está claro que ambos os sistemas devem ter expandido (x + 5) 8 pelo Teorema Binomial e então integrado cada termo. Se em vez disso integrarmos manualmente, usando a substituição u = x + 5, obteremos ( ) 8 ( ) 9 1 x x + 5 dx = x + 5 + C 18 Para a maioria dos propósitos, essa é uma forma mais conveniente de resposta. 34
5. Resolução de exemplos Exemplo 7: Use um CAS para determinar sen x cos 5 x dx 35
5. Resolução de exemplos Solução: No Exemplo 11 da Aula n o 50, encontramos que 5 1 3 5 1 7 sen x cos x dx = cos x + cos x cos x + C 3 5 7 O Derive e o Maple dão a resposta 1 4 3 4 3 8 3 sen x cos x sen x cos x cos x 7 35 105 ao passo que o Mathematica responde 5 1 3 1 cos x cos3x + cos5x cos7x 64 19 30 148 36
5. Resolução de exemplos Suspeitamos que existem identidades trigonométricas que mostram que essas três respostas são equivalentes. De fato, se pedirmos para o Derive, o Maple e o Mathematica simplificarem suas expressões usando as identidades trigonométricas, eles finalmente produzirão a mesma forma da resposta, como no Exemplo 11 da Aula n o 50. 37
5. Resolução de exemplos Exemplo 8: Se f x x x x 4 5 ( ) = + 60 sen cos, determine uma antiderivada F de f tal que F (0) = 0. Desenhe F para 0 x 5. Onde F tem valores extremos e pontos de inflexão? 38
5. Resolução de exemplos Solução: A antiderivada de f produzida por Maple é 1 0 0 4 16 3 3 7 7 1 1 3 6 6 4 F( x) = x sen x cos x senx cos x + cos x senx + cos x senx + senx e notamos que F (0) = 0. Essa expressão provavelmente pode ser simplificada, mas isso não é necessário, pois um sistema algébrico computacional pode plotar essa versão de F tão facilmente como qualquer outra versão. Um gráfico de F é mostrado na figura a seguir. 39
5. Resolução de exemplos 40
5. Resolução de exemplos Para localizar os valores extremos de F, desenhamos o gráfico de sua derivada F = f na figura a seguir e observamos que F tem um máximo local quando x,3 e um mínimo local quando x,5. O gráfico de F = f na figura a seguir mostra que F tem pontos de inflexão quando x 0,7; 1,3; 1,8;,4; 3,3 e 3,9. 41
5. Resolução de exemplos Máximo local Mínimo local 4
5. Resolução de exemplos 43