UNIFESP 07 º dia Questão 6 O gasto calórico no eercício da atividade física de corrida é uma função de diversas variáveis, porém, a fórmula simplificada pode dar uma estimativa desse gasto. Gasto calórico (em calorias por hora) = velocidade da corrida (em km/h) massa do indivíduo (em kg) Considere que, no eercício da corrida, o consumo de oigênio, que em repouso é de,5 ml por quilograma de massa corporal por minuto, seja multiplicado pela velocidade (em km/h) do corredor. a) Turíbio tem massa de 7 kg e pratica 5 minutos de corrida por dia com velocidade constante de km/h. Calcule o gasto calórico diário de Turíbio com a prática dessa atividade. b) Seja c o consumo de litros de oigênio em uma hora de corrida de um indivíduo de massa m (em kg) em velocidade constante v (em km/h). Calcule o valor da constante c na prática de uma hora de corrida desse indivíduo. Resolução: a) Sendo G o gasto calórico de Turíbio durante sua corrida diária, tem-se: m v gasto calórico cal tempo min Assim: G 7 5 60 60 G 5 7 G 40 cal Resposta: 40 calorias b) Das informações do enunciado, tem-se: O consumo de oigênio em repouso é de,5 ml por quilograma de massa corporal por
minuto, ou seja, é de 5 60 000 L por quilograma de massa corporal por hora. No eercício da corrida, o consumo é: C c m c m 5 60 000 v v m 5 60 000 0 v Resposta: O valor da constante é 0,.
Questão 7 Os pontos T e U deslocam-se sobre retas paralelas r e r de tal forma que TU passe sempre pelo centro C de um quadrado PQRS, de lado, e forme um ângulo de medida α com r, conforme indica, como eemplo, a sequência de cinco figuras. a) Calcule as medidas de nas situações em que α = e α = 0. b) Denotando TU por y, determine y em função de α e o respectivo domínio dessa função no intervalo de α em que a posição de T varia de P até Q. Resolução: a) Considere as figuras abaio: quando α o, tem-se que TU é uma diagonal do quadrado PQRS e, portanto, mede ; quando α 0 º, tem-se que TU é um segmento paralelo aos lados PS e QR do quadrado, cuja medida é igual à medida do lado do quadrado, ou seja,. Resposta: e b) Como a distância entre r e r vale, tem-se a figura:
No triângulo retângulo da figura, tem-se: senα TU TU senα Logo y senα Note que, quando T = P, tem-se α o e, quando T = Q, tem-se α 5 o. Ainda, para cada ponto U do segmento PQ, eiste um valor de o, tal que U = T. Logo, o domínio α α 5 o, quando T percorre o segmento PQ, é dado pelo intervalo de y senα 4 4 Resposta: y senα Domínio : 4 4
Questão Sofia deveria ter estudado 0 temas de biologia para fazer uma avaliação, porém só estudou. Nessa avaliação, ela poderá ser reprovada (R), aprovada com ressalvas (AR) ou aprovada (A). Antes de iniciar a avaliação, a professora de Sofia dá a ela o direito de escolher uma das seguintes estruturas de avaliação: Avaliação composta por apenas questões, cada uma tratando de um dos 0 temas (sem repetir os temas), sendo que errar duas implica R, acertar apenas uma implica AR, e acertar as duas implica A. Avaliação composta por apenas questões, cada uma tratando de um dos 0 temas (sem repetir os temas), sendo que errar duas ou mais questões implica R, acertar apenas duas implica AR, e acertar as três implica A. Considere que Sofia sempre acerta questões dos temas que estudou, e que sempre erra questões dos temas que não estudou. a) Calcule as probabilidades de R, AR e A para o caso de Sofia ter escolhido a avaliação. b) Se Sofia pretende ser aprovada, independentemente de ser com ressalvas (AR) ou diretamente (A), em qual das avaliações ela terá maior chance? Justifique matematicamente sua conclusão por meio de cálculos de probabilidade. Resolução: Nas resoluções a seguir, p(x) denota a probabilidade de ocorrer o evento X. a) A probabilidade de errar as duas questões é dada por 0 7 Logo p R A probabilidade de errar uma questão e acertar a outra é dada por 0 0 6 Logo, p AR 6 A probabilidade de acertar as duas questões é dada por 0 Logo, p A Resposta: p R p AR 6 e p A b) Na avaliação, p(ar A) é dada por 6
Logo, p AR A 7 * Deve-se calcular, agora, p(ar) e p(a) na avaliação. A probabilidade de acertar duas questões e errar uma é dada por: 0 0 0 6 0 5 Logo, p AR 5 A probabilidade de acertar as três questões é nula, pois, pelo enunciado, Sofia não conseguiria acertar mais que duas questões. Logo, p(a) = 0. Na avaliação, p(ar A) é dada por 5 0 5 * * De (*) e (**), conclui-se que a probabilidade de Sofia ser aprovada é maior na avaliação. Resposta: Na avaliação.
Questão Um sólido é formado por 4 cubos idênticos, conforme a figura. O contato entre dois cubos contíguos sempre se dá por meio da sobreposição perfeita entre as faces desses cubos. Na mesma figura também estão marcados A, B, C e D, vértices de quatro cubos que compõem o sólido. a) Admitindo-se que a medida de AB seja 7 cm, calcule o volume do sólido. b) Calcule a medida de CD admitindo-se que a medida da aresta de cada cubo que compõe o sólido seja igual a cm. Resolução: a) Seja l a medida das arestas do cubos. Da figura, tem-se que o segmento AB é uma diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões l, l e l, como mostra a figura a seguir: Como AB = 7 cm, tem-se:
7 7 4 7 4 cm Como o sólido é formado por 4 cubos, cada um de volume l, esse volume V é: V 4 V 4 cm Resposta: V 4 cm b) Note que CD é uma diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 0 cm, cm e 4 cm, como mostra a figura: Portanto, tem-se: CD 0 4 CD 60 CD 60 CD 6 0 Resposta: CD 6 0 cm
Questão 0 Em um eperimento, uma população inicial de 00 bactérias dobra a cada horas. Sendo y o número de bactérias após horas, segue que y 00 a) Depois de um certo número de horas a partir do início do eperimento, a população de bactérias atingiu 6777600. Calcule esse número de horas. (dado: 67776 = 56 ) b) Sabendo-se que da a para a 4 a hora o número de bactérias aumentou de 00 k, calcule o valor de k. Resolução: a) 00 677 7 600 677 7 6 56 4 7 Resposta: = 7 b) y 4 y 00 k 00 4 6 5 k 5 k 5 k k 5 00 00 k Resposta: k = 5