ESTATÍSTICA DESCRITIVA. FONTE: CRESPO, ANTÔNIO ARNOT. ESTATÍSTICA BÁSICA FACIL. 15ª ED. SARAIVA.SÃO PAULO Com adaptações.

SUMÁRIO: ESTATÍSTICA DESCRITIVA UNIDADE I ESTATÍSTICA E FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO UNIDADE II VARIÁVEIS UNIDADE III TABELAS E SÉRIES ESTATÍSTICAS UNIDADE IV GRÁFICOS ESTATÍSTICOS UNIDADE V TABELA PRIMITIVA E ROL, DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS UNIDADE VI MEDIDAS DE POSIÇÃO UNIDADE VII MEDIDAS DE DISPERSÃO E VARIABILIDADE UNIDADE VIII ASSIMETRIA UNIDADE IX ARREDONTAMENTO DE DADOS 0 0 05 08 09 14 0 3 FONTE: CRESPO, ANTÔNIO ARNOT. ESTATÍSTICA BÁSICA FACIL. 15ª ED. SARAIVA.SÃO PAULO Com adaptações. 1

UNIDADE I 1 - A ESTATÍSTICA Exprmndo por meo de números as observações que se fazem de elementos com, pelo menos, uma característca comum (por exemplo: os alunos do sexo masculno de uma comundade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. Podemos dzer, então, que: A Estatístca é uma parte da matemátca aplcada que fornece métodos para coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados e para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões. - FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO Podemos dstngur no método estatístco as seguntes fases:.1 - Coleta de dados A coleta pode ser dreta e ndreta. A coleta é dreta quando feta sobre elementos nformatvos de regstro obrgatóro (nascmentos, casamentos e óbtos, mportação e exportação de mercadoras), ou, anda, quando os dados são coletados pelo própro pesqusador através de nquértos e questonáros, como é o caso das notas de verfcação e de exames, do censo demográfco etc. A coleta dreta de dados pode ser classfcada relatvamente ao fator tempo em: a) contínua (regstro) - quando feta contnuamente, tal como a de nascmentos e óbtos e a de freqüênca dos alunos às aulas; b) peródca - quando feta em ntervalos constantes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos) e as avalações mensas dos alunos; c) ocasonal - quando feta extemporaneamente, a fm de atender uma conjuntura ou a uma emergênca, como no caso de epdemas que assolam ou dzmam rebanhos nteros. A coleta se dz ndreta quando é nferda de elementos conhecdos (coleta dreta) e/ou do conhecmento de outros fenômenos relaconados com o fenômeno estudado. Como por exemplo, podemos ctar a pesqusa sobre a mortaldade nfantl, que é feta através de dados colhdos por uma coleta dreta.. - Crítca de dados Obtdos os dados, eles devem ser cudadosamente crtcados, à procura de possíves falhas e mperfeções, a fm de não ncorremos em erros grosseros ou de certo vulto, que possam nflur sensvelmente nos resultados. A crítca é externa quando vsa às causas dos erros por parte do nformante, por dstração ou má nterpretação ou má nterpretação das perguntas que lhe foram fetas; é nterna quando vsa observar os elementos orgnas dos dados da coleta..3 - Apuração dos dados Nada mas é do que a soma e o processamento dos dados obtdos e a dsposção medante crtéros de classfcação. Pode ser manual, eletromecânca ou eletrônca..4 - Exposção ou apresentação dos dados Por mas dversa que seja a fnaldade que se tenha em vsta, os dados devem ser apresentados sob a forma adequada (tabelas ou gráfcos), tornando mas fácl o exame daqulo que está sendo objeto de tratamento estatístco..5 - Análse dos resultados Após a exposção de dados, fazemos uma análse dos resultados obtdos, e tramos desses resultados conclusões e prevsões. UNIDADE II 1 - VARIÁVEIS A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíves. Assm por exemplo: - para o fenômeno "sexo" são dos os resultados possíves: sexo masculno e sexo femnno; - para o fenômeno "número de flhos" há um número de resultados possíves expresso através dos números naturas: 0, 1,, 3,...,n; - para o fenômeno "estatura" temos uma stuação dferente, pos os resultados podem tomar um número nfnto de valores numércos dentro de um determnado ntervalo. Varável é, convenconalmente, o conjunto de resultados possíves de um fenômeno. Os exemplos acma nos dzem que uma varável pode ser: a) qualtatva - quando seus valores são expressos por atrbutos: sexo (masculno - femnno), cor da pele (branca,preta) etc.; b) quanttatva - quando seus valores são expressos em números (saláros, dade etc.) Uma varável quanttatva que pode assumr, teorcamente, qualquer valor entre dos lmtes recebe o nome de varável contínua;

uma varável que só pode assumr valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de varável dscreta. Assm, o número de alunos de uma escola pode assumr qualquer um dos valores do conjunto N = {1,,3,...,50,...}, mas nunca valores como,5 ou 3,78 ou 4,35 etc. Logo, é uma varável dscreta. Já o peso desses alunos é uma varável contínua, pos um dos alunos tanto pode pesar 7 Kg, como 7,5 Kg, como 7,54 Kg etc., dependendo esse valor da precsão da medda. De modo geral, as medções dão orgem a varáves contínuas e as contagens ou enumerações, a varáves dscretas. - POPULAÇÃO E AMOSTRA Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característca comum denomnamos população estatístca ou unverso estatístco. Assm, os estudantes, por exemplo, consttuem uma população, pos apresentam pelo menos uma característca comum: são os que estudam. Quando lmtamos as observações referentes a uma determnada pesqusa a apenas uma parte da população, a essa parte provenente da população em estudo denomnamos amostra. Uma amostra é um subconjunto fnto de uma população. É necessáro que a amostra seja representatva da população, sto é, a amostra deve possur as mesmas característcas báscas da população, no que dz respeto ao fenômeno que desejamos pesqusar. É precso, pos, que a amostra ou as amostras que vão ser usadas sejam obtdas por processos adequados. 3 - AMOSTRAGEM É o método de seleção dos elementos de uma população, de modo a se obter uma amostra representatva da população. 3.1 - Amostragem casual ou aleatóra smples Este tpo de amostragem é equvalente a um sorteo lotérco. Na prátca, a amostragem casual ou aleatóra smples pode ser realzada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a segur, por meo de um dspostvo aleatóro qualquer, k números dessa seqüênca, os quas corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. Vamos obter uma amostra representatva para a pesqusa da estatura de 90 alunos de uma escola: a) Numeramos os alunos de 01 a 90. b) Colamos os números em uma urna, e depos retramos, um a um, nove números que formarão a amostra. Neste caso, 10% da população. 3. - Amostragem proporconal estratfcada Mutas vezes a população se dvde em subpopulações - estratos. Como é provável que a varável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo convém que o sorteo dos elementos da amostra leve em consderação tas estratos. É exatamente sso que fazemos quando empregamos a amostragem proporconal estratfcada, que além de consderar a exstênca dos estratos, obtém os elementos da amostra proporconal ao número de elementos dos mesmos. Supondo, no exemplo anteror, que, dos 90 alunos, 54 sejam mennos e 36 sejam mennas, vamos obter a amostra proporconal estratfcada. São, portanto, dos estratos (sexo masculno e sexo femnno) e queremos uma amostra de 10% da população. Logo, temos: SEXO M F POPU- LAÇÃO 54 36 total 90 10% AMOSTRA 10 54 5, 4 100 10 36 3, 6 100 10 90 9, 0 9 100 3.3 - Amostragem sstemátca Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessdade de construr o sstema de referênca. São exemplos os prontuáros médcos, os prédos de uma rua, as lnhas de produção etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constturão a amostra pode ser feta por um sstema mposto pelo pesqusador. A esse tpo de amostragem denomnamos sstemátca. Assm, no caso de uma lnha de produção, podemos, a cada 10 tens produzdos, retrar um para pertencer a uma amostra da produção dára. Neste caso, estaríamos fxando o tamanho da amostra em 10% da população. Suponhamos uma rua contendo 900 prédos, dos quas desejamos obter uma amostra formada de 50 prédos. Podemos, neste caso, usar o segunte procedmento: 5 4 3

900 Como 18, escolhemos por sorteo casual 50 um número de 1 a 18 (nclusve), o qual ndcara o prmero elemento sorteado para a amostra; os demas elementos seram perodcamente consderados de 18 em 18. Assm, se o número sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado dreto da rua, o 4º prédo, 0 º, o 40º etc., até voltarmos ao níco da rua, pelo lado esquerdo. 7) Numa população de determnada cdade desejou-se estudar a acetação do controle da nataldade pesqusando 10% de ndvíduos de cada relgão. A técnca de amostragem utlzada fo? a) estratfcada b) casual c) sstemátca d) outra EXERCÍCIOS 1) A coleta se dz quando é nferda de elementos conhecdos (coleta dreta) e/ ou do conhecmento de outros fenômenos relaconados com o fenômeno em estudo a) contínua b) peródca c) ocasonal d) ndreta ) Nada mas é do que a soma e o processamento dos dados obtdos e a dsposção medante crtéros de classfcação a) apuração de dados b) exposção de dados c) apresentação de dados d) análse dos resultados 3) É o conjunto de resultados possíves de um fenômeno a) dados b) varável c) amostra d) rol 4) A graduação de um mltar é uma varável a) quanttatva b) contínua c) qualtatva d) dscreta 8) (EAGS - 86) Os dados estatístcos, após sofrerem transformações são transmtdos ao públco através de quadros e gráfcos. Como é chamado esta fase do processo estatístco? a) apuração b) apresentação c) planejamento d) nterpretação 9) A coleta dreta de dados é feta extemporaneamente, a fm de atender a uma conjuntura ou a um emergênca, como no caso de epdemas que assolam ou dzmam rebanhos nteros. a) contínua b) peródca c) ocasonal d) extraordnára 10) Uma população encontra-se dvdda em 3 três estratos, com tamanhos, respectvamente, n1 = 40, n = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realzada uma amostragem estratfcada proporconal, nove elementos da amostra foram retrados do 3º estrato, determne o número total de elementos da amostra. a) 18 b) 7 c) 30 d) 36 5) Ao nascer, os bebês são pesados e meddos, para se saber se estão dentro das tabelas de peso e altura esperadas. Estas duas varáves são: a) qualtatvas b) ambas dscretas c) ambas contínuas d) Uma dscreta e outra contínua 6) Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característca comum denomnamos a) amostragem b) rol c) unverso estatístco d) dados brutos 4

UNIDADE III 1- TABELAS Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: a) Corpo - conjunto de lnhas e colunas que contém nformações sobre a varável em estudo; b) Cabeçalho - parte superor da tabela que especfca o conteúdo das colunas; c) Coluna ndcadora - parte da tabela que específca o conteúdo das lnhas; d) Lnhas - retas magnáras que facltam a letura, no sentdo horzonte, de dados que se nscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; e) Casa ou célula - espaço destnado a um só número; f) Título - conjunto de nformações, as mas completas possíves de uma tabela. Cabeçalho Colunas Corpo Rodapé Título DURAÇÃO MÉDIA DOS ESTUDOS SUPERIORES - 1994 PAÍSES NÚMERO DE ANOS Itála Alemanha França Holanda Inglaterra FONTE: Revsta Veja. 7,5 7,0 7,0 5,9 Menos de 4 Casa ou Célula Lnhas De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células devemos colocar: Um traço horzontal ( ) quando o valor é o zero, não só quanto à natureza das cosas, como quanto ao resultado do nquérto; Três pontos (...) quando não temos os dados; Um ponto de nterrogação (? ) quando temos dúvda quanto à exatdão de determnado valor: Zero ( 0 ) quando o valor é muto pequeno para ser expresso pela undade utlzada. Se os valores são em numeras decmas, precsamos acrescentar à parte decmal um número correspondente de zeros (0, 0; 0,00; 0,000... ). - SÉRIES ESTATÍSTICAS Denomnamos sére estatístca toda tabela que a- presenta a dstrbução de um conjunto de dados estatístcos em função da época, do local ou da espéce. Numa sére estatístca observamos a exstênca de três elementos ou fatores: o tempo, o espaço e a espéce. Conforme vare um dos elementos da sére, podemos classfca-lá em hstórca, geográfca e específca..1 - Séres hstórcas, cronológcas, temporas ou marchas Descrevem os valores da varável, em determnado local, dscrmnados segundo ntervalos de tempo varáves. PREÇO DO ACÉM NO VAREJO SÃO PAULO - 1989-94 ANOS PREÇO MÉDIO (US$) 1989 1990 1991 199 1993 1994 FONTE: APA,4,73,1 1,89,04,6. - Séres geográfcas, espacas, terrtoras ou de localzação Descrevem os valores da varável, em determnado nstante, dscrmnados segundo regões. DURAÇÃO MÉDIA DOS ESTUDOS SUPERIORES - 1994 PAÍSES NÚMERO DE ANOS Itála Alemanha França Holanda Inglaterra FONTE: Revsta Veja. 7,5 7,0 7,0 5,9 Menos de 4 5

.3 - Séres específcas ou categórcas Descrevem os valores da varável, em determnado tempo e local, dscrmnados segundo especfcações ou categoras. 3 - SÉRIES CONJUGADAS (TABELAS DE DUPLA ENTRADA) Quando conjugamos duas séres em uma únca tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tpo fcam cradas duas ordens de classfcação: uma horzontal (lnha) e uma vertcal (coluna). A conjugação, no exemplo dado, fo sére geográfca-sére hstórca, que dá orgem à sére geográfcohstórca ou geográfca-temporal. EXERCÍCIOS: REBANHOS BRASILEIROS 199 ESPÉCIES QUANTIDADE (1.000 CABEÇAS) Bovnos Bubalnos Eqünos Asnnos Ovnos Caprnos FONTE: IBGE 154.440,8 1.43,3 549,5 47,1 19.955,9 1.159,6 TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇO 1991-93 REGIÕES 1991 199 1993 Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste 34.938 1.87.813 6.34.501 1.497.315 713.357 375.658 1.379.101 6.79.467 1.608.989 778.95 FONTE: MINISTÉRIO DAS COMUNICAÇÕES 403.494 1.486.649 7.31.634 1.746.3 884.8 11 - (EAGS - 99) De acordo com a Resolução 886 da fundação IBGE, nas casas ou células devemos colocar a) Zero (0) quando não temos os dados. b) Três pontos (...) quando não temos os dados. c) Um traço horzontal (-) quando temos dúvdas quanto à exatdão de determnado valor. d) Um ponto de nterrogação (?) quando o valor é zero, não só quanto a natureza das cosas, como quanto ao resultado do nquérto. 1 - Consderando-se a tabela a segur ndcada, pode-se conclur que seus dados refletem uma sére: a) especfcatva ou específca b) geográfca c) temporal d) evolutva 4 - DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS Os dados estatístcos resultantes da coleta dreta da fonte, sem outra manpulação senão a contagem ou medda, são chamados dados absolutos. Dados relatvos são o resultado de comparações por quocente (razões) que se estabelecem entre dados absolutos e têm por fnaldade realçar ou facltar as comparações entre quantdades. Traduzem-se os dados relatvos, em geral, por meo de percentagens, índces, coefcentes e taxas. 4.1 - As percentagens a Dada uma razão qualquer, chamamos de porcentagem do valor b a todo valor de a que estabeleça uma b proporção com alguma razão centesmal. 9 100 razão centesmal PRODUTOS CAFÉ AÇÚCAR MILHO FEIJÃO FONTE: Dados fctícos a b Observe a tabela abaxo 197 QUANTIDADE (TONELADAS) 400.000 00.000 100.000 0.000 r r % 100 = 9% (nove por cento) Taxa percentual MATRÍCULAS NA ESCOLA REPETÊNCIA CATEGORIAS N.º DE ALUNOS % 1º Grau 19. 86 91,0 º Grau 1.681 7,9 3º Grau 34 1,1 Total 1.01 100,0 6

A tercera coluna da tabela representa as percentagens dos alunos de cada grau: 19.86 X 100 1º grau 1.01 = 90, 96 = 91,0 1.681 X 100 º grau 1.01 = 7,9 = 7,9 3º grau 34 X 100 1.01 = 1,10 = 1,1 Os valores da tercera coluna nos dzem que, de cada 100 alunos da escola, 91 estão matrculados no 1º grau, 8, aproxmadamente, no º grau e 1 no 3º no grau. O emprego da percentagem é de grande vala quando é nosso ntuto destacar a partcpação da parte no todo. 4. - Índces Os índces são razões entre duas grandezas tas que uma não nclu a outra. Exemplos: população Densdade demográfca = superfíce 733.986-683.816 A TEE = x 100 = 6,83 = 6,8 % 733.986 436.17-41.457 B TEE = x 100 = 5,4 = 5,4 % 436.17 O estado que apresentou maor evasão escolar fo A. EXERCÍCIOS: 13) Consdere a tabela abaxo: EVOLUÇÃO DAS RECEITAS DO CAFÉ INDUSTRIALIZADO - 94 MESES VALOR (US$ MILHÕES) Janero 33,3 Feverero 54,1 Março 44,5 Abrl 5,9 Total 184,8 Dados fctícos renda Renda per capta = população 4. - Coefcentes Os coefcentes são razões entre o número de ocorrêncas e o número total (número de ocorrêncas e número de não-ocorrêncas). Exemplos: Coefcente de nataldade = Coefcente de evasão escolar = números de nascmentos população total N N de alunos evaddos ncal de matrícula 4.3 - Taxas As taxas são os coefcentes multplcados por uma potênca de 10 (10, 100, 1.000 etc.) para tornar o resultado mas ntelgível. Exemplos: Taxa de mortaldade = coefcente de mortaldade X 1.000 Taxa de evasão escolar = coef. De evasão escolar X 100 EXERCÍCIO RESOLVIDO O estado A apresentou 733.986 matrículas na 1ª sére, no níco do ano de 1994, e 683.816 no fm do ano. O estado B apresentou, respectvamente, 436.17 e 41.457 matrículas. Qual o Estado que apresentou maor evasão escolar? 7 a) Complete-a com uma coluna de taxas percentuas. b) Como se dstrbuem as recetas em relação ao total? c) Qual o desenvolvmento das recetas de um mês para o outro? d) Qual o desenvolvmento das recetas em relação ao mês de janero? 14) Consderando que Mnas Geras, em 199, apresentou (dados fornecdos pelo IBGE): População: 15.957,6 ml habtantes; Superfíce: 586.64 Km ; Nascmentos: 9.036; Óbtos: 99.81. Calcule: a) o índce da densdade demográfca; b) a taxa de nataldade; c) a taxa de mortaldade. 15) Uma frota de 40 camnhões, transportando, cada um, 8 toneladas, drge-se a duas cdades A e B. Na cdade A são descarregados 65% desses camnhões, por 7 homens, trabalhando 7 horas. Os camnhões restantes seguem para a cdade B, onde 4 homens gastam 5 horas para o seu descarregamento. Em que cdade se obteve melhor produtvdade? RESPOSTAS DAS UNIDADES I A III: 1) d ) a 3) b 4) c 5) c 6) c 7) a 8) b 9) c 10) c 11) b 1) a 13) b) 18; 9,3 ; 4,1 ; 8,6 ; 100 c) 16,5 ; 8,3 ; 118,9 d) 100,0 ; 16,5 ; 133,6 158,9 14)a) 7, h/km b) 1,83 % c) 0,6 % 15) B

UNIDADE IV 1 - GRÁFICOS ESTÁTISTICOS O gráfco estatístco é a forma de apresentação dos dados estatístcos, cujo o objetvo é o de produzr, no nvestgador ou no públco em geral, uma mpressão mas rápda e vva do fenômeno em estudo, já que os gráfcos falam mas rápdo à compreensão que as séres. A representação gráfca de um fenômeno deve obedecer a certos requstos fundamentas para ser realmente útl: a) Smplcdade - o gráfco deve ser desttuído de detalhes e traços de mportânca secundára. b) Clareza - O gráfco deve possbltar uma correta nterpretação dos valores representatvos do fenômeno em estudo. c) Veracdade - o gráfco deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. Os prncpas tpos de gráfcos são os dagramas os cartogramas e os pctogramas. - DIAGRAMAS Os dagramas são gráfcos geométrcos de, no máxmo, duas dmensões; para sua construção, em geral, fazemos uso do sstema cartesano. Prncpas dagramas:.1 Gráfco em lnha ou em curva Este tpo de gráfco se utlza da lnha polgonal para representar a sére estatístca no plano cartesano. PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ÓLEO DE DENDÊ 1987-9 ml toneladas 70 60 50 40 30 0 10 0 87 88 89 90 91 9 FONTE: Agropalma. Gráfcos em colunas ou em barras É a representação de uma sere por meo de retângulos, dspostos vertcalmente (em colunas) ou horzontalmente (em barras). Exemplos: PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO 1989-9 MIL t 0.000 15.000 10.000 5.000 0 1989 1990 1991 199 EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS MARÇO - 1995 PRODUÇÃO BRASILEI- RA DE ÓLEO DE DENDÊ 1987-9 ANOS QUANTIDADE 1987 1988 1989 1990 1991 199 (1.000 t) 39,3 39,1 53,9 65,1 69;1 59,5 FONTE: Agropalma. SP MG RS ES PR SC 0 500 1.000 1.500 Outro tpo de dagrama é o gráfco em setores. O cartograma é a representação sobre uma carta geográfca. O pctograma é a representação gráfca por fguras. 8

UNIDADE V 1 - TABELA PRIMITIVA E ROL Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégo A, resultando a segunte tabela de valores: TABELA 5.1 ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A 166 161 16 165 164 16 168 156 160 164 155 163 155 169 170 154 156 153 156 158 160 150 160 167 160 161 163 173 155 168 15 160 155 151 164 161 17 157 158 161 A esse tpo de tabela, cujos elementos não foram numercamente organzados, denomnamos tabela prmtva. A manera mas smples de organzar os dados é através de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela obtda após a ordenação dos dados recebe o nome de rol. Vamos observar o rol abaxo: TABELA 5. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A 150 155 160 16 166 151 156 160 16 167 15 156 160 163 168 153 156 160 163 168 154 157 161 164 169 155 158 161 164 170 155 158 161 164 17 155 160 161 165 173 Agora, podemos analsar, com relatva facldade os dados da tabela. - DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS A representação tabular é uma das modaldades mas utlzadas para a apresentação dos dados estatístcos coletados na amostragem. Para sto, nós, freqüentemente, lstamos os valores encontrados na amostra. Uma classfcação metodológca usual é verfcar a natureza dos dados estatístcos. Vejamos, o tratamento tabular dado aos dados dscretos e contínuos.1 - REPRESENTAÇÃO DE DADOS DISCRETOS Seja a segunte amostra: 3,4,4,4,5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,8 (já em forma de ROL)..1.1 - Classe ( ) Classes de freqüênca ou, smplesmente, classes são ntervalos de varação da varável. No nosso exemplo acma nós temos as varáves ( x ): 3,4,5,6,7 e 8 perfazendo total de 6 classes, onde representa é o número total de classes, sto é; = 6..1. - Freqüênca smples ou absoluta ( f ) É o número de observações correspondente a um determnado valor. Por exemplo: a freqüênca do valor 3 é 1, do valor 4 é 3, conforme podemos ver no quadro abaxo. VALOR FREQÜENCIA 3 1 4 3 5 5 6 6 7 4 8 1 TOTAL 0 Representando a dstrbução acma sob a forma de tabela, temos: x f 1 3 1 4 3 3 5 5 4 6 6 5 7 4 6 8 1 f = 0. - REPRESENTAÇÀO DE DADOS CONTÍNUOS Na representação de dados contínuos utlza-se a forma de ntervalos (dstrbução ntervalar) em vrtude desses dados serem obtdos, normalmente, através de meddas. Isto melhora a dstrbução dos erros cometdos (erro do observador, do método utlzado, do equpamento de medda, etc.). 9

Dada a tabela abaxo como exemplo, vamos representá-la sob a forma de dstrbução ntervalar (ntervalos de classe). TABELA 5. ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A 150 155 160 16 166 151 156 160 16 167 15 156 160 163 168 153 156 160 163 168 154 157 161 164 169 155 158 161 164 170 155 158 161 164 17 155 160 161 165 173 ª sera 154 158 (154 + 4), e assm sucessvamente. 5º PASSO: Construr a tabela de freqüêncas: TABELA 5.3 ESTATURAS ( cm ) 1 150 154 4 154 158 9 3 158 16 11 4 16 166 8 5 166 170 5 6 170 174 3 f = 40 f 1º PASSO: Determnação do números de classe ( ) Utlzaremos a regra de sturges, que nos dá o número de classes em função do número de valores da varável: 1 + 3,3. log 10 n onde é o número de classe n é o número total de dados assm n = 40, temos: 1 + 3,3. log 10 40 1 + 3,3. 1,60 6,9 6 º PASSO: Determnar a Ampltude amostral da dstrbução (AA). É a dferença entre o maor e o menor valor da amostra. AA = 173-150 AA = 3 3º PASSO: Determnar a Ampltude do ntervalo de classe ( h ). Achamos aplcando a fórmula h 173-150 = 3,8 4 6 h AA 4º PASSO: Escrever os ntervalos de classe. Os ntervalos de classe sempre serão escrtos, em termos desta quantdade até menos aquela, empregando, para sso, o símbolo, (nclusão do 1º extremo e exclusão do º extremo). a 1ª classe sera 150 154 (150 + 4), a Obs.: Analsando a tabela acma, o ndvíduo com uma estatura de 158 cm está ncluído na tercera classe ( = 3) e não na segunda. 3 - OUTROS ELEMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO 3.1 - Lmtes de classe São extremos de cada classe, sto é; o menor número, lmte nferor ( ) e o maor número, lmte superor ( L ). na segunda classe temos = 154 e L = 158 3. - Ampltude de um ntervalo de classe Ampltude de um ntervalo de classe ou, smplesmente, ntervalo de classe é a medda do ntervalo que defne a classe. Assm h = L - Na tabela 5.3 temos: h = L - = 158-154 = 4 cm 3.3 - Ampltude total da dstrbução Ampltude total da dstrbução (AT) é a dferença entre o lmte superor da últma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera classe (lmte nferor mínmo). Assm AT = L(máx.) - (mín.) Na tabela 5.3 temos AT = 174-150 = 4 cm 10

3.4 - Ponto médo de uma classe ( x ) Ponto médo de uma classe é, como o própro nome ndca, o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas. Assm L Na tabela 5.3 temos: x = 156 cm L 154 158 = 156 4 - TIPOS DE FREQUENCIAS Além da freqüêncas smples temos as seguntes freqüêncas: 4.1 - Freqüêncas relatvas (fr ) São os valores das razões entre as freqüêncas smples e a freqüênca total: Assm fr f f Na tabela 5.3 temos fr donde fr = 1 ou 100 % 3 f3 11 fr3 = 0,75, f 40 4. - Freqüêncas acumulada (F ) É o total das freqüêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma classe. Assm F K = f 1 + f +... + f K Na tabela 5.3 temos F 3 = f 1 + f + f 3 = 4 + 9 + 11 F 3 = 4 4.3 - Freqüêncas acumulada relatva (Fr ) É a freqüênca acumulada da classe, dvdda pela freqüênca total da dstrbução Assm Fr F f Na tabela 5.3 temos Fr Fr 3 = 0,600 3 F3 4 Fr 3 = 0,600, f 40 Consderando a tabela 5.3, podemos montar a segunte tabela com as freqüêncas estudadas: TABELA 5.4 ESTATURA f x fr F Fr ( cm) 1 150 154 4 15 0,100 4 0,100 154 158 9 156 0,5 13 0,35 3 158 16 11 160 0,75 4 0,600 4 16 166 8 164 0,00 3 0,800 5 166 170 5 168 0,15 37 0,95 6 170 174 3 17 0,075 40 1,000 =40 =1,000 EXERCÍCIOS: 1) Forme uma dstrbução de freqüênca sem ntervalo de classe, com os dados abaxo. 14 1 11 13 14 13 1 14 13 14 11 1 1 14 10 13 15 11 15 13 16 17 14 14 A tabela abaxo apresenta uma dstrbução de freqüênca das áreas de 400 lotes: AREAS ( m ) N.º de Lotes 300 400 14 400 500 46 500 600 58 600 700 76 700 800 68 800 900 6 900 1.000 48 1.000 1.100 1.100 1.00 6 ) Com referênca a tabela, determne: a) a ampltude total b) o lmte superor da qunta classe c) o lmte nferor da otava classe d) o ponto médo da sétma classe e) a ampltude do ntervalo da segunda classe f) a freqüênca da quarta classe g) a freqüênca relatva da sexta classe h) a freqüênca acumulada da qunta classe ) o número de lotes cuja área não atnge 700 m j) o número de lotes cuja área atnge e ultrapassa 800 m l) a percentagem dos lotes cuja área não atnge 600 m m) a percentagem dos lotes cuja área seja maor ou gual a 900 m n) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m, no mínmo, mas nferor a 1.000 m o) a classe do 7º lote p) até que classe estão ncluídos 60% dos lotes 11

5 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRI- BUIÇÃO Uma dstrbução de freqüênca pode ser representada grafcamente pelo hstograma, pelo polígono de freqüênca e pelo polígono de freqüênca acumulada (ogva de Galton). 5.1 - Hstograma O hstograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localzam sobre o exo horzontal, de modo que seus pontos médos concdam com os pontos médos dos ntervalos de classes. As larguras dos retângulos são guas às ampltudes dos ntervalos de classe. As alturas dos retângulos devem ser proporconas às freqüêncas das classes, sendo a ampltude dos ntervalos guas. Isso nos permte tomar as alturas numercamente guas às freqüêncas. f 1 9 6 3 0 150 158 166 174 x 5. - Polígono de freqüênca É um gráfco em lnha, sendo as freqüêncas marcadas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas pelos pontos médos dos ntervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (lnha fechada), devemos completar a fgura, lgando os extremos da lnha obtda aos pontos médos da classe anteror à prmera e da posteror à últma, da dstrbução. f 1 5.3 - Polígono de freqüênca acumulada É traçado marcando-se as freqüêncas acumuladas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas nos pontos correspondentes aos lmtes superores dos ntervalos de classe. f 40 30 0 10 0 150 154 158 16 166 170 174 x 6 - A CURVA DE FREQÜÊNCIA A partr do polígono de freqüêncas podemos representar contornos mas suaves (polígono de freqüêncas poldo), utlzando-se curvas para chegarmos a uma das representações de grande utldade para a Estatístca que é a curva de freqüêncas. 7 - AS FORMAS DAS CURVAS DE FREQÜÊN- CIA 7.1 - Curvas em forma de sno Caracterzam-se pelo fato de apresentarem um valor máxmo na regão central. Dstngumos a curva em forma de sno smétrca e a assmétrca. Curva smétrca Esta curva caracterza-se por apresentar o valor máxmo no ponto central e os pontos eqüdstantes desse ponto terem a mesma freqüênca. 9 6 3 0 148 15 156 160 164 168 17 176 x Curva assmétrca Se a cauda mas alongada fca à dreta, a curva é chamada assmétrca postva ou envesada à dreta. Se a cauda se alonga à esquerda, a curva é chamada assmétrca negatva ou envesada à esquerda. Assmétrca postva: Assmétrca negatva: 1

7. - Curvas em forma de jota São relatvas a dstrbuções extremamente assmétrcas, caracterzadas por apresentarem o ponto de ordenada máxma em uma das extremdades. curva em jota curva em jota nvertdo 7.3 - Dstrbução retangular Essa dstrbução, muto rara na verdade, apresenta todas as classes com a mesma freqüênca. Tal dstrbução sera representada por um hstograma em que todas as colunas teram a mesma altura ou por um polígono de freqüênca reduzdo a um segmento de reta horzontal. 17) Marque a segunda coluna de acordo com a prmera: 1 - Índce ( ) São as razões entre duas - Coefcentes grandezas tas que uma não 3 - Taxas nclu a outra. ( ) São as razões entre o número de ocorrêncas e o número total (número de ocorrêncas e o número de não-ocorrêncas). ( ) São os coefcentes multplcado por uma potênca de 10. 18) Os gráfcos própros de uma dstrbução de freqüênca são: a) colunas, curva de freqüênca e hstograma b) polígono de freqüênca e hstograma c) colunas, curva de freqüênca e polígono de freqüênca d) gráfco em setor, gráfco em barra, curva de freqüênca e curva normal e) colunas, barra, setor e curva de freqüênca EXERCÍCIOS 13) Denomnamos toda tabela que apresenta a dstrbução de um conjunto de dados estatístcos em função da época, do local ou espéce. a) Rol b) Sére estatístca c) Hstograma d) gráfca 14) Numa Sére estatístca observamos a exstênca de três elementos ou fatores: a) tempo, espaço e a espéce b) local, tempo e a espéce c) varável, rol e coordenadas d) tempo, varável e rol 15) As séres que descrevem os valores da varável, em determnado local, dscrmnados segundo ntervalos de tempo varáves: a) Séres geográfcas c) Séres hstórcas b) Séres categórcas d) Séres conjugadas 16) (EAGS) Que tpo de gráfco estatístco é o hstograma? a) Dagrama b) Cartograma c) Estereograma d) Polgonal característca 13 19) São dagramas EXCETO : a) gráfcos em lnha e em barras b) gráfcos em lnha e em barras múltplas c) gráfcos em colunas e em setores d) gráfcos em setores e cartogramas 0) As curvas que caracterzam-se por pelo fato de a- presentarem um valor máxmo na regão central: a) curva smétrca b) curva assmétrca c) curva em forma de jota d) curva em forma de U 1) Estes dos gráfcos são respectvamente: a) gráfcos em colunas b) hstogramas c) gráfcos em colunas e polígono de freqüênca d) gráfco em colunas e hstogramas

UNIDADE VI 1 - MEDIDAS DE POSIÇÃO As meddas de posção são elementos estatístcos que representam uma sére de dados orentando-nos quanto a posção da dstrbução em relação ao exo horzontal (exo das abcssas ). As meddas de posção mas mportantes são as meddas de tendênca central, que recebem tal denomnação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centras. Dentre as meddas de tendênca central, destacamos: a méda artmétca, a medana e a moda. As outras meddas de posção são as separatrzes, que englobam: a própra medana, os quarts e os percents. 1.1 - MÉDIA ARITMÉTICA ( X ou ) 1.1.1 - Dados não grupados É obtda através da méda artmétca smples, sto é; do quocente entre a soma dos valores observados e o seu número total. x = {1,3,5,7,9} x = 1+ 3+5+ 7 + 9 5 5 x = 5 1.1. - Desvo em relação à méda ( d 1 ) É a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. d = x - x Para o exemplo dado, temos: d 1 = x 1 - x = 1-5 = - 4 d = x - x = 3-5 = - d 3 = x 3 - x = 5-5 = 0 d 4 = x 4 - x = 7-5 = d 5 = x 5 - x = 9-5 = 4 1.1.3 - Propredades da méda ª propredade Somando-se (ou subtrando-se) uma constante ( c ) de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante: y = x c y = x c x = {1,3,5,7,9} com x = 5 fazendo c = 10 e somando, teremos: Y = {11,13,15,17,19} com y = 15 Podemos ver que y = 15 é gual a x = 5 acrescda de c = 10, ou seja, y = 5 + 10 = 15 3ª propredade Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante (c), a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante: y = x. c y = x. c ou y = x c y = x c x = {100, 00, 300, 400,500} com x = 300 fazendo c = 10 e dvdndo, teremos: Y = {10, 0, 30, 40,50} com y = 30 A mesma forma, podemos ver que y = 30 é gual a x =300 dvddo por c = 10, ou seja, y = 300 10 30 1.1.4 - Dados agrupados Neste caso, como as freqüêncas são números ndcadores da ntensdade de cada valor da varável, elas funconam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a méda artmétca ponderada, dada xf pela forma: x = f Ex.: 1ª propredade A soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula: d = 0 No exemplo anteror temos: d = (-4) + (-) + 0 + + 4 = 0 d = 0 14 x = 14 0 x f x f 4 5 6 7 8 1 5 6 5 3 4. 1 = 4 5. 5 = 5 6. 6 = 36 7. 5 = 35 8. 3 = 4 soma 0 14 x = 6,

1.1.5 - Com ntervalos de classe Neste caso, convenconamos que todos os valores ncluídos concdem com o seu ponto médo, e determnamos a méda artmétca ponderada por meo da fórmula: xf x = f Abrndo uma coluna para os pontos médos e outra para os produtos x f : ESTATURA f x x f ( cm) 1 150 154 4 15 608 154 158 9 156 1.404 3 158 16 11 160 1.760 4 16 166 8 164 1.31 5 166 170 5 168 840 6 170 174 3 17 516 =40 =6.440 Temos: x f x = f x = 6.440 40 x = 161cm EXERCÍCIOS: ) Calcule a méda artmétca da dstrbuções abaxo: a) Custo (R$) 450 550 650 750 850 950 1.050 1.150 f 8 10 11 16 13 5 1 b) CLASSES 30 50 70 90 110 130 f 8 1 10 5 1. - MODA (Mo) Denomnamos moda o valor que ocorre com maor freqüênca em uma sére de valores. 1..1 - Dados não-agrupados X 1 = {, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9} Mo = 6 X = {,, 3, 3, 4, 4} CONJUNTO AMODAL, não exste moda X 3 = {1,,,, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6} CONJUNTO BIMODAL Mo = Mo = 5 1.. - Dados agrupados Sem ntervalos de classe Basta fxar o valor da varável de maor freqüênca x Mo = 3 Com ntervalos de classe Utlzamos um dos seguntes métodos : a) Moda bruta b) Método de Czuber c) Método de Kng a) Moda Bruta Determnamos a classe modal ( de maor freqüênca) e depos calculamos o ponto Médo entre os lmtes de classe. (Tab. 5.5) f 1 1 5 3 6 4 5 5 3 soma 0 ESTATURA f ( cm) 1 150 154 4 154 158 9 3 158 16 11 classe modal 4 16 166 8 5 166 170 5 6 170 174 3 15

158 16 Mo = 160 Moda Bruta = 160 cm b) Método de Czuber Após determnar a classe modal, calculamos através da D1 segunte fórmula Mo = * + D D h * 1 1.3 - MEDIANA (Md) É uma medda de posção que dvde uma sére ordenada (Rol) de tal manera que pelo menos a metade ou 50% dos tens sejam guas ou maores que ela. Desta manera é também uma separatrz dvdndo a sére em partes guas. 1.3.1 Dados não grupados a) Quando tvermos um número ímpar de valores na qual: * é o lmte nferor da classe modal h* é a ampltude de classe modal D 1 = f* - f (ant) D = f* - f (post) sendo: f* a freqüênca smples da classe modal f (ant) a freqüênca smples da classe anteror à classe modal f (post) a freqüênca smples da classe posteror à classe modal Exemplo utlzando a tabela 5.5: D 1 = 11-9 = D = 11-8 = 3 Mo = 158 + 3 4 159, 6 Moda de Czuber = 159,6 cm c) Moda de Kng fpost Mo = * + f f ant post h * Exemplo utlzando a tabela 5.5: Mo = 158 + 8 9 8 4 159, 9 Moda de Kng = 159,9 cm Nota: dos três métodos, o método consderado mas precso é o de Czuber. EXERCÍCIO: 3) Calcule as três modas da dstrbução abaxo Custo (R$) 450 550 650 750 850 950 1.050 1.150 f 8 10 11 16 13 5 1 X = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 1, 13, 14}, onde n = 9 (ímpar) Determna-se o elemento central: E = n 1 = E = 9 1 5 Verfca-se, então, na seqüênca ordenada os valores correspondentes à posção 5 ndcada por E. Vemos assm que a medana será o valor, Md = 9 b) Quando tvermos um número par de valores X = {1, 3, 5, 7, 9, 11} Determnam-se os elementos centras: E = n 6 3 Verfca-se, então, na seqüênca ordenada os valores correspondentes às posções 3 e 4 (posção segunte), ndcadas por E. Para a determnação da Medana, calculamos a méda artmétca dos valores centras. Md = 5 7 6 Md = 6 1.3. - Dados agrupados Sem ntervalos de classe Prmeramente determnamos prevamente as freqüêncas acumuladas e dvdmos a dstrbução em dos grupos que contenham o mesmo número de elementos, através da fórmula: f Depos ndcamos a freqüênca acumulada medatamente superor à metade da soma das freqüêncas. A medana será aquele valor da varável que corresponde a tal freqüênca acumulada. Dada a tabela abaxo 16

Sendo: f = 34 17 A menor freqüênca que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor da varável, sendo este o valor medano. Logo: Md = mennos OBSERVAÇÃO: No caso de exstr uma freqüênca acumulada (F ), tal que: f F A medana será dada por: x x 1 Md, Isto é, a medana será a méda artmétca entre o valor da varável correspondente a essa freqüênca acumulada e o segunte. Temos: 8 4 F 3 Logo: 15 16 31 Md = 15, 5 Donde: Md = 15,5 N.º DE f F MENINOS 0 1 6 8 10 18 3 1 30 4 4 34 =34 x f F 1 1 1 14 3 15 1 4 16 6 17 1 7 0 1 8 = 8 Com ntervalos de classe Para calcular a medana executamos os seguntes passos: 1º) Determnamos as freqüêncas acumuladas. º) Calculamos f. 3º) Marcamos a classe correspondente à freqüênca a- cumulada medatamente superor à - classe medana - e, em seguda, empregamos a fórmula: f F(ant) h * Md * f * na qual: * é o lmte nferor da classe medana F (ant) é a freqüênca acumulada da classe anteror à classe medana; f* é a freqüênca smples da classe medana; h* é ampltude do ntervalo da classe medana. Tomando como exemplo a dstrbução anteror, temos: f = 40 0 Logo a classe medana é a de ordem 3. Então: *= 158, F (ant) = 13, f* = 11 e h* = 4 Substtundo esses valores na fórmula, obtemos: 0134 Md 158 160, 54 11 sto é: Md = 160,5 cm Observação: No caso de exstr uma freqüênca acumulada exatamente gual a f, a medana será o lmte superor da classe correspondente. CLASSES f F 1 0 10 1 1 10 0 3 4 3 0 30 9 13 4 30 40 7 0 5 40 50 4 4 6 50 60 6 =6 Temos: f = 6 = 13, Logo Md = L* Md = 30 17

NOTAS: A méda é utlzada quando: a) desejamos obter a medda de posção que possu a maor establdade; b) houver necessdade de um tratamento algébrco posteror. A moda é utlzada quando: a) desejamos obter uma medda rápda e aproxmada de posção; b) a medda de posção dever ser o valor mas típco da dstrbução. A medana é utlzada quando: a) desejamos obter o ponto que dvde a dstrbução em partes guas; b) há valores extremos que afetam de uma manera a- centuada a méda; c) a varável em estudo é saláro. EXERCÍCIOS 4) Calcule a medana das dstrbuções abaxo: a) x 4 6 8 10 f 3 7 1 8 4 - POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIA- NA E MODA Quando uma dstrbução é smétrca, as três meddas concdem. Porém, a assmetra torna-se dferentes e essa dferença é tanto maor quanto maor é a assmetra. Assm, em uma dstrbução em forma de sno, temos: x Md Mo, no caso da curva smétrca; Mo < Md < x, no caso da curva assmétrca postva; x < Md < Mo, no caso da curva assmétrca negatva. x Md Mo MODA MEDIANA MÉDIA b) x 0 1 3 4 5 f 5 9 7 6 3 Mo < Md < x x < Md < Mo, c) Custo (R$) 450 550 650 750 850 950 1.050 1.150 f 8 10 11 16 13 5 1 18 3 - SEPARATRIZES Além da medana exstem outras meddas que dvdem as séres em partes guas, são os quarts, os percents e os decs. 3.1 Os Quarts Denomnamos quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Quando os dados são agrupados, para determnar os quarts usamos a mesma técnca do cálculo da medana, bastando substtur, na fórmula da medana, f por k f. Sendo k o número de ordem do quartl. k f F(ant) h * Assm temos: Q 4 k * f *

Obs.: O segundo quartl concde com a medana. (Q = Md) 3. Os percents Denomnamos percents os noventa e nove valores que separam uma sére em 100 partes guas. O cálculo de um percentl segue a mesma técnca do cálculo da medana, onde utlzamos: k f F(ant) h * k f 100 e Pk * 100 f * EXERCÍCIO RESOLVIDO Dada a tabela abaxo calcule o 1º e o 4º quarts, e 8º percentl: a) Prmero quartl f = 40 4 4 = 10 10 44 Q 1 154 9 = 154 +,66 = 156,66 Q 1 = 156,7 cm b) Tercero quartl 3 f = 3 40 = 30 4 4 30 44 Q 3 16 8 = 16 + 3 = 165 Q 3 = 165 cm c) otavo percentl k = 8 8 f = 8 40 = 3, 100 100 P8 150 ESTATURA f F ( cm) 1 150 154 4 4 154 158 9 13 3 158 16 11 4 4 16 166 8 3 5 166 170 5 37 6 170 174 3 40 =40 P 8 = 153, cm 3, 0 4 150 1, 8 153, 4 4 EXERCÍCIO 5) Dada a dstrbução abaxo, calcule: a) O 1º e o 3º quarts b) O 10º, 1º, 3º, 15º e o 90º percents. ESTATURA f ( cm) 1 150 158 5 158 166 1 3 166 174 18 4 174 18 7 5 18 190 8 =70 6) A dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca a) medana b) desvo c) assmetra d) separatrz 7) Quando desejamos obter a medda de posção que possu a maor establdade utlzamos: a) a méda b) a medana c) a moda d) a ampltude 8) A moda consderada mas precsa é: a) moda bruta b) moda de Kng c) moda de Czuber d) todas dão valores guas 9) Quando desejamos obter o ponto que dvde a dstrbução em partes guas empregamos a) a moda bruta b) a moda de Kng c) a medana d) a méda 30) O Professor bgode, após verfcar que toda classe obteve nota baxa, elmnou as questões que não foram responddas pelos alunos. Com sso, as notas de todos os alunos foram aumentadas de três pontos. Então: a) a méda artmétca fcou alterada, assm como a Md. b) apenas a méda artmétca fcou alterada c) apenas a medana fcou alterada. d) não houve alteração nem na méda nem na medana e) nada podemos afrmar sem conhecer o número total de alunos. 19

UNIDADE VII 1 - MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIA- BILIDADE São as meddas que qualfcam os valores de uma dada varável, ressaltando a maor ou menor dspersão ou varabldade entre esses valores e sua medda de posção. Dessas meddas, estudaremos a ampltude total, a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação. - AMPLITUDE TOTAL A ampltude total é a dferença entre o maor e o menor valor observado: AT = x (máx.) - x (mn.).1 - Dados não grupados Ex.: {40, 45, 48, 5, 54, 6 e 70} AT = 70-40 AT = 30. - Dados agrupados Sem ntervalos de classe Dada a tabela x 0 1 3 4 f 6 1 7 3 AT = 4-0 AT = 4 Com ntervalos de classe Dada a dstrbução abaxo ESTATURAS ( cm ) 1 150 154 4 154 158 9 3 158 16 11 4 16 166 8 5 166 170 5 6 170 174 3 f = 40 Utlzamos a fórmula AT = L (máx.) - (mn.) AT = 174-150 AT = 4 cm Observações quanto a ampltude total: a) Quanto maor a AT, maor a dspersão ou a varabldade dos valores da varável. b) Ela é apenas uma ndcação aproxmada da dspersão ou varabldade. f 0 3 - VARIÂNCIA/DESVIO PADRÃO A varânca e o desvo padrão são meddas que não se dexam nfluencar pelos valore extremos, levam em consderação a totaldade dos valores da varável em estudo, o que faz delas índces de varabldades bastantes estáves e, por sso mesmo, os mas geralmente empregados. A varânca é a méda artmétca dos quadrados dos desvos, ou seja: x x ou n n x n O desvo padrão é a raz quadrada da varânca, ou seja: x ou n x n x n Observações: 1) n = f. ) Nas amostras utlzamos n 1, a letra s no lugar de σ e a letra x no lugar de. Propredades do desvo padrão: 1ª) somando-se (ou subtrando-se) uma constante a (de) todos os valores de uma varável, o desvo padrão não se altera: y = x c σ y = σ x ª) Multplcando-se todos os valores de uma varável por uma constante (dferente de zero), o desvo padrão fca multplcado por essa constante: y = c. x σ y = c. σ x 3.1 - Desvo padrão de dados não agrupados Sendo x = {40,45,48,5,54,6,70}. Abre-se duas colunas: uma para x e outra para x : 40 1.600 45.05 48.304 5.704 54.916 6 3.844 70 4.900 = 371 = 0.93 Como n = 7, temos: x x 093 371 7 7 90 s 9,49

3. - Dados agrupados 3..1 Sem ntervalos de classe Ao modo mas prátco para se obter o desvo padrão é abrr, na tabela dada, uma coluna para os produtos f x e outra para f x, lembrando que para obter f x basta multplcar cada f x pelo seu respectvo x. Assm: Como temos freqüêncas usamos a fórmula fx fx logo: x f f x f x 0 0 0 1 6 6 6 1 4 48 3 7 1 63 4 3 1 48 = 30 = 63 = 165 n 165 63 30 30 n 1,09 1,044 x1 x0 y1 h aplcamos a segunte fórmula: h fy n 1 fy n Procedmentos para o cálculo do desvo padrão pelo processo breve: 1º) Abrmos uma coluna para os valores x (ponto médo). º) Escolhemos um dos pontos médos ( de preferênca o de maor freqüênca) para valor de x 0. 3º) Abrmos uma coluna para os valores de y e escrevemos zero na lnha correspondente à classe onde se encontra o valor de x 0 ; a seqüênca - 1, -, - 3,..., logo acma de zero, e a seqüênca 1,,3..., logo abaxo. 4º) Abrmos uma coluna para os valores de produto f y, conservando os snas + ou -, e, em seguda, somamos algebrcamente esses produtos. 5º) Abrmos uma coluna para os valores do produto f y 1, obtdos multplcando cada f y pelo seu respectvo y, e, em seguda, somamos esses produtos. 6º) Aplcamos a fórmula. 3.. Com ntervalos de classe Abrmos colunas para x (ponto médo), para f x Logo: e para f x. Assm: TABELA 6 (baseada na tab. 5.4, pag. 7) ESTATURA ( cm) f x f x f x 1 150 154 4 15 608 9.416 154 158 9 156 1.404 19.04 3 158 16 11 160 1.760 81.600 4 16 166 8 164 1.31 15.168 5 166 170 5 168 840 141.10 6 170 174 3 17 516 88.75 h = 4 =40 =6.440 =1.038.080 1.038.080 6.440 40 40 31 5,57 cm 5.95 5.91 3.3 Processo breve Baseados na mudança da varável x por outra y, tal que: 1 (baseada na tab. 5.4, pag. 7) TABELA 6.1 ESTATURA ( cm) f x y f y f y 1 150 154 4 15 - -8 16 154 158 9 156-1 -9 9 3 158 16 11 160 0 0 0 4 16 166 8 164 1 8 8 5 166 170 5 168 10 0 6 170 174 3 17 3 9 7 h = 4 =40 = 10 =80 80 10 4 4 0,065 4 40 40 41,3919 5,5676 5,57cm EXERCÍCIOS 31) Calcule o desvo padrão: a) 8, 10, 11, 15, 16, 18 b) x 1 3 4 5 6 f 5 8 6 3 1 1,9375

c) CLASSES 30 50 70 90 110 130 f 8 1 10 5 UNIDADE VIII 1 - ASSIMETRIA Baseando nas relações entre a méda e a moda, podemos empregá-las para determnar o tpo de assmetra. Assm, calculando o valor da dferença: 4 - COEFICIENTE DE VARIAÇÃO O coefcente de varação (CV) é a relação entre o desvo padrão e a méda das varáves: CV 100 Quanto menor esse valor, mas homogêneo será o conjunto de dados. Exemplo 1: Para a dstrbução da tabela 6.1, onde = 161 cm e σ = 5,57 cm, temos: CV 5,57 100 = 0,03459 x 100 = 3,459 161 Exemplo : Tomemos os resultados das meddas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de ndvíduos: σ ESTATURAS 175 cm 5,0 cm PESOS 68 kg,0 kg Temos: 5 CVE 100 = 0,085 x 100 =,85 % 175 CV P 100 = 0,094 x 100 =,94 % 68 Logo, nesse grupo de ndvíduos, os pesos apresentam maor grau de dspersão que as estaturas. EXERCÍCIOS: 3) Sabendo que um conjunto de valores apresenta para méda artmétca e para desvo padrão, respectvamente, 18,3 e 1,47, calcule o coefcente de varação. 33) Um grupo de 85 moças tem estatura méda de 160,6 cm, com um desvo padrão gual a 5,97 cm. Outro grupo de 15 moças tem uma estatura méda de 161,9 cm, sendo o desvo padrão gual a 6,01 cm. Qual é o coefcente de varação de cada um dos grupos? Qual o grupo mas homogêneo? = Mo se: - Mo = 0 assmetra nula ou dstrbução smétrca; - Mo < 0 assmetra negatva ou à esquerda; - Mo > 0 assmetra postva ou à dreta. DISTRIBUIÇÃO A: = 1 kg, Md = 1 kg, Mo = 1 kg, σ = 4,4 kg DISTRIBUIÇÃO B: = 1,9 kg, Md = 13,5 kg, Mo = 16 kg, σ = 4,0 kg DISTRIBUIÇÃO C: = 11,1 kg, Md = 10,5 kg, Mo = 8 kg, σ = 4,0 kg Logo: A. 1-1 = 0 a dstrbução é smétrca. B. 1,9-16 = - 3,1 kg a dstrbução é assmétrca negatva. C. 11,1-8 = 3,1 kg a dstrbução é assmétrca postva. 1. - COEFICIENTE DE ASSIMETRIA Para uma comparação mas precsa de duas dstrbuções utlzamos o coefcente de assmetra de Pearson, dado por: As 3 - Md Se 0,15 < As < 1, a assmetra é consderada moderada; se As >, é forte. Consderando as dstrbuções A, B, e C dadas anterormente, temos: 31-1 AsA 0 smetra 4,4 As As B C 3 1,9-13,5 0, 49 assmetra negatva 4,0 3 11,1-10,5 0, 49 assmetra postva 4,0

EXERCÍCIOS: 34) Uma dstrbução de freqüênca apresenta as seguntes meddas: = 48,1; e Md = 47,9 e σ =,1. Calcule o coefcente de assmetra. Assm: c = 0,63 curva mesocúrtca c < 0,63 curva leptocúrtca c > 0,63 curva platcúrtca 35) Consderando a dstrbução de freqüênca relatva aos pesos de 100 operáro de uma fábrca: PESOS 50 58 66 74 8 90 98 N.º OPER. 10 15 5 4 16 10 determne o grau de assmetra. - CURTOSE Denomnamos curtose o grau de achatamento de uma dstrbução em relação a uma dstrbução padrão, denomnada curva normal (curva correspondente a uma dstrbução teórca de probaldade). Quando a dstrbução apresenta uma curva de freqüênca mas fechada que a normal (ou mas aguda em sua parte superor), ela recebe o nome de leptocúrtca. Quando a dstrbução apresenta uma curva de freqüênca mas aberta que a normal (ou mas achatada na sua parte superor) ela é chamada platcúrtca. A curva normal, que é a nossa base referencal, recebe o nome de mesocúrtca. Sabendo-se que uma dstrbução apresenta as seguntes meddas: Q 1 = 4,4 cm, Q 3 = 41, cm, P 10 = 0, cm e P 90 = 49,5 cm, temos: 41, 4, 4 16, 8 C 0, 866 (49,5 0, ) 58, 6 C = 0,87 Como: 0,87 > 0,63, concluímos que a dstrbução é platcúrtca, em relação à normal. EXERCÍCIO: 36) Determne o grau de curtose e classfque a dstrbução em relação à curva normal: PESOS 50 58 66 74 8 90 98 N.º OPER. 10 15 5 4 16 10 Leptocúrtca mesocúrtca.1 - Coefcente de curtose Q3 Q1 C (P P ) 90 10 platcúrtca Essa fórmula é conhecda como coefcente percentílco de curtose. Relatvamente à curva normal, temos: c = 0,63 UNIDADE IX 1- ARREDONDAMENTOS DE DADOS De acordo com a resolução 886/66 da fundação IBGE, o arredondamento é feto da segunte manera: Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 0,1,,3 ou 4, fca nalterado o últmo algarsmo a permanecer. 53,4 passa a 53, Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 6,7,8 ou 9, aumenta-se de uma undade o algarsmo a permanecer. Exemplos: 4,87 passa a 4,9/ 5,08 passa a 5,1 Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 5, há duas soluções: a) Se ao 5 segur em qualquer casa um algarsmo dferente de zero, aumenta-se uma undade ao algarsmo a permanecer. Exemplos: 3

,35 passa a,4 5,6501 passa a 5,7 76,5000 para 76,3 Arredonde para o centésmo mas próxmo e compense, se necessáro: 4,0 + 7,6 + 1,4 + 7,4 + 11,4 + 8,0 = 70,8 b) Se o 5 for o últmo algarsmo ou se ao 5 só se segurem zeros, o últmo algarsmos a ser conservado só será aumentado de uma undade se for ímpar. Exemplos: 4,75 passa a 4,8 4,65 passa a 4,6 4,75000 passa a 4,8 4,6500 passa a 4,6 - COMPENSAÇÃO Suponhamos os dados abaxo, aos quas aplcamos as regras do arredondamento: 5,3 5,3 17,85 17,8 10,44 10,4 + 31,17 + 31, 84,78 84,8 (?) (84,7) Verfcamos que houve uma pequena dscordânca: a soma é exatamente 84,7 quando, pelo arredondamento, devera ser 84,8. Entretanto, para que a apresentação dos resultados, é necessáro que desapareça tal dferença, o que é possível pela prátca do que denomnamos compensação, conservando o mesmo número de casas decmas. Pratcamente, usamos "descarregar" a dferença na(s) maor(es) parcela(s). Assm, passaríamos a ter: RESPOSTAS DE ALGUNS EXERCÍCIOS: 1)d 7)a ) a 8)b 3)b 9)c 4)c 10)c 5)c 1)a) 900 b) 800 c) 1.000 d) 950 6)c e) 100 f) 76 g) 0,155 h) 6 ) 194 j) 138 l) 9,5 % m) 19 % n)78% o) = 3 p) = 5 13)b 0)a 14)a 1)e 15)c ) a) 755 b) 84,3 16)a 6)b 17) (1) () (3) 7)a 18)b 8)c 19)d 9)c 30)a 31) a) s = 3,56 b) s = 1,4 c) 1,88 5,3 17,8 10,4 + 31,3 84,8 NOTA: Convém, anda, observar que, se a maor parcela é gual ao dobro de qualquer outra parcela (ou maor que esse dobro), descarregamos a dferença (maor que uma undade) apenas na maor parcela. EXERCÍCIOS 37) Arredonde para o centésmo mas próxmo e compense, se necessáro: 0,060 + 0,119 + 0,3 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 1,000 4