DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO T

Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (artículo completo) Eduardo Dvorkin, Marcela Goldchmit, Mario Storti (Ed.) Bueno Aire, Argentina, 15-18 Noviembre 2010 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO T Ana Beatriz C. e Silva, Gine A. S. Falcón, Sergio L. G. Garcia Univeridade Etadual do Norte Fluminene, Laboratório de Engenharia Civil, Avenida Alberto Lamego, 2000 Parque Caliórnia, CEP: 28013-602, Fax: +55 22 27397047, Campo do Goytacaze, RJ, Brail abeatrizc@gmail.com gine@uen.br liluier@uen.br Palavra chave: Otimização etrutural, Concreto armado, Viga reorçada. Reumo. Um tema de undamental importância para a indútria da contrução civil é a redução de cuto na obra. Aim, a utilização de técnica de projeto ótimo de etrutura etá e tornando cada vez mai reqüente, principalmente no dimenionamento ótimo de viga e pilare de concreto armado utilizado em ediicaçõe moderna. Nete contexto, ete artigo apreenta uma metodologia para dimenionamento ótimo de viga de concreto armado com eção T, ubmetida à lexão imple. No modelo de otimização propoto, objetiva-e reduzir ao mínimo poível o cuto de abricação da viga. Com bae no comportamento mecânico da viga, bucam-e coniguraçõe que aproveitem com máxima eiciência a caracterítica do aço e do concreto, ou eja, o modelo gera oluçõe próxima ao limite entre o domínio 3 e 4 onde o concreto etá em iminente ruptura e o aço encontra-e em ecoamento. A dimenõe principai da eção tranveral da viga T e a área da armadura na zona de tração e de compreão ão coniderada variávei de projeto, com limite laterai adotado egundo critério arquitetônico e norma uuai. A retriçõe de projeto coniderada veriicam o uncionamento da viga no domínio mai eiciente por meio da poição da linha neutra, além de outra retriçõe mecânica e geométrica. Adicionalmente, oi deenvolvida uma metodologia iterativa para análie da viga que, com bae no etado limite último da eção crítica, poibilita a determinação da poição da linha neutra e do momento reitente, de orma automática para qualquer coniguração corrente da eção. O problema de otimização oi implementado utilizando-e o método de Programação Quadrática Seqüencial. A partir de um dado momento letor olicitante, o código computacionai implementado permitem o dimenionamento ótimo da eção. O reultado obtido motram que o cuto de abricação da viga ão batante competitivo em relação ao projeto uuai. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

9218 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 1 INTRODUÇÃO Atualmente, a indútria da contrução civil vem e deenvolvendo aceleradamente. Com relativa reqüência ão divulgada novidade no deenvolvimento de nova metodologia relacionada ao dimenionamento e projeto etrutural, bem como nova técnica contrutiva. A redução do cuto de abricação de cada um do elemento etruturai de uma contrução em concreto armado traz uma economia igniicativa no cuto inal da obra. Além dio, a produção em grande ecala de elemento pré-moldado é de grande interee para o mercado da contrução civil, uma vez que eta pode diponibilizar produto de qualidade uperior e de menor cuto. O elemento etruturai em concreto armado apreentam um comportamento não-linear devido à aociação do comportamento mecânico do aço e do concreto. Enquanto o concreto reite bem à compreão e é deiciente na tração, o aço complementa o concreto de modo ideal, por pouir uma boa reitência tanto à tração como também à compreão, como ilutrado na Fig. 1, onde yd é a tenão de ecoamento do aço, cd é a reitência à compreão do concreto (valor de cálculo), c é a deormação do concreto e, a deormação do aço. Figura 1: Diagrama tenão-deormação do aço e do concreto. No projeto de viga em concreto armado ubmetida à lexão imple, divera coniguraçõe ão poívei. No entanto, exite uma onde o doi materiai ão aproveitado ao máximo o aço ecoa e o concreto chega a ua iminente ruptura. A eta coniguração dá-e o nome de olução ótima. Portanto, a identiicação deta coniguração ótima é aunto de grande relevância na Engenharia Civil. Além dio, viga com eção T ão elemento cada vez mai utilizado em etrutura como laje maciça e nervurada, galpõe indutriai, viga de ponte etc. Na contrução civil, em geral, a viga é moldada monoliticamente com a laje e, portanto, a eção da viga contitui, na realidade, uma eção T ao invé de uma imple eção retangular. Por outro lado, a eção T pode er coniderada mai Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (2010) 9219 eiciente que a eção retangular, devido ao ato de que a eção T reduz a quantidade de concreto na zona tracionada da viga, onde ete é ineiciente. No último ano, divero etudo reerente à otimização de peça etruturai de concreto armado oram publicado: CHAKRABARTY (1992), ZIELINSKI et al. (1995), RATH et al. (1999). No entanto, a maioria dele é detinada a viga com eçõe retangulare e raramente e dedicam a viga de eção T, como em FERREIRA et al. (2003), que apreentaram um modelo para maximização do momento letor, utilizando como variável de projeto a razão entre a área de aço comprimido e a área de aço tracionado. O método cláico de otimização baeado em Programação Matemática partem de uma coniguração inicial e, iterativamente, eta olução é melhorada. Atravé deta técnica, é calculada uma direção de buca e o quanto e deve andar neta direção e é neceário o cálculo do gradiente da unçõe que compõem o modelo de otimização. Uma caracterítica importante deta técnica é que ela convergem rapidamente para a olução ótima, porém, com a devantagem de não garantirem uma olução global do problema multimodal, ou eja, quando a curva poui vário extremo. Nete contexto, ete artigo propõe a implementação de uma metodologia para projeto ótimo de viga de concreto armado com eção T, ubmetida à lexão imple utilizando-e o algoritmo de Programação Quadrática Seqüencial, com a inalidade de minimizar o cuto total de abricação. No problema de viga de concreto armado ubmetida à lexão imple, o dimenionamento que apreenta reultado mai econômico é aquele cuja poição da linha neutra e encontra próxima à ronteira do domínio 3 e 4 de deormação, ou eja, quando o concreto etá na iminência da ruptura e o aço etá em ecoamento gerando, portanto, uma ruptura com avio prévio a partir de delocamento e iuraçõe viívei. Aim, nete trabalho, o dimenionamento ótimo é realizado exigindo-e, atravé de uma retrição de projeto, que a poição da linha neutra e encontre próxima a eta ronteira, coniderando que ete eja o comportamento mecânico que leva à coniguração ótima do problema. Como e abe, para o memo momento letor atuante, a oluçõe com armadura dupla requerem uma maior área total de aço do que a oluçõe com armadura imple. Aim, epera-e, nete trabalho, que a olução de cuto mínimo para o etado deormacional último eja obtida com armadura mínima de aço comprimido. Além dio, a cada iteração é eita uma análie etrutural da viga a partir de valore da variávei de projeto corrente a im de obter repota mecânica atuante na viga, como valore da tenõe na armadura de tração e de compreão, poição da linha neutra e momento reitente último da eção. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

9220 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 2 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO T 2: A geometria da eção T da etrutura em concreto armado é motrada na Fig. Figura 2: Geometria da eção T. Sendo h a altura da mea, b a largura da mea, b w a largura da nervura, d a altura útil, a a ditância do centro de gravidade da armadura até a borda mai tracionada, A a área da armadura de tração e A a área da armadura de compreão. 3 MODELAGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO De maneira geral, o proceo de otimização de etrutura egue iterativamente o equema motrado na Fig. 3. Figura 3: Equema geral de otimização etrutural. Nete equema, conidera-e que, a partir de uma coniguração inicial (X k ), obtém-e uma coniguração melhorada (X k+1 ) por meio de um proceo iterativo que integra doi módulo de cálculo importante. No módulo de análie etrutural, a cada Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

iteração ão calculada a repota mecânica atuante na etrutura. Enquanto que, no módulo otimizador ão deinida nova coniguraçõe que reduzem o valor do objetivo e que, na olução, veriicam toda a retriçõe impota ao modelo. Utilizando técnica de programação matemática a olução do problema conite, baicamente, em identiicar a coniguração que eja o máximo ou mínimo da unção objetivo e que atiaça toda a retriçõe do projeto, como egue Onde x ujeito a x 0; x 0; minimizar x, g x e x g i i 1,..., m (1) h j j 1,..., p l x b u b h ão unçõe dierenciávei não neceariamente lineare e me p ão o número de retriçõe de deigualdade e de igualdade, repectivamente. Nete algoritmo baeado no Método de Programação Quadrática Seqüencial, a unção objetivo x é ubtituída por uma aproximação quadrática e a retriçõe g x e x h ão ubtituída por aproximaçõe lineare, TELES e GOMES (2010). A atualização da matriz Heiana é aproximada pelo método BFGS e o gradiente da unçõe ão obtido atravé do método aproximado da dierença inita. Em particular, nete artigo é apreentada a ormulação para o problema de minimização do cuto de abricação de viga de concreto armado de eção tranveral T coniderando uma viga iotática implemente apoiada com carregamento homogêneo ditribuído, ou eja, o momento letor é poitivo ao longo da viga. A variávei de projeto no proceo de otimização ão d, A, A, b e h. A unção objetivo é o cuto de abricação da viga, onde ão coniderado o cuto da armadura, concreto e orma. Aim, na unção objetivo apreentada na Eq. (2), é coniderado o cuto por unidade de comprimento: ' b h b d a h C A A C d a ( x) 2 w c b C Onde: C c é o cuto do concreto por unidade de volume, C é o cuto do aço por unidade de volume e C é o cuto da orma por unidade de área. 3.1 Análie etrutural da viga Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (2010) 9221 Neta etapa é realizado o proceo de veriicação da eção tranveral, ou eja, é eetuado o cálculo do momento reitente último a partir do divero cao ilutrado na Fig. 4. A partir dete proceo, é poível calcular a poição da linha neutra ( x ) e a tenõe na armadura de tração e de compreão da viga. (2) Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

9222 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA Figura 4: Divero cao coniderado na análie da eção tranveral da viga. No cao I, III e V, a eção e comporta como eção retangular de largura b, ito é, a poição da linha neutra e localiza na mea. Já no cao II, IV e VI, a linha neutra paa pela nervura: a eção e comporta como T verdadeira. O cao I e II, correpondem à eçõe que etão no domínio 2; o cao III e IV correpondem ao domínio 3 e o cao V e VI, ao domínio 4. O domínio 2 correponde à deormação por alongamento do aço de 1% e a deormação por compreão do concreto varia entre 0 e 0,35%. No domínio 3, a deormação do concreto é de 0,35% e a deormação do aço varia entre a deormação de ecoamento e 1%, ou eja, o concreto encontra-e na ruptura e o aço, em yd ecoamento a ete tipo de eção, dá-e o nome de eção ubarmada. No domínio 4 o concreto também atinge a ruptura (0,35%) e a deormação do aço varia entre 0 e a deormação de ecoamento. Coneqüentemente, o aço é mal aproveitado, e a eção, uperarmada. yd Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

3.1.1 Cálculo da deormaçõe da armadura Com bae no etado limite último, para cada domínio há uma equação de compatibilidade para a deormaçõe do aço de compreão e de tração, como egue: a) Domínio 2: x 0, 259d Nete domínio, o aço tracionado poui uma deormação 1% e a deormação do aço comprimido pode er calculada por: b) Domínio 3: 0,0035 0,259d x 0,0035 E x a ' 0, 01 (3) d x yd Nete domínio, o aço tracionado também poui uma deormação 1% e a deormação do aço comprimido pode er calculada por: c) Domínio 4: Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (2010) 9223 0,0035 x 0,0035 E x a ' 0, 0035 (4) x yd No domínio 4, a deormação do aço tracionado pode er calculada por: d x 0, 0035 (5) x A deormação do aço comprimido pode er calculada pela Eq. (4). 3.1.2 Seção retangular de largura b e eção T verdadeira O cálculo da equaçõe de equilíbrio para a eção da viga com comportamento retangular de largura b oi baeado na Fig. 5. Figura 5: Diagrama de tenõe da eção tranveral da viga com comportamento retangular de largura b. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

9224 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA Nete cao, a equaçõe de equilíbrio de orça e momento ão dada a eguir: F 0 A 0, 68 x ' ' cd b x A (6) ' ' M 0 M A ( d a) 0,68 b x( d 0,4x) (7) u Para o cálculo da equaçõe de equilíbrio da eção da viga que e comporta como T verdadeira, a eção oi dividida em trê parte, como ilutra a Fig. 6. cd Figura 6: Diagrama de tenõe da eção tranveral da viga com eção T verdadeira, endo A A 1 A 2 A 3 e M u M u1 M u2 M u3. Nete cao, a equaçõe de equilíbrio de orça e momento ão dada por: h 1 M M 0,85 h (8) A 1 0 u1 cd b bw d 2 h 1 M F c 0 M u1 A 1 d (9) 2 3 x F 0 A (10) 2 x cd ' ' A 2 F 0 0,68 b x A (11) w 3 3.1.3 Particularidade no cálculo da poição da linha neutra No cao onde a eção etá no domínio 4 e e comporta como retangular de largura b, é utilizada a equação de equilíbrio de orça Eq. (6), aplicando a lei de Hooke ( E ): A ' ' 0, 68 cd b x A E (12) Sendo a deormação do aço tracionado para o cao de domínio 4, a partir da equaçõe de compatibilidade, dada pela Eq.(5). Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

Aim, a equação para o cálculo da poição da linha neutra para o cao de eção com comportamento retangular de largura b é a equação de egundo grau: ' ' A 0,0035A E x 0,0035A E d 0 2 0,68b cd x (13) No cao onde a eção etá no domínio 4 e e comporta como T verdadeira, é utilizada a equação de equilíbrio de orça Eq.(11), azendo E : 0,68 b x A E (14) cd w Sendo, para o cao de domínio 4, dada pela Eq.(5). Aim, a equação para o cálculo da poição da linha neutra para o cao de eção de comportamento T verdadeira é a equação de egundo grau: 3 0 3 2,68b w cd x 0,0035A 3E x 0,0035A E d 0 (15) 3.1.4 Cálculo do momento reitente da viga Nete trabalho, propõe-e o calculo iterativo da tenõe atuante na viga. Segundo RIOS (2004), como aproximação inicial da tenõe atuante na armadura de tração e de compreão, podem er adotado o valore de tenão de ecoamento correpondente e, poteriormente, determina-e o valor da poição da linha neutra e a deormaçõe na armadura. Em eguida, coniderando o valore anteriormente calculado, o valore da tenõe atuante podem er corrigido, aplicando-e a lei de Hooke para deormaçõe menore que a deormação de ecoamento; enquanto que, para deormaçõe maiore que eta, aume-e que o aço ecoa (a tenão paa a er igual à tenão de ecoamento yd ). Ete proceo é repetido até que a tenõe calculada ejam muito próxima da tenõe calculada na iteração anterior, chegando, aim, ao valor real da tenõe na armadura. Finalmente, a partir do valore calculado da poição da linha neutra e da tenõe na armadura de tração e de compreão, é calculado o momento reitente último da eção da viga utilizando-e a Eq. (16) para o cao de eção retangular de largura b e a Eq. (17) para o cao de eção T verdadeira. M d a 0,68 b xd 0, x ' ' M u A cd 4 (16) h ' ' 0,85 cdh b bw d A d a 0,68 cdbw xd 0, x 2 (17) u 4 3.2 Retriçõe de projeto ótimo Nete trabalho conideram-e a eguinte limitaçõe de projeto: a) Retrição que limita o exceo de armadura, para evitar uma iuração inaceitável do concreto: ' Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (2010) 9225 AC A A P b ( d a h ) b w h (18) Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

9226 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA Onde P AC é a relação entre área de aço e a área de concreto da eção tranveral. Nete trabalho, conidera-e P AC =0,04 (4,0%) de acordo com recomendaçõe da norma local. b) Retrição que limita a porcentagem de armadura trabalhando à compreão em 50% da armadura de tração, viando à poibilidade do uo do vibrador para uma melhor execução da concretagem - SOARES e EL DEBS (1999): A 0, 5 (19) ' A c) Retrição que conidera a condição de que a linha neutra ique localizada abaixo da mea: h 0, 8x (20) Onde h é a altura da mea e x é a poição da linha neutra. d) Retrição que determina que h não pode er menor e 20% da altura útil da viga: 0,2d h (21) e) Retrição que determina que a eção deve etar no domínio 2 ou 3: x 0, 0035 0, 0035 yd d (22) Onde yd é a deormação de ecoamento do aço, dado por ) Retrição para que o momento reitente da eção eja maior ou igual ao momento olicitante : M d M u (23) Sendo M d o momento olicitante e M u o momento reitente. Adicionalmente, impõem-e critério de egurança de acordo com a norma de projeto uuai. A retriçõe laterai deinem limite mínimo e máximo para a variávei de projeto. Uualmente, eta ão exigência de norma locai ABNT NBR 6118. É importante lembrar que não oram utilizada retriçõe de igualdade no proceo de otimização. Outro apecto relevante é que a retriçõe do problema dependem de unçõe contínua por parte, ou eja, ão unçõe não dierenciávei. Deta orma, devido ao algoritmo de Programação Seqüencial Quadrática utilizado, eta retriçõe contínua por parte ão ubtituída de orma aproximada por uma retrição quadrática contínua. E yd. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

A[cm2], A'[cm2] d[cm],b[cm],h[cm] 4 RESULTADOS OBTIDOS Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (2010) 9227 Na avaliação numérica da metodologia propota nete trabalho, divera coniguraçõe iniciai, X 0, oram tetada. O limite ineriore e uperiore podem er deinido pelo uuário de acordo com a divera ituaçõe de projeto poívei. Todavia, de acordo com a prática corrente da contrução civil, conideram-e divero valore de momento letore olicitante variando de 5000 kncm a 120000 kncm. Na Fig. 7(a) e 7(b) ão motrada a dimenõe ótima obtida em unção do momento olicitante para a = 4 cm, aço CA-50 e concreto clae C20. Em particular, na Tabela 1, ão detacada a dimenõe ótima para um momento letor olicitante igual a 40000 kncm. 140 120 d b h 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 MOME NTO F LE TOR [kn.cm] x 10 4 30 25 A A' (a) 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 MOME NTO FLE TOR [kn.cm] x 10 4 (b) Figura 7: Dimenõe ótima para viga de eção T: (a) altura útil d, largura do lange b e altura do lange h ; (b) área de aço tracionado A e de aço comprimido A. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

CUS TO [R$/m] 9228 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA M d (kncm) Variávei ótima de projeto d (cm) A (cm 2 ) A (cm 2 ) b (cm) h (cm) 40000 74,6 1,0 14,4 24,0 15,8 Tabela 1: Variávei ótima de projeto para momento letor olicitante de 40000 kncm. A Fig. 8 apreenta a curva do cuto ótimo da viga de eção T em unção do momento olicitante variando de 5000 kncm a 120000 kncm a partir da metodologia empregada. Como comparação, oram detacado o reultado obtido pela reerência PINHEIRO (2004) por meio de técnica de pré-dimenionamento convencionai (repeitando o etado limite último e de erviço) para o valore de momento olicitante iguai a 44100 kncm e 52920 kncm. 250 Viga T - Md X Cuto 200 X: 4.41e+004 Y : 206.8 X: 5.292e+004 Y : 229.5 150 100 P reente P inheiro(2004) 50 0 2 4 6 8 10 12 MOME NTO FLE TOR [kn.cm] x 10 4 Figura 8: Cuto ótimo da viga de eção T. Na Tabela 2 ão apreentada a coniguraçõe ótima obtida nete trabalho Trab1 e em PINHEIRO (2004) Trab2 para momento olicitante iguai a 44100 kncm e 52920 kncm. Na Tabela 3 ão comparado o cuto de abricação da viga de eção T obtido por meio deta metodologia com o cuto obtido no trabalho da reerência. M d Variávei ótima de projeto (kncm d (cm) A (cm 2 ) A (cm 2 ) b (cm) h (cm) ) Trab1 Trab2 Trab1 Trab2 Trab1 Trab2 Trab1 Trab2 Trab1 Trab2 44100 79,0 42,0 1,0 0 15,2 27,3 25,0 80,0 16,0 10,0 52920 87,0 42,0 1,0 0 16,8 33,9 26,5 80,0 16,3 10,0 Tabela 2: Comparação com a dimenõe de reerência PINHEIRO (2004). Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

Mecánica Computacional Vol XXIX, pág. 9217-9230 (2010) 9229 M d (kncm) Cuto (R$/m) Trab1 Trab2 Redução de cuto (%) 44100 154,90 206,80 25 52920 169,60 229,50 26 Tabela 3: Comparação com o cuto de reerência PINHEIRO (2004). Na Tabela 2, pode-e notar que o valore de área de aço tracionado obtido nete trabalho oram bem menore que o valore de reerência, havendo uma compenação no aumento da altura útil. Acredita-e que ete comportamento e deve ao cuto relativo entre o aço e o concreto que, como e abe, variam de acordo com a localização da obra e com a época da contrução. Na Tabela 3, oberva-e claramente que houve uma economia igniicativa no cuto de abricação da viga em relação ao valore de reerência. 5 CONCLUSÕES Foi propota uma metodologia de dimenionamento ótimo de viga de concreto armado com eção T, ubmetida à lexão imple, por meio de um algoritmo baeado no Método de Programação Quadrática Seqüencial. A metodologia propota apreentou reultado atiatório uma vez que houve uma economia igniicativa no cuto de abricação da viga quando comparado ao valore de reerência, atendendo a toda a retriçõe impota ao problema. Além dio, o programa deenvolvido é amigável e de ácil compreenão. São neceário dado de entrada como a dimenõe da eção e a área de aço, reitência do aço e do concreto, cuto do concreto, do aço e da orma. Aim, a cada iteração, a dimenõe da eção da viga ão melhorada e o programa é capaz de ornecer a dimenõe ótima e o cuto ótimo da eção para um dado momento olicitante. Adicionalmente, oi propota uma metodologia para análie etrutural da eção baeada no etado limite último, que torna poível o cálculo da poição da linha neutra, da tenõe na armadura de tração e de compreão e do momento reitente da eção. O reultado obtido ão batante enívei à coniguração inicial e à retriçõe geométrica impota no modelo de otimização. Acredita-e que ito ocorra devido ao ato de que o problema tem inúmero mínimo locai que atiazem plenamente ao modelo de otimização propoto nete trabalho. 6 BIBLIOGRAFIA ABNT. NBR 6118 - Projeto de etrutura de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

9230 A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA CHAKRABARTY, B.K. (1992) A model or optimal deign o reinorced concrete beam. Journal o Structural Engineering, ASCE, v.118, n.11, p. 3238-3242, Nov. FERREIRA, C. C., BARROS, M. H. F. M., BARROS, A. F. M. (2003) Optimal deign o reinorced concrete T-ection in bending. Engineering Structure, v.25, n.7, p.951-964, Jun. PINHEIRO, L. M.; 2004. Fundamento do Concreto e Projeto de Ediício; Ecola de Engenharia de São Carlo, Departamento de Engenharia de Etrutura; p.96-97, Set. RATH, D.P., AHLAWAT, A.S., RAMASWAMY, A. (1999) Shape optimization o RC lexural member. Journal o Structural Engineering, ASCE, v.125, n.12, p.1439-1446, Dez. RIOS, R. (2004) Fundamento de Concreto Armado. Ecola de Engenharia Univeridade Federal do Rio Grande do Sul. Diponível em: http://www.ppgec.urg.br/rrio. SOARES, R. C., EL DEBS, A. L. H. C. (1999) Otimização de Seçõe Tranverai de Concreto Armado Sujeita à Flexão: Aplicação a Pavimento. Diertação (metrado), Ecola de Engenharia de São Carlo, Univeridade de São Paulo. TELES, M. L., GOMES, H. M. (2010) Comparação de algoritmo genético e programação quadrática eqüencial para otimização de problema em engenharia, Teoria e Prática na Engenharia Civil, v.10, n.15, p.29-39, Abr. Univeridade Federal do Rio Grande do Sul. ZIELINSKI, Z.A., LONG, W., TROITSKY, M.S. (1995) Deigning reinorced concrete horttied column uing the optimization technique. ACI Structural Journal, v.92, n.5, p.619-626, Set/Out. Copyright 2010 Aociación Argentina de Mecánica Computacional http://www.amcaonline.org.ar