NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA Polígonos são figuras planas fechadas com lados retos. Todo polígono possui os seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. Altura de um triângulo é o segmento de reta que liga, perpendicularmente, um vértice à reta que contém o lado oposto a esse vértice. De acordo com o número de lados o polígono é nomeado: Nº de lados Nome Polígonos Nº de lados Nome 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 undecágono 1 dodecágono Triângulo retângulo Em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras : (hip) = (cat) + (cat). 13 tridecágono 14 tetradecágono Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas maneiras: quanto ao tamanho dos lados: Ex.: Determinar o valor de x. equilátero - 3 lados de mesmo comprimento, isósceles - lados de mesmo comprimento, escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes; quanto às medidas dos ângulos: acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90 graus), retângulos - 1 ângulo reto (90 graus), obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90 graus). 1
PERÍMETRO DE POLÍGONO E CIRCULO Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. O perímetro no círculo é chamado de comprimento da circunferência. A razão entre o comprimento e o diâmetro é a mesma para quaisquer circunferências e é representada pela letra grega (pi). C Assim: 3,14159... D O número 3,14159... corresponde em matemática à letra grega (pi), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considerar = 3,14. C C D. C r D Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Exercícios: 1) Encontre o perímetro em cada caso: a) b) 3) Será feito o plantio de laranja em todo o contorno de um terreno retangular de 4 m x 3 m. Se entre os pés de laranjas a distância é de,60 m, quantos pés de laranjas foram plantados? 4) O perímetro de um triângulo equilátero corresponde a 5/6 do perímetro de um quadrado que tem 9 cm de lado. Qual é a medida, em metros, do lado desse triângulo equilátero? 5) Numa sala quadrada, foram gastos 4,80 m de rodapé de madeira. Essa sala tem apenas uma porta de 1,0 m de largura. Considerando que não foi colocado rodapé na largura da porta, calcule a medida de cada lado dessa sala. 6) O raio de uma circunferência mede 4 cm. Quanto mede o seu comprimento? 7) O comprimento de uma circunferência mede 18,84 cm. Quanto mede o raio? 8) (Ufjf) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185.600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: 9) Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas? 10) Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros. 11) Calcule o perímetro de um triângulo isósceles com 4cm de altura e 36cm de base. 1) ) Uma roda tem 40 cm de raio. Quantas voltas completas dará esta roda após percorrer 7.536m de percurso? c) d) ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS Retângulo Quadrado Paralelogramo )A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado. Calcule quantos metros de corda deverá ser gasto para cercar a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado, deseja-se dar 4 voltas com a corda. A= b.h A = l A= b.h 3 4
Triângulo Trapézio Losango A= b.h B b.h D.d Triângulo Equilátero Hexágono Círculo ) A diagonal de um retângulo mede 0 cm. Se sua base é o triplo da altura, calcule sua área. (10cm ) 3) A área de um quadrado é 18 cm. Calcule a medida da diagonal desse quadrado. (6cm) 4) (Mack-SP) Um jardineiro, trabalhando sempre no mesmo ritmo, demora 3 horas para carpir um canteiro circular de 3 m de raio. Se o raio fosse igual a 6 m, quanto tempo ele demoraria? (1 hs) 5) O perímetro de um losango é igual a 4 3 cm. Sabendo que sua diagonal menor mede 4 cm, calcule sua área. (40 cm ) 6) As bases de um trapézio isósceles medem 10 cm e 6 cm. Se a medida do lado oblíquo mede 4 cm, calcule sua área. (16 3 cm ) 7) Calcule a área do triângulo equilátero cuja altura mede 3 3 cm. (9 3 cm ) 8) Calcule o perímetro de um triângulo isósceles cuja base mede 1 cm e a altura 8cm. (3 cm) l 4 3 Exercícios: 1) Calcule a área de cada figura: 6.l 3 A = π.r 4 9) Calcule a medida do lado de um triângulo equilátero de área igual a 54 3 cm. (6 6 cm) 10) (PUC-RIO 008) Um festival foi realizado num campo de 40 m por 45 m. Sabendo que por cada m² havia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival? (37.800) 11) Um telhado de quatro águas é formado por dois triângulos iguais e dois trapézios iguais. Para cobrir 1 m de telhado gastam-se 0 telhas. Quantas telhas, aproximadamente, há no telhado da casa? (3544 telhas) 1) Uma lajota retangular tem 30 cm por 0 cm. Qual é a área da lajota? Quantas lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de dimensões 1 m por 8 m? (600 cm ), (1600 lajotas) 13) É necessário um certo número de pisos de 5 cm x 5 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 0 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha? (16 caixas) 5 6
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA TRIÂNGULO INSCRITO Polígonos regulares são polígonos em que todos os lados e os ângulos internos são congruentes. ELEMENTOS DE UM POLIGONO REGULAR INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA O: centro da circunferência (e do polígono) r : raio da circunferência l : lado do polígono ap : apótema ( distância entre o centro e o ponto médio do lado do polígono) RELAÇÕES MÉTRICAS DE POLÍGONOS INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA Quando consideramos a medida do lado do polígono regular, a medida do apótema do mesmo polígono e o comprimento do raio da circunferência onde o polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas QUADRADO INSCRITO EXERCÍCIOS: 1) Calcule o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 7 cm. 7 cm ) Calcular a medida do raio e do apótema no quadrado inscrito numa circunferência, cujo o lado mede 1cm. 6cm e 6 cm 3) Calcule o apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 8 cm. 14 cm 4) O apótema de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 3 cm. Quanto mede o seu lado? 5) O lado de um quadrado inscrito numa circunferência mede 4cm. Calcule o raio da 6 cm circunferência. cm 6) A diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 5cm. Calcule o lado do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência.,5 cm 8) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 15cm. Quanto mede o seu lado? 10 3 cm HEXÁGONO INSCRITO 9) O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 7 3 cm. Determine o perímetro do hexágono. 84 cm 10) O perímetro de um hexágono regular cujo apótema mede 5 3cm é: 60 cm 11) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40cm. Então, o raio da circunferência mede: 1) Calcular o perímetro de um quadrado inscrito em um círculo cujo comprimento de sua circunferência é 10 cm. 40cm 7 8 5 cm