MECÂNICA DOS FLUIDOS I Engenharia Mecânica e Naval º Teste 30 de Outubro de 05, 8h00m Duração: horas Questão Uma conduta de ventilação de ar (massa volúmica ρ =, kg/m 3 ), de secção transversal rectangular, de largura constante b = m, oi equipada com um iltro de espessura desprezável, representado a tracejado na Fig Foram instaladas tomadas de pressão estática nas secções (entrada),, (imediatamente antes e depois do iltro) e 3 (secção de saída), ligadas a um multimanómetro de tubos inclinados, esquematicamente representado na igura, com inclinação de º e com um luido manométrico de massa volúmica igual a 800 kg/m 3 A conduta oi desenhada de orma a ter peris de velocidade longitudinal aproximadamente uniormes em todas as secções transversais Nesta conduta, a pressão piezométrica à entrada (secção ) é igual à de saída (secção 3), ambas iguais à pressão piezométrica da atmosera, como indicado pelo nível do líquido, a traço interrompido, no multimanómetro da igura A componente transversal da velocidade é sempre muito pequena, comparada com a componente longitudinal As áreas das secções são A = m, A =,5 m e A 3 = 3 m A altura da conduta na secção é h = m O comprimento da conduta entre as secções e 3 é L = 0 m Admita escoamento incompressível e adiabático com propriedades constantes Considere que as perdas de energia por atrito viscoso só ocorrem no iltro Figura a) (,0 Val) Determine a dierença de pressão estática absoluta entre a parte de cima da conduta e a parte de baixo, na secção (entre os pontos A e D) b) (,0 val) Suponha que houve uma inundação na cave e que o troço da conduta representado na Fig icou totalmente submerso, mas não entrou água na conduta Faça uma estimativa da orça vertical exercida pela água sobre a conduta, com base na inormação disponível c) (,5 Val) Colocou-se um tubo de total na secção e uma tomada de pressão estática nessa secção Mediu-se a dierença entre a pressão total e a pressão estática no manómetro de tubos inclinado A dierença de comprimentos molhados é de 30 mm Calcule a dierença de pressão em Pascal
d) (,5 Val) Calcule a velocidade do ar na secção da conduta Nota: se não calculou esta velocidade, considere v = 9 m/s nas próximas alíneas e) (,0 Val) Determine as velocidades v e v 3 nas secções e 3 ) (,0 Val) Trace as linhas de corrente que passam nos pontos A, B e C do plano vertical médio da conduta desde a secção até à secção 3 O ponto C está sobre o eixo da conduta g) (,0 Val) Compare graicamente as linhas de corrente anteriores com as trajectórias, no caso de o caudal aumentar no tempo, mantendo-se o escoamento incompressível e sendo os peris de velocidade uniormes nas secções transversais, como se mostra na Fig h) (3,0 Val) Através de um balanço de energia, determine a potência dissipada no iltro, Sugestão: Use um volume de controlo delimitado pelas paredes da conduta e pelas secções e 3 i) (3,0 Val) Calcule a dierença de pressão entre as duas aces do iltro (secções e ) Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli entre as secções e e entre as secções e 3 j) (,5 Val) Calcule o módulo da resultante da orça F que o iltro exerce no luido Justiique k) (,5 Val) Calcule a componente horizontal da orça que o luido exerce sobre as paredes da conduta (O iltro não az parte das paredes da conduta)
Solução: a) A distribuição de pressão na secção é hidrostática porque o escoamento na secção tem linhas de corrente rectilíneas paralelas Assim a dierença de pressão estática entre os pontos A e D será p p = ρ g( z z ) = ρ gh D A A D Com ρ =, kg/m 3, h = m e g = 9,8 m/s, tem-se p 3 D pa =, kg/m 9,8 m/s m=,8 Pa b) Se o troço da conduta icou totalmente submerso sem água no seu interior a orça vertical exercida pela água em repouso na conduta cheia de ar é a orça hidrostática de impulsão Esta é dada pelo peso do volume de água deslocado, isto é: F = ρ gv v a d sendo V d o volume deslocado e ρ a a massa volúmica da água Este volume pode ser estimado admitindo uma variação linear de área entre as secções e 3, isto é uma variação linear de altura dado que a largura é constante e igual a b = m A altura média é h m =( m + 3 m)/ = m O volume será 3 V d = m m 0 m= 0 m, e a orça vem F ρ 3 3 v = agvd = 000 kg/m 9,8 m/s 0 m = 96 kn c) A dierença de pressão entre o tubo de total e a tomada de pressão estática colocados na secção é medida no multimanómetro inclinado através de um comprimento molhado l m de 30 mm Se ρ m = 800 kg/m 3 or a massa volúmica do luido manométrico e α = º o ângulo de inclinação do multimanómetro, a dierença de pressão será p = ρ ρ α = = 3 3 t ( m ) glm sin (800 kg/m, kg/m ) 9,8 m/s 0, 03 m sin 48,8 Pa d) A aplicação da equação de Bernoulli a uma linha de corrente que contém o ponto 0 de estagnação no nariz do tubo de pressão total conduz a Com v 0 = 0 e pt = p0 p será v 0 v0 p p + = + ρ ρ p t 48,8 Pa v = = = 9,0 m/s 3 ρ, kg/m
e) Em regime estacionário o caudal mássico através da secção será igual ao caudal mássico através da secção e ao caudal mássico através da secção 3 mɺ = mɺ = mɺ 3 Para escoamento incompressível com ρ constante o caudal volúmico é idêntico para todas as secções Q = Q = Q3 Admitindo escoamento uniorme para a componente axial da velocidade em todas as secções, teremos Assim, e v A v v A = v A = v3 A3 A = v = 9,0 m/s= 6,0 m/s,5 A = v = 9,0 m/s = 3,0 m/s 3 3 A3 ) A linha de corrente que passa por A coincide com a parede da conduta A linha de corrente que passa por C coincide com o eixo da conduta A linha de corrente que passa por B coincide com a linha média entre o eixo e a parede se o ponto B estiver a uma distância do eixo de 0,5 m g) As trajectórias coincidem graicamente com as linhas de corrente uma vez que com o aumento do caudal no tempo a direcção do vector velocidade em cada ponto não se altera, variando apenas o seu módulo h) A equação integral de balanço de energia para um volume de controlo ixo escreve-se VC ( u V gz) d ( h V gz)( V n) ds Q Wm Wv t ρ ρ + + V+ + + = ɺ ɺ, em que ρ é a massa volúmica do ar, u a energia interna especíica, h a entalpia especíica, Q ɺ o calor por unidade de tempo trocado com o exterior, W ɺ m o trabalho ao veio por unidade de tempo e W ɺ v o trabalho por unidade de tempo das orças viscosas na superície de controlo Para escoamento incompressível, estacionário, adiabático sem trabalho ao veio e com o trabalho das orças viscosas na superície de controlo desprezável, a equação será ρ + + = ( h V gz)( V n) ds 0
p Com h= u+, a equação escreve-se ρ ρ ρ ρ u( V n) ds = ( p+ V + gz)( V n) ds O primeiro membro representa o aumento de energia interna da entrada para a saída 3 do troço da conduta e é a energia dissipada por unidade de tempo Wɺ =ρgqh 3 Esta perda ocorre apenas no iltro tendo em atenção que não existem outras perdas de energia por atrito viscoso Logo Wɺ = ( p+ ρv + ρgz)( V n) ds = ( p+ ρv + ρgz)( V n) ds ( p+ ρv + ρgz)( V n) ds S S3 Assim, com p+ ρgz = p3+ ρgz3 uniormes nas secções e 3 e V = v e V = v3 uniormes nas secções e 3, vem Wɺ = mɺ v mɺ 3 v3 Sendo mɺ = mɺ = ρ( V n) ds = ρ( V n) ds = mɺ 3 S S3 o caudal mássico, tem-se Wɺ = mɺ ( v v3 ) O caudal mássico é mɺ = ρq= ρv A = = 3, kg/m 9 m/s m 0,8 kg/s E a potência dissipada no iltro vem Wɺ = mɺ ( v v3 ) = 0,8 kg/s 0,5 (9,0 m /s 3,0 m /s ) = 389 W i) Aplicando a equação de Bernoulli entre as secções e tem-se gz gz p v p v + + = + + ρ ρ
Aplicando a equação de Bernoulli entre as secções e 3 tem-se 3 3 gz3 gz p v p v + + = + + ρ ρ Como v = v, z = z e p p3 + gz = + gz3, vem ρ ρ 3 p p = ρ ( v v3 ) = 0,5, kg/m (9,0 m /s 3,0 m /s ) = 43, Pa j) A orça F que o iltro exerce sobre o luido na direcção longitudinal obtém-se azendo um balanço de quantidade de movimento a um volume de controlo delimitado pelos dois lados do iltro secções e Será F + ( p p ) A = mɺ ( v v ) Como v = v, obtém-se F = p p A = = ( ) 43, Pa,5 m 64,8 N O módulo da orça é 64,8 N k) O balanço de quantidade de movimento longitudinal para um volume de controlo delimitado pelas secções e 3 incluindo no seu interior a parede da conduta e o iltro escreve-se ρ V ( V n) ds = pn ds+ F + F x x w Sendo F w a orça que a parede exerce sobre o luido Estando a superície de controlo à pressão atmosérica a sua resultante anula-se e obtemos Fw = ρ Vx( V n) ds F = mɺ ( v3 v ) F = 0,8 kg/s (3, 0 9, 0) m/s ( 64,8 N) = 64,8 N+ 64,8 N= 0 N A orça do luido sobre as paredes da conduta é nula