Departamento de Física - ICE/UFJF Laboratório de Física II

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1 Departamento de Física - ICE/UFJF Laboratório de Física II Prática : Elementos de Hidroestática e Hidrodinâmica: Princípio de Arquimedes e Equação de Bernoulli OBJETIVOS -. Determinação experimental do empuxo. - Medida da velocidade de escoamento da água usando equação de Bernoulli. Parte. Princípio de Arquimedes. Introdução Tanto a estática como a dinâmica dos líquidos satisfazem leis que de fato são consequências das leis de Newton para sistemas com grande número das partículas, que interagem de tal maneira que sua densidade quase não depende da pressão. Esta é a primeira propriedade típica dos líquidos que os distinguem dos gases. Uma segunda propriedade típica dos líquidos que faz sua distinção dos corpos sólidos, é a lei de Pascal: A pressão aplicada a um líquido encerrado num vaso se transmite, sem qualquer diminuição, a todo ponto do líquido e às paredes do recipiente que o contém. Uma outra propriedade importante é que um corpo imerso em um fluido, fica sujeito às pressões exercidas pelo fluido sobre ele em todas as direções, entretanto a pressão na parte inferior é maior que a da parte superior do corpo. Este fato se deve a lei de Stevin que relaciona a dependência da pressão com a profundidade, como mostra a Figura : P = P o +ρ g h (Lei de Stevin) () onde P o é a pressão na superfície do líquido, ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h a profundidade de cada ponto do corpo. Fig.: Dependência da pressão com a profundidade num líquido. 5

2 Como consequência tem-se o Princípio de Arquimedes que diz que: Quando um corpo está imerso em um fluido, ele recebe deste uma força denominada empuxo, de módulo igual e direção contrária ao peso da porção de fluido deslocado. Este empuxo é aplicado no centro de gravidade da porção deslocada. O Principio de Arquimedes tem manifestações e aplicações extremamente importantes: é este princípio que permite animais nadarem e objetos tal como navios navegarem através de oceanos. Historicamente, Arquimedes (87- a.c.) descobriu seu princípio quando recebeu a tarefa de determinar se uma coroa feita para o rei Hierão II, de Siracusa, era de ouro puro ou se continha um metal menos nobre. O problema era determinar o volume de um corpo irregular sem destruí-lo. Arquimedes chegou à solução do problema durante um banho e saiu pelado pelas ruas de Siracusa gritando Eureka! Eureka! Assim para um corpo em um líquido de densidade ρ, cujo volume imerso seja V, o empuxo é (E) é dado pela equação: E = ρ g V () Vamos considerar uma das possíveis aplicações do principio de Arquimedes: indicador do conteúdo de um combustível. Você já deve ter observado que em algumas bombas de álcool e gasolina nos postos de serviço, existe um tubo de vidro transparente cheio com o combustível servido naquela bomba. Dentro deste tubo estão colocados alguns objetos - duas bolas de cores diferentes, um tubinho graduado, etc. Este aparelho simples é um densímetro e serve para o consumidor controlar a qualidade do combustível que abastece seu veículo, evitando que a mistura alcool-gasolina fique fora das especificações técnicas. Na Figura a, por exemplo, foi construído um densímetro de tal forma que quando a densidade está correta metade do corpo fica fora do combustível. Isto significa que a densidade do corpo deve ser a metade da densidade do líquido: S S * h * ( h+ h) ρ (ρ+ ρ- ρ ρ) Figura a Figurab este caso, como o corpo está em equilíbrio, seu peso é igual ao empuxo: m g = ρ g V (3) sendo V = S h. Assim, se a parte imersa do volume do corpo for maior que a metade (V+ V) = S (h + h) (Fig. b) o líquido estará adulterado e com uma densidade menor (ρ - ρ ) do que a correta. 6

3 A relação entre ρ e h pode ser encontrada igualando-se o peso ao empuxo na situação da Fig. b: m g = (ρ - ρ) g (V + V) (4) m = ρ V - ρ V + ρ V - ρ V (5) Usando () temos: ρ V = ρ V (6) Usando as relações entre volume e alturas imersas chegamos a: ρ = ρ h h (7) Observa-se que, para um corpo se seção reta constante, a variação da altura submersa é proporcional à variação da densidade do líquido. - Experiência O objetivo é determinar quantitativamente a força que a água faz sobre um objeto imerso (o empuxo) e procurar relaciona-la com o volume da água deslocada. Para medir o empuxo adotaremos dois procedimentos diferentes:.. Podemos medir o peso de um objeto fora (peso real) e dentro de água (peso aparente). A diferença dos dois valores é a força de empuxo de Arquimedes, a qual é proporcional ao volume do sólido. Meça 6 vezes o valor das massas aparente e da real e aplique o procedimento estatístico para obter o valor de cada uma. Para calcular a diferença das massas considere a propagação de erros.... Uma outra forma de se medir o empuxo na água é determinar o volume do líquido deslocado pelo sólido de maneira direta, usando-se o frasco de Pisani, e aplicar o Princípio de Arquimedes. Avalie o erro cometido na medição do volume do líquido deslocado e avalie também o erro no empuxo assim calculado. Compare e discuta os valores dos empuxos obtidos através dos dois procedimentos. O resultado mais preciso está dentro da margem de erro do resultado menos preciso?.3. Determine a densidade do objeto utilizado na experiência, e avalie o erro cometido, através de propagação de erros das grandezas envolvidas no cálculo. Materiais: balança 0 cm de cordone becker de 00 ml becker de 50 ml frasco de Pisani sólido água Observações: - Cuidado para não quebrar o becker - Não deslocar a balança da posição onde ela foi zerada. 3 - desprezar a massa do barbante. 7

4 Parte. Equação de Bernoulli. Introdução Dinâmica de fluidos é uma teoria complicada, porém muito importante devido às suas diversas aplicações, por exemplo, o fluxo da gasolina em motores de carros ou aviões, aerodinâmica de automóveis e aviões, etc. Entretanto em alguns casos é suficiente saber apenas algumas propriedades simples do fluxo de um líquido. Nesta prática vamos estudar as propriedades mais simples, em particular a equação da continuidade e a equação de Bernoulli para escoamento estacionário. O estudo do movimento não estacionário de um fluido é muito mais complicado. Equação da Continuidade: Consideremos o escoamento estacionário de um fluido incompressível (densidade constante), no qual a velocidade de escoamento em cada ponto fixo não varia com o tempo. O comportamento do escoamento deste fluido através de um tubo não regular (como mostra a Figura 3) com seções transversais A e A, com velocidades respectivamente v e v é descrito pela equação: A v = A v (equação da continuidade de escoamento) (8) A A v v Fig.3 Esta equação mostra que para um fluido incompressível (densidade não muda) e que não tenha fontes ou sorvedouros, a velocidade é inversamente proporcional à área da seção transversal do tubo de corrente considerada. Assim, nas regiões onde o tubo sofre estrangulamento, o fluido escoa mais rapidamente. Equação de Bernoulli: Consideremos um tubo de corrente limitado por duas seções transversais de áreas A e A, situadas respectivamente nos pontos e do fluido (Figura 4), onde as pressões são p e p, as velocidades respectivamente v e v e as alturas em relação a um plano horizontal de referência z e z. A v p A z z v p Fig.4 8

5 O escoamento estacionário de um fluido perfeito incompressível é governado pela equação: v p p + gz + = v + gz+ ρ ρ (Equação de Bernoulli) (9) Esta equação exprime a conservação da energia por unidade de massa ao longo de um filete do fluido em regime de escoamento..- Procedimento Experimental Materiais Dispositivo de vidro com seção transversal variável (dispositivo de Venturi) Água corrente mangueiras de borracha paquímetro Nesta prática estamos interessados em medir a velocidade da água nos pontos, e 3 da Figura 5, posicionados a uma mesma altura. Considerando que z = z, a equação de Bernoulli torna-se: e assim: p v + = v ρ Considerando que: A = π r A equação da continuidade torna-se: v + r = v r A r r v v = r Considerando a lei de Stevin, p= ρ g h e a expressão de v acima na equação Bernoulli, tem-se as velocidades v e v : p ρ = π g( h h ) = r r v 4 g( h = r r v 4 h ) Determine a velocidade de escoamento da água nas seções de área maior e menor do tubo. Faça a medida de cada grandeza necessária 3 vezes e use o valor médio. (neste experimento não usaremos procedimento estatístico e teoria de erros) 3 Fig.5 9

6 Observação: Numa torneira de jardim a água escoa com velocidade aproximadamente igual a m/s. Referências: Curso de Física Básica - vol, H. Moysés Nussenzveig ; Fundamentos de Física - vol., Halliday-Resnick; Física, vol., Paul Tipler. 0

7 Departamento de Física - ICE/UFJF Laboratório de Física II Prática : Elementos de Hidroestática e Hidrodinâmica: Princípio de Arquimedes e Equação de Bernoulli Dados coletados: EXPERIÊNCIA Massa real do corpo (g) Massa aparente do corpo (g) mr = ma = mr = ma = mr 3 = ma 3 = mr 4 = ma 4 = mr 5 = ma 5 = mr 6 = ma 6 = Medida do volume de água deslocada: v = v = v 3 = v 4 = v 5 = v 6 = EXPERIÊNCIA Diâmetro externo de Diâmtero interno di Diâmetro externo de Espessura do tubo Altura H + h Altura H + h mm)