ISSN 984-828 Modelo Computacoal Udmesoal do Trasporte de solutos a Zoa Não-saturada do Solo Mara de ourdes Pmetel Pzarro Academa da Força Aérea 64-, Prassuuga, SP E-mal: malu@vgaova.com.br Edso Wedlad, Alessadro Frmao Uversdade de São Paulo - Departameto de Hdráulca e Saeameto 566-59, Campus de São Carlos, SP Resumo: Neste trabalho, é desevolvdo e valdado um modelo computacoal udmesoal para smulação de fluxo e trasporte de solutos a zoa ão-saturada do solo. O modelo matemátco é dado pela equação de Rchards, pela equação de advecção-dspersão, acompahadas das codções cas e de cotoro. As equações são resolvdas umercamete pelo método de elemetos ftos. Com a faldade de obter smulações mas efcetes, a um custo computacoal reduzdo, é empregada a adaptatvdade com refameto h a malha de elemetos ftos. Na equação de Rchards, a dervada temporal é aproxmada por um quocete de dfereça fta e é aplcado o esquema de Euler explícto e a equação de advecção-dspersão, Euler mplícto. A utlzação da fução terpolação polomal de grau 2 ou maor e o refameto h permtem uma boa cocordâca do modelo a comparação com soluções dspoíves a lteratura. O sstema operacoal é o ux Ubutu 2 bts, o ambete de programação é o PZ, escrto em lguagem de programação C. Itrodução Com o estudo do trasporte de solutos o solo, é possível prever os rscos de polução e cotamação e os mpactos que determado soluto pode causar o sstema solo-água, a partr do cohecmeto de suas propredades, da sua teração com o meo, de sua movmetação e persstêca o solo. Os modelos matemátcos, alados às téccas umércas, costtuem uma ferrameta mportate a preveção de mpactos ambetas, permtdo de maera rápda e precsa a prevsão do deslocameto de solutos. Daí a mportâca deste trabalho em apresetar um modelo computacoal para smular o fluxo [] e o trasporte de solutos [2], a zoa ãosaturada do solo, através das soluções umércas das equações dferecas que regem estes processos. Materal e Métodos Cosderado o escoameto udmesoal ão-saturado e a coordeada vertcal oretada postvamete para cma [4], a equação de Rchards, que determa os valores do potecal matrcal de água, é dada por C s ψ ψ ( ) K ( ψ ) ψ () t sedo: dθ C s ( ψ ) a capacdade hídrca específca do solo, [ - ] dψ θ a umdade volumétrca, - ψ o potecal matrcal, [] K(ψ) a codutvdade hdráulca do solo ão saturado, [T - ] t é o tempo, [T] e z a coordeada vertcal, []. 4
ISSN 984-828 As codções cas e de cotoro (codções de Drchle utlzadas para a resolução da equação () são: cal ψ ( z,) ψ ( z) ψ (, ψ. ψ (, ψ, z Para resolver a equação de Rchards, foram utlzadas a relação etre θ e ψ, dada pela equação de va GENUCHTEN (98) [], a relação etre K e θ, dada por MUAEN (976) [9] e a capacdade hídrca específca do solo dada por C s ( ) q ( θ r θ s ). q ( α. ψ ) [ ] q m. qα ψ ψ (2) m sedo: θ s a umdade volumétrca do solo saturado, [ ] θ r a umdade volumétrca resdual do solo, [ ] α o parâmetro que depede do solo, [ - ] m e q os parâmetros que depedem do solo. Para a solução umérca da equação de Rchards (), aplcou-se o método de elemetos ftos [2], ode foram usados o prcípo do método dos resíduos poderados, Euler explícto [] a dervada temporal e a aproxmação de Galerk [5]. Assm, o método de elemetos ftos fo aplcado para ecotrar os coefcetes multplcadores { α } que satsfazem o problema algébrco defdo pela equação: sedo Kj Cs [ K]{ } { F} α () ϕ j ϕ (4) e ψ dϕ F Cs ϕ K K ψ ϕ (5) A solução desse problema algébrco é obtda pela decomposção de Cholesky [8]. Para smular o trasporte de solutos, em uma dmesão, a zoa ão-saturada do solo, será utlzada a equação lear de advecção-dspersão [2]: t ( R C) ( v ) ( ) θ z Dzz λr S (6) Cosderado o fator de retardo R dado por R tem-se ( C) ( v ) ( ) K d ρ b θ θ z Dzz ( Kd ρbc) λ( Kd ρbc) S (8) t t sedo: C a cocetração do soluto a solução do solo [M - ] v z a velocdade da água o poro, a dreção z [T - ] D o coefcete de dspersão mecâca desde que a cotrbução da dfusão molecular zz para a dspersão seja desprezada [ 2 T - ] λ o coefcete de decameto de prmera ordem [T - ] S o termo fote ou sumdouro K d o coefcete de dstrbução [ M - ] ρ b a desdade aparete do solo [M - ] e θ a umdade volumétrca [ - ]. (7) 42
ISSN 984-828 O fluxo de água em solo ão-saturado, a dreção z, é dado por ψ q z K( θ ) K( θ ) (9) A velocdade da água os poros em solo ão-saturado, a dreção z, é dada por v z ψ K ( θ ) K( θ ) () θ O coefcete de dspersão mecâca [] pode ser expresso por sedo α l o coefcete de dspersvdade logtudal []. D zz α l v z () O coefcete de decameto de prmera ordem [2] pode ser relacoado com o tempo de mea vda, T / 2, dado por l 2 λ. (2) T / 2 Na resolução da equação (6), serão utlzadas as codções cas e de cotoro: C( z,) C C(, C, C(, C, cal ( z), Método dos Resíduos Poderados z t > t > Para a solução umérca da equação de advecção-dspersão (6), aplcou-se o método de elemetos ftos, com fudametação matemátca descrta esta seção. Cosdere o 2 α 2, H Ω ϑ Ω ϑ Ω, α () { } { } domío Ω ( ), o espaço fucoal ( ) ( ) ( ) e o sub-espaço de fuções teste dado por V H ( Ω ) ϑ ( ), ϑ ( ) 2 sedo ( Ω) ϑ (4) o espaço das fuções de quadrado tegrável. Como o prcípo do método dos resíduos poderados cosste em mmzar o resíduo o domío de estudo, para a obteção da solução, basta multplcar a equação (6) por uma fução teste ν V e tegrá-la sobre o ν domío Ω. Fazedo-se as tegrações por partes e cosderado ( ) ( ), ν obtém-se: ( R ) ( ) ν ν z Dz z λr ν d Ω t Sν (5) A dervada temporal será aproxmada por Euler mplícto []: ( ) R R ν ν z Dz z λr ν e a solução cosste em ecotrar C H ( Ω) cotoro: Sν (6) θ que ateda às codções cas e de 4
ISSN 984-828 e que satsfaça: ( z,) (, (, cal ( z) R R ( ) ν ν ν z D z z λr ν Sν para qualquer v V. ψ Ressalta-se que e demas varáves que depedem de ψ são obtdas da solução da equação de Rchards. A varável de estado da formulação tegral apresetada é o produto etre a umdade volumétrca e a cocetração, devdo à suavdade da solução esta varável. Aproxmação de elemetos ftos A aproxmação de elemetos ftos ou aproxmação de Galerk cosste em aproxmar θ C H Ω e teste v V por fuções aproxmadas as fuções varável de estado ( ) θ C Π H ( Ω) e v Π V, com Π ϑ Π ( Ω ) ϑ ( ), ϑ ( ) { } Π um subespaço fto de. O subespaço Π será costruído por fuções polomas por partes com suporte compacto, com grau p, que é a ordem polomal de aproxmação. Assm, tem-se que: agrupado os termos, obtém-se: j R θ C α jϕ j e v j H (7) ϕ. Substtudo-se em (7) e dϕ dϕ j dϕ ( α j ϕ j ) ϕ ( ) ν z α j ϕ j Dz z α j R j ( ) R λ α j ϕ j ϕ ( α jϕ j ) ϕ Sϕ (8) e A equação (8) deve ser satsfeta para qualquer ϕ por vez, pode-se escrevê-la em forma matrcal: v Π. ogo, tomado-se uma fução [ K]{ } { F} α (9) sedo: K j R dϕ dϕ j dϕ ϕ j ϕ ν zϕ j D z t z λrϕ ϕ j (2) F R ( j ) j ϕ ϕ j α Sϕ (2) Assm, o método de elemetos ftos é aplcado para ecotrar os coefcetes α que satsfazem o problema algébrco defdo pela equação (9). multplcadores { } 44
ISSN 984-828 Parâmetros das aplcações Para a smulação da equação de Rchards, são cosderados os parâmetros do trabalho de MIRANDA et al [6] dados por: θ,26 θ r K S 5,457 h θ,26 α,449 θ s,44,672 m,727758. As codções cas e de cotoro dadas em são: ψ ( z,) 68,6524, 7 z ψ (, 6,2476, t > ψ ( 7, 68,6524, t > Na smulação do potásso, são acrescdos os parâmetros de MIRANDA et al [6] dados por: R 4,687 α,6662 l λ s e 2 D zz 2,7 m. As codções cas e de cotoro utlzadas são: ( z,) ( 7, (, Resultados e dscussão,26 5,26 5,44 5 4 5,8 5,8 22,5 6 6 kg / 6 kg / kg /,8 kg / m,,8 kg / m, 22,5 kg / m, 7 z t > t > Com o objetvo de valdar o códgo computacoal desevolvdo, cosdera-se o deslocameto do ío potásso, em coluas de solo ão-saturado, obtdo o trabalho de MIRANDA et al [6], com os parâmetros ctados a seção ateror. A smulação do trasporte de potásso requer a solução da equação de Rchards, o passo de tempo avalado, para o cálculo da velocdade da água os poros, além dos coefcetes elecados a equação de advecção-dspersão. Por sso, a smulação do trasporte do soluto requer o cálculo ateror da smulação do problema de Rchards. Na resolução umérca do problema de movmeto de água o solo, utlza-se o esquema de Euler explícto []. O domío Ω [-7, ] fo partcoado, a malha uforme, em 28 elemetos de gual tamaho. O tempo total de smulação é t,75 h, em 45. passos de tempo com,75/45. horas,4 segudos. Foram realzadas duas smulações, uma com a malha uforme de 28 elemetos e outra com malha adaptada. O tamaho do meor elemeto da malha adaptada é o mesmo dos elemetos da malha uforme, ou seja, 7/28, e o tamaho do maor vara a cada passo de tempo. Cosdere o parâmetro de adaptação < ε < tal que du E < ε max du, sedo du E a orma do gradete do elemeto E e max du o máxmo dos gradetes sobre os elemetos da partção de Ω. Neste trabalho, adotou-se ε, para obter o refameto adaptatvo. 45
ISSN 984-828 O processo de adaptação da malha é realzado a cada. passos de tempo. Para as duas smulações, adotou-se ordem de aproxmação p 2 costate para todos os elemetos da malha [7]. O gráfco da umdade versus profuddade é equvalete aos resultados apresetados em [6] (Fguras a, b), que resolveu a equação de Rchards, formulada em termos da umdade θ. a) b) Fgura a) Comparação do perfl de umdade obtdo por MIRANDA et al (25) e a solução obtda com malha uforme (2 7 elemetos e p 2). b) Comparação do perfl de umdade obtdo por MIRANDA et al (25) e a solução obtda com malha adaptada (p 2 e ε,). Para o problema do trasporte de potásso, fo possível utlzar o esquema de Euler mplícto [], devdo à leardade da equação. O uso do esquema mplícto é muto vatajoso, pos ão mplca em restrção ao tamaho do passo de tempo. Desta maera, fo utlzado um passo de tempo para o trasporte do potásso vezes maor do que para a equação de Rchards, sto é, 4 segudos. O úmero de passos de tempo executado é de 45 com um state fal de smulação de,75 horas. O domío Ω [-7, ] fo partcoado, a malha uforme, em 64 elemetos de mesmo tamaho. Foram realzadas duas smulações: uma com a malha uforme de 64 elemetos e outra com malha adaptada (Fguras 2a, 2b). O tamaho do meor elemeto da malha adaptada é o mesmo dos elemetos da malha uforme, ou seja, 7/64, e, o maor vara a cada passo de tempo [7]. Adotou-se ordem de aproxmação p. a) b) Fgura 2 a) Comparação do perfl de cocetração do ío potásso obtdo por MIRANDA et al (25) e a solução obtda, o presete trabalho, com malha uforme (2 6 elemetos e p ). b) Comparação do perfl de cocetração do ío potásso obtdo por MIRANDA et al (25) e a solução obtda, o presete trabalho, com malha adaptada (p e ε,). 46
ISSN 984-828 Coclusão A estratéga de se usar malha adaptada, através do refameto h, ode é adotado um maor ível de refameto as regões em que a solução vara mas fortemete e um meor refameto as regões em que a solução é suave, fez com que se obtvessem soluções tão efcetes quato às com malhas uformes, dmudo os graus de lberdade, com um custo computacoal reduzdo. O modelo computacoal deste trabalho aplcado à solução da equação de Rchards e do trasporte de potásso, com os dados do trabalho de MIRANDA et al [6], mostrou a redução de aproxmadamete 84 % o tempo de processameto, usado-se malhas adaptadas em relação ao tempo de processameto em malhas uformes. Observou-se que a dfereça de cosumo de memóra ão fo tão sgfcatva em relação às duas malhas empregadas. Com a solução da equação de Rchards, obtém-se a velocdade da água os poros ãosaturado que é ecessára para a resolução da equação de trasporte de solutos que descreve o deslocameto destes o solo, cotrbudo para a preveção e realzação de prevsões de polução e cotamação do meo ambete. Referêcas [] Aderso, Usg models smulates the movemet of cotamats through groudwater systems. Crtcal Rev. Evr. Cotrol, New Jersey, vol. 9,. 2, pp. 97-56, (979). [2] J. Bear, Dyamcs of fluds porous meda, Elsever, New York, 972. [] J. Bear, Hydraulcs of groudwater, Dover publcatos, c. Meola, New York, 27. [4] Busr, Numercal modellg of tracer trasport usaturated porous meda, Joural of Appled Flud Mechacs, vol.,., pp. 62-7, (28 (a)). [5] Busr, Iluece of dsperso o trasport of tracer through usaturated porous meda, Joural of Appled Flud Mechacs, vol.,. 2, pp. 7-44, (28 (b)). [6] Mrada, Smulação do deslocameto de potásso em coluas vertcas de solo ão-saturado, Egehara Agrícola, Jabotcabal, vol. 25,., pp. 677-685, (25). [7] M.. P. Pzarro, Smulação de Fluxo e Trasporte de Solutos a Zoa Não-Saturada do Solo, Tese de Doutorado em Cêcas da Egehara Ambetal, EESC-USP, 29. [8] W. H. Press, Numercal Recpes: the art of Scetfc Computg. Cambrdge Uversty Press, Cambrdge, 27. [9] Rechardt, Dâmca do materal e da eerga em ecossstemas, Escola Superor de Agrcultura uz de Queroz, Uversdade de São Paulo, Praccaba, pp. 2-25, (996). [] Rchards, Capllary coducto of lquds through porous medum, Physcs, vol., pp. 8-, (9). [] va Geuchte, A closed-form equato for predctg the hydraulc coductvty of usatured sols, Sol Scece Socety of Amerca Joural, vol. 44,., pp. 892-898, (98). [2] O. C. Zekewcz, The Fte Elemet Method, McGraw-Hll, New York, 977. 47