INFRÊNCIA STATÍSTICA: STIMAÇÂO PONTUAL INTRVALOS D CONFIANÇA 0
Problemas de iferêcia Iferir sigifica faer afirmações sobre algo descohecido. A iferêcia estatística tem como objetivo faer afirmações sobre uma característica de uma oulação a artir do cohecimeto de dados de uma arte desta oulação (isto é, uma amostra de observações. A oulação é reresetada or uma distribuição de robabilidade com arâmetro(s cujo(s valor(es é (são descohecido(s. Faemos iferêcias sobre o(s arâmetro(s.
Problemas de iferêcia Se θ é um arâmetro da distribuição de uma v. a. X e X,...,X é uma amostra desta distribuição, ecotramos três roblemas tíicos:. stimação otual Aresetar um valor ara θ, que é uma fução da amostra X,...,X ( cálculo de θ, chamada de estimador de θ. sera-se que o estimador teha boas roriedades: (i em média esteja róximo de θ, (ii o estimador se aroxima de θ quado aumeta,...b
Problemas de iferêcia. stimação itervalar Aresetar um itervalo de ossíveis valores ara θ, chamado de itervalo de cofiaça. Os limites do itervalo são fuções da amostra X,...,X (são aleatórios. A robabilidade de que o itervalo coteha θ deve ser alta.vv A amlitude do itervalo deve ser tão equea quato ossível (itervalo mais reciso.
Problemas de iferêcia 3. Teste de hióteses Uma hiótese estatística (H é uma afirmação sobre o valor de θ. Pode ser verdadeira ou falsa. Se θ é a robabilidade de sucesso o modelo biomial, H: θ ½, H: θ ½ e H: θ > ¾ são exemlos de hióteses. Com base a amostra X,...,X, formulamos uma regra de decisão que ermita cocluir ela rejeição ou ão rejeição (aceitação de H. A decisão ode ser correta ou errada.
stimação otual método de substituição (a. Distribuição biomial. X ~ B(,. Vimos que (X. Um estimador ara : X i (b. Distribuição de Poisso. X ~ Po(µ. Vimos que (X µ. X i roorção amostral de sucessos. Um estimador ara µ : X. (c. Distribuição exoecial. X ~ x(λ. Vimos que (X λ. Um estimador ara λ :. X (d. Distribuição ormal. X ~ N(µ,. Vimos que (X µ e Var(X. Um estimador ara µ : X. Um estimador ara : s i ( X i X. Obs. xistem outros métodos de estimação.
stimação or itervalos X,...,X é uma amostra aleatória de uma variável cuja distribuição deede do arâmetro θ. Se L(X,...,X e U(X,...,X são duas fuções tais que L < U e P(L θ U, o itervalo [L, U] é chamado de itervalo de cofiaça (IC de 00(-% ara θ. 00(-% é o coeficiete de cofiaça do itervalo. Deve ser alto. O coeficiete de cofiaça é escolhido (90%, 95% e 99% são comus. m seguida calculamos L e U.
IC ara uma média oulacioal X, LX é uma amostra aleatória de tamaho de uma oulação ormal com média µ (descohecida e variâcia (cohecida. Vimos que a média amostral X, tem distribuição ormal com média µ e variâcia. Isto é, ( X µ Z ~ N(0,. Se a distribuição de X ão é ormal, o resultado acima é válido aroximadamete. Logo, fixado um coeficiete de cofiaça (-, ode-se determiar (cosultado a tabela ormal: f( 0
µ P X [ ] máximo erro o é sedo que, ; ; ] ; [ X X X X U L + + Logo, um IC de 00 (-% ara a média µ é dado or IC ara uma média oulacioal e a amlitude do IC é U L., P( assim, Sedo Z que equivale a µ ( ( P X. P µ + X X
xemlo m uma fábrica de cerveja a quatidade de cerveja em latas seguia uma distribuição ormal com média 350 ml e desvio adrão 3 ml. Aós algus roblemas a liha de rodução, suseita-se que houve alteração a média. Uma amostra de 0 latas foreceu uma média de 346 ml. Obteha um itervalo de 95% ara a quatidade média de cerveja evasada suodo que ão teha ocorrido alteração a variabilidade. Como - 0,95, temos da tabela ormal adrão 0,05,96. Obtemos IC [L; U] X,96 ; X +,96 3 3 346,96 ;346+,96 0 0 [ 346,3;346 +,3 ] [ 344,69;347,3, ] em ml.
Determiação do tamaho da amostra ara estimação de µ rro máximo ( a estimação de µ: é obtido da tabela ormal aós a escolha do coeficiete de cofiaça (. (a secificamos o erro máximo. Se o desvio adrão ( for cohecido, odemos calcular : (b secificamos o erro máximo. Se o desvio adrão ( ão for cohecido, odemos utiliar o desvio adrão obtido de uma amostra iloto com 0 observações: s 0, sedo que s 0 é a variâcia amostral da amostra iloto. (c secificamos o erro máximo em fução do desvio adrão como k : k...
xemlo m uma siderúrgica estuda-se a resistêcia média de barras de aço utiliadas a costrução civil. Qual o tamaho amostral ecessário ara garatir que um erro máximo de 8 kg seja suerado com robabilidade igual a 0,0? O desvio adrão da resistêcia ara este tio de barra é de 5 kg. Solução. Do euciado tem-se 5 kg, 8 kg e P( X µ X + 0,0 P( X µ X + 0,0, ou seja, 0,0 (o coeficiete de cofiaça do IC é 99%. Cosultado a tabela ormal ecotramos,575. Portato,,575 5 8 65.
IC ara uma média oulacioal ( descohecido Se a variável de iteresse (X tem distribuição ormal, etão T ( X µ ~ t -, : distribuição t de Studet com g.l., s sedo que s é o desvio adrão amostral. Se a distribuição de X ão é ormal, o resultado acima é válido aroximadamete. Um IC de 00(-% ara µ é dado or [ L; U ] [ X ; X + ], em que t, s.
IC ara uma roorção oulacioal Cada observação ode ser classificada como sucesso (X ou isucesso (X 0 e a robabilidade de sucesso é. Disomos de uma amostra aleatória X, X. Vimos que i X i N Z sedo que aroximadamete, (0,, ~ ( ( Para um ível cofiaça fixado em 00(-%, obtemos (veja lâmia 4. ( ( P + : roorção amostral de sucessos.
IC ara uma roorção oulacioal (a Abordagem otimista Substituir ( - or ( : ( IC ; + (b Abordagem coservativa Substituir ( or ¼, que corresode ao valor máximo de (. (. IC ; +. 4 4
xemlo Um estudo foi realiado ara determiar a roorção de comoetes de um certo tio que resistem durate um certo eríodo a codições de uso mais rigorosas do que as esecificadas. m uma amostra de 00 comoetes selecioados ao acaso, 60 resistiram. Aresete um itervalo de 95% de cofiaça ara a roorção de comoetes que resistem. 60 Solução. stimativa otual de : 0,8 (80%. 00 Como 0,95, obtemos da tabela ormal adrão 0,05,96. Abordagem otimista: 0,8( 0,8 IC 0,8,96 ;0,8 +,96 00 [ 0,745;0,855 ]. Abordagem coservativa: 0,8( 0,8 00 IC 0,8,96 ; 0,8 +,96 4 00 4 00 [ 0,73;0,869 ].
Determiação do tamaho da amostra ara estimação de rro máximo de estimação de é fixado: (. ( (b Não há iformação sobre :. 4 Coeficiete de cofiaça de 95%: 5%,,96 e. (a Há iformação sobre : * (estudos ateriores, esecialistas, amostra iloto, etc:. ( * * ( é substituído elo valor máximo, igual a ¼ (veja lâmia 5:
xemlo Uma equie retede estimar a roorção de avarias ocorridas o trasorte de um roduto. studos ateriores idicam que esta roorção ão ultraassa 0%. Que tamaho de amostra é ecessário ara assegurar com uma cofiaça de 99% que o erro de estimação desta roorção seja o máximo igual a 0,05? Solução. Do euciado obtemos 0,, 0,99 e 0,05. Da tabela ormal adrão, 0,005,575. Proteção em relação à situação mais desfavorável: * 0,0. Fialmete,,575 44,4 * * ( 0, ( 0, 0,05 45.