Elementos Finitos - Parte 2

Elementos Finitos - Parte 2 Formulações Forte e Fraca Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net Segundo Semestre 211

Sumário 1 Introdução 2 Formulação Forte Unidimensional 3 Formulação Fraca 4 Continuidade 5 Equivalência Forte Fraca 6 Exemplos 7 Condições de Contorno Arbitrárias 8 Condições de Contorno Generalizadas 9 Energia Potencial Mínima 1 Integrabilidade

Introdução Base Matemática do MEF Problemas unidimensionais somente Equivalência matemática entre problemas físicos distintos Generalidade) Base matemática para soluções aproximadas Componentes fundamentais do MEF Formulação Forte Formulação Fraca Aproximação de funções

Formulação Forte Unidimensional Formulações Forte e Fraca Modelos matemáticos de um problema físico. Forte: Equações Diferencias Parciais MDF). Fraca: Equações Integrais soluções tentativas. A forma fraca é uma construção incomum, mas obtida através de procedimentos simples e repetitivos.

Formulação Forte Unidimensional Barra Carregada Axialmente Problema Físico Determinar a distribuição de tensões em uma barra carregada axialmente. Variáveis: px): força axial σx): tensão normal Ax): área da seção transversal ux): deslocamento εx): deformação especíca) bx): força de corpo por unidade de comprimento)

Formulação Forte Unidimensional Barra Carregada Axialmente Condições A barra precisa: 1 Estar em equilíbrio. 2 Apresentar comportamento elástico linear, Lei de Hooke: σx) = Eεx). 3 Apresentar deslocamento compatível. 4 Apresertar deformação compatível com deslocamento.

Formulação Forte Unidimensional Barra Carregada Axialmente Equação Diferencial - Força Interna A ED é obtida a partir do equilíbrio de forças em um segmento de comprimento innitesimal. px) + b x + x ) x + px + x) = 2 px + x) px) + b x Quando x : dpx) x + x 2 + bx) = ) + =

Formulação Forte Unidimensional Barra Carregada Axialmente Equação Diferencial - Tensão Tensão uniforme: px) = Ax)σx) Deformação: εx) = ux + x) ux) lim = dux) x x Lei de Hooke: σx) = Ex)εx) Na eq. de equilíbrio: d AE du ) + b =, < x < l

Formulação Forte Unidimensional Barra Carregada Axialmente Equação Diferencial - Tensão d AE du ) + b = Observações: Eq. diferencial de segunda ordem. ux) incógnita! Aplica-se a materiais lineares apenas deformação e Lei de Hooke.) u, A, E e b dependem de x. Condições de contorno: σ) = E du ) = p) A) = t x= ul) = ū

Formulação Forte Unidimensional Barra Carregada Axialmente Resumo Formulação Forte d AE du ) + b =, < x < l σx = ) = t ux = l) = ū

MEF Formulação Forte Unidimensional Condução de Calor Unidimensional Problema Físico Determinar a distribuição de temperaturas em uma barra com fonte de calor distribuída. Variáveis: q x ): uxo de calor Ax ): área da seção transversal T x ): temperatura s x ): calor gerado por unidade de comprimento

Formulação Forte Unidimensional Condução de Calor Unidimensional Condições A barra deve satisfazer: Conservação de energia. Lei de Fourier: qx) = kx) dt Compatibilidade de temperaturas.

Formulação Forte Unidimensional Condução de Calor Unidimensional Balanço de Energia para um Volume de Controle sx + x/2) x + qx)ax) }{{}}{{} Calor Gerado Energia Entrando qx + x)ax + x) }{{} Energia Saindo qx + x)ax + x) qx)ax) = sx + x/2) x Quando x : Lei de Fourier: d dqa) = s ka dt ) + s = =

Formulação Forte Unidimensional Condução de Calor Unidimensional Equação Diferencial Forma Forte d ka dt ) + s = Impondo Condições de contorno: qx = ) = k dt = q T x = l) = T Que é completamente análogo ao problema da tração na barra.

Formulação Forte Unidimensional Difusão Unidimensional Equação Diferencial Forma Forte Em um procedimento completamente análogo, a forma forte para a difusão unidimensional é: d ka dc ) = qx = ) = k dc = q cx = l) = c Onde c é a concentração de soluto e q é o uxo de massa. Muitos outros processos físicos!

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Características Gerais É diferente. É moderadamente complicado. É maluquice: trocamos um problema por outro muito mais complicado. No entanto: introduz o uso de soluções alternativas.

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Equações Integrais Multiplicar por w arbitrária. Integrar ao longo do domínio. Igualar a. l [ d w AE du )] + b = w wa E du )) + t = w x= w: função peso ou função teste; por conveniência: wl) =. Obs: Não consideramos a condição em u prescrito; será satisfeita automaticamente.

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Integração por Partes Reduzir a ordem da derivada de u é importante: Simetria das equações resultantes e matriz de rigidez). Diminui o requisito de continuidade de u função tentativa). Para isto é usada integração por partes.

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Integração por Partes Derivada do produto: dwf ) = w df + f dw w df = dwf ) f dw Integrando sobre o domínio: l w df l = dwf ) l f dw Teorema fundamental do cálculo: l w df = wf ) l l f dw wf ) x=l wf ) x= l f dw

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Integração por Partes No caso, f = AE du. l w d AE du ) = wae du ) l l dw AE du Eq. Integral: l w d AE du ) l + wb = Integrando por partes: wae du ) l l dw du l AE + wb = w com wl) =

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Integração por Partes Como σ = E du : l waσ) x=l waσ) x= dw du l AE + wb = w Como wl) = e σx = ) = t: l dw du l AE = wa t + wb w com wl) =

Formulação Fraca Barra Carregada Unidimensional Formulação Fraca Determinar ux) entre as funções suaves que satisfaçam ul) = ū, tal que: l dw du l AE = wa t + wb w com wl) = Formulação fraca: menor requisito de continuidade da solução só aparece a derivada primeira.) Mostraremos a seguir que a solução deste problema equivale à solução da formulação forte.

Continuidade Denição Se df j j existe para <= j <= n, então a função f tem grau de continuidade C n. Por enquanto, o interesse é em funções C, C 1 e C 1. C C 1 : função contínua, derivável por partes : função contínua e derivável C 1 : função descontínua Integrabilidade requer que ux) e wx) sejam pelo menos C.

Equivalência Forte Fraca Termo do domínio Equivalência Forte Fraca Integração por partes ao contrário: l dw du AE = wae du ) l l w d AE du ) Introduzindo na Forma Fraca: l [ d w AE du ) ] + b +wa t+σ) x= = wl), wl) = Como wx) é arbitrária, tomamos mágica): [ d w = ψx) AE du ) ] + b onde ψx) >, suave e ψ) = ψl) =.

Equivalência Forte Fraca Termo do domínio Equivalência Forte Fraca Substituindo: l [ d ψx) AE du ) 2 + b] = o termo do contorno some pois ψ) = ψl) =.) Isto implica obviamente em: d AE du ) + b =, < x < l Que é a equação diferencial da formulação forte!

Equivalência Forte Fraca Termo do domínio Equivalência Forte Fraca Sobrou o termo: wa t + σ) x= = wl), wl) = Novamente, escolhemos uma função peso especial: w) = 1 e wl) =. Como A) e w) : σ = t para x = que é a condição de contorno natural. A condição de contorno essencial será satisfeita automaticamente, já que ul) = ū.

Equivalência Forte Fraca Termo do domínio Equivalência Forte Fraca Conclusão Final: qualquer função tentativa ux), com ul) = ū, que resolva o problema na forma fraca, também o resolve na forma forte.

Exemplos Desenvolver a Forma Fraca Problema: d AE du ) + 1Ax =, < x < 2, u x= u) = 1 4, σ x=2 = E du ) = 1. x=2 1) Forma forte, 2) condição essencial, 3) condição natural. Tomamos wx) e ux) suaves, tais que w) =, e u) = 1 4.

Exemplos Desenvolver a Forma Fraca Ponderando por w: 2 [ d w wa du AE ) E du 1 ) ] + 1Ax = ) x=2 =. wx), Integrando por partes: 2 ) d du w AE = wae du ) x=2 x= 2 dw AE du Substituindo e lembrando que w) = : 2 AE dw du 2 + 1wAx + wae du ) =, wx) x=2

Exemplos Forma Fraca Introduzindo a condição de contorno essencial e mudando o sinal: 2 AE dw du 2 1wAx 1wA) x=2 = Encontrar ux) com u2) = 1 4 tal que a equação acima seja verdadeira, para qualquer wx) com w) = é a forma fraca deste problema.

Exemplos Desenvolver a Forma Fraca Forma forte: d 2 u =, 1 < x < 3; u3) = 1; du 2 = 2. x=1 Ponderando por wx) arbitrária com w3) = : 3 1 w d2 u = ; 2 Integrando por partes: 3 1 w )) du 2 x=1 =. w d2 u = w du ) x=3 3 dw du 2 x=1 1

Exemplos Forma Fraca Substituindo com w3) = : 3 1 dw du w du ) =. x=1 Introduzindo a condição de contorno essencial: 3 1 dw du + 2w1) =. Encontrar ux), com u3) = 1 que satisfaça esta equação para qualquer wx) com w3) = é a forma fraca do problema.

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Aproximada Supondo que ux) = α + α 1 x e wx) = β + β 1 x, obter uma solução aproximada para a forma fraca: 2 AE dw du 2 1wAx 1wA) x=2 = onde u) = 1 4, com E = 1 5 e A constante. α e α 1 β e β 1 parâmetros a determinar descrevem a solução aproximada). parâmetros arbitrários. Observação: Resolver a forma fraca, resolve a forma forte!

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Restrições nas funções tentativa e peso A função peso tem que ser nula na condição essencial: w) = β + β 1 = β =. A função tentativa tem que satisfazer a condição essencial: u) = 1 4 α + α 1 = 1 4 α = 1 4. As funções tentativa e peso são então: ux) = 1 4 + α 1 x e wx) = β 1 x, e suas derivadas dux) = α 1 e dwx) = β 1.

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Substituição na forma fraca Forma fraca: 2 AE dw Substituindo u e w: 2 Integrando: du β 1 α 1 E 2 2 1wAx 1wA) x=2 =, 1β 1 x 2 1β 1 x) x=2 =. 2β 1 α 1 E 8 3 β 1 2β 1 =, ou β 1 2α 1 E 8 2) =. 3 Como β 1 é arbitrário: 2α 1 E 14 3 = α 1 = 7 3E = 7 3 1 4.

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Aproximada A solução tentativa é então: ux) lin = 1 4 + 7 3 1 4 x, e a tensão correspondente σx) lin = E du = 7 3 A solução exata pode ser obtida por integração direta: ux) ex = 1 4 1 + 3x x 3 3 ), σx) ex = 13 x 2 2 ).

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Comparação

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Tentativa Quadrática A solução tentativa e a função peso são: ux) = α + α 1 x + α 2 x 2 e wx) = β + β 1 x + β 2 x 2. Introduzindo a condição de contorno e restrição em : u) = α = 1 4 e w) = β =. As funções e suas derivadas são então: ux) = 1 4 + α 1 x + α 2 x 2 e wx) = β 1 x + β 2 x 2, e du = α 1 + 2α 2 x e wx) = β 1 + 2β 2 x.

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Tentativa Quadrática Introduzindo na forma fraca: 2 β 1 + 2β 2 x)eα 1 + 2α 2 x)) expandindo: 2 β 1 x + β 2 x 2 )1x β 1 x + β 2 x 2 )1) x=2 =, 2 Eα 1 β 1 + 2Eα 2 β 1 x + 2Eα 1 β 2 x + 4Eα 2 β 2 x 2 ) + 2 1β 1 x 2 + 1β 2 x 3 ) + β 1 x + β 2 x 2 )1) x=2 =.

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Tentativa Quadrática Repetindo: 2 Eα 1 β 1 + 2Eα 2 β 1 x + 2Eα 1 β 2 x + 4Eα 2 β 2 x 2 ) + integrando de a 2: 2 1β 1 x 2 + 1β 2 x 3 ) + β 1 x + β 2 x 2 )1) x=2 =. 2Eα 1 β 1 + 4Eα 2 β 1 + 4Eα 1 β 2 x + 32 3 Eα 2β 2 + 8 3 β 1 16 4 β 2 + 2β 1 4β 2 =.

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Tentativa Quadrática Isolando β 1 e β 2 : [ β 1 E2α 1 + 4α 2 ) 14 ] [ + β 2 E4α 1 + 32 ] 3 3 α 2) 8 =. Como β 1 e β 2 são arbitrários: E2α 1 + 4α 2 ) = 14 3 e E4α 1 + 32 3 α 2) = 8. Na forma matricial: [ ] [ ] 2 4 α1 E = 4 32 3 α 2 [ 14 3 8 ]

Exemplos Espero que isto explique a utilidade Solução Tentativa Quadrática A solução deste sistema é e a solução aproximada é α 1 = 1 3 1 4 α 2 =, 5 1 4, u quad = 1 4 1 + 1 3 x, 5x 2 ) σ quad = 1 1 3 x).

Condições de Contorno Arbitrárias Contorno Generalizado Condições de Contorno Arbitrárias As condições de contorno agora podem ser quaisquer, em qualquer extremidade. Os pontos do contorno formam o conjunto Γ, com Γ = Γ u Γ t, onde: Observações: Γ u : Deslocamento prescrito; Γ t : Tração prescrita; Γ u e Γ t podem ter, 1 ou 2 pontos. Cada extremidade pertence necessariamente a Γ u ou Γ t, ou Γ u Γ t = Γ u e Γ t são ditos complementares. O domínio de integração, e.g. < x < l, será denotado por Ω.

Condições de Contorno Arbitrárias Análise de Tensões Forma Forte Com a notação atual d AE du ) + b =, em Ω σn = En du = t em Γ t u = u em Γ u. n é um vetor normal que aponta para fora do domínio. n = 1 onde a tração positiva prescrita é de tração n t = 1). n = 1 onde a tração positiva prescrita é de compressão n t = 1).

Condições de Contorno Arbitrárias Análise de Tensões Integração por Partes Com a nova notação: w df Ω = wfn) Γ f dw Ω, ou w df Ω = wfn) Γ t + wfn) Γu f dw Ω. Na forma fraca teremos: w = em Γ u ; u = u em Γ u.

Condições de Contorno Arbitrárias Análise de Tensões Forma Fraca Repetindo o procedimento padrão, ponderamos por w arbitrária, d AE du ) + b =, w, w Ω wat σn)) Γt = w, integramos por partes waσn) Γu + wat) Γt Ω dw para w com w = em Γ u. Como w Γu =, Ω dw du AE + wb =, Ω du AE = wat) Γ t + wb =. Ω

Condições de Contorno Arbitrárias Análise de Tensões Notação para Funções Admissíveis Funções tentativas: ux) é suave o suciente e satisfaz a condição de contorno essencial. sucientemente suave: a função tem grau de continuidade C. H 1 é o conjunto de todas as funções com grau de continuidade C. Nem todas as funções C são admissíveis! H 1 C Formalmente, as funções tentativas admissíveis pertencem a: U = {ux) ux) H 1, u = u em Γ u }. Uma função ux) é admissível se ux) U.

Condições de Contorno Arbitrárias Análise de Tensões Notação para Funções Admissíveis Funções peso: wx) é suave o suciente e é nula no contorno essencial. Formalmente, as funções peso admissíveis pertencem a: U = {wx) wx) H 1, w = em Γ u }. Observação: O conjunto H 1 é um espaço vetorial de funções.

Condições de Contorno Arbitrárias Análise de Tensões Forma Fraca Unidimensional com Condições Arbitrárias Determinar ux) U tal que: Ω dw du AE = wat) Γ t + wb w U. Ω

Condições de Contorno Arbitrárias Condução de Calor Forma Forte para Condições de Contorno Arbitrárias De forma análoga, Γ q : uxo de calor prescrito. Γ T : temperatura prescrita. Temos que: Γ q Γ T = Γ q e Γ q Γ T =. A forma forte é então: d Ak dt ) + s =, em Ω qn = kn dt = q em Γ q T = T em Γ T.

Condições de Contorno Arbitrárias Condução de Calor Forma Fraca Unidimensional com Condições de Contorno Abitrárias Aplicando o processo padrão: d w Ω Ak dt ) + s =, waqn q)) Γt = w. w, Integrando por partes, usando a condição essencial e rearrumando, obtemos a Forma Fraca: Determinar T x) U, tal que: dw dt Ak = waq) Γ q + ws w U. Ω Ω

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos PVC de Dois Pontos Problema de valor de contorno de dois pontos: d Aκ dθ ) + f =, em Ω. Condição de contorno essencial: θ = θ em Γ θ. Condição de contorno natural: κn dθ = Φ em Γ Φ. É possível aplicar uma condição generalizada: κn dθ ) Φ + βθ θ) em = Γ Φ. Observação: Esta também é uma condição natural pois aparece a derivada de θ.

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos Fisicamente Barra com Suporte de Mola Supondo uma barra elástica apoiada em x = l em uma mola de constante k, com uma tração t aplicada no apoio. El)nl) du ) l) t + kuk) u) = em x = l. Observação: A condição recai nas anteriores para k e k.

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos Fisicamente Convecção Natural Supondo a extremidade em l da barra mergulhada em um meio com temperatura controlada igual a T. O uxo de calor por convecção é dado por ql) = ht l) T ). A condição de contorno em l é: kn dt + ht l) T ) =. Observação: A condição recai nas anteriores para h e h.

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos Forma Forte Penalidade Consideramos todo o contorno como natural; a condição essencial é aplicada tomando β como uma parâmetro de penalidade. Partição O Contorno é dividido em Γ θ e Γ Φ, aplica-se cada condição no contorno correspondente. Penalidade d Aκ dθ ) + f = em Ω, κn dθ ) Φ + βθ θ) = em Γ. Partição d Aκ dθ ) + f = em Ω, κn dθ ) Φ + βθ θ) = em Γ Φ, θ = θ em Γ θ.

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos Forma Fraca Penalidade Procedimento padrão: w d Ak dθ ) + f =, Ω wa kn dθ ) Φ + βθ θ) = Γ w, w, Integrando por partes e substituindo a condição natural: dw dθ Ak Ω wf waφ β θ θ)) Γ = w H 1 Ω Encontrar θx) H 1 tal que a equação acima seja satisfeita é a forma fraca deste problema. Observação: Γ = Γ Φ, daí wx) não precisa ser nulo, nem θx) atender a condição essencial.

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos Forma Fraca Penalidade Procedimento padrão: w d Ak dθ ) + f =, Ω wa kn dθ ) Φ + βθ θ) = Γ w, w, Integrando por partes e substituindo a condição natural: dw dθ Ak wf waφ β θ θ)) Γ = w H 1 Ω Ω Encontrar θx) H 1 tal que a equação acima seja satisfeita é a forma fraca deste problema. Observação: Γ = Γ Φ, daí wx) não precisa ser nulo, nem θx) atender a condição essencial.

Condições de Contorno Generalizadas Problema de valor de contorno de dois pontos Forma Fraca Partição De forma análoga, a forma fraca é: Encontrar θx) U tal que dw dθ Ak Ω wf waφ β θ θ)) ΓΦ = w U Ω Observação: Γ Φ Γ θ = Γ e Γ Φ Γ θ =. Observação: A condição de contorno essencial é satisfeita exatamente.

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Princípios Variacionais Baseado em cálculo variacional, o que é também meio esquisito... Não funciona para qualquer problema: muitos não tem um princípio variacional associado. No entanto, partem de princípios físicos conhecidos, o que é muito confortável. Veremos apenas uma pequena introdução muito informal.

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Teorema da Energia Potencial Mínima Para elasticidade unidimensional, o princípio variacional que se aplica é o Teorema da Energia Potencial Mínima: A solução da formulação forte é dada pela função ux) U que minimiza W ux)) = 1 ) 2 du AE 2 Ω }{{} W int ) ub + uat) Γt. Ω }{{} W ext Esquisitice: W ) é uma função de funções! É um funcional portanto. Mostraremos que o minimizar W ) equivale a resolver a forma fraca e forte, é claro.)

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Funcional: Função de Funções Exemplo: F ux)) = 1 ux)2. F 1) = F x) = 1 1 1 = 1 x 2 = 1 3 F a + bx) = 1 a + bx) 2 = b 2 + 3ab + 3a 2 3 F sinθ)) = 1 sinθ) 2 dθ =, 2727 Observação: Claramente este funcional não é linear!

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Variações Conceito importante e fundamental do cálculo: δx = x quando x. Uma variação no argumento provoca uma variação na função, δf x) = f x + δx) f x). A derivada, por exemplo, é δf x)/δx. A variação da função é nula em um máximo local! O mesmo conceito existe para funcionais. Uma variação no argumento de um funcional é uma outra função, innitesimalmente próxima da função original.

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Variações δux) ζwx), onde wx) é arbitrária e < ζ 1. A variação no funcional é: δw = W ux) + ζwx)) W ux)) ou δw = W ux) + δux)) W ux)). Claramente, esta denição é análoga a um diferencial. Um funcional é maximizado minimizado) quando a variação é nula! No caso da Energia Potencial, as variações de ux) tem que pertencer a U, assim, wx) tem que pertencer a U.

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Variação do Funcional da Energia Potencial Introduzindo ux) + δux) no primeiro termo da energia potencial, com δux) = ζwx), wx) U e ux) U, temos: δw int = 1 2 = 1 2 AE Ω AE Ω 1 2 du + ζ dw ) 2 1 2 ) 2 du + 2ζ du dw + ζ 2 ) 2 du AE Ω ) 2 du ) 2 dw + AE Ω

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Variação do Funcional da Energia Potencial Cancelando os termos e lembrando que ζ 1, temos: δw int = ζ AE du dw Ω Fazendo δw ext = δw Ω ext + δw Γ, temos: ext δw Ω ext = u + ζw)b ub = ζ Ω Ω Ω wb, δw Γ ext = u + ζw)at Γt uat Γt = ζwat) Γt, δw ext = δw Ω ext + δw Γ ext = ζ wb + wat) Γt. Ω

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Minimizando o funcional Minimizando a energia potencial, δw = δw int δw ext =, assim: δw = AE du dw ζ Ω wb +wat) Γt =, wx) U. Ω Esta é exatamente a forma fraca para o problema da elasticidade unidimensional! Claramente, ux) também resolve a forma forte! Observação: Pode-se mostrar que ux) é um minimizador.

Energia Potencial Mínima Princípios Variacionais Princípio dos Trabalhos Virtuais Lembrando que ζw = δu, reescrevemos δw como: δw = AE du dδu) δub +δuat) Ω Γt =, wx) U. Usando a Lei de Hooke e a denição de deformação: δw = Aσδε bδu + taδu) Γt Ω Ω }{{}}{{} δw int δw ext Ω =. O campo de deslocamentos admissíveis u U), para o qual a variação do trabalho interno é igual à variação no trabalho externo para qualquer δu U, satisfaz o equilíbrio e as condições de contorno naturais.

Integrabilidade Função Delta de Dirac δx) x a) = Quando x : Claramente: s r { 1/ x se x a < x/2, caso contrário. x a) δx a) x a) = Não tão claramente: s r s r δx a) = 1 f x)δx a) = f a)

Integrabilidade Integrabilidade A palavra assusta, mas não é nada demais. Grau de continuidade necessário nas funções peso e tentativa. As duas aparecem em derivadas primeiras na forma fraca. A integral tem que ser nita! Só serão consideradas funções não singulares.

Integrabilidade Funções C 1 Claramente, a função e a integral são integráveis. Não tão claramente, a derivada, apesar de indenida, também é integrável. Se a é um ponto de descontinuidade, com salto igual a p, o valor da derivada em a é pδx a), onde δ é a função Delta de Dirac. Se aparecesse apenas uma função na integral, C 1 estaria OK. No entanto, aparece o produto de duas derivadas. Se os pontos de descontinuidade coincidirem, teremos Ω p2 δ 2 x a)), que não é denida! Se as funções forem C, isto não pode ocorrer. Há também a argumentação física.