Notas de Aula: SET 188 Introdução à Isostática

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1 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos Notas de Aula: SET 88 Introdução à Isostática Estruturas Planas Deslocáveis CABOS

2 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos. Teoria Geral Definição: Cabos e cordas são estruturas unidimensionais, perfeitamente flexíveis e inextensíveis, sem resistência à flexão. Eles só resistem à tração. Flexibilidade: não há resistência à flexão; cabos só resistem a esforços de tração, os quais são tangentes aos cabos. Inextensibilidade: Cabo tem comprimento constante antes e após o carregamento; tratar cabo como corpo rígido nas considerações de equilíbrio. Exemplo: Figura.: Cabos de Transmissão de energia.

3 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos Isole uma parte AB de comprimento s de um dos fios. Aqui: Figura.: Parte AB de comprimento s de um cabo T A e T B são esforços internos de tração nos pontos A e B, respectivamente; ω s é uma força vertical atuando sobre AB. Além disso: A = T A cosθ A, VA = T A sinθ A B = T B cosθ B, VB = T B sinθ B Aplique as equações de equilíbrio sobre a parte AB: F x = = B A B lim s s = cte (Força horizontal é constante) F y = = V B Por outro lado, V A A = d ds = VB VA dv ω s lim = = ω s s ds d d x cos, θ = s sin θ = dv d d dy d dy d dy = ds ds ds ds ds ds ds Portanto d dy ω = (Equação da curva) ds Utilize agora a equação de compatibilidade geométrica: ( T. sinθ ) = T = T = d d y s, e

4 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 3 + dy ( ds) = ( ) + ( dy) ds = de onde obtemos o comprimento da curva por integração: S = L + dy (Comprimento do cabo) Figura.3: Parte infinitesimal do cabo Obs.: ) No desenvolvimento acima utilizamos somente duas das três equações de equilíbrio de um corpo rígido. A terceira equação corresponde ao equilíbrio de momentos em relação a um ponto (exemplo: ponto B) e fornece a equação diferencial dy = tanθ Esta equação pode ser obtida diretamente da geometria de uma parte infinitesimal do cabo, conforme ilustrado na figura.3. ) As equações = T cos θ = cte mostram que a tração no cabo, T, é mínima no ponto mais baixo ( θ = ) e máxima em um dos dois pontos de fixação do cabo.

5 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 4. Cabo de Sustentação Seja ω uma distribuição de carga uniforme na direção x. Este é o caso, por exemplo, de uma ponte suspensa com uma distribuição de carregamento uniforme ao longo do seu vão. Assim, ω = ωds ou, ω = ω ds Substituindo esta expressão de ω na equação da curva, obtemos: d dy d dy ω = = ds ds Ponte suspensa. ds d y ω = Figura.: Relação entre ω e ω. Considere agora um sistema de coordenadas para o qual dy y = = para x = Neste caso, dy = ω x + C, C = x = ω C, C = y + Portanto, y ( x) ω x = (Equação de uma parábola) Devido a esta equação, cabos de sustentação são também chamados Cabos Parabólicos. Agora, lembrando que:

6 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 5 dy ds = + Obtemos ωx + ds = Substituindo esta expressão na equação da tração, obtemos: T ( ω x) = +. De maneira similar, a equação do comprimento fica S = x x ωx +, onde L = x x Para integrar a expressão de S, realize a mudança de variável: ω sinh u = x = coshu. du ω Assim: u S = cosh u. du = + ω ω u u ( cosh u ) u uma vez que cosh u ( + cosh u) S = u u ω + du =. Assim, ( cosh u cosh u ), onde ui asinh ω = xi, i =,.

7 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 6 Solução de problemas: Exemplo : Um cabo suporta um carregamento uniformemente distribuído de,46 kn/m, ao longo de 33,6 m de comprimento e está suspenso de dois pontos fixos, conforme mostrado na Fig... Determine a máxima tensão no cabo e o seu comprimento total. Figura.: Cabo parabólico Solução: Este problema pertence à classe de problemas de cabos parabólicos para os quais y ( x) ω x = Equação da curva T ( ω x) = + Equação do esforço trativo S = x x ωx + Comprimento. Colocando a origem do sistema de coordenadas no ponto mais baixo do cabo, obtemos da equação da curva: x x,46,46, =, 3 = Estas equações, juntamente com a equação de compatibilidade 36,6 = L = x x fornecem ( 36,6 x ) =, ou, ( x ) = ± x 4 x

8 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 7 Se + (positivo): x = 4,4 m, x = -, m Se - (negativo): x = 73, m, x = 36,6 m Uma vez que a curva contém a origem (x,y)= (,) por hipótese descartamos a segunda solução. Substituindo x = 4,4 m na equação da curva, obtemos: ( 4,4),46 = =,46.4,4 = 35, 6kN, Para calcular a máxima tração no cabo, observamos de T ( ω x) = +, para, ω constantes. que T = T máx quando x = x máx. Assim, T máx = 35,6 +,46.4,4 = 5, 4kN O comprimento do cabo pode ser calculado de S = S = 4,4, 4,4 S = 4,4 S = 4,7m,46x + 35,6 4,4, 4,4 + u du + x, x u = 4,4du = 4,4

9 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 8 3. Cabo sujeito ao seu próprio peso: Considere um cabo, ou uma corda flexível, com as extremidades fixas. Para um cabo com seu próprio peso como carregamento (ω constante), podemos escrever a equação da curva do cabo como d y ω = ds Ou, d y ω ds ω dy = = + Para integrar esta equação, seja dy sinh z = Assim d ω ω sinh z = + ( sinh z) = cosh z. Mas também, d sinhz = cosh dz z dz ω =, de onde tiramos que z ( x) = ω x + C Novamente, se o sistema de coordenadas é tal que dy y = = para x = ou seja, a origem está no ponto mais baixo da curva, então C = e ω z = x dy ω =sinh z = sinh x

10 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 9 int egrando Assim, y ( x) ou, y ω y = cosh x + C C = ω ω = cosh x ω ω = cosh, ζ = (Equação da Catenária) ζ ( x) ( ζx ) Uma vez que ds = então dy + dy, = sinh ( ζx) x S = cosh ζ ζ e x ds T = = cosh Observação: Se x x ( ζ x) = sinh( x), L = x x x ( ζ x) T = + ωy ζ para x ( φ, L), então cosh( x) Assim, ( x) ( ζx) 4 θ ( ζx ) ζ = pelo Teorema de Taylor ω y( x) ζ, ζ = para ζ x pequeno Ou seja, se a força horizontal for muito maior do que o peso do cabo ωl, então a catenária difere muito pouco da parábola. Neste caso, a solução geral para a curva de um cabo de uma ponte suspensa é a mesma solução para a curva de um cabo de uma linha de transmissão de energia elétrica.

11 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos Solução de problemas: Exemplo : Um cabo flexível pesando 4,6 N/m está suspenso entre dois pontos colocados ao mesmo nível e distantes 6, m um do outro, como ilustrado na Fig 3.. A máxima força no cabo é de N. encontre y máx e o comprimento total do cabo. I) dado: ω = 4,6 /m L = 6, m T máx = kn Figura 3.: Cabo suportando seu próprio peso. Solução: Este problema pertence à classe de problemas de cabos catenários para os quais ωx y = cosh (Equação da Catenária); ω T = + ωy (Equação do esforço trativo); ωx S = senh (Equação do comprimento). ω Uma vez que o cabo é simétrico em relação ao eixo y, a máxima tração no cabo, T máx, ocorre para o máximo y, e este ocorre em x=x máx =L/. Utilizando as equações da catenária e da tração, eliminamos y, ficando com ωx T = cosh Assim, 4,6.3, 5 T máx = = cosh...equação transcendental. Resolução numérica da equação transcedental Reescreva a equação transcendental na forma:

12 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos cosh z = βz onde: x z = ω T β = ωx 4,6.3, = máx 5 máx máx = 4,6.3,5 =,4567 Portanto, a equação transcendental terá solução se houver intersecção entre as curvas coshz e βz Figura 3.: Funções coshz e βz Defina a função ζ ( z) = cosh z βz Desejamos achar os zeros da função ζ. Seja ẑ um zero de ζ ou seja, ζ ( zˆ ) = Para qualquer z próximo de ẑ, defina ( z + z ) = ζ ( z ) + ζ ( z ) z + ( ) = ζ θ z i i Ignorando termos de ordem superior, temos que z Faça z z i ζ = = z + z ( z ) i ζ ( z ) i i z = zˆ z assim, E repita o procedimento de modo a gerar a seqüência z, z, z3,... i

13 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos Ou em termos gerais, z ( zn ) ( z ) ζ = zn, =,,3 ζ n+ n n Desde que ζ seja suficientemente suave e z esteja próximo de ẑ, a seqüência converge para ẑ, ou seja, z ˆ quando n z n Além disso, ζ tem um único mínimo, pois ( z ) = cosh ζ z e ζ z e z ( z ) = senhz β = ( e ) e z z min β e = log z = = β ± ( β + β + ), 5484 e z β = β + uma vez que o sinal - fornece a solução COMPLEXA. Portanto, ζ tem dois zeros, ẑ e ẑ, um em cada lado de z min Queremos agora obter uma estimativa de ẑ. Assumindo que z ˆ e expandindo cosh(z) em uma série de Taylor, obtemos: z 4 ζ ( z ) = + + θ ( z ) β z Descartando termos de ordem superior e igualando a expressão resultante a zero, obtemos: ~ ~ ~ z β z + = z = β β O sinal + foi descartado, pois forneceria ~ z >> Fazendo z ~ = z, obtemos a tabela: N n,5 z ζ ( ) ζ ζ ( ) ( zn ) z = z n z n = z + z n ζ ( zn ) n+ n n,5,48 -,746,778,5778,58 4, ,74,59,578 3,58 3,6. - -,74,97. -,578 z Este método para obtenção de zeros de uma função é conhecido como Método de Newton.

14 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 3 Próximo do zero de uma função, o método fornece convergência quadrática: ( z ) z + = θ para z < e n =,,3,... n n n Portanto, ~ 4,6.3,5 z,578 = 885, 7N,578 Substituindo na equação da curva, ou, da tração, obtemos y ( T ) = ω () máx máx 7, 83 m O comprimento total do cabo é 3,5 ωx S = sinh 63, 6m ω 3,5 Procedimento similar utilizado acima fornece o outro zero de ζ 4,6.3,5 zˆ =,3455 = 89, 9N,3455 Assim, y ( T ) () máx máx 55, 5 = ω 3,5 m ωx S = sinh 34, 5m ω 3,5 Observação: ) A segunda solução fornece valores muito elevados para y máx devendo, portanto, ser descartada. )

15 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 4 4. Problemas Propostos ) Um cabo está suspenso de dois pontos que estão 4,4 m distantes entre si, conforme ilustrado na figura. O cabo suporta uma carga que está uniformemente distribuída com relação ao vão horizontal. Qual é a máxima carga total, W que o cabo pode suportar se a força no cabo não pode ultrapassar 44,5 kn e y máx = 36,6 m. Figura. Dado: L = 4,4m y T máx máx = 3,66m = 44,5kN Resposta: W = 87, 84kN

16 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 5 ) Um cabo de 33,5 m de comprimento está suspenso de pontos que estão 3,5 m distantes ente si, sobre o mesmo nível, conforme ilustrado na figura. Se o cabo suporta uma carga total de 44,5 kn uniformemente distribuída ao longo da horizontal, qual é a força no cabo? Figura Dado: s = 33,5m L = 3m W = 44,5kN

17 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 6 3) Um carregamento horizontal uniformemente distribuído de,46 kn/m é suportado por um cabo, como mostrado na figura 3. determine a máxima força no cabo. Figura Dado: L =,m a =,5m ω =,46kN m Resposta: T máx = 6, kn

18 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 7 4) Um arame flexível pesando 43,8 n/m passa por duas polias pequenas que não oferecem resistência ao movimento. Estas polias estão em um mesmo nível e distantes 3,5 m uma da outra. Nas extremidades do arame estão dois pesos iguais, W, conforme ilustrado na figura. Dado que o peso do cabo está uniformemente distribuído ao longo do vão horizontal, e que W = 3,34 kn, detemine y máx. Figura Dado: L = 3,5m ω = 43,8 N m W = 3,34kN Resposta: y máx =, 56m

19 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 8 5) No problema 4, a razão y máx /L é de / para um certo peso W. Se o peso é reduzido pela metade, qual é a nova razão y máx /L?

20 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 9 6) Um cabo de 5,5 m de comprimento pesando 43,8 N/m está para ser suspendido entre pontos situados no mesmo nível, conforme ilustrado na figura. Se a força no cabo está limitada a 6675 N, qual deveria ser o comprimento do vão e o correspondente ymáx? Figura Dado: L = 5,5m ω = 43,8 N m Tmáx = 6675kN

21 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 7) para os valores de L e de ymáx calculados no problema 6, ache a máxima força no cabo se tratarmos o seu peso total como uniformemente distribuído horizontalmente. Compare este resultado com a força real. Resposta: W = 6, 8kN

22 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 8) Um cabo flexível pesando 58m4 N/m está suspenso pelas suas extremidades de dois suportes distantes 5,5 m um do outro. As extremidades têm a mesma elevação, conforme mostrado na figura. Considerando ymáx igual a,m, ache o comprimento do cabo e a máxima força no cabo. Figura Dado: ω = 58,4 N m L = 5,5m y máx =, m Resposta: s = 54, 9m

23 Notas de Aula: Estruturas planas deslocáveis - Cabos 5. Referência: uang, T. C., Engineering Mechanics. Reading: Addison-Wesley, 967.