LOBER HERMANY ESCOAMENTO DE FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS E VISCOPLÁSTICOS: AVALIAÇÃO ANALÍTICA E APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS

LOBER HERMANY ESCOAMENTO DE FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS E VISCOPLÁSTICOS: AVALIAÇÃO ANALÍTICA E APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS Monogafia apesentada ao Depatamento de Engenhaia Mecânica da Escola de Engenhaia da Univesidade Fedeal do Rio Gande do Sul, como pate dos equisitos paa obtenção do diploma de Engenheio Mecânico. Oientado: Pof. D. Ségio Fey Poto Alege 2009

2 Univesidade Fedeal do Rio Gande do Sul Escola de Engenhaia Depatamento de Engenhaia Mecânica ESCOAMENTO DE FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS E VISCOPLÁSTICOS: AVALIAÇÃO ANALÍTICA E APROXIMAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LOBER HERMANY ESTA MONOGRAFIA FOI JULGADA ADEQUADA COMO PARTE DOS REQUISITOS PARA A OBTENÇÃO DO DIPLOMA DE ENGENHEIRO(A) MECÂNICO(A) APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELA BANCA EXAMINADORA DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Pof. D. Walte Jesus Pauca Casas Coodenado do Cuso de Engenhaia Mecânica BANCA EXAMINADORA: Pof. D. Adiane Pety UFRGS / DEMEC Pof. D. Joge Zabadal UFRGS / DEMEC Pof. D. Flávio van de Laan UFRGS / DEMEC Poto Alege 2009

3 AGRADECIMENTOS Em pimeio luga agadeço a Deus pelo dom da vida e pela sua pesença nos momentos mais difíceis. Aos meus pais e imãos pelo apoio incondicional, exemplo de vida e po todo o esfoço ealizado paa que esta conquista fosse alcançada. Ao meu oientado, Pof. D. Ségio Fey que esteve sempe ao meu lado oientando, solucionando dúvidas com disponibilidade e pofissionalismo. Ao LAMAC, po disponibiliza os ecusos necessáios paa a concetização deste tabalho.

4 Pocue se um homem de valo, em vez de se um homem de sucesso. Albet Einstein

5 HERMANY, L.. Escoamento de fluídos pseudoplásticos e viscoplásticos: avaliação analítica e apoximação po elementos finitos. 27f. Monogafia (Tabalho de Conclusão do Cuso de Engenhaia Mecânica) Depatamento de Engenhaia Mecânica, Univesidade Fedeal do Rio Gande do Sul, Poto Alege, 2009. RESUMO O pesente tabalho objetiva a investigação teóica e numéica da dinâmica dos escoamentos dos fluidos industiais. A gande maioia destes fluidos, ao escoaem apesentam um compotamento eológico bem diveso dos apesentados pelos líquidos Newtonianos - sendo, potanto, conhecidos na liteatua como fluidos não-newtonianos. Neste tabalho são desenvolvidas soluções exatas e apoximações de elementos finitos de escoamentos de inteesse de fluidos não-newtonianos pseudoplásticos e viscoplásticos. O modelo pseudoplástico empegado é o conhecido fluido powe-law, enquanto que o modelo de viscoplasticidade é a equação de Bingham. Com as soluções exatas e apoximações numéicas dos poblemas, seão deteminados paâmetos cinemáticos e dinâmicos de inteesse. Foam também deteminados os eos elativos das apoximações numéicas ealizadas. Os esultados obtidos foam satisfatóios, mostando as influências dos paâmetos eológicos, índice de powe-law e númeo de Bingham, sobe o escoamento de fluidos não-newtonianos. Esses esultados pemitiam também a compaação ente pefis de velocidades obtidos analiticamente e computacionalmente, mostando que o código computacional utilizado é eficaz. Todo o desenvolvimento teóico e computacional deste tabalho foi ealizado no Laboatóio de Mecânica dos Fluidos Aplicada e Computacional (LAMAC) do Depatamento de Engenhaia Mecânica da UFRGS. Palavas-chave: fluidos não-newtonianos, soluções exatas, elementos finitos, pseudoplásticos, viscoplásticos, powe-law, equação de Bingham.

6 HERMANY, L.. PSEUDOPLASTIC AND VISCOPLASTIC FLUIDS FLOW: ANALITIC AVALIATION AND FINIT ELEMENT APROXIMATION. 27f. Monogafia (Tabalho de Conclusão do Cuso de Engenhaia Mecânica) Depatamento de Engenhaia Mecânica, Univesidade Fedeal do Rio Gande do Sul, Poto Alege, 2009. ABSTRACT The pesent wok aims the theoetical and numeical eseach of the industial fluid flows dynamics. The vast majoity of these fluids, when dain, pesent an heological behavio vey diffeent fom those pesented by Newtonian liquids and theefoe known in the liteatue as non-newtonian fluids. This wok developed exact solutions and finite element appoximations of the flow of inteest fom non-newtonian fluid pseudoplastic and viscoplastic. The pseudoplastic fluid model used is the known powe-law, while the viscoplastic model is the equation of Bingham. With the exact solutions and numeical appoximations of the poblems, be detemined kinematic and dynamic paametes of inteest. We also detemined the elative eos of numeical appoximations made. The esults wee satisfactoy, showing the influence of heological paametes, index of powe-law and Bingham numbe on the disposal of non-newtonian fluids. These esults also allowed a compaison between velocity pofiles obtained analytically and computationally, showing that the computational code used is effective. All the theoetical and computational development fom this wok will be conducted at the Laboatoy of Fluid Mechanics Computational and Applied (LAMAC) Depatment of Mechanical Engineeing at UFRGS. Keywods: non-newtonian fluids, exact solutions, finite elements, pseudoplastic, viscoplastic, powe-law, Bingham equation

7 SUMÁRIO ABSTRACT...6 1. INTRODUÇÃO...8 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...8 3. MODELAGEM MECÂNICA...9 3.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONSERVAÇÃO DE MASSA...9 3.1.1 Sistema de coodenadas catesianas... 9 3.1.2 Sistema de coodenadas cilíndicas... 10 3.2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO...11 3.2.1 Sistema de coodenadas catesianas... 12 3.2.1 Sistema de coodenadas cilíndicas... 13 4. SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA ESCOAMENTO INTERNO EM TUBOS...14 4.1SOLUÇÃO EXATA PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS 15 4.2SOLUÇÃO EXATA PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS VISCOPLÁSTICOS...16 5. SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA DO ESCOAMENTO DE HAGEN- POISEUILLE PARA FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS...17 5.1 SOLUÇÃO EXATA... 17 5.2 SOLUÇÃO OBTIDA POR ELEMENTOS FINITOS... 17 5.3 ANÁLISE E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA...18 6. SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA DO ESCOAMENTO DE HAGEN- POISEUILLE PARA FLUIDOS VISCOPLÁSTICOS...20 6.1 SOLUÇÃO EXATA... 20 6.2 SOLUÇÃO APROXIMADA... 20 6.3 ANÁLISE E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA...21 7. CONCLUSÕES...22 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...23 9. APÊNDICES...24

8 1. INTRODUÇÃO O entendimento e o contole das popiedades eológicas é de fundamental impotância na fabicação e no manuseio de uma gande quantidade de mateiais (boachas, plásticos, alimentos, cosméticos, tintas, óleos lubificantes, etc.) e em pocessos de bombeamento de líquidos em tubulações, pocessos de moldagem de plásticos. Po estes motivos consideo elevante o estudo das popiedades e paâmetos de escoamento de fluidos não-newtonianos, já que a gande maioia dos fluidos industiais apesentam estas caacteísticas. Um fluido não-newtoniano é um fluido cuja viscosidade vaia de acodo com o gau de defomação aplicado. Estes fluidos podem se classificados como: - Pseudoplásticos: são substâncias que, em epouso, apesentam suas moléculas em um estado desodenado, e quando submetidas a uma tensão de cisalhamento, suas moléculas tendem a se oienta na dieção da foça aplicada. E quanto maio esta foça, maio seá a odenação e, consequentemente, meno seá a viscosidade apaente. - Plásticos de Bingham : este tipo de fluido apesenta uma elação linea ente a tensão de cisalhamento e a taxa de defomação, a pati do momento em que se atinge uma tensão de cisalhamento inicial. - Dilatantes: são substâncias que apesentam um aumento de viscosidade apaente com a tensão de cisalhamento. - Heschel-Bulkley : também chamado de Bingham genealizado. Este tipo de fluido também necessita de uma tensão inicial paa começa a escoa. Entetanto, a elação ente a tensão de cisalhamento e a taxa de defomação não é linea. O objetivo deste tabalho é investiga analítica e numeicamente o escoamento de fluídos não-newtonianos, pocuando entende seus compotamentos cinemáticos e dinâmicos pincipalmente em escoamentos intenos em tubos. O estudo seá de fluidos pseudoplásticos e viscoplásticos. Estes tipos de fluidos apesentam um compotamento eológico bastante divesificado quando compaados com fluidos newtonianos. De posse das equações da consevação de massa e de movimento paa fluidos incompessíveis, seão desenvolvidas soluções exatas e soluções po apoximação de elementos finitos de escoamentos de fluidos não-newtonianos pseudoplásticos e viscoplásticos. Paa modela o escoamento do fluido pseudoplástico seá empegado o modelo powe-law, enquanto que paa o fluido viscoplástico seá adotado o modelo de Bingham. Após obtidas as soluções exatas e apoximadas seão deteminados paâmetos cinemáticos e dinâmicos de inteesse, tais como os pefis de velocidades, queda de pessão ao longo do escoamento, distibuição de tensões de cisalhamento, taxas de cisalhamento expeimentadas pelo fluido, limites de escoamento e supefícies de escoamento de mateiais viscoplásticos. Também seá deteminado o eo elativo das apoximações numéicas ealizadas. 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo seá apesentada uma evisão bibliogáfica sobe a lei de consevação de massa e a lei da quantidade de movimento, focando-se uma beve demonstação destas leis em coodenadas cilíndicas e catesianas. Também seá comentado sobe os fluidos nãonewtonianos e suas classificações segundo fontes bibliogáficas consultadas. Os autoes Fox, McDonald e Pitchad (1981) em seu livo, Intodução a Mecânica dos Fluidos, apesentaam uma discussão sobe a lei de consevação de massa. Nesta discussão demonstaam a obtenção da equação difeencial paa essa lei. Patindo de um volume de contole difeencial, popuseam elações matemáticas a fim de mensua popiedades cinemáticas do compotamento dos fluidos. Demonstaam também a lei de quantidade de movimento, patindo da segunda lei de Newton. Ou seja, popuseam o equacionamento das

9 foças oiundas das tensões intenas sofidas po uma patícula fluida e as foças de oigem da cinemática da patícula. Nesta oba os autoes também apesentaam aplicações destas leis, como po exemplo o escoamento lamina completamente desenvolvido em duto cicula. Segundo Bennet e Myes (1978) em seu livo, Fenômenos de tanspote de quantidade de movimento, calo e massa, os fluidos não-newtonianos apesentam uma elação não linea ente a tensão de cisalhamento e o gadiente de velocidades e o tipo dessa elação seve paa classifica as divesas classes de fluidos não-newtonianos. Os autoes classificam os fluidos não-newtonianos como: fluidos Binghamianos, fluidos pseudoplásticos, fluidos dilatantes, fluidos de Heschel-Bulkley e fluidos não-newtonianos dependentes do tempo. Já Bid, Amstong e Hassage (1987) na oba Dynamics of polymeic liquids discutiam os escoamentos dos fluidos não-newtonianos. Relataam expeimentos ealizados e obsevaam as influências dos paâmetos eológicos de cada classe de fluidos nãonewtonianos. 3. MODELAGEM MECÂNICA 3.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CONSERVAÇÃO DE MASSA 3.1.1 Sistema de coodenadas catesianas O volume de contole utilizado paa obtenção da equação difeencial da continuidade segundo Fox & McDonald, é um cubo infinitesimal com lados de compimento dx, dy, dz, confome indicado na Fig. 3.1. A massa específica no cento O, do volume de contole é admitida como sendo ρ e a velocidade é V = iu jv kw. figua 3.1 volume de contole em coodenadas catesianas Paa avalia as popiedades em cada uma das seis faces do volume de contole, foi usada uma expansão em séie de Taylo em tono do ponto O. A lei da consevação de massa diz que a taxa líquida de fluxo de massa paa foa da supefície de contole, mais a taxa de vaiação de massa dento do volume de contole deve se igual a zeo. Paa a obtenção da taxa líquida de fluxo de massa paa foa da supefície de contole, deve-se conhece a vazão mássica, SC V d A, em cada uma das seis faces. Admitindo que as componentes das velocidades em cada face são positivas no sentido dos eixos das coodenadas e adotando a convenção de que a nomal da áea é positiva paa foa de cada face, temos que a taxa líquida de fluxo de massa paa foa do volume de contole é a soma da taxa de fluxo de massa em cada supefície, ou seja SC V d A=[ u x v y w z ] dxdydz (3.1)

10 Como a massa dento do volume de contole, em qualque instante, é o poduto da densidade pelo volume, paa um volume de contole infinitesimal, a taxa de vaiação da massa no seu inteio é dada po t dxdydz. Potanto, a equação difeencial da consevação de massa, em coodenadas etangulaes, paa fluidos incompessíveis é u x v y w z =0 (3.2) 3.1.2 Sistema de coodenadas cilíndicas O volume de contole adequado, novamente baseado em Fox & McDonald, é mostado na Fig. 3.2. Analogamente à dedução paa coodenadas etangulaes, a massa específica no cento do volume de contole, O, é tida como ρ e a velocidade, também no cento, é consideada igual a V = e V e V k z V z, onde e, e e k z são vetoes unitáios nas dieções, θ e z, espectivamente, e V, V e V z são as componentes das velocidades também nas dieções, θ e z, espectivamente. Figua 3.2 volume de contole em coodenadas cilíndicas. Novamente é peciso conhece a taxa líquida de fluxo de massa paa foa do volume de contole, ou seja, SC V d A e a taxa de vaiação de massa dento do pópio volume de contole. Da mesma foma que paa coodenadas etangulaes, as popiedades nas faces do volume de contole foam obtidas po um desenvolvimento po séie de Taylo em tono do ponto O. Então, se as componentes das velocidades tem o sentido positivo igual ao dos eixos coodenados e adotando a convenção de que a nomal da áea é positiva paa foa das faces do volume de contole e os temos de odem supeio foem negligenciados, a taxa líquida do fluxo de massa é: face intena (-): SC V d A= [ d 2 ][ V V d 2 ] d 2 d dz= V d dz d V 2 d dz V (3.3) d 2 d dz V d 2 d dz face extena (+): SC V d A=[ d 2 ][ V V d d 2 d dz= V d dz d V 2 d dz V (3.4) d 2 d dz V d 2 d dz 2 ]

11 face fontal (-θ): SC V d A= [ d 2 ][ V V d 2 ] ddz= V d dz V face posteio (+ θ): (3.5) d 2 d dz V d 2 d dz SC V d A=[ d 2 ][ V V d 2 ] ddz= V d dz V face da base (-z): d 2 d dz V SC V d A= [ z dz 2 ][ V z V z z dz 2 ] d d= V z d d V z z face supeio (+z): d 2 d dz (3.6) (3.7) dz 2 d d V dz z z 2 d d SC V d A=[ z dz 2 ][ V z V z z dz 2 ] d d= V zd d V z z (3.8) dz 2 d d V dz z z 2 d d Somando-se os fluxos em todas as faces, vemos que o fluxo total de massa paa foa do volume de contole é VC V d A=[ V V V V z z ] d d dz. (3.9) Como a massa dento do volume de contole difeencial, em qualque instante, é o poduto da massa po unidade de volume pelo pópio volume, temos que a taxa de vaiação da massa no inteio do volume de contole é t d ddz. Potanto, em coodenadas cilíndicas, a equação difeencial da consevação da massa paa fluidos incompessíveis é: 1 V 1 V V z z =0 (3.10) 3.2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO O movimento de uma patícula fluida pode se descito pela segunda lei de Newton que paa um sistema qualque, é dada po d F =dm d V dt. (3.11)

12 3.2.1 Sistema de coodenadas catesianas Em coodenadas catesianas a aceleação é lei de Newton pode se escita como: d V dt =u V x v V y w V z V t e a segunda d F =dm[ u V x v V y w V z V t ]. (3.12) As foças que atuam sobe uma patícula fluida são as foças de copo e as foças de supefície. Se as tensões no cento do elemento difeencial e na dieção x foem tomadas como sendo igual a xx, yx e zx, então as tensões atuando na dieção x em cada face do elemento, obtidas po uma apoximação po séie de Taylo, são confome indicado na Fig. 3.3. Figua 3.3 distibuição de tensões na dieção x A foça de supefície esultante na dieção x, df S x é a soma de todas as foças nesta dieção. Estas foças estão ilustadas na Fig. 3.3 e a equação se tona, após simplificações df S = xx x x yx y zx z dxdydz. (3.13) Já a foça de copo, pode-se considea a gavidade como sendo a única atuante, e então a foça de copo po unidade de massa é igual a g. Potanto a foça esultante na dieção x, df x, é dada po: df x =df B x df S = g x x xx x yx y zx z dxdydz. (3.14) Paa as foças esultantes nas outas dieções é possível deduzi equações semelhantes. Então, paa as dieções y e z têm-se: df y =df B y df S = g y y xy x yy y zy z dxdydz (3.15) df z =df Bz df S = g z z xz x yz y zz z dxdydz. (3.16) De posse destas equações é possível obte a equação difeencial da quantidade de momentum em coodenadas catesianas. Ou seja

13 g x xx x yx y zx z = u t u u x v u y w u z (3.17) g y xy x yy y zy z = v t u v x v v y w v z (3.18) g z xz x yz y zz z = w t 3.2.1 Sistema de coodenadas cilíndicas u w x v w y w w z. (3.19) Paa tansfoma o sistema de coodenadas etangulaes paa cilíndicas pode-se utiliza, de acodo com a Fig. 3.4, as elações abaixo, poém, paa facilita a didática tomemos = e e = e. Figua 3.4 vetoes unitáios em coodenadas catesianas e polaes e =cos i sen j (3.20) e = sen i cos j (3.21) d e dt = sen i cos j d dt = d dt e = e (3.22) d e dt = cos i sen j d dt = d e dt = e (3.23) V =. (3.24) Em coodenadas cilíndicas o veto posição de uma patícula é Potanto, paa a obtenção da velocidade da patícula deve-se deiva a posição em elação ao tempo. Ou seja d dt = d dt t = t e t z e z. e d e dz e dt dt z z d e z dt =d V =d V e d V e dz V z e z V t dt (3.25) E a aceleação da patícula tona-se: d V dt =d V dt e d V d e dt d V dt e d V d e dt dz V dt z e z dz V z e z dt V t (3.26) ou

14 a=v V V V e V V V 2 V e V z z V t. (3.27) Potanto, em coodenadas cilíndicas, a segunda lei de Newton tona-se: d F =dm V V V V 2 e V V V V e V z z V t (3.28) A distibuição das tensões em um elemento de fluído em coodenadas cilíndicas é d F S = [ 1 1 z z ] dd dz (3.29) d F S = [ 1 2 1 2 z z dd dz ] (3.30) d F Sz = [ 1 z 1 z zz z ] dd dz. (3.31) Consideando novamente a gavidade como sendo a única foça de copo atuante, a foça po unidade de massa é igual a g. Potanto pode-se esceve as tês pacelas da equação difeencial da quantidade de momentum em coodenadas cilíndicas, como segue V 2 V V V V V z V z V t = [ g 1 1 z z ] (3.32) V V V V V V V V z z V t [ = g 1 2 2 1 z z ] (3.33) V V z V V z V V z z z V z t [ = g z 1 z 1 z zz z ]. (2.43) 4. SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA ESCOAMENTO INTERNO EM TUBOS Figua 4.1 Volume de contole difeencial axissimético. Como o escoamento inteno em tubos é axissimético, o volume de contole seá um espaço anula difeencial confome mostado na figua 4.1. As foças nomais (de pessão) atuam nas extemidades dieita e esqueda do volume de contole e as foças cisalhantes atuam nas paedes intena e extena. Tomando-se a pessão na face esqueda do volume de contole como sendo igual a p, as foça de pessão atuantes no volume de contole são confome indicado na Fig. 4.1.

15 O somatóio das componentes em x das foças atuando sobe o volume de contole deve se zeo. Então p x 2 ddx x d 2 dx d x d 2 dx=0 (4.1) d Dividindo-se esta equação po 2 d dx, esulta em p x = x d x d =1 d x d (4.2) ou d x = p d x (4.3) Resolvendo a Eq. 4.3, obtém-se: x = 2 p x c 1. (4.4) Contudo, paa escoamentos eais fisicamente possíveis a tensão x deve se finita quando =0, e isto só é possível se c 1 =0. Então, a tensão x se tona x = 2 p x. (4.5) 4.1 SOLUÇÃO EXATA PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS Paa o modelo powe-law, tem-se a expessão x =K d u x d d u n dx (4.6) onde K é o índice de consistência [Pa.s n ] e n é o coeficiente de powe-law. Poém, em um escoamento lamina completamente desenvolvido em tubos, não há vaiação da velocidade u na dieção x. Potanto, a equação pode se simplificada como x =k d u n x d. (4.7) Então, a expessão paa du x du x =[ 2k p 1 x ] fica na foma n d (4.8) e, esolvendo a Eq. 4.8 obtém-se u x = n 1 n p x R 1 n 2k 1 n[ R 1 n 1 n ] (4.9)

16 De posse da equação do pefil de velocidades e sabendo que Q= A V d A obte a equação da vazão, pode-se 2 Q= 0 0 R[ n 1 n p x 1 2k R 1 n n[ R 1 n 1 n ]] [ n 1 dd = n p x 1 1 2k que após manipulações algébicas e admitindo- se que completamente desenvolvidos, tona-se Q= n 1 3n p L R 1 3n 2k 1 n n R 1 3n n ] [ 2 n n 1 p x 1 2k 1 n R p x = p x = p L 1 3n n n 1 3n ] (4.10) paa escoamentos. (4.11) 4.2 SOLUÇÃO EXATA PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS VISCOPLÁSTICOS O modelo de Bingham é descito po x = 0 0 d u x d d u dx (4.12) onde 0 é a tensão limite de escoamento e 0 é a viscosidade do fluido quando este inicia seu escoamento, ou seja, x 0. Como não há vaiação da velocidade u na dieção x d u 0 x 0 d = p 2 x (4.13) Paa a obtenção do pefil de velocidades deve-se intega a seguinte equação 0 u x d u= R tonando-se: u x = R 2 p 2 0 x 0 p 4 0 x R 0 0 0 d (4.14) 2 4 0 p x 0 0 (4.15) Paa a deteminação da vazão, pecisa-se calcula A V d A. Então 2 Q= 0 0 R[ R2 p 4 0 x R 0 0 2 p 4 0 x 0 0 ] dd = 2 0 R4 16 0 p x R3 0 3 0 R4 8 0 p x R3 0 2 0 d (4.16) que, depois de simplificado, e consideando que completamente desenvolvidos fica na foma p x = p x = p L paa escoamentos Q=2 R 4 p 16 0 L R3 0 6 0 (4.17)

17 5. SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA DO ESCOAMENTO DE HAGEN- POISEUILLE PARA FLUIDOS PSEUDOPLÁSTICOS O poblema consiste em enconta o pefil de velocidades e a queda de pessão de um escoamento de Hagen-Poiseuille. A geometia é em um tubo de 0.5m de compimento com um aio de 0.025m. A vazão na entada é fixada em 0.001m³/s. Empegou-se o modelo de fluido powe-law paa pseudoplasticidade, com coeficientes de powe-law vaiando ente 0.2 e 1.0, com índice de consistência K igual a 1.0. 5.1 SOLUÇÃO EXATA Paa a obtenção da solução exata do escoamento, utilizou-se a Eq. 4.9. No entanto é necessáio o conhecimento da queda de pessão ao longo do tubo, a qual pode se obtida isolando-se p na Eq. 4.11, como segue p= Q 1 3n n n 2kL R 1 3n. (5.1) A Tab. 5.1 taz as soluções analíticas paa a queda de pessão e pefis de velocidades paa os difeentes coeficientes de powe-law estudados. Tabela 5.1 Queda de pessão ao longo do duto e pefis de velocidades Coeficiente de powe-law Queda de pessão Pefil de velocidades n=0.2 p=110,78642 Pa u x =0,67908 2781514912,81959 6 n=0.35 p=213,26056 Pa u x =0,77337 1168857,51521 3,85714 n=0.5 p=403,7012 Pa u x =0,84883 54325,12 3 n=0.75 p=1151,99114 Pa u x =0,94583 5175,50896 2,33333 n=1 p=3259,49324 Pa u x =1,01859 1629,744 2 5.2 SOLUÇÃO OBTIDA POR ELEMENTOS FINITOS Paa a obtenção da solução apoximada do poblema poposto, utilizou-se o softwae de elementos finitos NNFEM em desenvolvimento no LAMAC - Laboatóio de Mecânica dos Fluidos Aplicada e Computacional, desta Univesidade. A Fig. 5.1 ilusta a malha utilizada paa a discetização do domínio, que se tata de um canal com 0.05m de diâmeto e 0.5m de compimento. Po tata-se de um poblema simético, apenas metade da geometia foi simulada. As condições de contono empegadas são não-deslizamento e impemeabilidade na paede supeio, pefis de velocidade unifomes na entada e saída do canal e condições de simetia na fonteia infeio do domínio du x /du =u = x =0. A malha possui 500 elementos bilineaes Q1/Q1, totalizando 606 nós. Figua 5.1 malha utilizada paa solução computacional do poblema poposto

18 5.3 ANÁLISE E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA O pefil de velocidades de escoamentos intenos em tubos é paabólico paa fluidos newtonianos. Paa líquidos que escoam de acodo com o modelo powe-law este pefil é modificado de acodo com o coeficiente n. As Fig. 5.2(a)-(e) mostam este efeito. Obseva-se que com a diminuição do coeficiente n acontece o aumento do gau de pseudoplasticidade, ou seja, a viscosidade diminui com o aumento da tensão cisalhante. Em outas palavas, quanto meno o coeficiente n, meno seá a tensão cisalhante necessáia paa que o fluido escoe. E isto acaeta em meno peda de caga e em maio tansfeência de calo com fluidos extenos ao tubo. (a) (b) (c) (d)

19 (e) Figua 5.2 - Pefis de velocidades apoximados e analíticos paa K=1 Pa.s n vaiando o coeficiente de powe-law: (a)n=0.2; (b)n=0.35; (c)n=0.5; (d)n=0.75; (e)n=1.0. Na Fig. 5.3, pode-se obseva a difeença da peda de caga ao longo do tubo paa os difeentes fluidos analisados. O escoamento do fluido newtoniano (n=1) é o que apesenta maio queda de pessão, visto que apesenta uma espessua de camada limite maio em elação aos outos fluidos analisados. A peda de caga mosta-se dietamente popocional ao coeficiente powe-law, devido ao efeito de shea thinning edução da viscosidade do fluido com o aumento da taxa de defomação. 3500 3000 Δp [Pa] 2500 2000 1500 1000 500 n=1 n=0,75 n=0,5 n=0,35 n=0,2 0 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 Compimento do Tubo [m] Figua 5.3 Queda de pessão vesus compimento do tubo paa os difeentes coeficientes de powe-law A Tab. B.1 situada no apêndice B taz os eos elativos ente os pefis de velocidades analítico e apoximado. Pode-se obseva que o maio eo ente as velocidades é de 4.88%. Este eo ocoe justamente quando o coeficiente n é meno, devido à existência de um gadiente de velocidade mais seveo póximo à paede e a deficiente discetização do domínio nesta egião. É conveniente salienta que um eo desta magnitude é aceitável em boa pate das aplicações de engenhaia.

20 6. SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA DO ESCOAMENTO DE HAGEN- POISEUILLE PARA FLUIDOS VISCOPLÁSTICOS O poblema tatado nesta seção obedece as mesmas condições impostas ao poblema anteio, assim como mesma geometia. Nesta etapa, seá adicionalmente calculada a distibuição de tensões em função do aio do tubo, mostada no Apêndice D. O númeo adimensional que elaciona a tensão limite de escoamento e a tensão devido à cinemática do fluido é o númeo de Bingham, dado po Bn= 0 0 U 2 (6.1) onde é o aio do tubo, U é uma velocidade caacteística e os demais paâmetos definidos anteiomente. 6.1 SOLUÇÃO EXATA Paa se calcula a distibuição de tensões atavés da Eq. 4.5, deve-se conhece a queda de pessão po compimento de tubo. Paa isso empega-se a Eq. 4.17. Isolando equação, tem-se que p L nesta p L = Q 2 R3 0 6 0 16 0 R 4 (6.2) A fim de vaia o númeo de Bingham sem altea as condições cinemáticas do poblema, a tensão limite de escoamento 0 seá calculada pela Eq. 6.1 paa obte-se os númeos de Bingham estipulados. Os esultados obtidos paa os númeos de Bingham estipulados são mostados na Tab. 6.1 em conjunto com a tensão limite de escoamento empegada; a queda de pessão po compimento de tubo e a distibuição de tensão em função do aio do tubo obtidas paa cada caso. Tabela 6.1 Soluções analíticas paa a distibuição de tensão e queda de pessão no tubo. Bn 0 [Pa] p/l [Pa/m] xy [Pa] Pefil de velocidades 0,1 1,02 6634,83 3317.41 * -1656,91*²+1,0186*+1,01 1 10,19 7605,49 3802.75 * -1901,373*²+10,186*+0,934 5 50,93 11951,52 5975.76 * -2987,88*²+50,93*+0,594 10 101,86 17384,48 8692.24 * -4346,12*²+101,86*+0,1698 6.2 SOLUÇÃO APROXIMADA Paa as simulações envolvendo poblemas de viscoplasticidade utilizou-se uma malha de elementos finitos composta po 1000 elementos bilineaes Q1/Q1, totalizando 1111 nós. A malha está epesentada na Fig. 6.1.

21 Figua 6.1 malha utilizada paa solução computacional do poblema poposto 6.3 ANÁLISE E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES EXATA E APROXIMADA Nas Fig. 6.2(a)-(e) apesentam-se as compaações ente os pefis de velocidades obtidos analiticamente e atavés das simulações numéicas. Todos os gáficos foam geados com o pefil de velocidade obtido no cento da geometia (x=0.25m), posição onde assumiu-se que o escoamento esteja completamente desenvolvido, live dos efeitos de entada e saída. Pode-se obseva um pefil de velocidade cada vez mais achatado à medida que o númeo de Bingham aumenta. Pode-se veifica também que o aumento do númeo de Bingham acaeta um aumento na egião de escoamento tampão (plug flow) egião onde assume-se que o fluido não se defoma. Essas egiões são melho visualizadas na Fig. A.1 do Apêndice A, onde são epesentadas pelas zonas petas. (a) (b) (c) (d) Figua 6.2 Pefis de velocidades paa η0 = 1.0Pa.s, U=0.59m/s: (a)bn=0.1; (b)bn=1.0; (c)bn=5.0; (d)bn=10.0;

22 Da mesma foma que paa o caso de fluido pseudoplástico, foi geada uma tabela de eos ente as velocidades calculadas analiticamente e as obtidas via simulação numéica. Esta tabela pode se visualizada no Apêndice C, Tab. C.1. Os esultados obtidos apesentam eo elativo infeio a 5%, poém possuem tendência de cescimento com o aumento do númeo de Bingham. 7. CONCLUSÕES Este tabalho objetivou um estudo teóico e numéico da dinâmica dos fluidos pseudoplásticos e viscoplásticos. Paa tal foi deteminado analiticamente os pefis de velociade ao longo do escoamento e compaados com o campo de velocidades obtidos via elementos finitos. No Capítulo 1 foi ealizada uma beve evisão dos modelos de fluidos não- Newtonianos mais utilizados, bem como apesentados os objetivos e a motivação do tabalho. No Capítulo 2, seguiu-se a metodologia adotada po Fox & McDonald paa a demonstação da equação de consevação de massa e balanço de momentum em coodenadas catesianas e cilíndicas. No Capítulo 3, atavés da hipótese de axissimetia, foam calculadas as soluções analíticas paa o campo de velocidades e queda de pessão de escoamento inteno em tubos paa os dois modelos, powe-law e Bingham. A pati dos esultados paa fluidos pseudoplásticos obtidos no Capítulo 4 concluiu-se que a influência do coeficiente de powelaw sobe o pefil de velocidades é significativa, visto que, quando da diminuição do coeficiente, o pefil de velocidades tona-se mais plano em tono da linha de cento do escoamento (egiões sujeitas a baixas taxas de defomação), e uma egião póxima a paede com gadientes de velocidade mais seveos. Outo fenômeno obsevado foi a diminuição da espessua da camada limite de acodo com a diminuição do gau de pseudoplasticidade, e, consequentemente, a diminuição da peda de caga. Na seção 4.2 foam ealizadas as simulações de elementos finitos com apoximação de Galekin Mínimos Quadados com o código computacional NNFEM em desenvolvimento no Laboatóio de Mecânica dos Fluidos Aplicada e Computacional. Atavés da compaação ente os esultados das simulações computacionais com os obtidos analiticamente, foam calculados os eos elativos das velocidades tanto paa o fluido pseudoplástico como paa o fluido viscoplástico. Obsevou-se que apesa da utilização de uma malha pouco efinada, os esultados se mostaam satisfatóios uma vez que os eos máximos foam da odem de 4%. É possível obte-se esultados muito mais pecisos com malhas mais efinadas. Com os esultados do Capítulo 5 paa fluidos viscoplásticos, obsevou-se que o númeo de Bingham é o paâmeto eológico que govena o escoamento, uma vez que elaciona a tensão limite de escoamento do fluido com a tensão geada pela cinemática do escoamento. Confome esse númeo aumenta, a magnitude da tensão necessáia paa o início do escoamento cesce as zonas não defomadas aumentam, acaetando uma maio peda de caga no sistema. Como no caso tatado no capítulo anteio, foi feita a compaação ente os esultados analíticos e computacionais. Pôde-se pecebe que o aumento do númeo de Bingham povoca o aumento do eo ente os esultados, com eo máximo da odem de 5% alcançado quando Bn=10. Este compotamento pode esta associado à egulaização utilizada paa a implementação computacional do modelo. Pespectivas futuas: Utilização de fomulação de elementos finitos que possua velocidade, pessão e tensão viscosa como vaiáveis fomulação multi-campos. Refinamento da malha paa melhoa a estimativa do campo de velocidades na egião póxima à paede do duto e paa obte com maio pecisão na inteface ente as zonas ígidas e escoantes. Simulação invesa paa a otimização dos paâmetos utilizados.

23 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bennett, C. O., Myes J. E., 1978. Fenômenos de tanspote de quantidade de movimento, calo e massa, editoa McGaw-Hill do Basil, São Paulo. Fox, R.W., McDonald A. T., 1981. Intodução à Mecânica dos Fluidos, 2a ed., editoa guanabaa dois S.A., Rio de Janeio. Bid, R. B., Amstong, R. C., Hassage, O., 1987 Dynamics of polymeic liquids, v.1, John Wiley & Sons, U.S.A. Banes, H. A., Robets, G. P., and Caew, P., 2001. Modelling the flow behaviou of vey shea-thinning liquids, Chemical Engineeing Science, vol. 56. http://pt.wikipedia.og/wiki/fluido_n%c3%a3o_newtoniano http://efisica.if.usp.b/mecanica/univesitaio/cinematica_v/v_veloc_cood_cilindica/

24 9. APÊNDICES Apêndice A Figua paa visualização do efeito do númeo de Bingham sobe o escoamento. Na co peta vemos as egiões não defomadas do fluido. a) b) c) d) Figua A.1 Efeito do númeo de Bingham no escoamento. a) Bn=1, b) Bn=2, c) Bn=5, d) Bn=10

25 Apêndice B Tabela de eos ente as soluções analíticas e numeicamente apoximadas paa os divesos índices powe-law simulados. Tabela B.1 Eos elativos ente as velocidades analítica e apoximada. n (índice de powe-law) aio velocidade analítica [m/s] velocidade apoximada [m/s] eo elativo [%] 0.2 0.000 0.67908 0.70262 3.35 0.2 0.005 0.67904 0.70262 3.36 0.2 0.010 0.67630 0.70098 3.52 0.2 0.015 0.64740 0.67558 4.17 0.2 0.020 0.50106 0.52679 4.88 0.2 0.025 0.00000 0.00000 0.00 0.35 0.000 0.77337 0.78566 1.56 0.35 0.005 0.77181 0.78521 1.71 0.35 0.010 0.75080 0.76648 2.05 0.35 0.015 0.66555 0.68070 2.23 0.35 0.020 0.44633 0.45619 2.16 0.35 0.025 0.00000 0.00000 0.00 0.5 0.000 0.84883 0.84976 0.11 0.5 0.005 0.84204 0.84645 0.52 0.5 0.010 0.79450 0.80145 0.87 0.5 0.015 0.66548 0.67192 0.96 0.5 0.020 0.41423 0.41809 0.92 0.5 0.025 0.00000 0.00000 0.00 0.75 0.000 0.94583 0.92482 2.27 0.75 0.005 0.92370 0.90970 1.54 0.75 0.010 0.83433 0.82384 1.27 0.75 0.015 0.65864 0.65135 1.12 0.75 0.020 0.38388 0.38002 1.02 0.75 0.025 0.00000 0.00000 0.00 1 0.000 1.01859 0.99900 1.96 1 0.005 0.97785 0.96660 1.16 1 0.010 0.85562 0.84740 0.97 1 0.015 0.65190 0.64626 0.87 1 0.020 0.36669 0.36374 0.81 1 0.025 0.00000 0.00000 0.00

26 Apêndice C Tabela de eos elativos ente as velocidades analiticamente calculadas e numeicamente apoximadas paa escoamento de fluidos viscoplásticos analisados. Tabela C.1 eos elativos ente as velocidades, paa tês difeentes númeos de Bingham. Bn aio [m] Velocidades (analítico) [m/s] Velocidades (numéico) [m/s] Eo [%] 0.1 0 1.010251 1.0007108 0.944 0.1 0.0025 1.002290 0.9973354 0.494 0.1 0.0050 0.9737700 0.9703965 0.346 0.1 0.0075 0.9245380 0.9221025 0.263 0.1 0.0100 0.8545950 0.8528128 0.209 0.1 0.0125 0.7639400 0.7626490 0.169 0.1 0.0150 0.6525740 0.6516665 0.139 0.1 0.0175 0.5204970 0.5198953 0.116 0.1 0.0200 0.3677080 0.3673533 0.096 0.1 0.0225 0.1942080 0.1940522 0.080 0.1 0.0250 0.0000000 0.0000000 0.000 5 0 0.811210 0.801049 1.253 5 0.0025 0.811210 0.801049 1.253 5 0.0050 0.811210 0.801048 1.253 5 0.0075 0.811210 0.801044 1.253 5 0.0100 0.804690 0.799877 0.598 5 0.0125 0.763940 0.760732 0.420 5 0.0150 0.685850 0.683810 0.297 5 0.0175 0.570410 0.569219 0.209 5 0.0200 0.417620 0.417028 0.142 5 0.0225 0.227490 0.227278 0.093 5 0.0250 0.000000 0.000000 0.000 10 0 0.76664 0.729644 4.826 10 0.0025 0.76664 0.729643 4.826 10 0.0050 0.76664 0.729642 4.826 10 0.0075 0.76664 0.729641 4.826 10 0.0100 0.76664 0.729637 4.827 10 0.0125 0.76399 0.729629 4.498 10 0.0150 0.71985 0.687776 4.456 10 0.0175 0.62138 0.594095 4.391 10 0.0200 0.4686 0.448339 4.320 10 0.0225 0.26145 0.250344 4.248 10 0.0250 0 0.000000 0.000

27 Apêndice D Gáficos da distibuição de tensões em função do aio (a) (b) (c) (d) Figua D.1 Distibuição de tensões paa η 0 = 1.0Pa.s, U=0.59m/s: (a)bn=0.1; (b)bn=1.0; (c)bn=5.0; (d)bn=10.0;