ROSÁRIO LAUREANO Critérios de D Alembert e de Cauchy [ Elaborado por Rosário Laureao] [ 03/4] Tópicos de teoria Propositio (CritériodaRazão)Dadaumasérieumérica u tal queu >0,paratodo N, i. seexistek<talque u + u K apartirdecertaordem,etãoasérieumérica u écovergete; ii. se u + u apartirdecertaordem,etãoasérieumérica u édivergete. Propositio (Critério de D Alembert (da razão)) Dada uma série umérica u talqueu >0,paratodo N,supohaqueolimite L u + u éfiitoou+. EtãosérieécovergeteseL<eédivergeteseL> ou L = + (L = + sigifica L = e u + /u > ). Quado L = (que sigifica L = e u + /u < ) ou L = ± (que sigifica L = mas u + /u >paraalgusvaloresdeeu + /u <paraoutrosvaloresde itercalados com os ateriores) ada se pode cocluir sobre a atureza da série. Example 3 Pelo critério de D Alembert a série umérica u =!
ROSÁRIO LAUREANO écovergetedadoseriferioraolimite L u + u (+)!! (+) =0<.! (+)!! (+)! Example 4 Pelo critério de D Alembert a série umérica u = écovergetedadoseriferioraolimite L u + u [(+)!] (+) (!) (!) [(+)!] (+) (!) [(+)!] (+) (!) ++ (!) + (!) (+) ++ + ( ) ( ++ 4 ) ( 4 ++ 4 ) (otequelim x + (x p /a x )=0semprequea>ep R). Example 5 Pelo critério de D Alembert a série umérica u = + +3 =0 =0<
ROSÁRIO LAUREANO 3 é divergete porque, embora teha valor o limite L u + u (+)+ (+)+3 + +3 +7+6 +7+5 atededo à desigualdade + +5 + +3 =, +7+6 +7+5 > (+)(+3) (+5)(+) temosl= +. Note que a divergêcia desta série também se coclui pelo critério geral decovergêciapoisotermogeralãotedepara0, lim + +3 = 0. Example 6 O critério de D Alembert aplicado à série umérica é icoclusivo. De facto, temos L u + u u = + (+3) (+)+ (+)[(+)+3] + (+3) (+3)(+3) (+)(+4)(+) +3 (+)(+4) + (+3) (+3)( +3) ( +5+4)(+) 3 +9 +9 3 + +3+4 e, atededo à desigualdade 3 3 = 3 +9 +9 3 + +3+4 <,
ROSÁRIO LAUREANO 4 temosl=. O estudo da atureza desta série umérica requer o critério da comparação -formulação(por limite). Defacto, cosideradoasérie v com termogeralv =/,temosolimitefiitoão-ulo L u v + (+3) (+) (+3) + +3 =, oquepermitecocluirque,sedoasérie v divergete,tambémasérie u oé. Example 7 Pelo critério de D Alembert a série umérica u = écovergetedadoseriferioraolimite L u + u 3 5 7 (+) 5 8 (3 ) 3 5 7 (+) ((+)+) 5 8 (3 ) (3(+) ) 3 5 7 (+) 5 8 (3 ) lim 3 5 7 (+) (+3) 5 8 (3 ) 5 8 (3 ) (3+) 3 5 7 (+) +3 3+ 3 3 = 3 <. Propositio8 (Critério da Raíz) Dada uma série umérica u tal queu 0paratodoo, i. seexistek<talque u K apartirdecertaordem,etãoasérieumérica u écovergete;
ROSÁRIO LAUREANO 5 ii. se,paraifiitosvaloresde,setem u paraifiitosvaloresde,etãoasérieumérica u édivergete. Propositio 9 (Critério de Cauchy(da raíz)) Dada uma série umérica u talqueu 0paratodoo,supohaqueolimite L u é fiito ou +. Etão a série é covergete se L < e é divergete se L>ouL= + (L= + sigifical=e u >). QuadoL= (que sigifical=e u <) oul= ± (que sigifica L= mas u > para algus valores de e u < para outros valores de itercalados com os ateriores) ada se pode cocluir sobre a atureza da série. Example 0 Pelo critério de Cauchy a série umérica u = ( ) 3 4+ 3+3 édivergetedadosersuperioraolimite (4+ L ) 3 (4+ ) ] 3 u [ 3+3 3+3 ( ) 3 ( 4+ 4 3+3 3 3 ) 3 = 3+3 ( ) 3 4 3 3 3(+ )+3 = ( 4 3 3 ) 3 ( ) 3 4 = + 3 0 = 64 7 >. Example Pelo critério de Cauchy a série umérica u = ( ) +
ROSÁRIO LAUREANO 6 écovergetedadoseriferioraolimite ( L ) [( ) ] u + + ( ) ( ) ( + + + [ ( ) + ( ) ] + + ( = e lim ) = + e ( 0) = e = e <. Example Pelo critério de Cauchy a série umérica / u = é covergete. Na verdade, podemos escrever u = / = = ( ) = ( ) ) + eéiferioraolimite ( L ) u = = + + =0<. Notemos que a atureza desta série também pode ser estudada por comparação. Example 3 O critério de Cauchy aplicado à série umérica ( ) + +5 u = éicoclusivo. Defacto,emborasejaovalordolimite (+ L ) + u +5 +5 =,
ROSÁRIO LAUREANO 7 a desigualdade + +5 < mostraquel=. Para idetificar a atureza desta série umérica há que aplicar o critério geraldecovergêciapoisotermogeraldasérieãotedepara0, lim u ( + +5 ) ( 3 +5 ) ( 3 ) +5 5 +5 [ ( 3 ) +5 ( 3 ) ] 5 =e 3 ( 3 ) 5 +5 +5 + = e 3 = e 3. Cocluímos etão que a série umérica é divergete. Exercícios propostos(com solução). Utilize um dos critérios, de Cauchy ou de D Alembert, para classificar quato à atureza as séries uméricas de termo geral: ( ) + (a) u = (Solução: covergete) 3+ (b) u = 3! (Solução: divergete) (c) u = 3 (Solução: covergete) (d) u = (Solução: covergete)! ( ) 4+ (e) u = (Solução: divergete) 3+5 ( ) + (f) u = (Solução: covergete) +4 (g) u = +! (Solução: covergete)
ROSÁRIO LAUREANO 8 (h) u =! (Solução: divergete) + ( ) + (i) u = (Solução: covergete) 4+3 (j) u = ()! 4 (!) (Solução: divergete) (k) u = ()! (!) (Solução: divergete) [ (l) u = si(a+ k ] ),com0<a< π (Solução: covergete) ( (m) u = + + ) (Solução: divergete) () u = 3 (!) (Solução: covergete) ()! (o) u = ()! 4 (!) (Solução: divergete) [( (p) u = + 3 + 4 ) ] (Solução: divergete) (q) u = (+)(+)(+3) 3 3 (Solução: covergete) ( ) +4 (r) u = (Solução: divergete) + (s) u = +! (t) u = [()!]! (3)! (Solução: covergete) (u) u = 5 8 (3 ) 5 9 (4 3) (v) u = 4 6 () 3 5 ( ) (w) u = 3 5 ( ) 4 8 6 (4) (Solução: covergete) (Solução: covergete) (Solução: divergete) (Solução: covergete)